Alcune nozioni di calcolo differenziale G. Mastroeni, M. Pappalardo 1 Limiti per funzioni di piu variabili Supporremo noti i principali concetti algebrici e topologici relativi alla struttura dello spazio IR n : il concetto di distanza, norma, prodotto scalare, il concetto di intorno, insieme aperto, chiuso. Sia A IR n ed f : A IR. Per semplicita, supporremo che il dominio di f coincida sempre con l insieme A. Definizione 1.1 Sia A IR n, x 0 IR n ed f : A IR. Diremo che f ammette ite L per x x 0 e scriveremo f(x) = L, x x0 se ɛ > 0, δ > 0 tale che x A con x x 0 < δ, x x 0, risulta f(x) L < ɛ. E importante notare che x 0 non appartiene necessariamente ad A, ovvero f puo non essere definita nel punto x 0. Cio e peculiare della definizione di ite in un punto x 0, mediante la quale ci proponiamo di stabilire il comportamento della funzione in un intorno di x 0, indipendentemente da cio che accade nel punto stesso. Osservazione 1.1 E possibile dimostrare che f ammette ite L per x x 0 se e solo se per ogni successione {x n } x 0 risulta f(x n) = L. n 1
Il seguente teorema estende alle funzioni di piu variabili i risultati sui iti di somme, prodotti e quozienti. Teorema 1.1 Se x x 0 f(x) = b e x x 0 g(x) = c, allora i) x x 0[f(x) + g(x)] = b + c; ii) x x 0 λf(x) = λb, λ IR; 3i) x x 0 f(x) g(x) = b c; 4i) x x 0 f(x) g(x) = b, se c 0; c 5i) x x 0 f(x) = b. Il seguente teorema risultera essere molto utile per il calcolo di iti per funzioni di piu variabili. Teorema 1.2 (del confronto) Siano f,g,h, tre funzioni definite in A e sia I(x 0 ) un intorno del punto x 0 A in cui f(x) g(x) h(x). Se f(x) = L e x x 0 h(x) = L, x x0 allora anche g(x) = L. x x0 Analogamente al caso delle funzioni di una variabile valgono i teoremi dell unicita del ite e della permanenza del segno. Esercizio 1.1 Data la funzione f(x 1, x 2 ) = x 1x 2 x 2 1 +, se (x 1, x 2 ) (0, 0) si mostri che non esiste il f(x 1, x 2 ). 2
Si consideri la restrizione x 2 = mx 1, m IR. E facile vedere che su m tale restrizione il precedente ite esiste e vale cosicche, per 1 + m2 l Osservazione 1.1, il ite della funzione f per (x 1, x 2 ) 0 non esiste. Ulteriori esempi di calcolo di iti si trovano nel paragrafo successivo dedicato allo studio della continuita. 2 Continuita per funzioni di piu variabili L estensione del concetto di ite al caso di funzioni di piu variabili consente un immediata estensione della definizione di continuita. Definizione 2.1 (Continuita ) f : A IR si dice continua in x 0 A se f(x) = x x f(x0 ). 0 Osservazione 2.1 Dato che la definizione di ite ha senso solo se x 0 e un punto di accumulazione per A, se x 0 e un punto isolato in A, supporremo direttamente f continua in x 0. E possibile dimostrare che sono continue le seguenti funzioni: le funzioni lineari, i polinomi in n variabili, le funzioni razionali. Una funzione di piu variabili puo essere separatamente continua in ciascuna variabile senza esserlo globalmente. Esempio 2.1 Sia (x 0 1, x0 2 ) = (0, 0). f(x 1, x 2 ) = x 1x 2 x 2 1 +, se (x 1, x 2 ) (0, 0) E facile vedere che (x 1, 0) = (x 2, 0) = 0, ma, per il calcolo fatto nell esercizio 1.1, la funzione non puo essere continua in quanto non esiste il ite nel punto dato. 3
Esercizio 2.1 Data la funzione f(x 1, x 2 ) = x 1x 3 2 x 4 1 +, se (x 1, x 2 ) (0, 0) si dimostri che f e continua in (x 0 1, x0 2 ) = (0, 0). Osserviamo che 0 x 1x 3 2 x 4 1 + Per il teorema del confronto si ha x 1x 3 2 x 2 2 x 1 x 2. x 1 x 3 2 x 4 1 + = 0, dalla proprieta 5i del Teorema 1.1, si ottiene che f(x 1, x 2 ) = 0. Esercizio 2.2 Data la funzione f(x 1, x 2 ) = x3 1 x 2 x 4 1 +, se (x 1, x 2 ) (0, 0) si dimostri che f e continua in (x 0 1, x0 2 ) = (0, 0). Osserviamo che Cosicche 0 x3 1 x 2 x 4 1 + Per il teorema del confronto si ha x 4 1 + x 2 2 = x 1 4 + x 2 2 2 x 2 1 x 2. x3 1 x 2 2x 2 1 x 2 x 1 2. x 3 1 x 2 x 4 1 + = 0, dalla proprieta 5i del Teorema 1.1, si ottiene che f(x 1, x 2 ) = 0. 4
3 Funzioni differenziabili Definizione 3.1 (Derivata rispetto a un vettore e derivata direzionale) Sia f : A IR ove A e un aperto di IR n. Diremo che f e derivabile in x 0 A, rispetto al vettore h IR n se esiste finito il f(x 0 + th) f(x 0 ) =: t 0 t h (x0 ). si dice derivata direzionale nella di- Se h = v, ossia, h = 1, allora v rezione v. Osservazione 3.1 Se v = e i := (0,..., 1, 0,..0), ove la componente unitaria coincide con la i esima, allora v (x0 ) viene detta derivata parziale rispetto alla componente x i e si indica col simbolo x i (x 0 ). Il vettore delle derivate parziali viene detto gradiente e si indica con il simbolo f(x 0 ) = ( x 1 (x 0 ),..., x n (x 0 )). Esempio 3.1 Sia f(x 1, x 2 ) = x 2 1, x 2 ed x 0 = (1, 1). Determiniamo la derivata della f rispetto ad un vettore nel punto x 0. x 0 + th = (1 + th 1, 1 + th 2 ). f(x 0 + th) f(x 0 ) (1 + th 1 ) 2 (1 + th 2 ) 1) = = 2h 1 + h 2. t 0 t t 0 t Esempio 3.2 Sia f(x 1, x 2, x 3 ) = x 1 x 3 + x 2 2 x 1. vettore di componenti Il gradiente della f e il x 1 = x 3 + x 2 2, x 2 = 2x 1 x 2, x 3 = x 1, ossia f(x 1, x 2, x 3 ) = (x 3 + x 2 2, 2x 1x 2, x 1 ). 5
Definizione 3.2 (Differenziabilita ) f : A IR si dice differenziabile in x 0 A, se esiste una funzione lineare L x 0 : IR n IR (dipendente da x 0 ) tale che ove h IR n. L x 0 f(x 0 + h) f(x 0 ) L x 0(h) = 0, (1) h 0 h si indica anche con il simbolo df(x 0 ) (quando si vuole evidenziare la dipendenza dalla funzione f). Analizziamo le relazioni che intercorrono tra la funzione L(h) e la derivata rispetto ad un vettore. Proposizione 3.1 Sia f : A IR ove A e un aperto di IR n. Se f e differenziabile in x 0 A allora f ammette derivata rispetto al vettore h IR n e risulta f(x 0 + th) f(x 0 ) L x 0(h) =. (2) t 0 t Dimostrazione. Poniamo nella (1) th in luogo di h. Otteniamo f(x 0 + th) f(x 0 ) L x 0(th) = 0, t 0 t h da cui segue ossia la (2). Corollario 3.1 f(x 0 + th) f(x 0 ) tl x 0(h) = 0, t 0 t L x 0(h) = f(x 0 ), h. (3) Dimostrazione. Scriviamo h nella forma n h = h i e i. i=1 6
Pertanto, essendo L lineare si ha n L(h) = h i L(e i ) = h, f(x 0 ). i=1 Se nella (3) poniamo h = v, otteniamo che la derivata direzionale in x 0, nella direzione v, puo essere espressa nella seguente forma L x 0(v) = f(x 0 ), v, (4) Osservazione 3.2 Se f non e differenziabile in x 0 allora la (4) puo non essere vera, come mostra il seguente esempio. Esempio 3.3 x 2 1 x 2 f(x 1, x 2 ) = x 2 1 +, se (x 1, x 2 ) (0, 0) f e derivabile in ogni direzione v = (v 1, v 2 ) e risulta v (0, 0) = v2 1v 2. Osserviamo che essendo f(0, 0) = (0, 0), la (4) non puo essere valida. Ovviamente, se la (4) non e verificata in un punto x 0, la f non puo essere differenziabile in x 0. Osservazione 3.3 Analogamente al caso delle funzioni di una variabile la funzione p(x) = f(x 0 ) + f(x 0 ), x x 0 ha come grafico il piano tangente al grafico della f nel punto (x 0, f(x 0 )) (Cio verra analizzato piu in dettaglio nel paragrafo successivo). La differenziabilita in x 0 e una condizione sufficiente per la continuita nel punto stesso. 7
Proposizione 3.2 Sia f : A IR ove A e un aperto di IR n. Se f e differenziabile in x 0 A allora f e continua in x 0. Dimostrazione. Osserviamo che la (1) puo eesere equivalentemente scritta nel modo seguente: f(x 0 + h) f(x 0 ) L x 0(h) = E(x 0, h) h, (5) essendo E(x 0, h) una funzione definita in un intorno del punto h = 0, tale che h 0 E(x0, h) = 0. Dalla (5) segue che, essendo L lineare (e percio continua con L(0) = 0), h 0 f(x0 + h) f(x 0 ) = [L x 0(h) + E(x 0, h) h ] = 0. h 0 Osserviamo che la continuita non e garantita dall esistenza delle derivate direzionali, come mostra il seguente esempio. Esempio 3.4 Sia (x 0 1, x0 2 ) = (0, 0). x 2 1 x 2 f(x 1, x 2 ) = x 4 1 +, se (x 1, x 2 ) (0, 0) x 0 + th = (th 1, th 2 ). f(x 0 + th) f(x 0 ) t 3 h 2 1 = h 2 t 0 t t 0 t 4 h 4 1 + t2 h 2 1 2 t = { 0 se h2 = 0 h 1 /h 2 se h 2 0. Tuttavia la funzione non e continua in x 0 come e facile verificare considerandone il comportamento sulla restrizione x 2 = mx 1 Una condizione sufficiente per la differenziabilita in un punto e data dalla continuita delle derivate parziali in un intorno del punto stesso. Teorema 3.1 (del differenziale totale) Sia f : IR n IR.Supponiamo che f abbia derivate parziali continue in un intorno di x 0 IR n e che queste siano continue in x 0. Allora f e differenziabile in x 0. 8
Esercizio 3.1 Sia x 0 = (x 0 1, x0 2 ) = (0, 0). x 2 1 x3 2 f(x 1, x 2 ) = x 4 1 +, se (x 1, x 2 ) (0, 0) x4 2 Dimostrare che f e continua ma non differenziabile nel punto x 0. Osserviamo che 0 x2 1 x3 2 x 4 1 + x4 2 Per il teorema del confronto si ha x2 1 x3 2 2x 2 1 x 2 2. x 2 1 x3 2 x 4 1 + = 0 e dalla 5i del Teorema 1.1, si ottiene che f(x 1, x 2 ) = 0. Studiamo la differenziabilita della f in x 0 e calcoliamo preventivamente la derivata della f rispetto al vettore h nel punto x 0. x 0 + th = (th 1, th 2 ). f(x 0 + th) f(x 0 ) (th 1 ) 2 (th 2 ) 3 ) = t 0 t t 0 (th 1 ) 4 + (th 2 ) 4 1 t = h2 1 h3 2 h 4 1 +. h4 2 Siccome la derivata h (x0 ) non e una funzione lineare in h, la f non e differenziabile in x 0. 4 Differenziale di funzioni vettoriali e di funzioni composte Sia f : A IR m, f(x) := (f 1 (x), f 2 (x),..., f m (x)), una funzione vettoriale. Diremo che f e differenziabile in x 0 A se le sue componenti f i (x) sono differenziabili in x 0, per i = 1,..., m. 9
In tal caso il differenziale della f e un vettore di applicazioni lineari (avente m componenti): df(x 0 )(h) = J(x 0 )h, h IR n, (6) ove J(x 0 ) e la matrice Jacobiana della f la cui riga i esima coincide con f(x 0 ). Esempio 4.1 Sia f : IR 2 IR 2, f = (f 1, f 2 ) ove f 1 (x 1, x 2 ) = x 1 x 2 e x 1, f 2 (x 1, x 2 ) = x 1 sen(x 1 x 2 ). ( x 2 e x ) 1 x 1 J(x 1, x 2 ) = sen(x 1 x 2 ) + x 1 x 2 cos(x 1 x 2 ) x 2 1 cos(x 1x 2 ) ( ) h1 df(0, 0)(h) = J(0, 0)h =. 0 Consideriamo ora il differenziale di una funzione composta. Siano f : A IR m e g : IR m IR k. La funzione composta F : A IR k e definita da F := g f = g[f(x)]. Teorema 4.1 Sia f differenziabile in x 0 A e g differenziabile in y 0 = f(x 0 ). Allora F e differenziabile in x 0 e risulta df (x 0 ) = dg(y 0 ) df(x 0 ). Ricordando la (6) avremo che, posto, dg(y 0 )(k) = J g (y 0 )k, k IR m, df(x 0 )(h) = J f (x 0 )h, h IR n, essendo dg e df applicazioni lineari df (x 0 )(h) = J g (y 0 )J f (x 0 )h, h IR n. 10
Osservazione 4.1 Dalla precedente relazione segue J F (x 0 ) = J g (y 0 )J f (x 0 ), ove y 0 = f(x 0 ), cioe la matrice Jacobiana della F in x 0 e data dal prodotto delle matrici Jacobiane di g ed f calcolate nei punti y 0 ed x 0, rispettivamente. Esempio 4.2 Siano f : A IR n, f(t) = (x 1 (t), x 2 (t),..., x n (t)) e g : IR n IR k. Sia la funzione composta. F := g f : IR IR J f (t) = x (t) = (x 1(t), x 2(t),..., x n(t)) T, (J g J f )(t) = J g (x(t))j f (t) = g(x(t)), x (t). J g (x) = g(x) = ( g g (x),..., (x)). x 1 x n Proprieta del gradiente Le regole di calcolo del differenziale di funzioni composte ci consentono di approfondire lo studio delle proprieta geometriche del gradiente di una funzione. In particolare, e possibile dimostrare che il gradiente f(x 0 ) e un vettore ortogonale all insieme di livello Lev(x 0 ) = {x A : f(x) = f(x 0 )}, nel senso che chiariremo in seguito. Sia γ una curva giacente sulla superficie Lev(x 0 ) e passante per il punto x 0 ; supponiamo che γ sia descritta dalle equazioni parametriche x(t) := (x 1 (t),..., x n (t)), t T := [0, 1]. e che x(t 1 ) sia uguale a x 0 per un opportuno t 1 (0, 1). Pertanto abbiamo che f(x(t)) = f(x 0 ), t T. Essendo f(x(t)) una funzione costante su T la sua derivata sara identicamente nulla su (0, 1) e, dal calcolo effettuato nell esempio 4.2, segue che la derivata della funzione f(x(t)) nel punto t 1 e data da f(x(t 1 )), x (t 1 ) = 0. 11
Essendo x (t 1 ) un vettore tangente alla curva γ in x 0, abbiamo che f(x 0 ) e ortogonale al piano cui appartengono tutti i vettori tangenti in x 0 alle curve giacenti sulla superficie di livello Lev(x 0 ) e passanti per x 0 stesso. Tale piano ha equazione f(x 0 ), x x 0 = 0. (7) Proposizione 4.1 Sia g : IR n IR. Si dimostri che la funzione p(x) = g(x 0 ) + g(x 0 ), x x 0 ha come grafico il piano tangente al grafico della g nel punto (x 0, g(x 0 )) Dimostrazione. Sia f(x, x n+1 ) := x n+1 g(x). Il grafico della g coincide con l insieme di livello Lev(0) = {(x, x n+1 ) : f(x, x n+1 ) = 0}. Osserviamo che f(x 0, g(x 0 )) = ( g(x 0 ), 1). Applicando la (7) alla funzione f nel punto (x 0, g(x 0 )) si ottiene che x n+1 = g(x 0 ) + g(x 0 ), x x 0 e l equazione del piano tangente alla superficie Lev(0) nel punto (x 0, g(x 0 )). 5 Derivate miste, matrice Hessiana Le derivate parziali x 1,..., x n ) della funzione f possono essere a loro volta funzioni derivabili. Otteniamo cosi le derivate parziali seconde della f che indichiamo con il simbolo Esempio 5.1 f(x 1, x 2 ) = x 2 1 x 2. x i x j oppure f xi x j. x 1 x 1 (x 1, x 2 ) = 2x 2, x 1 x 2 (x 1, x 2 ) = x 2 x 1 (x 1, x 2 ) = 2x 1, x 2 x 2 (x 1, x 2 ) = 0. 12
Osserviamo che risulta x 1 x 2 (x 1, x 2 ) = x 2 x 1 (x 1, x 2 ). Cio non e casuale ed avviene sotto opportune ipotesi come stabilito dal seguente teorema. Teorema 5.1 Supponiamo che f sia dotata di derivate miste x 1 x 2 e x 2 x 1 in un intorno di x 0 = (x 0 1, x0 2 ) e che queste siano continue in x0. Allora risulta x 1 x 2 (x 0 ) = x 2 x 1 (x 0 ). Il precedente teorema, che abbiamo enunciato, per semplicita, nel caso di una funzione di due variabili e valido anche per una funzione di n variabili (sostituendo ad x 1 e x 2 due generiche variabili x i e x j ). Le derivate parziali seconde in un punto x 0 quadrata di ordine n detta matrice Hessiana. Definizione 5.1 Sia f : IR n IR. La matrice definiscono una matrice H(x) = [ (x)] i,j, x i x j i, j = 1,..., n viene detta matrice Hessiana associata ad f. Per n = 2 abbiamo H(x 1, x 2 ) = ( x 1 x 1 (x 1, x 2 ) x 1 x 2 (x 2, x 1 ) ) x 1 x 2 (x 1, x 2 ). x 2 x 2 (x 1, x 2 ) Esempio 5.2 Per la funzione f(x 1, x 2 ) = x 2 1 x 2, definita nell esempio precedente, si ottiene ( ) 2x 1 H(x 1, x 2 ) =. 2x 1 0 L analisi delle proprieta della matrice Hessiana verra approfondita nell ambito dello studio dei massimi e minimi per un problema di estremo non vincolato. 13