Matematica applicata

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TFA Matematica applicata Esercizi commentati per la classe di abilitazione A048 Matematica applicata per gli istituti di istruzione secondaria di II grado

TFA Matematica applicata Esercizi commentati Copyright 2014, EdiSES S.r.l. Napoli 9 8 7 6 5 4 3 2 1 0 2018 2017 2016 2015 2014 Le cifre sulla destra indicano il numero e l anno dell ultima ristampa effettuata A norma di legge è vietata la riproduzione, anche parziale, del presente volume o di parte di esso con qualsiasi mezzo. L Editore A cura di: Emiliano Barbuto, Santo Calabrese Progetto grafico e impaginazione: ProMedia Studio di A. Leano Napoli Grafica di copertina: Stampato presso la Tipolitografia Sograte S.r.l. Città di Castello (PG) Per conto della EdiSES Piazza Dante, 89 Napoli ISBN 978 88 6584 388 8 www.edises.it info@edises.it

INDICE GENERALE Prefazione Il nuovo sistema di formazione dei docenti Il tirocinio formativo attivo Requisiti di ammissione al TFA Le prove di accesso al tirocinio formativo attivo VII VIII IX IX Parte I Prerequisiti Comprensione testi: Interpretazione di brani 3 Risposte commentate 59 Parte II Competenze disciplinari Matematica generale 77 Risposte commentate 114 Matematica finanziaria 201 Legge di capitalizzazione semplice 201 Legge di capitalizzazione composta 205 Tassi equivalenti 207 Sconto e leggi di attualizzazione 210 Principio di equivalenza finanziaria e rendite certe 217 Rimborso di un prestito - ammortamenti 224 Matematica attuariale 227 Risposte commentate 230 Calcolo delle probabilità 269 Calcolo combinatorio 269 Le diverse concezioni di probabilità 274 Teoremi sulla probabilità 275

VI Indice generale Variabili casuali 280 Schemi teorici di variabili casuali 282 Risposte commentate 285 Statistica 305 Distribuzioni statistiche 305 Indici medi 306 Indici di variabilità 309 Interdipendenza tra due variabili 310 Inferenza statistica 317 Risposte commentate 321 Storia della matematica applicata 343 Risposte commentate 351 Parte III Simulazioni d esame Esercitazione 363 Risposte corrette 380 Prova ufficiale a.a. 2012 381 Risposte commentate 397

PREFAZIONE Il nuovo sistema di formazione dei docenti Il sistema di formazione e reclutamento dei docenti è stato interessato negli ultimi anni da notevoli trasformazioni legislative. In seguito alla soppressione delle Scuole di Specializzazione per l Insegnamento Secondario (SSIS), la formazione degli insegnanti di scuola secondaria di primo e di secondo grado è stata di fatto affidata alle Università che dovranno, mediante l attivazione di apposite lauree magistrali, trasmettere le conoscenze didattico-disciplinari e socio-psico-pedagogiche necessarie per svolgere la professione di insegnante. Secondo quanto stabilito dal DM 249/2010, Regolamento ministeriale sulla Definizione della disciplina dei requisiti e delle modalità di formazione iniziale degli insegnanti, il percorso per la formazione dei docenti di scuola secondaria di primo e secondo grado si articola in: un corso di laurea magistrale biennale un anno di tirocinio formativo attivo (TFA). In attesa che le lauree magistrali abilitanti vengano attivate e producano i primi laureati, ovvero nella fase transitoria, possono accedere al TFA coloro che alla data di entrata in vigore del Regolamento 249/2010 (pubblicato in GU n. 24 del 31/1/2011 e, quindi, in vigore dal 15 febbraio 2011) sono in possesso dei requisiti previsti dal DM 22/2005. Sia le lauree magistrali che il TFA attivato in via transitoria sono a numero programmato 11. L accesso a tali percorsi è dunque subordinato al superamento di una prova di ammissione. Il numero dei posti disponibili è definito dal Ministero sulla base del fabbisogno di personale docente del sistema nazionale di istruzione per i diversi gradi e le diverse classi di abilitazione nonché della disponibilità degli Atenei ad attivare e a svolgere i suddetti percorsi formativi. 1 Superata la fase transitoria, per accedere al TFA non sarà prevista alcuna prova di ingresso, dal momento che esso costituirà il completamento del percorso magistrale per accedere al quale si dovrà sostenere un esame di ammissione.

VIII Prefazione Il tirocinio formativo attivo Il tirocinio formativo attivo è un corso di preparazione all insegnamento di durata annuale istituito presso una facoltà universitaria di riferimento o presso un istituzione di alta formazione artistica, musicale e coreutica. Gli obiettivi del corso consistono nella formazione di insegnanti qualificati, in possesso delle necessarie competenze disciplinari, psicopedagogiche, metodologico-didattiche, organizzative e relazionali necessarie a far raggiungere agli allievi i risultati di apprendimento previsti dall ordinamento. A tale scopo, al termine del percorso formativo, i docenti abilitati dovranno: aver acquisito solide conoscenze delle discipline oggetto di insegnamento e possedere la capacità di proporle nel modo più appropriato al livello scolastico degli studenti con cui entreranno in contatto; essere in grado di gestire la progressione degli apprendimenti adeguando i tempi e le modalità alla classe e scegliendo di volta in volta gli strumenti più adatti al percorso previsto (lezione frontale, discussione, simulazione, cooperazione, laboratorio, lavoro di gruppo, impiego di nuove tecnologie); avere acquisito capacità pedagogiche, didattiche, relazionali e gestionali; aver acquisito capacità di lavorare con ampia autonomia anche assumendo responsabilità organizzative. Al fine di conseguire tali obiettivi il percorso del tirocinio formativo attivo prevede: insegnamenti di scienze dell educazione, con particolare riguardo alle metodologie didattiche e ai bisogni speciali; insegnamenti di didattiche disciplinari che possono essere svolti anche in contesti di laboratorio in modo da saldare i contenuti disciplinari con le modalità di insegnamento in classe; un tirocinio che prevede sia una fase di osservazione che una di insegnamento attivo, presso istituti scolastici sotto la guida di un tutor; laboratori pedagogico-didattici, indirizzati alla rielaborazione e al confronto delle pratiche didattiche proposte e delle esperienze di tirocinio. L attività di tirocinio si conclude con la stesura di una relazione che consiste in un elaborato originale che, oltre all esposizione delle attività svolte, deve evidenziare la capacità del tirocinante di integrare a un elevato livello culturale e scientifico le competenze acquisite nell attività svolta in classe e le conoscenze psicopedagogiche con quelle acquisite nell ambito della didattica disciplinare, in particolar modo nelle attività di laboratorio.

Le prove di accesso al tirocinio formativo attivo IX Al termine dell anno di tirocinio si svolge l esame di abilitazione all insegnamento che consiste: nella valutazione dell attività svolta durante il tirocinio; nell esposizione orale di un percorso didattico su un tema scelto dalla commissione; nella discussione della relazione finale di tirocinio. Requisiti di ammissione al TFA Possono partecipare alle selezioni per l accesso al tirocinio formativo attivo coloro che siano in possesso: di una laurea del vecchio ordinamento riconosciuta dal DM 39/98 e degli eventuali esami richiesti per poter avere accesso all insegnamento; di una laurea del nuovo ordinamento specialistica o magistrale riconosciuta dal DM 22/2005 e degli eventuali crediti formativi per poter avere accesso all insegnamento; del diploma ISEF, già valido per l accesso all insegnamento di educazione fisica, per i TFA di Scienze Motorie. Per partecipare alle selezioni è necessario essere in possesso di un piano di studi ritenuto idoneo per l insegnamento. È possibile verificare la congruenza del proprio percorso di studi (e gli eventuali crediti da colmare) dalla apposita piattaforma ministeriale del portale www.istruzione.it. Le prove di accesso al tirocinio formativo attivo L accesso al tirocinio formativo attivo è a numero programmato secondo le specifiche indicazioni annuali adottate con decreto del Ministro dell istruzione, dell università e della ricerca. L ammissione avviene per titoli ed esami. Le prove d esame mirano a verificare le conoscenze disciplinari relative alle materie oggetto di insegnamento della specifica classe di abilitazione. Le prove di ammissione sono espletate dalle Università e si articolano in: un test preliminare una prova scritta una prova orale Il decreto istitutivo del TFA (DM 249/2010, dopo le modifiche apportate nel corso del 2013) rimanda ad un apposito decreto del Ministro dell istruzione la definizione delle specifiche indicazioni per l accesso al tiroci-

X Prefazione nio. In ogni caso, il test preliminare consiste nella risoluzione di domande a risposta chiusa con 4 opzioni di tipologie diverse, incluse domande volte a verificare le competenze linguistiche e la comprensione dei testi. Accedono alla fase successiva, la prova scritta, i candidati che abbiano conseguito un punteggio di almeno 21/30. Tale prova, predisposta a cura delle università, consta di domande a risposta aperta relative alle discipline oggetto di insegnamento delle relative classi di concorso. Nel caso di classi di concorso per l insegnamento delle lingue classiche sono previste prove di traduzione; nel caso di classi di concorso per l insegnamento dell italiano è prevista una prova di analisi dei testi. Per essere ammesso alla prova orale il candidato deve aver conseguito, alla prova scritta, una votazione maggiore o uguale a 21/30. Anche la prova orale, infine, è predisposta dalle singole università ed è organizzata tenendo conto delle specificità delle varie classi di laurea; nel caso di classi di abilitazione per l insegnamento delle lingue moderne è previsto che la prova si svolga in lingua straniera; nel caso di classi di abilitazione affidate al settore dell alta formazione artistica, musicale e coreutica può essere sostituita da una prova pratica. La prova orale, valutata in ventesimi, è superata se il candidato riporta una votazione maggiore o uguale a 15/20. Per essere sempre aggiornati è stata creata un apposita pagina facebook raggiungibile dall indirizzo http://www.facebook.com/iltirocinioformativoattivo Clicca su mi piace ( acebook ) per ricevere gli aggiornamenti.

Risposte commentate Matematica generale 151 L unico punto che soddisfa queste condizioni è (x,y) = (0,0). Per individuare la tipologia di punto calcoliamo le derivate seconde: 2 2 x f( x, y) = 2a + 6x x f( 0, 0) = 2a 2 2 y f( x, y) = 2 y f ( 00, ) = 2 f( x, y) = 0 Calcoliamo il discriminante: 2 2 Δ = x f( 00, ) y f( 00, ) xy f( x, y) = 2a( 2) 0 = 4a Abbiamo un punto doppio (o nodo) se 97) A. È vero che se X R e se è definita una f : X R continua in un X è chiuso e limitato allora l immagine f(x) è un insieme chiuso e limitato (opzione A). Pertanto scartiamo l opzione C e la D. Questo teorema è necessario per la dimostrazione del teorema di Weierstrass che afferma che se X R e se è definita una f : X R continua in un X è chiuso e limitato allora f ha un massimo e un minimo. Infine ricordiamo che la continuità non implica la derivabilità, bensì è vero il contrario. Quindi scartiamo anche l opzione B. 98) D. Se la funzione ha un grafico simmetrico rispetto all origine nell intervallo [ a;a], allora il suo integrale in questo intervallo è nullo. a f( x) dx = 0 a Quindi l integrale della funzione g(x) sarà: a xy a g( x) dx = 3 + f ( x) dx = 3dx + f ( x) dx a a a a a = 3dx + 0 = 3[ a ( a)] = 32 [ a] = 6a a a L unica opzione tra quelle proposte che risulta vera è che l integrale di g(x) non dipende da f(x). 99) C. La funzione associa alla coppia (x;y) la coppia (x ;y ) tale che: x' = 3x + 2y y' = 6x + 4y 2 a Δ < 0 a > 0. Imponiamo che l immagine sia (x ;y ) = (2;4) per individuare la controimmagine (x;y).

152 Parte II Competenze disciplinari 2 = 3x + 2y 4 = 6x + 4y Notiamo che la seconda equazione dipende dalla prima in quanto è uguale alla prima equazione moltiplicata per 2. Si può ridurre il sistema ad una sola equazione 2 = 3x + 2y che rappresenta una retta non passante per l origine. 100) B. Conoscere un punto del piano ed un vettore parallelo al piano non determina univocamente il piano, ma identifica un fascio di piani che passa per il punto e condivide la retta identificata dalla direzione del vettore. Per determinare univocamente il piano occorre un secondo vettore appartenente al piano che non sia dipendente dal primo. 101) D. Osserviamo che 2 3 5 4 10 5 = 2 3 5 3 5 10 5 = 10 3 5 10 5 = 5 10 8. Dunque il numero che stiamo considerando è compreso tra 10 8 e 10 9, estremi esclusi; quindi ha 9 cifre. 102) B. Sia n un qualsiasi numero naturale e sia N = (n + 2)(n + 3)(2n + 5). N è divisibile per due numeri consecutivi: n + 2 e n + 3, quindi è certamente divisibile per un numero pari e quindi è divisibile per 2. Proviamo ora che N è anche divisibile per 3 e quindi è divisibile per 6. Se n è divisibile per 3, lo è anche n + 3 e quindi lo è N. Se n diviso 3 dà resto 1, allora n + 2 è divisibile per 3 e quindi N è divisibile per 3. Se infine n diviso 3 dà resto 2 allora n si può scrivere nella forma n = 3k + 2 per un certo numero naturale k. Quindi 2n + 5 = 6k + 4 + 5 = 3(2k + 3) è divisibile per 3 e quindi lo è anche N. Osserviamo anche che le risposte A, C e D non sono corrette: infatti se n = 1, N = 84 che non è divisibile né per 9, né per 10; se n = 3, N = 330 che non è divisibile per 4. 103) B. La funzione y è strettamente maggiore di 0 e definita in tutto R (vedi figura). = e x 2 y z 1.5 1 0.5 2 1.5 1 0.5 x 0.5 1 1.5 2 0.5 1 1.5 2

Matematica finanziaria Legge di capitalizzazione semplice 1) In matematica finanziaria per operazione finanziaria si intende: A. lo scambio di denaro in epoche diverse B. lo scambio di denaro in epoche diverse non condizionato ad eventi C. lo scambio di denaro condizionato ad eventi D. si può avere operazione finanziaria anche senza scambio di denaro 2) L operazione finanziaria è certa? A. Sì B. No C. Non può essere certa perché gli uomini sono mortali D. Dipende da caso per caso non esiste una regola valida per tutte le operazioni 3) Gli interessi I: A. sono quelli che spettano all investitore globalmente a fine periodo B. rappresentano la remunerazione che spetta a chi si priva della disponibilità di una somma per darla in prestito C. variano al variare del tipo di legge di capitalizzazione D. sono vietati dalla legge perché la moneta è sterile 4) Nel regime di capitalizzazione semplice gli interessi maturati in un periodo: A. sono infruttiferi e quindi non maturano altri interessi, nei periodi successivi B. sono fruttiferi, altrimenti nessuno presterebbe denaro C. sono fruttiferi sia in conto capitale che in conto interessi D. sono nulli nel caso di prestito fatto dalla mamma 5) Il tasso unitario i è: A. un tasso riferito all unità monetaria, in Italia l euro, e a un orizzonte temporale B. un tasso riferito all unità monetaria ma non a un orizzonte temporale

202 Parte II - Matematica finanziaria C. un tasso non riferito all unità monetaria ma a un orizzonte temporale D. un tasso non riferito all unità monetaria, perché lo si può calcolare nei paesi fuori dalla zona euro 6) Dato i 2, tasso unitario semestrale, un tempo di 5 anni 7 mesi e 10 giorni è pari a? A. 10 + 1 6 + 10 180 101 B. 9 C. 11 + 1 6 + 10 360 D. 5 + 7 12 + 10 360 7) Dato, i 3, tasso unitario quadrimestrale, un tempo di 5 anni 7 mesi e 20 giorni è equivalente a: A. 5 + 7 12 + 20 360 B. 16 + 3 4 + 20 120 C. 16 + 3 4 + 20 360 D. 5 + 7 12 + 20 360 8) Qual è l ipotesi base dell interesse semplice o lineare? A. Di proporzionalità diretta B. Di proporzionalità inversa C. Di proporzionalità diretta al capitale C D. Di proporzionalità diretta al capitale impiegato C e alla durata del tempo t tramite un tasso unitario espresso nello stesso orizzonte temporale di t 9) Se, al tasso annuo del 4,50%, il capitale di 28.000 ha prodotto un montante di 28.840 il tempo d impiego, nel regime d interesse semplice è stato di: A. 0.8 anni B. 8 anni C. 8 mesi D. un anno perché il tasso dato è annuale

Legge di capitalizzazione semplice 203 10) In capitalizzazione semplice, se gli interessi prodotti sono I = 1710, in 9 mesi e 15 giorni e al tasso annuo i = 0.045, quanto vale il capitale iniziale? A. 24.000 B. 4.000 C. 48.000 D. 40.000 11) Trova il tasso semestrale, in capitalizzazione semplice, al quale è stato impiegato un capitale di 18.000 se gli interessi prodotti sono I = 315, in 4 mesi e 20 giorni. A. i 2 = 0.0225 B. i = 0.0225 C. i = 0.045 D. i 2 = 0.045 12) Se gli interessi semplici prodotti sono di 375, su un capitale iniziale di 15.000, in tre mesi il tasso annuo applicato all operazione finanziaria è di: A. i = 0.025 B. i = 0.05 C. i = 0.01 D. i = 0.1 13) Dato un capitale generico indicato con C, quale tasso d interesse semplice annuo produce un I = 1/15 di C? A. i = 0.025 B. i = 0.08 C. i = 0.016 D. i = 0.1 14) Il capitale di 7.500 impiegato al tasso mensile del 0,50%, in 3 mesi e 12 giorni ha prodotto un montante, nel regime semplice, di: A. 7.627,50 B. 627,50 C. 3.627,50 D. 7.727,50 15) Il tempo d impiego, nel regime d interesse semplice, affinché un capitale raddoppia al tasso annuo del 6% è di: A. 16 anni, 6 mesi e 6 giorni

204 Parte II - Matematica finanziaria B. 16 anni e 6 mesi C. 16 anni e 8 mesi D. 17 anni perché si approssima per eccesso essendo la parte decimale superiore a 5 16) In regime d interesse semplice, affinché un capitale raddoppia in dieci anni a quale tasso annuo deve esser impiegato? A. 0.13 B. 0.12 C. 0.10 D. 0.11 17) In capitalizzazione semplice, in un anno un capitale di C = 18.000 ha prodotto interessi pari a 840 e il tasso annuo, inizialmente del 5%, durante l anno è passato a 4,25%. Trovare il tempo in cui è avvenuto il cambio di tasso. A. 6 mesi e 20 giorni B. 6 anni, 6 mesi e 20 giorni C. 6 mesi D. 6 mesi e 21 giorni 18) Impiegando un capitale C = 18.000, in capitalizzazione semplice, gli interessi prodotti sono I = 840. Il tasso annuo, inizialmente del 5%, durante l anno è passato a 4,25%. Trova il tasso effettivo unitario annuo al quale è stata condotta l intera o.f. (approssimare alla quarta cifra decimale). A. i = 0.046 B. i = 4,67% C. i = 0.0466 D. i = 4,66% 19) La capitalizzazione frazionata usa il tasso i k, cioè fa riferimento: A. al frazionamento inteso come suddivisione di un anno in frazioni, tutte uguali, di 1/k B. al frazionamento inteso come suddivisione di un qualsiasi periodo C. al frazionamento inteso come suddivisione di un anno in frazioni non necessariamente tutte uguali D. al periodo di riferimento

Legge di capitalizzazione composta 205 20) Le rappresentazioni grafiche dell interesse semplice, I, e del montante, M, per un dato capitale e un dato tasso annuo, rispetto al tempo sono: A. una retta uscente dall origine e una parabola B. una retta uscente dall origine e una esponenziale C. due rette parallele di cui la prima uscente dall origine D. due rette ma non parallele 21) Due tassi si dicono equivalenti, in capitalizzazione semplice, se applicati allo stesso capitale producono lo stesso montante nello stesso tempo? A. Sì, ma si fa riferimento a due tassi periodali diversi B. No, perché c è proporzionalità diretta C. Sì D. A volte Legge di capitalizzazione composta 22) La caratteristica della capitalizzazione composta è che gli interessi maturati alla fine di ogni periodo sono fruttiferi nei periodi successivi. La legge viene detta anche di: A. capitalizzazione mista B. capitalizzazione iperbolica C. capitalizzazione esponenziale perché il tempo è ad esponente D. capitalizzazione lineare 23) Il fattore di capitalizzazione composta (1 + i) t rappresenta: A. il montante dell unità monetaria dopo t periodi (tasso e tempo sono espressi nella stessa unità temporale) B. il montante di un qualsiasi capitale dopo t periodi (tasso e tempo sono espressi nella stessa unità temporale) C. il montante dell unità monetaria dopo t anni a prescindere se i è un tasso unitario annuo o meno D. prima si calcolano gli interessi e poi si capitalizza 24) Al tasso mensile dello 0,50%, il capitale di 7.500, in 3 anni e 12 giorni, ha prodotto un montante, nel regime composto di: A. 1.493,03 B. 8.993,03

206 Parte II - Matematica finanziaria C. non si può calcolare perché il tempo è espresso in anni e il tasso è mensile D. prima si devono calcolare gli interessi e poi il montante 25) Il capitale di 800 impiegato per 6 anni 7 mesi e 15 giorni, al tasso bimestrale di 0.01, ha prodotto un montante, nel regime composto di: A. 1.188,13 B. 1.988,13 C. 1.188,131732 D. 1.988,03 26) Un certo capitale C impiegato per 5 anni 3 mesi, al tasso bimestrale di 0.0175, ha prodotto un montante pari a 10.800 nel regime composto. Qual è il valore di C? A. 6253,016746 B. 6253,01 C. 6253,016 D. 6253,02 27) Trova a quale tasso annuo un capitale impiegato ad interesse composto per 15 anni si triplica. Si richiede approssimazione alla sesta cifra decimale. A. 0,075989625 B. 0,075990 C. 0,075989 D. 0,07599 28) Trova in quanto tempo un capitale impiegato ad interesse composto annuo i = 0,05 si triplica. A. 22 anni, 6 mesi e 6 giorni B. 22 anni e 6 mesi C. 16 anni e 8 mesi D. 23 anni perché si approssima per eccesso essendo la parte decimale superiore a 5 29) Il tempo di raddoppio di un capitale impiegato in capitalizzazione semplice è maggiore rispetto a quello necessario in capitalizzazione composta. Dire se l affermazione è vera. A. È falsa. Il tempo del raddoppio di un capitale è lo stesso perché il montante è uguale

Tassi equivalenti 207 B. È falsa. Il tempo del raddoppio di un capitale in capitalizzazione semplice è minore C. È vera. Il tempo del raddoppio di un capitale in capitalizzazione semplice è maggiore D. È vera, ma il tempo del raddoppio di un capitale in capitalizzazione semplice è minore (non maggiore) 30) Il tasso annuo unitario necessario per raddoppiare un capitale impiegato in capitalizzazione semplice è maggiore rispetto a quello necessario in capitalizzazione composta (a parità di tempo). Dire se l affermazione è vera. A. È falsa perché i due tassi sono uguali perché equivalenti B. È falsa perché il tasso in capitalizzazione semplice è minore di quello in capitalizzazione composta C. È vera D. È vera ma solo se il tempo del raddoppio è maggiore 31) Calcolare i giorni necessari affinché un capitale di 15.000 impiegato in capitalizzazione composta al tasso annuo del 3.5% produce un montante di 22.000. A. 11 anni, 1 mese e 18 giorni B. 4008 giorni C. 4007 giorni D. 4000 giorni 32) Calcolare il montante di un capitale di 5.000 impiegato per 5 anni in capitalizzazione composta e al tasso trimestrale del 1.5%. A. 6734,00 B. 6734,27 C. 6734,28 D. 6500,00 Tassi equivalenti 33) Due tassi si dicono equivalenti se, applicati allo stesso capitale, producono lo stesso montante nello stesso tempo? (Capitalizzazione composta) A. Sì, ma si fa riferimento a due tassi periodali diversi B. No, perché non c è proporzionalità diretta C. No, perché in capitalizzazione composta gli interessi sono maggiori D. A volte

208 Parte II - Matematica finanziaria 34) In capitalizzazione composta, il tasso trimestrale equivalente a quello annuale del 9% è (approssimare alla quinta cifra decimale): A. i 4 = 0,02250 B. i 4 = 2,250% C. i 4 = 0,045 D. i 4 = 0,02178 35) In capitalizzazione composta il tasso annuo equivalente a i 4 = 1.5% è (approssimare alla quinta cifra decimale): A. i = 0,02250 B. i = 0,06136 C. i = 0,06 D. i = 0,061 36) Cosa indica J K? A. Il tasso annuo nominale convertibile k volte B. Il tasso annuo effettivo convertibile k volte C. Il tasso annuo effettivo D. Il tasso annuo nominale 37) Se J 4 = 10% quanto vale il tasso equivalente bimestrale? (Approssimare alla sesta cifra decimale) A. i 6 = 0,016598 B. i 6 = 0,15 C. i 6 = 0,01659 D. i 6 = 0,01660 38) Si impiega il capitale di 15.000 ad interesse composto per 10 anni. Conviene un tasso annuo effettivo del 4,50% o un tasso annuo nominale convertibile 3 volte J 3 = 4,50%? A. Conviene applicare il tasso annuo del 4,50% B. Sono indifferenti perché i valori sono uguali C. Conviene applicare il tasso annuo nominale convertibile 3 volte J 3 = 4,50% D. Non esiste una soluzione unica al problema 39) Si deve impiegare il capitale di 15.000 ad interesse composto per 10 anni. Stabilire, senza eseguire i calcoli, l impiego più favorevole tra le seguenti alternative: I. Tasso annuo effettivo del 4%

Tassi equivalenti 209 II. Tasso annuo nominale convertibile semestralmente del 4% III. Tasso effettivo semestrale del 2% IV. Tasso effettivo trimestrale del 1% A. Conviene l ipotesi I B. Conviene l ipotesi II C. Conviene l ipotesi III D. Conviene l ipotesi IV 40) Si impiega un capitale ad interesse composto per 8 anni al tasso annuo del 9%, ottenendo un montante pari a 27.500. Se fosse stato impiegato al tasso nominale convertibile tre volte sempre del 9% avrebbe ottenuto un montante pari a: A. 27.500 B. 28.055,25 C. 28.055,24 D. 28.055,20 41) Si determini il tempo necessario affinché il capitale di 27.500, impiegato ad interesse composto al tasso nominale convertibile semestralmente del 9%, produca un montante pari a 40.000: A. 4 anni, 1 mese e 2 giorni B. 8 anni, 3 mesi e 2 giorni C. 4 anni, 3 mesi e 1 giorno D. 4 anni, 3 mesi e 2 giorni 42) Una legge di capitalizzazione è scindibile se è indifferente alle interruzioni del tempo d impiego. La capitalizzazione composta gode di questa proprietà? A. No B. Sì, solo se le interruzioni sono per tempi interi C. Sì, solo per un interruzione D. Sì, indifferentemente dal numero di interruzioni 43) Una legge di capitalizzazione è scindibile se è indifferente alle interruzioni del tempo d impiego. La capitalizzazione semplice gode di questa proprietà? A. No B. Sì, solo se le interruzioni sono per tempi interi C. Sì, solo per un interruzione D. Sì, indifferentemente dal numero di interruzioni

210 Parte II - Matematica finanziaria Sconto e leggi di attualizzazione 44) Se un capitale è disponibile in futuro, al tempo t, cosa si deve pagare oggi per averne la disponibilità? A. Lo sconto inteso come differenza tra valore del capitale a scadenza e valore attuale B. Gli interessi intesi come differenza tra montante e capitale iniziale C. Il montante D. Il valore attuale 45) La legge dello sconto commerciale impone proporzionalità diretta al capitale a scadenza, al tempo tramite: A. un tasso unitario posticipato, riferito ad un orizzonte temporale B. un tasso unitario composto, riferito ad un orizzonte temporale C. un tasso unitario anticipato, riferito ad un orizzonte temporale D. una commissione prevista dall A.B.I. 46) Se un capitale è disponibile in futuro al tempo t, cosa rappresenta il suo valore odierno secondo la legge dello sconto commerciale? A. Lo sconto inteso come differenza tra valore nominale del capitale a scadenza e valore attuale B. Gli interessi intesi come differenza tra montante e valore attuale C. Il montante D. Il valore attuale o somma scontata o somma attualizzata 47) Si ha un debito di 12.600 con scadenza 4 mesi e 15 giorni. Per estinguerlo anticipatamente lo sconto è di 378. Si determini il tasso annuo di sconto commerciale applicato. A. d = 0.12 B. d = 0.08 C. d = 0.115 D. d = 0.10 48) La rappresentazione grafica del fattore di sconto commerciale per un dato tasso annuo anticipato, rispetto al tempo, è una: A. una retta uscente dall origine B. una retta non uscente dall origine e crescente C. una retta decrescente con coefficiente angolare pari a d, con intercetta all origine pari all unità D. una retta decrescente

Sconto e leggi di attualizzazione 211 49) Una cambiale del valore nominale di 2.800 è scontata commercialmente applicando un tasso annuo anticipato d = 0,05. Sapendo che il valore attuale è di 2758, si determini la scadenza della cambiale. A. 6 mesi e 6 giorni B. 3 mesi C. 3 mesi e 3 giorni D. 3 mesi e 18 giorni 50) Confrontando graficamente i fattori di capitalizzazione semplice e composto, rispetto al tempo, risulta che: A. i due grafici si incontrano solo per t = 0 B. i due grafici si incontrano per t = 0 e t = 1 per 0 < t < 1 il fattore di capitalizzazione semplice è maggiore che in quello composto C. i due grafici si incontrano per t = 0 e t = 1 per 0 < t < 1 il fattore di capitalizzazione semplice è minore che in quello composto D. i due grafici non si incontrano mai 51) Dalla legge dello sconto commerciale si può ricavare una legge di capitalizzazione, il cui fattore di capitalizzazione è: A. dallo sconto non si può ricavare nessun fattore di capitalizzazione B. (1 + i t) C. (1 + i) t D. 1 1 con t < ( 1 dt) d 52) Dalla legge della capitalizzazione semplice si può ricavare una legge di attualizzazione, il cui fattore è: A. 1 ( 1+ it) B. 1 ( 1+ i) t C. dalla capitalizzazione non si può ricavare nessun fattore di attualizzazione D. 1 1 con t ( 1 dt) d 53) Dalla legge della capitalizzazione composta si può ricavare una legge di attualizzazione, il cui fattore è: 1 A. ( 1+ it)

212 Parte II - Matematica finanziaria B. 1 ( 1+ i) t C. dalla capitalizzazione non si può ricavare nessun fattore di attualizzazione D. 1 1 con t < ( 1 dt) d 54) Due leggi si dicono coniugate se applicate successivamente: A. coniugate si riferisce alle due radici di un equazione con < nel campo dei numeri immaginari B. due leggi non possono essere coniugate C. la seconda al risultato della prima si ottiene l unità monetaria o il capitale di partenza D. nessuna delle precedenti 55) Le caratteristiche di un fattore di capitalizzazione sono: A. M (0) = 1, M (t) > 1 e M'(t) > 0 o M'(t) < 0 B. M (0) = 1, M (t) = 1 e M'(t) > 0 C. M (0) = 1, M (t) > 1 e M'(t) > 0 D. le risposte precedenti sono tutte errate perché non considerano la derivata seconda 56) Le caratteristiche di un fattore di attualizzazione sono: A. V (0) = 1, V (t) < 1 e V'(t) < 0 o V'(t) > 0 B. le risposte sono tutte errate perché non considerano la derivata seconda C. V (0) = 1, V (t) > 1 e V'(t) < 0 D. V (0) = 1, V (t) < 1 e V'(t) < 0 57) Si impiegano, in regime semplice, due capitali di 180.000 e 176.000 rispettivamente ai tassi annui del 4% e 6%. Dopo quanto tempo i due montanti risultano uguali? A. 1 anno, 2 mesi e 9 giorni B. 1 anno, 2 mesi e 8 giorni C. 2 anni, 1 mese e 9 giorni D. 2 anni, 2 mesi e 9 giorni 58) Si impiegano, in regime composto, due capitali di 180.000 e 176.000 rispettivamente ai tassi annui del 4% e 6%. Dopo quanto tempo i due montanti risultano uguali? A. 1 anno, 2 mesi e 5 giorni B. 1 anno, 2 mesi e 4 giorni

Sconto e leggi di attualizzazione 213 C. 2 anni, 1 mese e 3 giorni D. 2 anni, 1 mese e 5 giorni 59) Una banca offre ai propri investitori due proposte di investimento di un capitale per un anno: I) tasso effettivo annuo di interesse del 10%, commissioni iniziali di 100; II) tasso effettivo annuo di interesse del 5%, commissioni iniziali di 15. La proposta II) è più conveniente per gli investitori rispetto alla I): A. mai B. quando il capitale da investire è maggiore di 1700 C. quando il capitale da investire è compreso fra 85 e 1800 D. quando il capitale da investire è minore di 1700 60) Nel regime di capitalizzazione ad interessi anticipati, se il tasso effettivo di sconto è d, il grafico della funzione che esprime il montante al variare del tempo è: A. un ramo di iperbole con asintoto orizzontale B. una curva esponenziale con ascisse nell intervallo [0, 1 d ] C. una semiretta con pendenza dipendente da d D. un ramo di iperbole con asintoto verticale di ascissa x = 1 d 61) Sia f (t) = 1 + ht 1 + t con h > 0. Affinché f sia un fattore di montante: A. è necessario che h sia intero B. è necessario che h < 1 C. è necessario che h > 1 D. non sono necessarie altre condizioni su h 62) Calcolare il montante dopo tre mesi, secondo la legge di capitalizzazione coniugata allo sconto commerciale, del capitale iniziale C = 19.700, sapendo che il tasso anticipato unitario bimestrale è 0.01. A. 20.001 B. 20.000 C. 21.000 D. 22.000 63) Una legge di capitalizzazione è scindibile se è indifferente alle interruzioni del tempo d impiego. La capitalizzazione coniugata allo sconto commerciale gode di questa proprietà? A. No, è iposcindibile B. No, è iperscindibile

214 Parte II - Matematica finanziaria C. Sì, solo per un interruzione D. Sì, indifferentemente dal numero di interruzioni 64) La legge di capitalizzazione composta è scindibile nell intervallo temporale (a, b)? A. No B. Sì C. Nessuna legge di capitalizzazione è scindibile D. Ogni legge di capitalizzazione è scindibile 65) Il fattore di sconto di un operazione finanziaria elementare (scambio di due importi C, pagabile o esigibile in t, e M esigibile o pagabile in s, con t < s) è: A. C M B. C M C. M C D. 1 C 66) Il fattore di montante in capitalizzazione semplice al tasso quadrimestrale del 2,4% per un operazione relativa alla scadenza t < s misurata in anni è: A. 1 + 2,4 (s t) B. 1 + 0,024 (s t) C. 1 + 24, ( s t) 3 D. 1 + 0,072 (s t) 67) Una persona prende a prestito 2.000 per tre mesi al 7% annuo semplice. Il mutuante trattiene anticipatamente l interesse. La somma effettivamente prestata è: A. 1.950 B. 1.982,4 C. 1.900 D. 1.965 68) Il regime finanziario ad interesse semplice è caratterizzato da una funzione fattore di montante r (t) del tipo: A. r (t) = 1 + a t 2