Inferenza statistica univariata: bontà di adattamento secondo χ 2

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1 Inferenza statistica univariata: bontà di adattamento secondo χ Dalla misurazione di un campione univariato di N s letture abbiamo ottenuto un istogramma. Riferiamoci per es. alla radioattività del fondo misurata mediante Geiger: la singola lettura rappresenta il No. di eventi di ionizzazione n occorsi in 30 s nel Geiger. Tali conteggi dipendono del numero di disintegrazioni radioattive β e γ che avvengono nell ambiente e nello strumento. Se si fanno N s = 100 letture, e le si raggruppano in classi di passo p =, si può ottenere una tab. come la seguente. I dati hanno media n e dev. standard s n 1

2 Valori centrali Occorrenze rilevate di classe Ns -0,5 0 1,5 0 3,5 5,5 18 7,5 30 9,5 5 11, ,5 1 15,5 1 17,5 1 19,5 0 1,5 0 somma 100 n = 9.0 s = 7. 5 Nel ns.caso, la I classe (da sinistra) dove ci sono dati sperimentali è quella di centro= 3.5, e l ultima (la VIII) è quella di centro= 17.5 si ottiene un istogramma che si presenta come in figura: n

3 Fondo Ns vs. n Occorrenze Ns Series1 0-0,5 1,5 3,5 5,5 7,5 9,5 11,5 13,5 15,5 17,5 19,5 1,5 conteggi n la I classe con dati sperimentali (da sinistra) è quella di centro=3.5, e l ultima (la VIII) è quella di centro=17.5 3

4 A questo punto, si sceglie la Poissoniana di media Dove i valori attesi N ai nella classe i-esima sono dati da: 30,00000 Fondo Na vs. n = n = 9.0 µ (1) N ai N a i + 1 n n e la si applica al numero totale di letture attese N a pari a: i ϕ( n) dn occorrenze Na 5, , , , ,00000 Series N a = N s 100 () 0, conteggi n Sappiamo che per una Poissoniana si ha: σ = µ n 4

5 Ora, il fatto che sia s n = 7.5 n = 9 per il ns campione sembrerebbe implicare che la distribuzione teorica di Poisson non descriva bene il comportamento del campione stesso occorrenze Ns, Na Fondo Ns, Na vs. n -0,5 1,5 3,5 5,5 7,5 9,5 11,5 13,5 15,5 17,5 19,5 1,5 conteggi n Series1 Series Anche perchè ci sono classi, come quella di centro 1.5, che hanno valori attesi N ai non trascurabili, pur essendo N si =0 5

6 Infatti, integrando per fili la Poissoniana si trovano le occorrenze attese per classe E si vede che ci sono almeno classi con N ai non trascurabile a fronte di N si = 0 Valori centrali Occorrenze rilevate Occorrenze attese di classe N s N a -0,5 0 0,017 1,5 0 0,658 3,5 4,9609 5, , ,5 30 5, ,5 5 4, , , ,5 1 8, ,5 1, ,5 1 0, ,5 0 0, ,5 0 0,03573 somma somma ,

7 Per decidere se la Poissoniana di egual media = µ n = 9. 0 descriva bene i dati sperimentali, bisogna fare un test χ Ma il risultato sarà comunque solo probabilistico Si è visto nella Lez 04 che, dato un campione di N s letture, il rapporto tra la sua devianza D e la varianza di popolazione σ si comporta come una distribuzione χ con ν = N s V gradi di libertà, dove V è il numero dei vincoli 7

8 Confrontiamo ora la classe i-esima (es. la II) dell istogramma con il tratto di poissoniana corrispondente Fondo Ns, Na vs. n occorrenze Ns, Na Series1 Series 0-0,5 1,5 3,5 5,5 7,5 9,5 11,5 13,5 15,5 17,5 19,5 1,5 conteggi n Il numero di letture effettive è N si = 18, il numero di letture attese N ai =15.4 8

9 La devianza delle letture in quella classe è allora D i = ( N si Nai ) ( = 6.76) E il rapporto D / σ ( = 0.439) i i si comporta come un χi della classe i-esima E siccome i valori attesi sono distribuiti come una Poissoniana, risulta Quindi χ i = D N i ai χ Nai = σ e per l additività del χ i si ottiene: C ( si ai ) = i= 1 N N N ai i (3) 9

10 Il chi quadro dato dalla (3) si chiama anche chi quadro sperimentale, visto che dipende anche dai dati sperimentali Prima di tutto, calcoliamo il chi quadro sperimentale nel ns caso: Nel ns caso, per calcolare χ s, le classi estreme si devono accorpare riunendo alcune classi contigue, perchè non ci possono essere classi vuote di dati: 10

11 tutte le classi devono contenere almeno un'occorrenza sperimentale n centrale,5 5,5 7,5 9,5 11,5 13,5 15,5 19,5 N si N ai = N a *P i (N si -N ai ) /N ai 5,59946, , , , , ,9937,33076E ,83917, , , , , , , Risulta alla fine: χ s = 8,9 11

12 Ora, che significa fare un test di inferenza statistica, p.es. un test chi quadro? Significa porre a confronto due congetture in antitesi, per cercare quale delle due possa essere accettata come vera (ma sempre in modo probabilistico) 1

13 Le due congetture (che gli statistici chiamano Ipotesi, anche se...) si presentano sempre in questo modo: I congettura (si chiama Ipotesi zero, H 0 ): A = B (nel ns caso: La Poissoniana scelta descrive bene l istogramma ovvero L istogramma si adatta bene alla Poissoniana ) II congettura (si chiama Ipotesi alternativa, H 1 ): A B (nel ns caso: La Poissoniana scelta non descrive bene l istogramma ) Se H 0 è vera, H 1 è falsa, e viceversa 13

14 Osserviamo che se il conteggio n fosse una variabile deterministica, allora, dato che la teoria è corretta, sarebbe sempre N si = N ai, e l Ipotesi zero H 0 sarebbe assolutamente vera (non solo probabilisticamente vera) e si avrebbe sempre χ s = 0 Ma n è una variabile statistica: quindi in ogni caso risulterà χ s > 0 Quando accettare H 0? 14

15 Solo quando la differenza tra conteggi sperimentali N si e conteggi attesi N ai non sia troppo grande E cioè quando χ s non è troppo grande Ovvero quando non supera un valore critico χ crit(ν, α) Le classi sono C, i vincoli sono dati dalle due eq. (1) e () di pag. 4, quindi i gradi di libertà del chi quadro sono ν = C ( = 6, dato che C = 8) 15

16 α si chiama significatività del test χ, (1- α ) è detto livello di significatività ϕ( χ ) E il test è ad una coda (o ad una via ) ν O α χ Si trova il valore critico dall integrale + χ crit χ crit ϕ( χ ) dχ eseguibile dall applicazione INV.CHI su Excel = α 16

17 Bisogna eseguire il test o a livello (1- α ) = 95%, o a livello del 99.9%, mettendosi dalla parte della ragione Ovvero tenendo conto del conflitto d interessi: Se m interessa accettare H 0, devo scegliere come valore critico il minore, in modo da considerare l area di accettanza (1- α ) più piccola Ossia l area di esclusione α più grande tra 5% e 0.1% χ crit (ν=6, α=0.05) = 1,59159 = 1.6 χ crit (ν=6, α=0.001) =,45774 =.5 17

18 Devo quindi confrontare il chi sperimentale di pag. 11 χ s = 8.9 ~ 8.9 con χ crit (ν=6, α=0.05) = 1.6 E quindi, dato che χ s < χ crit(ν=6, α=0.05), Si accetta H 0 al livello fiduciale del 95% (cioè si considera, a livello del 95%, che la Poissoniana scelta rappresenti bene i dati sperimentali) 18

19 Se in un altro ambito fossimo tratti a rifiutare l Ipotesi zero anche quando il chi quadro sperimentale è troppo piccolo (vicino a zero) p.es. nel caso in cui si tema una falsificazione dei dati Allora dovremmo fare un test chi quadro a due code. 19

20 E in tal caso si accetterebbe H 0 ϕ( χ ) solo se: χ < < χ s χ1 O α/ χ Accettanza = 95% µ ) µ χ 1 α/ χ 0 alfredo.strigazzi@polito.it