Semantica operazionale dei Linguaggi di Programmazione Imperativi. Espressioni. Sistema di transizioni per la semantica

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1 Sistema di transizioni per la semantica Il nostro sistema non prevede la gestione degli errori di tipo o la gestione degli errori di scope delle veriabili Esso si bloccherà solo in caso di espressioni booleane o aritmetiche senza valore (divisione per zero o variabili non assegnate) I costrutti che prenderemo in considerazione saranno i comandi semplici - assegnamento, condizionale e ciclo while - i blocchi e le dichiarazioni Più in là introdurremo le classi, gli oggetti e definiremo la semantica della chiamata dei metodi in Java Semantica operazionale dei Linguaggi di Programmazione Imperativi Semantica operazionale del nucleo di Java Rosario Culmone, Luca Tesei Lucidi tratti dalla dispensa Elementi di Semantica Operazionale R. Barbuti, P. Mancarella e F. Turini Università degli Studi di Camerino - Corso di Laurea in Informatica - Programmazione - Semantica - Semantica operazionale del nucleo di Java p.3/83 Università degli Studi di Camerino - Corso di Laurea in Informatica - Programmazione - Semantica - Semantica operazionale del nucleo di Java p.1/83 Espressioni Sistema di transizioni per la semantica Estendiamo la sintassi, e quindi il relativo sistema di transizioni per la valutazione, delle espressioni aritmetiche viste in precedenza In particolare aggiungiamo al dominio semantico Val, oltre ai numeri naturali, anche i valori booleani IB = {tt,ff che verranno rappresentati sintatticamente con i simboli true e false rispettivamente Val = IN IB Il linguaggio viene esteso con una serie di operatori per definire espressioni (le proposizioni) il cui valore è un valore di verità (ad esempio 5>3) e per combinare tali espressioni A partire da questo punto in poi ci concentreremo sulla definizione di un sistema di transizioni che esegue i programmi di un linguaggio Java semplificato La definizione di questo sistema corrisponde a dare una semantica formale ai costrutti sintattici del linguaggio Questo perché il sistema di transizioni è un sistema formale Il linguaggio Java semplificato avrà come tipi di dato fondamentali solo int e boolean Più in là introdurremo le classi, gli oggetti e quindi i tipi riferimento Università degli Studi di Camerino - Corso di Laurea in Informatica - Programmazione - Semantica - Semantica operazionale del nucleo di Java p.4/83 Università degli Studi di Camerino - Corso di Laurea in Informatica - Programmazione - Semantica - Semantica operazionale del nucleo di Java p.2/83

2 Semantica delle espressioni booleane Sintassi delle espressioni Abbiamo già definito la semantica delle espressioni aritmetiche, cioè quelle il cui valore è un numero di IN Per quanto concerne le espressioni a valori booleani, osserviamo che gli operatori &&, e! corrispondono agli operatori logici, e Come nel caso delle espressioni a valori naturali, le regole che definiscono la semantica delle espressioni booleane sono guidate dalla sintassi e, in esse, utilizziamo delle premesse che corrispondono ad operazioni elementari tra valori di verità che si suppone di saper calcolare La sintassi completa delle espressioni aritmetiche e booleane del nostro linguaggio è la seguente: Exp ::= Const_val Ide (Exp) Exp Op Exp!Exp Op ::= + - * / % == < <= > >= && Const_val ::= Num Bool Bool ::= true false Num ::= Num Cif Cif Cif ::= Ide ::= Ide Letter Ide Cif Letter Letter ::= a b... z A B... Z Università degli Studi di Camerino - Corso di Laurea in Informatica - Programmazione - Semantica - Semantica operazionale del nucleo di Java p.7/83 Università degli Studi di Camerino - Corso di Laurea in Informatica - Programmazione - Semantica - Semantica operazionale del nucleo di Java p.5/83 Semantica delle espressioni booleane Cominciamo dalla semantica delle espressioni booleane più semplici: true,σ exp tt (exp true ) false,σ exp ff (exp false ) Queste regole corrispondono allo schema di regola (exp n ) per le costanti naturali Metavariabili Nel seguito, ometteremo la distinzione esplicita tra valori e rappresentazioni e utilizzeremo le seguenti convenzioni: n,m,n,m,... denotano valori in IN, o loro rappresentazioni ; b,b,b 1,... denotano valori in IB, o loro rappresentazioni; E,E,... denotano generiche espressioni x,y,z,... denotano identificatori. Università degli Studi di Camerino - Corso di Laurea in Informatica - Programmazione - Semantica - Semantica operazionale del nucleo di Java p.8/83 Università degli Studi di Camerino - Corso di Laurea in Informatica - Programmazione - Semantica - Semantica operazionale del nucleo di Java p.6/83

3 Semantica delle espressioni booleane Semantica delle espressioni booleane Con la seguente regola raggruppiamo tutte le regole che riguardano gli operatori di relazione (confronto) previsti nella sintassi del linguaggio Il simbolo rel sta per uno qualunque dei sei simboli sintattici ==,!=, <, >, >= e <= previsti dal linguaggio Il simbolo rel sta per la corrispondente funzione semantica (=,,,,, rispettivamente) Queste regole definiscono gli operatori del linguaggio &&, e! in termini dei corrispondenti operatori logici, e E, σ exp b E, σ exp b b = b b E E, σ exp b (exp or ) E, σ exp b E, σ exp b b = b b E && E, σ exp b (exp and ) Università degli Studi di Camerino - Corso di Laurea in Informatica - Programmazione - Semantica - Semantica operazionale del nucleo di Java p.11/83 Semantica delle espressioni booleane Università degli Studi di Camerino - Corso di Laurea in Informatica - Programmazione - Semantica - Semantica operazionale del nucleo di Java p.9/83 Semantica delle espressioni booleane (exp rel ) esprime quindi contemporaneamente sei regole E, σ exp n E, σ exp n b = n rel n E rel E, σ exp b (exp rel ) E,σ exp b b = b!e,σ exp b (exp not ) Università degli Studi di Camerino - Corso di Laurea in Informatica - Programmazione - Semantica - Semantica operazionale del nucleo di Java p.12/83 Università degli Studi di Camerino - Corso di Laurea in Informatica - Programmazione - Semantica - Semantica operazionale del nucleo di Java p.10/83

4 Semantica di un comando Costrutti che alterano lo stato La semantica, il significato, che associamo a un comando C è quello di essere una funzione che, preso uno stato di partenza σ, restituisce uno stato di arrivo σ in cui si possono osservare gli effetti del comando C [C]σ = σ se e solo se C,σ com σ Lo stato di partenza σ modella l input (nel nostro linguaggio semplificato non ci sono costrutti di input) Lo stato σ di arrivo modella l output (non ci sono nemmeno costrutti di output) La valutazione di espressioni non modifica lo stato del sistema (non modifica la memoria) Valutare 3+x oppure (4*y)/3 lascia lo stato del sistema invariato Esiste un altra classe di costrutti che altera lo stato del sistema. Vediamo la sintassi semplificata dei comandi: Com ::= Ide = Exp; Block if (Exp) Com else Com while (Exp) Com Block ::= {Stat_List Stat_List ::= Com Com Stat_List Università degli Studi di Camerino - Corso di Laurea in Informatica - Programmazione - Semantica - Semantica operazionale del nucleo di Java p.15/83 Università degli Studi di Camerino - Corso di Laurea in Informatica - Programmazione - Semantica - Semantica operazionale del nucleo di Java p.13/83 Assegnamento Sistemi di transizioni per i comandi E,σ exp v x=e;,σ com σ[ v / x ] (com = ) Le configurazioni del sistema di transizioni per i comandi, S com, sono di due tipi: Γ com = { C,σ C Com, σ Σ {σ σ Σ T com = {σ σ Σ Il comando di assegnamento è un costrutto che modifica lo stato. La notazione σ[ v / x ] rappresenta la modifica di stato, come abbiamo visto Ricordiamo che lo stato non viene modificato se la variabile x non è definita in nessun frame Università degli Studi di Camerino - Corso di Laurea in Informatica - Programmazione - Semantica - Semantica operazionale del nucleo di Java p.16/83 Università degli Studi di Camerino - Corso di Laurea in Informatica - Programmazione - Semantica - Semantica operazionale del nucleo di Java p.14/83

5 Esempio: Lista di assegnamenti 1 Sequenze di comandi e blocchi Consideriamo la lista di comandi: x = 2; y = 3; x = x-1; e lo stato σ 0 = {x 0,y 0.Ω. Abbiamo dunque la derivazione: x = 2;y = 3;x = x 1;,σ 0 com { (com Stat list ), (d1): x = 2;,σ 0 com σ 0 [ 2 / x ], σ 1 = σ 0 [ 2 / x ], (d2): y = 3;x = x 1;,σ 1 com σ 1 [ 1 / x, 3 / y ] σ 1 [ 1 / x, 3 / y ] = σ 0 [ 1 / x, 3 / y ] σ 0 [ 1 / x, 3 / y ] = {x 1,y 3.Ω Utilizziamo la metavariabile Slist per indicare alberi della categoria sintattica Stat_List La semantica di un albero di Stat_List, dato uno stato di partenza σ, corrisponde all esecuzione, in sequenza, di tutti i comandi che formano la lista Ogni comando potrà modificare lo stato Ogni comando (tranne il primo) deve operare a partire dallo stato generatosi dopo l esecuzione del comando precedente nella lista In questa prima versione la gestione del blocco è banale: non bisogna appilare un nuovo frame per ogni blocco dato che non prevediamo la possibilità di dichiarare variabili Università degli Studi di Camerino - Corso di Laurea in Informatica - Programmazione - Semantica - Semantica operazionale del nucleo di Java p.19/83 Esempi2: Lista di assegnamenti 1 Università degli Studi di Camerino - Corso di Laurea in Informatica - Programmazione - Semantica - Semantica operazionale del nucleo di Java p.17/83 Sequenze di comandi e blocchi dove (d1) è la derivazione: (d1): x = 2;,σ 0 com { (com = ), E [2]σ 0 = 2 σ 0 [ 2 / x ] Slist,σ com σ (com Block ) {Slist,σ com σ C,σ com σ Slist,σ com σ (com Stat list ) C Slist,σ com σ In una sequenza del tipo C 1 C 2...C k,, la sottosequenza C 2...C k inizia ad operare nello stato lasciato dalla valutazione del comando C 1 dell intera sequenza. Università degli Studi di Camerino - Corso di Laurea in Informatica - Programmazione - Semantica - Semantica operazionale del nucleo di Java p.20/83 Università degli Studi di Camerino - Corso di Laurea in Informatica - Programmazione - Semantica - Semantica operazionale del nucleo di Java p.18/83

6 Esempio: Lista di assegnamenti 5 Esempio: Lista di assegnamenti 3 Le uguaglianze del tipo σ = σ[...] che compaiono nei vari passi, non corrispondono a premesse di regole, ma all introduzione di nomi di comodo per gli stati intermedi del calcolo Le scritture del tipo E [3]σ 0 [ 2 / x ] = 3 corrispondono a derivazioni del sistema S exp che non esplicitiamo: diamo direttamente il risultato che può essere comunque sempre verificato facendo la derivazione Le sottoderivazioni che corrispondono a singoli comandi di assegnamento sono sufficientemente semplici da poter essere, nel seguito, esplicitate direttamente nelle giustificazioni senza fare sottoderivazioni e, detto σ 1 lo stato σ 0 [ 2 / x ], (d2) è la derivazione: (d2): y = 3;x = x 1;,σ 1 com { (com Stat list ), (d3): y = 3;,σ 1 com σ 1 [ 3 / y ], σ = σ 1 [ 3 / y ], (d4): x = x 1;,σ com σ [ 1 / x ], σ [ 1 / x ] = σ 0 [ 1 / x, 3 / y ] σ 0 [ 1 / x, 3 / y ] Università degli Studi di Camerino - Corso di Laurea in Informatica - Programmazione - Semantica - Semantica operazionale del nucleo di Java p.23/83 Università degli Studi di Camerino - Corso di Laurea in Informatica - Programmazione - Semantica - Semantica operazionale del nucleo di Java p.21/83 Esempio: Lista di assegnamenti 6 Esempio: Lista di assegnamenti 4 x = 2;y = 3;x = x 1;,σ 0 com { (com Stat list ), (com = ): E [2]σ 0 = 2, x = 2;,σ 0 com σ 0 [ 2 / x ], σ 1 = σ 0 [ 2 / x ], (d1): y = 3;x = x 1;,σ 1 com σ 1 [ 1 / x, 3 / y ] σ 1 [ 1 / x, 3 / y ] = σ 0 [ 1 / x, 3 / y ] σ 0 [ 1 / x, 3 / y ] = {x 1,y 3.Ω Infine, le sotto-derivazioni (d3) e (d4) sono le seguenti: (d3): y = 3;,σ 0 [ 2 / x ] com { (com = ), E [3]σ 0 [ 2 / x ] = 3 σ 0 [ 2 / x, 3 / y ] (d4): x = x 1;,σ 0 [ 2 / x, 3 / y ] com { (com = ), E [x 1]σ 0 [ 2 / x, 3 / y ] = 1 σ 0 [ 1 / x, 3 / y ] Università degli Studi di Camerino - Corso di Laurea in Informatica - Programmazione - Semantica - Semantica operazionale del nucleo di Java p.24/83 Università degli Studi di Camerino - Corso di Laurea in Informatica - Programmazione - Semantica - Semantica operazionale del nucleo di Java p.22/83

7 Comando condizionale Esempio: Lista di assegnamenti 7 E,σ exp tt C1,σ com σ if (E) C1 else C2,σ com σ (com if tt ) E,σ exp ff C2,σ com σ if (E) C1 else C2,σ com σ (com if ff ) dove, detto σ 1 lo stato σ 0 [ 2 / x ], (d1) è la sottoderivazione: (d1): y = 3;x = x 1;,σ 1 com { (com Stat list ), (com = ) : E [3]σ 1 = 3, y = 3;,σ 1 com σ 1 [ 3 / y ], σ = σ 1 [ 3 / y ], (com = ) : E [x 1]σ = 1, x = x 1;,σ com σ [ 1 / x ] σ [ 1 / x ] = σ 0 [ 1 / x, 3 / y ] σ 0 [ 1 / x, 3 / y ] Università degli Studi di Camerino - Corso di Laurea in Informatica - Programmazione - Semantica - Semantica operazionale del nucleo di Java p.27/83 Università degli Studi di Camerino - Corso di Laurea in Informatica - Programmazione - Semantica - Semantica operazionale del nucleo di Java p.25/83 Comando iterativo Il nostro linguaggio semplificato ha come unico costrutto iterativo il ciclo while Anche il while richiede l uso di due regole che gestiscono lo stesso caso sintattico, ma sono mutuamente esclusive a seconda del valore di verità della guardia Comando condizionale Per esprimere la semantica dell if-else utilizziamo due regole La prima regola potrà essere applicata quando nello stato corrente l espressione di controllo è vera La seconda regola quando è falsa Le due regole corrispondono allo stesso caso sintattico, ma le premesse le rendono mutuamente esclusive (si può applicare l una oppure l altra, mai entrambe insieme) Con l if il sistema S com si può bloccare se l espressione dell if-else non ha un valore definito (S exp si blocca) Università degli Studi di Camerino - Corso di Laurea in Informatica - Programmazione - Semantica - Semantica operazionale del nucleo di Java p.28/83 Università degli Studi di Camerino - Corso di Laurea in Informatica - Programmazione - Semantica - Semantica operazionale del nucleo di Java p.26/83

8 Condizioni di esecuzione Comando iterativo Non possiamo quindi assumere l ipotesi induttiva e non siamo garantiti che l esecuzione della sottoderivazione terminerà! Tuttavia non si tratta di una definizione circolare in quanto la componente stato della configurazione è diversa Se il programma è ben scritto prima o poi si arriverà in uno stato in cui la guardia del ciclo diventa falsa e il ciclo uscirà E,σ exp ff while (E) C,σ com σ E,σ exp tt C,σ com σ while (E) C,σ com σ while (E) C,σ com σ (com while ff ) (com while tt ) Università degli Studi di Camerino - Corso di Laurea in Informatica - Programmazione - Semantica - Semantica operazionale del nucleo di Java p.31/83 Università degli Studi di Camerino - Corso di Laurea in Informatica - Programmazione - Semantica - Semantica operazionale del nucleo di Java p.29/83 Esempio: Comando iterativo 1 while (x>0) x=x-1;, {x 2.Ω com {(com while tt ) : E [x > 0]{x 2.Ω = tt, (com = ) : E [x-1]{x 2.Ω = 1 x=x-1;, {x 2.Ω com {x 1.Ω, (d1): while (x>0) x=x-1;, {x 1.Ω com {x 0.Ω {x 0.Ω Condizioni di esecuzione Vi sono due possibili contesti di valutazione di while (E) C: (com while ff ) identifica la semantica del comando while con quella del comando vuoto nel caso che la condizione è falsa A differenza di tutte le altre regole di S com la regola (com while tt ) non rispetta la regola fondamentale delle chiamate ricorsive Infatti la chiamata a com nella premessa non viene fatta su un sottoalbero dell albero di partenza, ma sullo stesso albero sintattico del while Università degli Studi di Camerino - Corso di Laurea in Informatica - Programmazione - Semantica - Semantica operazionale del nucleo di Java p.32/83 Università degli Studi di Camerino - Corso di Laurea in Informatica - Programmazione - Semantica - Semantica operazionale del nucleo di Java p.30/83

9 Considerazioni sus com Esempio: Comando iterativo 2 Si noti che esistono configurazioni bloccate, ovvero non è possibile applicare alcuna transizione. Un esempio x = 5 8;,σ : l unica regola potenzialmente applicabile è (com = ), che però non può essere applicata in quanto non vi è modo di soddisfare la sua premessa (non esiste infatti alcun v IN per cui E [5 8]σ = v). Le configurazioni bloccate di questo tipo corrispondono a situazioni di errore. (d1): while (x>0) x=x-1;, {x 1.Ω com { (com while tt ) : E [x > 0]{x 1.Ω = tt, (com = ) : E [x-1]{x 1.Ω = 0, x=x-1;, {x 1.Ω com {x 0.Ω, (d2): while (x>0) x=x-1;, {x 0.Ω com {x 0.Ω {x 0.Ω Università degli Studi di Camerino - Corso di Laurea in Informatica - Programmazione - Semantica - Semantica operazionale del nucleo di Java p.35/83 Considerazioni sus com Università degli Studi di Camerino - Corso di Laurea in Informatica - Programmazione - Semantica - Semantica operazionale del nucleo di Java p.33/83 Esempio: Comando iterativo 3 In generale, il fatto che una configurazione sia bloccata o meno dipende dallo stato: la configurazione x / y,σ è bloccata se, nello stato σ, il valore associato ad y è 0, non lo è altrimenti. Errori di questo tipo sono detti dinamici, in quanto rilevabili solo al momento dell esecuzione. Un altra categoria di errori dinamici corrisponde a configurazioni che danno origine ad una sequenza infinita di passi di derivazione. (d2): while (x>0) x=x-1;, {x 0.Ω com { (com while ff ) : E [x > 0]{x 0.Ω = ff {x 0.Ω Università degli Studi di Camerino - Corso di Laurea in Informatica - Programmazione - Semantica - Semantica operazionale del nucleo di Java p.36/83 Università degli Studi di Camerino - Corso di Laurea in Informatica - Programmazione - Semantica - Semantica operazionale del nucleo di Java p.34/83

10 Cicli Nella nostra semantica operazionale le configurazioni bloccate corrispondenti ai due tipi di errori dinamici appena visti non sono distinguibili, anche se esse corrispondono a situazioni diverse dal punto di vista del calcolo. Cicli Si consideri ad esempio la configurazione while(x > 0)x = x +1;, {x 2.Ω L unica regola del sistema S com potenzialmente applicabile è chiaramente (com while tt ), dal momento che E [x > 0]{x 2.Ω = tt. L applicazione della regola (com while tt ) richiede però, tra le premesse, di determinare una transizione del tipo while (x > 0) x = x +1;, {x 3.Ω com σ, per qualche σ. Università degli Studi di Camerino - Corso di Laurea in Informatica - Programmazione - Semantica - Semantica operazionale del nucleo di Java p.39/83 Università degli Studi di Camerino - Corso di Laurea in Informatica - Programmazione - Semantica - Semantica operazionale del nucleo di Java p.37/83 Dimostrazione di equivalenza La semantica operazionale può essere utilizzata per dimostrare proprietà interessanti, come ad esempio l equivalenza tra espressioni e/o comandi. Informalmente, diciamo che due comandi (espressioni) sono equivalenti se hanno lo stesso comportamento in qualunque contesto, ovvero a partire dallo stesso stato iniziale. Cicli Anche in questo caso l unica regola potenzialmente applicabile è (com while tt ) (essendo E [x > 0]{x 3.Ω = tt), ed ancora una delle sue premesse corrisponde a determinare una transizione del tipo while (x > 0) x = x +1;, {x 4.Ω com σ. Questo procedimento non ha mai termine (dal momento che nessuno degli stati intermedi del calcolo corrisponde mai ad una situazione in cui la guardia del comando ha valore ff ). Università degli Studi di Camerino - Corso di Laurea in Informatica - Programmazione - Semantica - Semantica operazionale del nucleo di Java p.40/83 Università degli Studi di Camerino - Corso di Laurea in Informatica - Programmazione - Semantica - Semantica operazionale del nucleo di Java p.38/83

11 com C 1,σ σ[ 5 / x ] C 2,σ Derivazioni { (com if tt ), E [true]σ = tt, (com = ) : E [5]σ = 5, x = 5;,σ com σ[ 5 / x ] com { (com = ) : E [5]σ = 5 σ[ 5 / x ] Definizione di equivalenza Due comandi C e C sono equivalenti se, per ogni stato σ, vale una delle seguenti condizioni: a) né C,σ né C,σ portano in una configurazione terminale; b) C,σ e C,σ portano nella stessa configurazione terminale. Università degli Studi di Camerino - Corso di Laurea in Informatica - Programmazione - Semantica - Semantica operazionale del nucleo di Java p.43/83 Conclusione In questo caso, nelle due derivazioni non abbiamo fatto alcuna ipotesi sullo stato iniziale σ ed abbiamo ottenuto lo stesso stato finale: i due comandi, quindi, a partire da un generico stato portano nella stessa configurazione terminale. Università degli Studi di Camerino - Corso di Laurea in Informatica - Programmazione - Semantica - Semantica operazionale del nucleo di Java p.41/83 Esempio Consideriamo ad esempio i due comandi seguenti: C 1 : if (true) x=5; else x=6; C 2 : x=5; e dimostriamone l equivalenza. Sia dunque σ un generico stato e valutiamo C 1,σ e C 2,σ. Università degli Studi di Camerino - Corso di Laurea in Informatica - Programmazione - Semantica - Semantica operazionale del nucleo di Java p.44/83 Università degli Studi di Camerino - Corso di Laurea in Informatica - Programmazione - Semantica - Semantica operazionale del nucleo di Java p.42/83

12 Conclusioni Abbiamo così concluso che i due comandi portano nello stesso stato finale, a partire da un generico stato iniziale in cui E [x > 2]σ = tt. Ciò non conclude tuttavia la dimostrazione, che deve considerare anche tutti gli altri stati, ovvero quelli in cui E [x > 2]σ = ff. Sia allora σ un generico stato in cui E [x > 2]σ = ff. Esempio Consideriamo i due comandi seguenti: C 1 : if (x>2) y=1; else y=2; C 2 : if (x<=2) y=2; else y=1; La dimostrazione di equivalenza avviene ragionando per casi: consideriamo dapprima uno stato σ tale che E [x > 2]σ = tt. Università degli Studi di Camerino - Corso di Laurea in Informatica - Programmazione - Semantica - Semantica operazionale del nucleo di Java p.47/83 Università degli Studi di Camerino - Corso di Laurea in Informatica - Programmazione - Semantica - Semantica operazionale del nucleo di Java p.45/83 C 1,σ Derivazioni com { (com if ff ), E [x > 2]σ = ff, (com = ) : E [2]σ = 2, y = 2;,σ com σ[ 2 / y ] σ[ 2 / y ] com C 1,σ σ[ 1 / y ] Derivazioni { (com if tt ), E [x > 2]σ = tt, (com = ) : E [1]σ = 1, y = 1;,σ com σ[ 1 / y ] com C 2,σ σ[ 2 / y ] { (com if tt ), E [x<=2]σ = tt, (com = ) : E [2]σ = 2, y = 2;,σ com σ[ 2 / y ] C 2,σ com { (com if ff ), E [x<=2]σ = ff, (com = ) : E [1]σ = 1, y = 1;,σ com σ[ 1 / y ] σ[ 1 / y ] Università degli Studi di Camerino - Corso di Laurea in Informatica - Programmazione - Semantica - Semantica operazionale del nucleo di Java p.48/83 Università degli Studi di Camerino - Corso di Laurea in Informatica - Programmazione - Semantica - Semantica operazionale del nucleo di Java p.46/83

13 Esempio Equivalenza debole Vediamo un ultimo esempio, in cui è ancora necessario un ragionamento per casi. Consideriamo i due comandi: C 1 : if (E) x=true; else x=false; C 2 : x=e; dove E è una qualsiasi espressione booleana. Un altro tipo di equivalenza, più debole, è quella che si limita a considerare i due costrutti (comandi o espressioni) in un particolare stato. Consideriamo ad esempio le due espressioni: E 1 = (x +8) / y E 2 = ((x y) +y) / 2 e dimostriamone l equivalenza rispetto ad uno stato σ tale che σ(x) = 5 e σ(y) = 2. Università degli Studi di Camerino - Corso di Laurea in Informatica - Programmazione - Semantica - Semantica operazionale del nucleo di Java p.51/83 Università degli Studi di Camerino - Corso di Laurea in Informatica - Programmazione - Semantica - Semantica operazionale del nucleo di Java p.49/83 Analisi per casi Consideriamo un generico stato σ e scindiamo la dimostrazione in tre casi. (i) E [E]σ non è definita. In questo caso entrambi i comandi non portano in alcuna configurazione terminale. (ii) E [E]σ = tt. In questo caso abbiamo due derivazioni (iii) E [E]σ = ff. In questo caso abbiamo due derivazioni Conclusioni Abbiamo visto che: E 1,σ exp 6 E 2,σ exp 6 insieme forniscono l equivalenza di E 1 ed E 2 in σ. Si noti che gli stati σ tali che σ(x) = 5 e σ(y) = 2 sono infiniti, ma questo non basta per dimostrare l equivalenza di E 1 ed E 2 in tutti i possibili stati. Infatti, in uno stato σ tale che σ (x) = 1 e σ (y) = 1 le due espressioni danno un risultato diverso (verificarlo per esercizio). Università degli Studi di Camerino - Corso di Laurea in Informatica - Programmazione - Semantica - Semantica operazionale del nucleo di Java p.52/83 Università degli Studi di Camerino - Corso di Laurea in Informatica - Programmazione - Semantica - Semantica operazionale del nucleo di Java p.50/83

14 Semantica delle dichiarazioni Derivazioni caso (ii) frame e stato servono per modellare associazioni tra nomi e valori. Il costrutto linguistico è la dichiarazione la dichiarazioni di variabili corrisponde ad associazioni modificabili nello stato la modifica delle associazioni avviene mediante il comando di assegnamento non analizzeremo le dichiarazioni di costanti, corrispondenti ad associazioni non modificabili. ad ogni nome è associato un tipo, ovvero l insieme dei valori che possono essere associati ci limiteremo solo ai tipi int e boolean com C 1,σ σ[ tt / x ] C 2,σ { (com if tt ), E [E]σ = tt, (com = ): E [true]σ = tt, x = true;,σ com σ[ tt / x ] com { (com = ): E [E]σ = tt, x = E;,σ com σ[ tt / x ] σ[ tt / x ] Università degli Studi di Camerino - Corso di Laurea in Informatica - Programmazione - Semantica - Semantica operazionale del nucleo di Java p.55/83 Università degli Studi di Camerino - Corso di Laurea in Informatica - Programmazione - Semantica - Semantica operazionale del nucleo di Java p.53/83 Sintassi della dichiarazione Derivazioni caso (iii) La sintassi di una dichiarazione è data dalle seguenti produzioni: Decl ::= int Ide; boolean Ide; int Ide = Exp; boolean Ide = Exp; C 1,σ com { (com if ff ), E [E]σ = ff, (com = ): E [false]σ = ff, x = false;,σ com σ[ ff / x ] σ[ ff / x ] C 2,σ com { (com = ): E [E]σ = ff, x = E;,σ com σ[ ff / x ] σ[ ff / x ] Università degli Studi di Camerino - Corso di Laurea in Informatica - Programmazione - Semantica - Semantica operazionale del nucleo di Java p.56/83 Università degli Studi di Camerino - Corso di Laurea in Informatica - Programmazione - Semantica - Semantica operazionale del nucleo di Java p.54/83

15 { Dichiarazione errata int x; x = 10; y = x + 5; int y; La dichiarazione della variabile y segue il suo utilizzo. Dichiarazioni nei blocchi Ogni identificatore di variabile, prima di essere utilizzato in una espressione o in un comando, deve essere dichiarato Una dichiarazione può essere fatta in un qualunque punto di una sequenza all interno di un blocco Dal punto di vista sintattico, ciò comporta la seguente modifica delle produzioni già date: Block ::= {Stat_List Stat_List ::= Stat Stat Stat_List Stat ::= Com Decl L utilizzo di un nome all interno di un assegnamento o di una espressione è lecito solo se tale nome è stato prima dichiarato Università degli Studi di Camerino - Corso di Laurea in Informatica - Programmazione - Semantica - Semantica operazionale del nucleo di Java p.59/83 Università degli Studi di Camerino - Corso di Laurea in Informatica - Programmazione - Semantica - Semantica operazionale del nucleo di Java p.57/83 Blocchi annidati Esempio di dichiarazioni { int x; x = 10; {... int y; y = x + 5; { int x; x = 10; int y; y = x + 5; La dichiarazione di ciascuna variabile deve precedere il suo uso. Università degli Studi di Camerino - Corso di Laurea in Informatica - Programmazione - Semantica - Semantica operazionale del nucleo di Java p.60/83 Università degli Studi di Camerino - Corso di Laurea in Informatica - Programmazione - Semantica - Semantica operazionale del nucleo di Java p.58/83

16 Esempio di dichiarazioni annidate Regole delle dichiarazioni { int x; x = 10; { x = y+1; int y; y = x + 5; L assegnamento x=y+1 è errato Generalmente le dichiarazioni seguono le seguenti regole nel bloccho interno viene dichiarata la variabile y ed usata la variabile x (con riferimento all esempio precedente) alla fine di un blocco tutte le variabili in esso dichiarate cessano di esistere Bisogna dare regole semantiche per descrivere formalmente questi comportamenti. Università degli Studi di Camerino - Corso di Laurea in Informatica - Programmazione - Semantica - Semantica operazionale del nucleo di Java p.63/83 Esempio di dichiarazioni annidate Università degli Studi di Camerino - Corso di Laurea in Informatica - Programmazione - Semantica - Semantica operazionale del nucleo di Java p.61/83 Regole delle dichiarazioni { int x; x = 10; { int z; z = 20; int y; y = z + 5; Nel seguito indicheremo con: locali tutte le variabili dichiarate all interno di un blocco globali tutte le variabili visibili nel blocco ma non dichiarate in esso L assegnamento y = z + 5 è errato Università degli Studi di Camerino - Corso di Laurea in Informatica - Programmazione - Semantica - Semantica operazionale del nucleo di Java p.64/83 Università degli Studi di Camerino - Corso di Laurea in Informatica - Programmazione - Semantica - Semantica operazionale del nucleo di Java p.62/83

17 Formalizzazione delle dichiarazioni Per i tipi elementari T nel nostro caso int o boolean possono essere dichiarate variabili senza inizializzazione per indicare un valore iniziale non definito verrà indicato con Formalizzazione delle dichiarazioni Formalizzazione delle dichiarazioni mediante la semantica operazionale introduzione del sistema di transizione S dec aggiungere nel frame una associazione per ogni dichiarazione le configurazioni non terminali di S dec sono del tipo D,σ dove D è un dichiarazione e σ è uno stato le configurazioni terminali sono stati Università degli Studi di Camerino - Corso di Laurea in Informatica - Programmazione - Semantica - Semantica operazionale del nucleo di Java p.67/83 Università degli Studi di Camerino - Corso di Laurea in Informatica - Programmazione - Semantica - Semantica operazionale del nucleo di Java p.65/83 Regole per la dichiarazione σ = ϕ.σ σ = ϕ[ / x ].σ (dec var 1 ) T x;,σ dec σ σ = ϕ.σ E,σ exp v σ = ϕ[ v / x ].σ (dec var 2 ) T x = E;,σ dec σ Formalizzazione delle dichiarazioni Bisogna tenere presente che: la dichiarazione fissa il tipo dei valori che può assumere non associeremo l informazione del tipo alla variabile (nel nostro caso) vi sono due tipi di contesti in è definita la semantica semantica statica coerenza dei tipi semantica dinamica assegnamento. Università degli Studi di Camerino - Corso di Laurea in Informatica - Programmazione - Semantica - Semantica operazionale del nucleo di Java p.68/83 Università degli Studi di Camerino - Corso di Laurea in Informatica - Programmazione - Semantica - Semantica operazionale del nucleo di Java p.66/83

18 Regole Dove agiscono La regola (com Block ) formalizza che: un blocco viene eseguito in uno stato nel quale è stato impilato un nuovo frame nel blocco sono presenti le dichiarazioni nello stato dopo il blocco cessano le variabili locali mentre permangono le modificha apportate alla variabilo globali Le dichiarazioni vengono fatte nei blocchi quindi vengono modificate le regole (com Block ) e (com Stat List ). ogni blocco introduce un frame che conterrà le associazioni con le variabili dichiarate la variabile cessa di esistere terminata l esecuzione del blocco le liste di dichiarazioni e comandi (elementi di Stat_list) sono trattate da un sottosistema Università degli Studi di Camerino - Corso di Laurea in Informatica - Programmazione - Semantica - Semantica operazionale del nucleo di Java p.71/83 Università degli Studi di Camerino - Corso di Laurea in Informatica - Programmazione - Semantica - Semantica operazionale del nucleo di Java p.69/83 Esempio: dichiarazioni annidate Liste di dichiarazioni e/o comandi Esempio con rappresentazione grafica del frame e dello stato { int x; x = 5; { (1) int y; y = x + 5; (2) x = x + y; (3) (4) x = 2*x; (5) Slist, ω.σ slist ϕ.σ (com Block ) {Slist, σ com σ S Decl S, σ dec σ (slist dec ) S, σ slist σ S Com S, σ com σ (slist com ) S, σ slist σ S, σ slist σ Slist, σ slist σ (slist list ) S Slist, σ slist σ Università degli Studi di Camerino - Corso di Laurea in Informatica - Programmazione - Semantica - Semantica operazionale del nucleo di Java p.72/83 Università degli Studi di Camerino - Corso di Laurea in Informatica - Programmazione - Semantica - Semantica operazionale del nucleo di Java p.70/83

19 Esempio 3 Esempio 1 Dopo l esecuzione dell assegnamento (3) abbiamo il seguente stato: y 10 x 15 Supponiamo che tale blocco venga eseguito a partire dallo stato vuoto, Ω. Lo stato al punto (1), al momento cioè dell ingresso nel blocco annidato, è il seguente: x 5 Università degli Studi di Camerino - Corso di Laurea in Informatica - Programmazione - Semantica - Semantica operazionale del nucleo di Java p.75/83 Università degli Studi di Camerino - Corso di Laurea in Informatica - Programmazione - Semantica - Semantica operazionale del nucleo di Java p.73/83 Esempio 4 Esempio 2 All uscita del blocco annidato, punto (4), il frame precedentemente creato cessa di esistere x 15 Dopo l esecuzione dell assegnamento (2), lo stato si presenta come segue: y 10 x 5 Si noti come l ingresso nel blocco annidato abbia causato la creazione di un nuovo frame, destinato a contenere le variabili dichiarate, appunto, in tale blocco (nel caso specifico y) Università degli Studi di Camerino - Corso di Laurea in Informatica - Programmazione - Semantica - Semantica operazionale del nucleo di Java p.76/83 Università degli Studi di Camerino - Corso di Laurea in Informatica - Programmazione - Semantica - Semantica operazionale del nucleo di Java p.74/83

20 Esempio: ridichiarazione annidata Esempio 5 { int x = 10; int y = 20; { (1) int x = 100; (2) y = y + x; (3) y = y + x; (4) ed è in quest ultimo stato che viene eseguito l assegnamento (5), a seguito del quale abbiamo lo stato conclusivo x 30 Università degli Studi di Camerino - Corso di Laurea in Informatica - Programmazione - Semantica - Semantica operazionale del nucleo di Java p.79/83 Università degli Studi di Camerino - Corso di Laurea in Informatica - Programmazione - Semantica - Semantica operazionale del nucleo di Java p.77/83 Esempio 1 Esempio: ridichiarazione annidata Lo stato al punto (1), al momento cioè dell ingresso nel blocco annidato, è il seguente: x 10 y 20 Vediamo infine un esempio che mostra come la semantica data consenta anche di trattare il caso di blocchi annidati in cui uno stesso identificatore viene ridefinito (purchè non nello stesso blocco). Questa possibilità, è nella tradizione dei linguaggi imperativi quali Algol, Pascal e C, e viene contemplata anche in Java. Università degli Studi di Camerino - Corso di Laurea in Informatica - Programmazione - Semantica - Semantica operazionale del nucleo di Java p.80/83 Università degli Studi di Camerino - Corso di Laurea in Informatica - Programmazione - Semantica - Semantica operazionale del nucleo di Java p.78/83

21 Esempio 4 Esempio 2 Dopo l uscita dal blocco annidato, il frame corrispondente cessa di esistere e dunque il riferimento ad x in (4) è ora un riferimento alla dichiarazione di x del blocco più esterno. L effetto dell assegnamento (4) è dunque rappresentato dal seguente stato: x 10 y 130 Dopo l esecuzione della dichiarazione (2), lo stato si presenta come segue: x 100 x 10 y 20 Si noti che la nuova variabile x fa parte del frame più recente, corrispondente al blocco annidato. Università degli Studi di Camerino - Corso di Laurea in Informatica - Programmazione - Semantica - Semantica operazionale del nucleo di Java p.83/83 Università degli Studi di Camerino - Corso di Laurea in Informatica - Programmazione - Semantica - Semantica operazionale del nucleo di Java p.81/83 Esempio 3 In questo stato viene eseguito l assegnamento (3), il cui effetto è rappresentato dal nuovo stato: x 100 x 10 y 120 Si noti che, nell espressione y+x, il riferimento ad x è un riferimento alla dichiarazione più recente per x. Università degli Studi di Camerino - Corso di Laurea in Informatica - Programmazione - Semantica - Semantica operazionale del nucleo di Java p.82/83