Tabelle Hash! Presentare le tabelle hash e la nozione di funzione di hashing Discutere la complessità di questa realizzazione per le Tavole

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1 Tabelle Hash! n Obiettivi: Presentare le tabelle hash e la nozione di funzione di hashing Discutere la complessità di questa realizzazione per le Tavole 1

2 Tavole! n Una tavola è un tipo di dato astratto per rappresentare insiemi di coppie: <chiave, attributi> n Ciascuna coppia rappresenta dati riferiti ad un unica entità logica (ad es., persona, documento, etc.) identificata in modo univoco dalla chiave. Ad esempio: Nome Cognome Reddito AliquotaMax Mario Rossi Silvio Berlusconi (dati redditi 2009, Sole24Ore e La Stampa) 2

3 Il tipo dato Dizionario (Tavola)! 3

4 Realizzazioni della Tavola! Tempo richiesto dall operazione più costosa: Liste O(n) Alberi binari di ricerca bilanciati O(log 2 n) Tabelle hash 1 4

5 F Tavole: rappresentazione sequenziale! n In memoria centrale, realizzabile con vettori Si impone un limite massimo alla dimensione della tavola (al massimo N elementi) Lo spazio di memoria occupato è fisso (indipendente dal numero di elementi della tavola) n In memoria secondaria, attraverso file sequenziali n Ricerca sequenziale (caso peggiore, O(N) ) 5

6 n n F Tavole: rappresentazione sequenziale! In memoria centrale, realizzabile con vettori Liste Si impone un limite massimo alla dimensione della tavola (al massimo N elementi) Lo spazio di memoria occupato è fisso (indipendente dal numero di elementi della tavola) In memoria secondaria, attraverso file sequenziali n Ricerca sequenziale (caso peggiore, O(N) ) 6

7 n n F Tavole: rappresentazione sequenziale! In memoria centrale, realizzabile con vettori Liste Si impone un limite massimo alla dimensione della tavola (al massimo N elementi) Lo spazio di memoria occupato è fisso (indipendente dal numero di elementi della tavola) In memoria secondaria, attraverso file sequenziali n Ricerca sequenziale (caso peggiore, O(N) ) n Visibilità completa della struttura dati (sia come dato sia come tipo) 7

8 main! #include <stdio.h> #include <string.h> typedef struct { char nome[20]; char tel[16]; } elemento; #define N 100 typedef elemento rubrica[n];... void main(void) {int scelta, inseriti, fine; rubrica R; strcpy(r[0].nome, Evelina ); inseriti=0;... } 8

9 n n F Tavole: rappresentazione sequenziale! In memoria centrale, realizzabile con vettori Liste Si impone un limite massimo alla dimensione della tavola (al massimo N elementi) Lo spazio di memoria occupato è fisso (indipendente dal numero di elementi della tavola) In memoria secondaria, attraverso file sequenziali n Ricerca sequenziale (caso peggiore, O(N) ) n Componenti software (astrazioni di dato e ADT) Visibilità completa della struttura dati (sia come dato sia come tipo) 9

10 n n F Tavole: rappresentazione indicizzata! In memoria centrale, realizzabile solo attraverso vettori Contenuto ordinato, accesso diretto alla i-esima componente In memoria secondaria, attraverso file binari Inserimento ordinato, accesso diretto alla i-esima componente n Se dati ordinati sulla chiave, ricerca binaria (caso peggiore, O(log2 N)) 10

11 n F Tavole: rappresentazione indicizzata! E possibile migliorare ulteriormente la complessità della ricerca? n Tavola ordinata, applicabile la ricerca binaria (caso peggiore, O(log2 N)) n Diversa organizzazione, con una sovrastruttura: tavola hash, data la chiave una funzione calcola qual è il bucket in cui scrivere/leggere l elemento con quella chiave oppure struttura secondaria di accesso tramite indice (alberi di ricerca) n Si abbassa il costo della ricerca, ma gestione più complessa 11

12 Tabelle ad accesso diretto! n Sono implementazioni di dizionari (tavole) basati sulla proprietà di accesso diretto alle celle di un array n Idea: dizionario memorizzato in array V di m celle a ciascun elemento è associata una chiave intera nell intervallo [0,m-1] elemento con chiave k contenuto in V[k] al più n m elementi nel dizionario 12

13 Implementazione! Tavola 13

14 Pro e contro! Pro: Tutte le operazioni richiedono tempo O(1) Contro: Le chiavi devono essere necessariamente interi in [0, m-1] Lo spazio utilizzato è proporzionale al numero di chiavi (m) non al numero di elementi (n) Grande spreco di memoria! 14

15 Fattore di carico! n Il grado di riempimento di una tabella è infatti dato dal fattore di carico: num. elementi num. chiavi α = n /m n (n, numero di elementi della tavola; m, numero di chiavi dell array) n Esempio: tabella con nomi di cento studenti indicizzati da numeri di matricola a 6 cifre, n=100 m=10 6 α = 0,0001 = 0,01% n Si occupa solo lo 0,01% dell array 15

16 Tabelle hash (hash map)! n Fa corrispondere una data chiave con un dato valore (indice) attraverso una funzione hash n L idea: Chiavi prese da un universo totalmente ordinato U (possono anche non essere numeri) Funzione hash: h: U [0, m-1] (funzione che trasforma chiavi in indici) Elemento con chiave k in posizione V[h(k)] n Usate per l'implementazione di strutture dati associative astratte come Map o Set (vedi parte Java sulla JCF) 16

17 Funzioni Hash! Mappe basate su funzioni hash Mappe basate su indici (strutture dati aggiuntive, spesso realizzate con alberi)

18 Funzioni Hash perfette! n Idealmente, chiavi diverse dovrebbero essere trasformate in indirizzi differenti: u v h(u) h(v) n La cardinalità dell insieme delle possibili chiavi dovrebbe essere molto più piccolo del numero di chiavi da memorizzare: U m n Raramente praticabile n Se la funzione hash non perfetta applicata a due chiavi diverse può generare il medesimo indirizzo, si ha collisione 18

19 Esempio! n Tabella hash con elementi aventi come chiavi lettere dell alfabeto U={A,B,C, } n Funzione hash non perfetta (ma buona in pratica per m primo): h(k) = ascii(k) mod m n Ad esempio, per m=11: h( C ) = h( N ) se volessimo inserire sia C and N nel dizionario avremmo una collisione n Gestione delle collisioni 19

20 Gestione delle collisioni! Esempio: attraverso liste di collisione Ma possibili anche altri metodi (ad esempio, indirizzamento aperto, passa alla casella successiva se libera) 20

21 Gestione delle collisioni! n Liste di collisione, gli elementi in sono contenuti in liste esterne alla tabella: V[i] punta alla lista degli elementi tali che h(k)=i n Indirizzamento aperto, tutti gli elementi sono contenuti nella tabella: se una cella è occupata, se ne cerca un altra libera n Aumenta il costo delle operazioni (ricerca, cancellazione, inserimento) rispetto al caso ideale (O(1)) che si ha con funzioni hash perfette 21

22 Uniformità! n L'hashing è un problema classico dell'informatica (hashing utilizzato anche dai programmi di gestione di basi di dati) n Per ridurre la probabilità di collisioni, una buona funzione hash dovrebbe essere in grado di distribuire in modo uniforme le chiavi nello spazio degli indici del vettore n Non vedremo realizzazioni in C, ma ritroveremo le tavole hash nella JCF 22