ADT Mappa. Le chiavi (il mezzo per accedere agli elementi) hanno lo scopo di rendere efficiente la ricerca. Strutture Dati

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1 ADT Mappa Una mappa è un contenitore di elementi del tipo (k,v) dove k è la chiave e v è il suo corrispondente valore ogni elemento (k,v) viene detto entrata (entry) della mappa entrate multiple con la stessa chiave non sono permesse Le chiavi (il mezzo per accedere agli elementi) hanno lo scopo di rendere efficiente la ricerca

2 ADT Mappa Metodi fondamentali get(k): se la mappa M ha una entrata con chiave k, restituisce il valore associato alla chiave; atrimenti, restituisce null put(k, v): se la chiave k non è già in M inserisce l'entrata (k, v) nella mappa M e restituisce null, altrimenti rimpiazza con v il valore esistente e restituisce il vecchio valore associato a k remove(k): se la mappa M ha una entrata con chiave k, la rimuove da M e restituisce il valore ad essa associato; altrimenti, restituisce null

3 ADT Mappa Metodi fondamentali size(), isempty() keys(): restituisce una collezione iterabile delle chiavi in M (keys().iterator restituisce un iteratore sulle chiavi) values(): restituisce una collezione iterabile dei valori in M (values().iterator() restituisce un iteratore sui valori) entries(): restituisce una collezione iterabile delle entrate chiavevalore di M (entries().iterator() restituisce un iteratore sulle entrate)

4 ADT Mappa Interfaccia public interface Map<K, V> { public int size(); public boolean isempty(); public V put(k key, V value) throws InvalidKeyException; public V get(k key) throws InvalidKeyException; public V remove(k key) throws InvalidKeyException; public Iterable<K> keys(); public Iterable<V> values(); } public Iterable<Entry<K,V>> entries();

5 ADT Mappa Implementazione mediante lista doppiamente conc. L'implementazione mediante lista non ordinata è molto semplice: 9 v 6 v 5 v 8 v entrate

6 ADT Mappa Implementazione mediante lista doppiamente conc. lista S 9 v 6 v 5 v 8 v iteratore sulle Algorithm get(k): posizioni in S foreach position p in S.positions()) do if p.element().getkey() = k then return p.element().getvalue() return null {non esiste alcuna entrata con chiave k}

7 ADT Mappa Implementazione mediante lista doppiamente conc. Algorithm put(k,v): foreach position p in S.positions() do if p.element().getkey() = k then t := p.element().getvalue() S.set(p, (k,v)) return t {restituisce il vecchio valore} S.addLast((k,v)) n := n + 1 {incrementa la variabile che indica il numero di entrate} return null {non esisteva alcuna entrata con chiave k}

8 ADT Mappa Implementazione mediante lista doppiamente conc. Algorithm remove(k): foreach position p in S.positions() do if p.element().getkey() = k then t := p.element().getvalue() S.remove(p) n := n 1 {decrementa il numero di entrate} return t {restituisce il valore rimosso} return null {non esiste alcuna entrata con chiave k}

9 ADT Mappa Implementazione mediante lista doppiamente conc. Complessità: put richiede il tempo necessario per verificare che la chiave non sia già nella mappa (O(n) nel caso pessimo) (poiché la lista non è ordinata possiamo inserire la nuova entrata all'inizio o alla fine della lista) get e remove richiedono tempo O(n) (nel caso pessimo la chiave non viene trovata) si scandisce l'intera lista L'implementazione mediante lista non ordinata è conveniente solo per mappe di piccola taglia o mappe in cui le operazioni più frequenti sono le put, mentre ricerche e rimozioni sono più rare (per esempio, record delle login a una workstation)

10 ADT Mappa Implementazione mediante tabella hash Uno dei modi più efficienti per implementare una Mappa è di usare una tabella hash Una tabella hash per un dato tipo di chiave è composta da un array (chiamato bucket array) una funzione hash h

11 Tabella hash Bucket array Bucket array (ciascuna cella è un contenitore di coppie (k,v)) (k1,d) (k2,a) (k3,f) (k4,p) (k5,w) (k6,g) (k7,s)

12 Tabella hash Bucket array (semplice soluzione) Le chiavi sono tutte distinte e scelte nell'intervallo [0, n 1]: abbiamo bisogno di un bucket array di dimensione n l'entrata con chiave k verrà inserita nella k-esima cella dell'array tutte le operazioni richiedono tempo O(1) Bucket array (ciascuna cella è un contenitore di coppie (k,v)) (0,d) (1,a) (3,f) (4,p) (7,w) (8,g) (10,s)

13 Tabella hash Bucket array Esempio: tabella hash per memorizzare informazioni (telefono, indirizzo, n. esami superati,...) per ogni studente iscritto Bucket array possiamo usare la matricola come chiave: lo studente con matricola xxxxxx viene memorizzato nella cella xxxxxx del bucket array ci serve un array di dimensione !

14 Tabella hash Bucket array Problemi: 1) lo spazio sarà sempre proporzionale a n (numero di tutte le chiavi possibili) se n è molto più grande del numero di chiavi realmente presenti si ha un notevole spreco di memoria numero chiavi: n = numero studenti iscritti: N = 500 2) non sempre le chiavi sono interi nell'intervallo [0, n 1]

15 Tabella hash Funzione hash Una funzione hash h associa chiavi di tipo arbitrario ad interi in un fissato intervallo [0, N 1] Esempio: h(x) = x mod N è una semplice funzione hash per chiavi intere L'intero h(x) viene chiamato valore hash della chiave x

16 Tabella hash Funzione hash In generale una funzione hash opera in due fasi: hash code: trasforma oggetti arbitrari (stringhe, posizioni,...) in interi (risolve il problema 2 della diapositiva n. 14) compressione: trasforma interi in un intervallo arbitrariamente grande in interi dell'intervallo [0, N 1] (risolve il problema 1 della diapositiva n. 14)

17 Tabella hash Funzione hash oggetti arbitrari n hash code funzione di compressione N - 1

18 Tabella hash Funzione hash Quando implementiamo una mappa con una tabella hash, lo scopo è di memorizzare l'entrata (k, v) all'indice i = h(k) dell'array Esempio Usiamo una tabella hash per una mappa che memorizza entrate (matricola, studente) (k, v) La tabella usa un array di taglia N = 1,000 con funzione hash h(k) = le ultime tre cifre di k

19 Funzione hash Collisione Cosa succede se dobbiamo inserire una entrata con chiave ? h(x) = le ultime tre cifre di x

20 Funzione hash Collisione Cosa succede se dobbiamo inserire una entrata con chiave ? Si verifica una collisione: due chiavi distinte hanno lo stesso valore hash, e quindi sono associate alla stessa cella h(x) = le ultime tre cifre di x k = k 2 = h(k ) = 1 h(k 2 )

21 Funzione hash Trattamento delle collisioni Separate Chaining Ciascuna cella A[i] ospita una lista L i contenente tutte le entrate (k,v) tali che h(k) = i

22 Funzione hash Trattamento delle collisioni Linear Probing Quando si tenta di inserire una entrata (k,v) in una cella A[i] già occupata (cioè tale che h(k) = i), si prova con la cella A[(i+1)] mod N, se anche questa è occupata si passa alla cella A[(i+2)] mod N e così via fino a trovarne una vuota

23 Funzione hash Trattamento delle collisioni Linear Probing Quando si tenta di inserire una entrata (k,v) in una cella A[i] già occupata (cioè tale che h(k) = i), si prova con la cella A[(i+1)] mod N, se anche questa è occupata si passa alla cella A[(i+2)] mod N e così via fino a trovarne una vuota

24 Funzione hash Trattamento delle collisioni Linear Probing Quando si tenta di inserire una entrata (k,v) in una cella A[i] già occupata (cioè tale che h(k) = i), si prova con la cella A[(i+1)] mod N, se anche questa è occupata si passa alla cella A[(i+2)] mod N e così via fino a trovarne una vuota