Confronto tra le proporzioni in due popolazioni indipendenti (alcune note)

Transcript

1 Confronto tra le roorzioni in due oolazioni indiendenti (alcune note) Finora abbiamo visto come verificare iotesi su un articolare arametro (indicatore di una caratteristica qualità) di una oolazione sulla base di un singolo camione estratto da questa oolazione. Vediamo, ora, come verificare iotesi riguardanti la differenza tra due arametri di due oolazioni indiendenti. Questo studio, esattamente come nei casi visti finora, uò essere eseguito quando la caratteristica è continua e allora si fa un confronto fra medie Quando la caratteristica è di tio dicotomico (ossia soddisfatto/insoddisfatto) e allora si fa un confronto fra roorzioni.

2 In entrambi i casi suoniamo di osservare dei dati rovenienti da due oolazioni indiendenti. In sostanza - estraiamo un camione di numerosità n dalla oolazione - estraiamo un camione di numerosità n dalla oolazione Confronto tra due roorzioni. Cerchiamo di analizzare l eventuale differenza tra due oolazioni in termini di roorzioni di unità (casi) con una certa caratteristica. 3 In generale, se vogliamo effettuare il confronto tra due roorzioni in due camioni indiendenti, ossiamo costruire uno dei tre seguenti sistemi di iotesi: H : H : = 0 Iotesi alternativa bilaterale La statistica test è: H : H : = 0 < Z = 3 H : H : = 0 > Iotesi alternativa unilaterale ( ˆ ˆ ) + n n ( ) 4

3 Il metodo er decidere se accettare o meno H 0 è il seguente. Se si sceglie di lavorare con un livello di significatività α fissato: Sistema. Si rifiuta H 0 se z 0 > z α/ Sistema. Si rifiuta H 0 se z 0 < z α Sistema 3. Si rifiuta H 0 se z 0 > z α Altrimenti si uò decidere usando il valore P. 5 Esemio (da Statistica di Levine, Krehbiel, Berenson): Una società alberghiera ossiede cinque alberghi esclusivi situati in due isole. ecide di effettuare un analisi della soddisfazione della clientela in due alberghi (chiamiamoli A e B) situati su una stessa isola. Il resonsabile dei raorti con la clientela fa comilare agli ositi (sia di A sia di B) un questionario er la valutazione del servizio. La domanda su cui si concentra l attenzione è: Ha intenzione di visitare di nuovo il nostro albergo? (questa è la variabile di interesse è dicotomica erché ammette due sole rioste ossibili: SI o NO) 6 3

4 Si rilevano i seguenti dati: Albergo A: vengono intervistati 7 ositi (ossia n = 7) 63 ositi dichiarano di avere intenzione di ritornare 63 La roorzione di clienti disosti a tornare è ˆ = = Albergo B: vengono intervistati 6 ositi (ossia n = 6) 54 ositi dichiarano di avere intenzione di ritornare 54 La roorzione di clienti disosti a tornare è ˆ = = Possiamo affermare che nei due alberghi c è un livello di soddisfazione diverso? Per dare una risosta ossiamo eseguire una verifica di iotesi. Le iotesi da sottoorre a verifica sono: H : H : H : H : = 0 o, in modo equivalente 0 = 0 0 Notate che l iotesi alternativa H è bilaterale erché al resonsabile dei raorti con la clientela interessa saere se i due alberghi ottengono lo stesso livello di soddisfazione (non verifica se uno secifico albergo ha un risultato migliore dell altro) 8 4

5 Seguendo i assi visti nel caso della verifica di iotesi su un solo camione, saiamo che, come rima cosa, dobbiamo individuare la statistica test. Entrambi i camioni hanno dimensione elevata; allora ossiamo utilizzare l arossimazione normale. La statistica test sotto H 0 è la seguente: ˆ ˆ Z = ( ) + n n : = 0 H : 0 ˆ = =, numero di ositi albergo A n ˆ numero di ositi albergo A che tornerebbero numero di ositi albergo B che tornerebbero = = numero di ositi albergo B n = n + + n Stima della roorzione comune alle due oolazioni nel caso in cui =. In altre arole è il tasso di soddisfazione comlessivo nei due camioni. 9...continuiamo con il nostro esemio ˆ = = ˆ = = = = = z 0 = = = ( ) Suoniamo di fissare come livello di significatività, ad esemio α=0.05 Allora, siccome il test è bilaterale, dobbiamo calcolare z α/. Questo è

6 Sotto H 0 Area di rifiuto Prob= α/ Area di accettazione (Prob. = -α) Area di rifiuto Prob= α/ Vediamo che z 0 cade nella zona di rifiuto (area rossa). Pertanto i dati singono il resonsabile dei raorti con la clientela a concludere che, con livello di significatività fissato a 0.05, la roorzione di clienti soddisfatti nei due alberghi NON è uguale. In alternativa abbiamo visto che ossiamo calcolare il livello di significatività osservato (o valore P). Si trova: =

7 = indica che se H 0 fosse vera (ossia se le due roorzioni fossero uguali), la robabilità di osservare una z inferiore a 3.0 oure sueriore a 3.0 è ari a è molto iccolo (è inferiore sia a 0.05 sia a 0.0). Questo ci fa concludere che i dati ci singono in modo molto forte a rifiutare l iotesi di uguaglianza della soddisfazione della clientela nei due alberghi (soddisfazione misurata come intenzione di tornare ) 3 Vediamo l outut di un software, ad esemio Minitab. Per eseguire il calcolo con Minitab, occorre seguire il ercorso: Stat Basic Statistics Proortions Test and CI for Two Proortions Samle X N Samle , , ifference = () - () Estimate for difference: 0, % CI for difference: (0, ; 0,383) Test for difference = 0 (vs not = 0): Z = 3,0 P-Value = 0,

8 Confronto tra le medie in due oolazioni indiendenti 5 Analogamente a quanto visto finora, ossiamo verificare iotesi in merito al confronto tra la media di una stessa caratteristica in due oolazioni indiendenti. In tal caso la caratteristica di interesse X è quantitativa (quindi in qualche modo misurabile). Suoniamo di estrarre un camione di dimensione n dalla oolazione avente media µ e varianza σ. Suoniamo di estrarre un camione di dimensione n dalla oolazione avente media µ e varianza σ. 6 8

9 In generale, se vogliamo effettuare il confronto tra due medie in due camioni indiendenti, ossiamo costruire uno dei tre seguenti sistemi di iotesi: = µ H µ Iotesi alternativa bilaterale = µ H < µ = µ H > µ Iotesi alternativa unilaterale 3 7 Nel caso del confronto tra roorzioni la statistica test era basata sulla differenza tra le due roorzioni camionarie. In modo analogo, la statistica test er il confronto tra due medie si basa sulla differenza tra le due medie camionarie. La statistica test da utilizzare cambia a seconda che le varianze siano note o meno. Vediamo alcuni casi. 8 9

10 La statistica test sotto H o = µ è: Varianze note ( X X ) = σ σ Z n + n X e X sono le medie camionarie calcolate er il camione estratto dalla oolazione e er il camione estratto dalla oolazione risettivamente. Se i due camioni sono estratti in modo casuale da oolazioni normali allora Z ha distribuzione normale. Se le due oolazioni non hanno distribuzione normale allora Z avrà distribuzione arossimativamente normale (e quindi uò essere usata er rendere decisioni) se sia n sia n sono abbastanza grandi. 9 Il metodo er decidere se accettare o meno H 0 è semre lo stesso. Se si sceglie di lavorare con un livello di significatività α fissato: Sistema. Si rifiuta H 0 se z 0 > z α/ Sistema. Si rifiuta H 0 se z 0 < z α Sistema 3. Si rifiuta H 0 se z 0 > z α Altrimenti si uò decidere usando il valore P. 0 0

11 Varianze non note ma uguali In molti casi le varianze nelle due oolazioni non sono note ma vanno stimate con i dati camionari. Se assumiamo che: ) le due oolazioni sono normali e ) σ = σ allora t = ( X X ) S + n n X e X sono le medie camionarie calcolate er il camione dalla oolazione e er quello dalla oolazione risettivamente. S La statistica test sotto H o = µ è: ( ) + ( ) n S n S = n + n è la varianza combinata (media onderata degli stimatori varianza camionaria corretta S e S calcolati nei due camioni con esi roorzionali alle dimensioni dei due camioni) Se le due oolazioni hanno distribuzione normale allora t avrà distribuzione t di Student con n +n gradi di libertà. Se le due oolazioni non sono normali si otrà continuare ad usare questo test se sia n sia n sono abbastanza grandi. Il metodo er decidere se accettare o meno H 0 è semre lo stesso. Se si sceglie di lavorare con un livello di significatività α fissato: Sistema. Si rifiuta H 0 se t 0 > Sistema. Si rifiuta H 0 se t 0 < t α + Sistema 3. Si rifiuta H 0 se z 0 > t α,n + n,n n t α,n + n Altrimenti si uò decidere usando il valore P.

12 Varianze non note (non assumibili uguali) Quando non è ossibile assumere che le varianze nelle due oolazioni sono uguali allora se la numerosità dei due camioni è molto elevata La statistica test sotto H o = µ è: Z ( X X ) = s s n + n Questa, qualunque siano le oolazioni, ha, sotto H 0, distribuzione asintoticamente normale standardizzata. L arossimazione si uò ritenere adeguata se sia n sia n sono maggiori di 0. (Nel caso di camioni iccoli il roblema della ricerca di un test er la differenza tra medie non ha ancora una soluzione definitiva) 3 Esemio: il manager di un ufficio che eroga servizio al ubblico decide di abbassare il temo di attesa della clientela rima di essere servita. A questo scoo serimenta un ossibile miglioramento del servizio. Rileva il temo di attesa di clienti (n =) e confronta i dati con il temo di attesa di altri clienti (n =), rilevato rima della serimentazione del miglioramento. Gruo doo modifica: 6, 0, 5, 6,, 5, 3, 4, 9, 6, 5 Gruo rima della modifica: 5, 0, 5, 4, 8, 7, 4,, 6, 0, 8 = µ H < µ 4

13 Boxlot del temo di attesa doo e rima il miglioramento 6 4 Attesa oo Quando? Prima indica la media 5 Assumiamo che le due oolazioni abbiano distribuzione normale e stessa varianza. Possiamo usare il test t er verificare l iotesi di tio bilaterale: = µ H < µ Con Minitab occorre seguire il ercorso: Stat Basic Statistics -Samle t Two-Samle T-Test and CI: Attesa; Quando? Two-samle T for Attesa Quando? N Mean Stev SE Mean oo 5,55,34 0,7 Prima 8,09 3,45,0 ifference = mu (oo) - mu (Prima) Estimate for difference: -,55 95% uer bound for difference: -0,38 T-Test of difference = 0 (vs <): T-Value = -,03 P-Value = 0,08 F=0 Both use Pooled Stev =,9465 Il -value è abbastanza iccolo da farci concludere, se si rende un livello di significatività ari a 0,05, che il temo di attesa è significativamente diminuito. 6 3

14 Confronto tra le medie in due oolazioni diendenti 7 Vediamo, ora, come analizzare situazioni in cui si desideri confrontare le media mediante camioni diendenti (o correlati). Molto sesso in letteratura e nei software si arla di test er camioni aaiati. In quali situazioni uò caitare di dover analizzare camioni aaiati? La situazione che ricorre iù frequentemente è quella degli studi comarati rima-doo. 8 4

15 Una situazione tio si ha quando si vuole testare l efficacia di un trattamento (ad es. una ubblicità, una nuova olitica di comunicazione, una modifica gestionale, materiale informativo, ecc ). In tal caso uò essere effettuato uno studio sulle stesse unità camionarie. In articolare si rileva sulle stesse unità la medesima variabile in due occasioni temorali diverse: rima di somministrare il trattamento e doo la somministrazione del trattamento. Notiamo che in tale studio c è meno variabilità di quella che si avrebbe se si rendessero due camioni indiendenti in quanto non vi è iù la sorgente di variabilità dovuta allo secifico individuo ma rimane solo la comonente di variabilità relativa all effetto del trattamento. 9 Esemio: a 7 ersone viene chiesto di valutare un azienda rima e doo avere visionato due volte in una settimana un filmato di 5 minuti che illustra le olitiche future dell azienda. Individuo Valutazione (rima) Valutazione (doo) Nota: le due colonne di unteggi costituiscono due camioni (in linea teorica) ma er riga, i due di unteggi (rima e doo) sono correlati in quanto sono esressi dallo stesso individuo. La variabilità delle differenze non sarà elevata come quella che avrei se il rima e il doo venissero rilevati su ersone diverse. In questo caso, invece, si arte dal medesimo unto di vista iniziale sull azienda visto che il risondente è lo stesso. 30 5

16 L analisi statistica da effettuare quando i camioni sono aaiati è diversa da quella vista nel caso di camioni indiendenti. I due camioni devono avere la stessa amiezza e i unteggi delle unità devono essere aaiati. (Ciò è assicurato quando le unità rilevate sono le stesse nella rima e nella seconda analisi). Nonostante abbiamo due camioni, in ratica è come se su ciascuna unità avessimo rilevato una coia di variabili (X e Y) e quindi abbiamo il seguente camione: (X,Y ), (X,Y ),,(X i,y i ),,(X n,y n ) Siamo interessati alla differenza tra X e Y. 3 Introduciamo, quindi, la variabile differenza = X Y Il roblema di verifica di iotesi avrà ad oggetto rorio il valore medio della differenza. Il video avrà avuto effetto nel migliorare la valutazione degli individui in merito all azienda se il unteggio medio del doo è aumentato risetto al rima, ovverosia se la differenza dei due unteggi, rima(x) doo(y), ha media significativamente negativa. Il video non avrà, invece, avuto alcune effetto nel caso in cui la differenza dei due unteggi, rima(x) doo(y), abbia media non significativamente negativa. 3 6

17 Pertanto le iotesi sottooste a verifica, con riferimento a questo esemio, sono: H = 0 < 0 La statistica test che viene utilizzata è la seguente statistica t er camioni aaiati ( 0) t = = s s n n dove s è la deviazione standard camionaria della variabile, e la statistica t ha n gradi di libertà. Questo test è quindi un adattamento del test er una media al caso di confronto tra oolazioni diendenti. Un iotesi alla base di questo test è che abbia distribuzione normale. 33 Torniamo ai nostri dati camionari e calcoliamo le differenze d i e la loro media d e deviazione standard s Individuo i 3 4 Valutazione (rima) x i 3 7 Valutazione (doo) y i d i (x i y i ) d i d = = s ( ) = = 7 = Somme Con la lettera d indichiamo la determinazione camionaria della v.a

18 Il test uò essere facilmente eseguito usando il software Minitab cliccando su: Stat Basic Statistics Paired t Si ha il seguente outut: Paired T-Test and CI: X; Y Paired T for X - Y N Mean Stev SE Mean X 7 3,9 0,6 3,84 Y 7 9,4, 4,58 ifference 7-5,86 6,09,30 95% uer bound for mean difference: -,38 T-Test of mean difference = 0 (vs < 0): T-Value = -,54 P-Value = 0,0 Il P-value è iuttosto iccolo e orta a rifiutare H 0 er valori di α > Possiamo anche raresentare il box-lot delle differenze rima doo da cui vediamo che oltre il 75% della distribuzione delle differenze si trova sotto l iotesi H 0. Boxlot of ifferences (with Ho and 95% t-confidence interval for the mean) _ X Ho ifferences

19 In generale, se vogliamo effettuare il confronto tra due medie in due camioni diendenti, ossiamo costruire uno dei tre seguenti sistemi di iotesi: = k H k Iotesi alternativa bilaterale = k H < k 3 = k H > k Iotesi alternativa unilaterale Nota: nel caso in cui si voglia verificare se il trattamento non ha avuto alcun effetto (come nell esemio visto), si ha k = 0, ossia si verifica se la media delle differenze ossa essere ritenuta ari a 0 alla luce dei dati osservati. 37 La statistica test è di tio t di Student con n gradi di libertà sotto H 0 : t = ( k ) s n Il metodo er decidere se accettare o meno H 0 è semre lo stesso. Sistema. Si rifiuta H 0 se t 0 > Sistema. Si rifiuta H 0 se t 0 < Sistema 3. Si rifiuta H 0 se z 0 > Se k = 0, la statistica test è Se si sceglie di lavorare con un livello di significatività α fissato: t α,n t α,n t α,n Altrimenti si uò decidere usando il valore P. t = s n 38 9