1 Tesina 1: Tecniche di costruzione di riduzioni polinomiali. 2 Tesina 2: Sistemi deduttivi per la logica proposizionale

Transcript

1 1 Tesina 1: Tecniche di costruzione di riduzioni polinomiali Dopo aver individuato un piccolo insieme di problemi NP-completi (e relative riduzioni polinomiali) esplorare le tecniche più frequentemente usate per costruire riduzioni polinomiali fra problemi. M.R. Garey, D.S. Johnson, Computers and Intractability, A guide to the Theory of NP-completeness, W.H Freeman and Company, Tesina 2: Sistemi deduttivi per la logica proposizionale Accanto alle deduzioni per risoluzione esistono altri sistemi deduttivi per la logica proposizionale, quali sistemi assiomatici, deduzione naturale, calcolo dei sequenti, tableaux semantici. A. Asperti, A. Ciabattoni, Logica a informatica, McGraw-Hill, Tesina 3: Teoria delle sostituzioni Nel corso abbiamo esposto elementi di teoria algoritmica delle sostituzioni senza dare alcuna prova dei risultati citati. Esplorare le dimostrazioni di questi risultati. Appunti del corso. 4 Tesina 4: Linguaggi con uguaglianza, paramodulazione I linguaggi del I ordine matematicamente più interessanti sono quelli con l uguaglianza (come simbolo distinto e speciale di predicato binario). La deduzione 1

2 automatica ha affrontato il problema dell uguaglianza formulando la regola di paramodulazione e le sue varianti. C.L. Chang, R.C.T. Lee, Symbolic Logic and Mechanical Theorem Proving, Academic Press, Tradotto in: Logica simbolica, Tecniche nuove, Tesine 5a e 5b: Teorema di McNaughton Le logiche di Lukasiewicz sono funzionalmente incomplete. La classe di funzioni associate alle formule è individuata dal teorema di rappresentazione di McNaughton. Studiare il caso generale o in dettaglio la costruzione per il caso a una variabile. D. Mundici, M. Pasquetto, A proof of the completeness of the infinitevalued calculus of Lukasiewicz with one variable In: Non-classical Logics and their Applications to Fuzzy Subsets, Kluwer Academic Publishers, pp , D. Mundici, A constructive proof of McNaughton s Theorem in infinitevalued logics, Journal of Symbolic Logic, 59, pp , Tesina 6: LUKSAT è NP-completo Il problema della soddisfacibilità di formule nella logica infinito-valente è NPcompleto. D. Mundici, Satisfiability in Many-valued Sentential Logic is NP-complete, Theoretical Computer Science, 52, pp , Tesina 7: Gioco di Ulam Il gioco di Ulam prevede due giocatori A e B. A pensa un numero x con 1 x B pone ad A domande con risposta sì/no al fine di individuare x. A può mentire al più un numero prefissato k di volte. Il gioco di Ulam è 2

3 formalizzabile in maniera più naturale nella logica polivalente piuttosto che nella logica booleana. D. Mundici, The logic of Ulam s game with lies In: Knowledge, Belief and Strategic Interaction, Cambridge University Press, pp , Tesina 8: Logica Polivalente e Controllo Fuzzy La logica polivalente può fornire solide basi teoriche alla disciplina ingegneristica del controllo fuzzy: alcuni passi in questa direzione sono già stati compiuti. C. Manara, Descrizione linguistica del controllo di sistemi complessi: un approccio basato sul soft computing e sulla logica multivalente Tesi di Laurea in Informatica presso l Università di Milano, Progetto A: Macchine di Turing Si richiede di implementare macchine di Turing non deterministiche sia nella versione in cui una stringa è accettata se esiste almeno un ramo della computazione che termina, sia nella versione che prevede stati finali di accettazione e di rifiuto. La macchina di Turing deve essere specificabile in ingresso dall utente a cui viene richiesto l alfabeto su cui lavora la macchina, gli stati e le transizioni possibili. La computazione della macchina di Turing va simulata analizzando l albero di computazione livello per livello, vale a dire, l albero di computazione si dovrà visitare un livello dopo l altro (level-order) piuttosto che in pre-ordine, onde evitare di perdersi in eventuali rami infiniti. L albero di computazione va visualizzato in uscita, dando la possibilità all utente di analizzare lo stato della macchina in ogni nodo della computazione (vale a dire la configurazione istantanea contenuta in quel nodo), e di selezionare un cammino nell albero di cui simulare l esecuzione. 3

4 10 Progetto B: Calcolo dei Sequenti Si richiede di implementare calcoli dei sequenti per logiche finito-valenti verofunzionali. In ingresso il programma deve ricevere le tabelle di verità dei connettivi della logica che possono essere: unari: 1 : S n S n, binari: 2 : S n S n S n, dove S n = {0, 1 n, 2 n,..., n 1 n, 1} è l insieme dei valori di verità della logica finitovalente specificata dalla scelta dei connnettivi. Si devono costruire tutte le regole necessarie per implementare un calcolo per la logica specificata dalle tabelle di verità introdotte: vale a dire tutte le regole della forma 1 A h n 1 A h n per 1 h n, per 0 h n 1, A 2 B h n A 2 B h n per 1 h n, per 0 h n 1. Data in ingresso una formula A si deve costruire l albero di prova per A nella logica data. Deve essere inoltre possibile visualizzare sia l insieme delle regole costruite, sia l albero di prova (con esame dei nodi, dei livelli e della regola applicata in ogni nodo). 11 Progetto C: Procedura di Davis-Putnam Si richiede di implementare la procedura di Davis-Putnam. Data una formula F (o un insieme finito di formule) la si deve trasformare in una formula S che sia in forma normale premessa (FNP), in forma normale 4

5 congiunta (CNF), skolemizzata e chiusa. Equivalentemente S è un insieme finito di clausole (del I ordine). Sull insieme di clausole S così prodotto, si deve implementare un algoritmo che produca approssimazioni finite successive H 0 H 1 H 2 dell universo di Herbrand H S. Per ognuna delle approssimazioni H i si deve applicare la procedura di Davis-Putnam su S/H i. Si richiede inoltre di poter visualizzare H i, S/H i ed ogni passo della procedura di Davis-Putnam esplicitando clausole banali, sussunte e coppie di clausole da risolvere. 5