Corso di Laurea in Scienze e Tecnologie Biomolecolari. NOME COGNOME N. Matr.

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1 Corso di Laurea in Scienze e Tecnologie Biomolecolari Matematica e Statistica II Prova di esame del 14/2/2011 NOME COGNOME N. Matr. Rispondere alle domande nel modo più completo possibile, cercando di giustificare i passaggi. Il compito è diviso in due parti. Per essere ammessi all orale è necessario ottenere almeno metà dei punti possibili in ognuna delle parti. PARTE I ESERCIZIO 1 Nella repubblica di Utopia ci si appresta alle elezioni presidenziali. Ci sono solo due candidati: Tizio e Caio. Si vuole organizzare un sondaggio sul voto. 1. Quanto grande dovremo scegliere il campione per essere sicuri che la deviazione standard della media campionaria (ossia della proporzione votante per Tizio) sia minore di 0.1? [si intende che noi non conosciamo a priori le proporzioni di voto, quindi considereremo il caso più sfavorevole] 2. Il sondaggio viene condotto su di un campione di 100 persone. Di questi 57 rispondono di votare per Tizio. Stabilire un intervallo di confidenza al 95% per la vera percentuale di votanti il candidato Tizio. 3. Si svolgono le elezioni ed il candidato Tizio vince con il 52% dei voti. Determinare che probabilità avrebbe avuto un sondaggio elettorale condotto su di un campione di 100 persone di prevedere correttamente l esito delle elezioni (ossia che nel campione prescelto almeno 51 persone avrebbero risposto di votare per Tizio).

2 ESERCIZIO 2 Si vuole testare l efficacia di un farmaco per ridurre il colesterolo LDL nel sangue. Si considera un campione di 12 persone diviso casualmente in due gruppi da 6: Gruppo F e gruppo P. Al gruppo F viene somministrato il farmaco mentre al gruppo P viene somministrato un placebo. Si misura il livello di colesterolo (in mg/dl) prima e dopo la somministrazione del farmaco (o del placebo). P-prima P-dopo F-prima F-dopo Verificare con un test statistico che i gruppi P-prima ed F-prima abbiano la stessa media. [si suppone che le misure siano distribuite normalmente]. 2. Verificare per entrambi i gruppi se tra prima e dopo ci sia una variazione nel livello di colesterolo. Che ipotesi è necessario fare? 3. Verificare se c è differenza tra l effetto del placebo e quello del farmaco (ad esempio confrontando la media dei gruppi F-dopo e P-dopo).

3 ESERCIZIO 3 In un esperimento sull immunità incrociata indotta da infezioni, 45 topi inbred sono stati suddivisi in 3 gruppi, ognuno composto da 15 topi. I primi due gruppi sono stati infettati il giorno 0 con il virus X; il secondo gruppo è stato infettato anche una seconda volta il giorno 20; il terzo gruppo è stato tenuto come controllo. Il giorno 40, dopo un prelievo di sangue alla ricerca di anticorpi contro l antigene X, tutti i topi sono stati infettati con il virus Y e dopo due giorni si è cercato il virus Y nel plasma. I risultati ottenuti si possono sintetizzare nella tabella: 1 infezione due infezioni controllo virus Y e X-anticorpi virus Y e no X-anticorpi no virus Y e X-anticorpi no virus Y e no X-anticorpi Vogliamo stabilire se l infezione col virus X (ed eventualmente le sue modalità) stimola la produzione di anticorpi contro l antigene X; se essa protegge contro l infezione dal virus Y. [Nota: per effettuare queste due analisi bisognerà raggruppare alcune righe della precedente tabella.] Sulla base dei risultati ottenuti nell analisi, come vi sembra si possano interpretare le relazioni fra questi fenomeni?

4 PARTE II ( ) 1/2 1/2 ESERCIZIO 4 Sia A =. 1 1 ( 1 Risolvere il sistema Av =. 0) Trovare (se esiste) la matrice inversa di A. Trovare gli autovalori di A e gli autovettori relativi ad uno di questi.

5 ESERCIZIO 5 In un allevamento di galline ovaiole, gli animali vengono distinti in tre fasce di età (pulcini, giovani e adulte) e il passaggio da una fase all altra richiede almeno un mese. Il vettore (di 3 componenti) N t rappresenta la popolazione (in migliaia) di galline al tempo t, calcolato in mesi; per la precisione, le tre componenti di N t rappresentano (in migliaia) pulcini, giovani e adulte. L evoluzione della popolazione viene descritta dalla legge N t+1 = AN t dove A = 1/2 1/ /4 8/9 (a) Interpretare dal punto di vista biologico tutti gli elementi della matrice A. [Notare che non si hanno nascite; l introduzione di nuovi animali avviene solo per acquisto dall esterno e non è rappresentata nel modello]. (b) Siano le componenti di N 0 (1, 1, 1); calcolare N 1 e N 2. (c) Scrivere la matrice A 2 che permette il passaggio da N t a N t+2, ossia tale che N t+2 = A 2 N t. (d) Supponiamo di cominciare l allevamento al tempo 0 con x pulcini e y giovani. Vogliamo determinare x e y in modo tale che al tempo 2 vi siano 10 giovani e 100 adulte (in migliaia): scrivere le equazioni che si ottengono, e trovarne le soluzioni. (e) Supponiamo che ogni mese si introducano pulcini dall esterno. Descrivere il modello risultante nel linguaggio di matrici e vettori. Trovare se esista uno stato stazionario, ovvero un vettore N tale che se N t = N anche N t+1 = N.

6 ESERCIZIO 6 Una molecola decade, quando presente nel sangue, secondo una legge esponenziale con un tempo di dimezzamento pari a 3 ore. (ossia, se C(t) rappresenta la concentrazione della molecola nel sangue al tempo t, misurato in ore, C(3) = 1 2 C(0)) (a) Trovare la costante di decadimento e calcolare in quanto tempo sarà rimasto solo il 10% della quantità iniziale C(0). (b) Supponiamo poi che venga fornita in continuo, tramite flebo, una quantità costante della molecola, corrispondente ad una concentrazione nel sangue di 1 mg/l all ora. Scrivere un equazione differenziale che descriva questi due fenomeni (il decadimento della molecola ed il flusso costante in entrata) e risolverla, usando un valore generico di C(0). (c) Nelle condizioni del punto precedente, supponiamo che la concentrazione iniziale C(0) sia pari a 0.5 mg/l. Quando verrà raggunta la concentrazione di 1 mg/l?. (d) Trovare la condizione di equilibrio della concentrazione.