Istituzioni di Matematica per Scienze Ambientali

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1 per Scienze Ambientali LABORARORIO R - Appunti 1 1 Dipartimento di Matematica Sapienza, Università di Roma Roma, 19, 26 - Ottobre 2012

2 Variabili e operatore di assegnazione Una variabile è un nome che il programma assegna ad un area di memoria in cui è possibile memorizzare numeri e altri oggetti. Possiamo pensare la variabile come un nome che assegnamo ad un cassetto. Non interessa sapere come è fatto il cassetto nè dove sta fisicamente. Per aprirlo, chiuderlo, riempirlo o svuotarlo è sufficiente riferirsi ad esso con la variabile. L assegnazione è al tempo stesso una delle istruzioni più semplice e più importanti. Ha tre diverse forme equivalenti. a=1 1->a a<-1 L istruzione chiede al Kernel del programma di 1 Predisporre una opportuna area di memoria (cassetto). 2 Assegnare a tale area il nome della variabile 3 Memorizzare il numero in tale area. Ogni volta che usiamo la variabile in una istruzione, il calcolatore sostituisce la variabile con il suo contenuto. > a=2 > aˆ2 [1] 4

3 Operatore di concatenamento L operatore di concatenamento c serve per concatenare due liste ordinate di numeri, o numeri a liste o numeri a numeri. > c(1,2) [1] 1 2 > c(c(1,2),3) [1] > c(c(1,2),c(3,4)) [1] In una variabile, oltre a numeri si possono memorizzare liste > u=c(1,2) > u [1] 1 2

4 Istruzione for Si usa per ripetere un blocco di istruzioni con valori diversi di una variabile di iterazione, dal cui valore dipende il risultato del blocco eseguito. u=1 for(i in 1:10){ u=c(u,i) > u [1] Nel precedente codice, u=1 è la condizione iniziale, i in 1:10 specifica il nome della variabile di iterazione e il suo insieme di variabilità, le due parentesi graffe racchiudono il blocco di istruzioni da ripetere variando il valore della variabile di iterazione nel suo insieme di variabilità.

5 Come definire una funzione Un funzione definisce uno schema di calcolo da applicare ad un determinato insieme di valori di input per produrre un valore di output. quadrato=function(x){ return(xˆ2) > quadrato(1) [1] 1 > quadrato(2) [1] 4 La funzione function assegna il nome quadrato allo schema di calcolo specificato nel blocco contenuto nelle parentesi graffe. L argomento x di function è il nome della variabile rispetto a cui specificare lo schema di calcolo. Applicando la funzione ad un valore specifico, lo schema di calcolo viene applicato a tale valore e la funzione restituisce il risultato.

6 Biforcazione del codice: Istruzione If u=runif(1) {if(u>0.5){ print("t") else {print("c")

7 Simiulazione del lancio di una moneta Lanciamo 100 volte una moneta e contiamo il numero delle teste R=runif(100) sum(r>1/2) R>1/2 restituisce una lista di TRUE (quando il valore estratto è maggiore di 1/2) e FALSE (quando il valore estratto è minore di 1/2). Nel sommare gli elementi di questa lista i TRUE vengono convertiti in 1 e i FALSE in zero.

8 Riepilogo: una implementazione della funzione fattoriale fattoriale=function(n){ if(n==0){ return(1) return(prod(1:n)) > fattoriale(0) [1] 1 > fattoriale(1) [1] 1 > fattoriale(10) [1]

9 Implementazione serie di approssimazione #Serie esponenziale x=1;n=0:10 sum(xˆn/factorial(n)) #Serie per il logaritmo x=0.12;n=1:10 sum((-1)ˆ(n+1)*xˆn/n) #Serie binomiale x=0.5;a=1/2;n=0:10 sum(choose(a,n)*xˆn)

10 Modello banale I(n) = I(n 1) + b I(n 1) b=1; I= n=24 II=c() for(i in 1:n){ I2=I+b*I II=rbind(II,I2) I=I2 Il comportamento asintotico di crescita infinita e sempre più rapida degli infettivi non è realistico.

11 Modello classico semplice I(n) = I(n 1)+b S(n 1) I(n 1) S(n) = S(n 1) b S(n 1) I(n 1) N=1;b=1;I= ;;S=N-I;n=24 IS=c() for(i in 1:n){ I2=I+b*I*S S2=S-b*I*S IS=rbind(IS,c(I2,S2)) I=I2;S=S2 plot(c(0,n),c(0,n),t="n") points(1:n,is[,1],pch="i") points(1:n,is[,2],pch="s") Il comportamento asintotico è realistico. Il modello può applicarsi a malattie infettive da cui non si guarisce ma neppure si muore.

12 Modello d Kermack-McKendrick I(n) = I(n 1) + b S(n 1) I(n 1) c I(n 1) S(n) = S(n 1) b S(n 1) I(n 1) R(n) = R(n 1)+c I(n 1) N=1;b=1;c=0.2;I= ;R=0;S=N-I-R;n=40 ISR=c() for(i in 1:n){ R2=R+c*I I2=I+b*I*S-c*I S2=S-b*I*S ISR=rbind(ISR,c(I2,S2,R2)) I=I2;S=S2;R=R2 plot(c(0,n),c(0,n),t="n") points(1:n,isr[,1],pch="i") points(1:n,isr[,2],pch="s") points(1:n,isr[,3],pch="r")

13 Perché un modello per la diffusione delle epidemie? Se abbiamo un modello parametrico possiamo 1 Determinare i parametri per avere il miglior fitting con i dati iniziali 2 Prevedere come possiamo agire sulla diffusione della malattia agendo sui parametri (per esempio, una campagna di sensibilizzazione abbassa il valore di b; un nuovo farmaco aumenta il calore di c). 3 Valutare costi benefici dell azione Esempio 1 N=1;b=1;c=0.2;I= ;R=0;S=N-I-R;n=40 La stima iniziale. 2 N=1;b=0.7;c=0.2;I= ;R=0;S=N-I-R;n=40. Effetto di una campagna di prevenzione. 3 N=1;b=1;c=0.5;I= ;R=0;S=N-I-R;n=40. Effetto di un farmaco migliore

14 Esperimenti plot(c(0,n),c(0,n),t="n") isr=function(n=1,b=1,c=0.2,i= ,r=0,n=40){ S=N-I-R ISR=c() for(i in 1:n){ R2=R+c*I I2=I+b*I*S-c*I S2=S-b*I*S ISR=rbind(ISR,c(I2,S2,R2)) I=I2;S=S2;R=R2 return(isr) points(1:n,isr()[,1],col="blue",t="l") points(1:n,isr(b=0.7)[,1],col="red",t="l") points(1:n,isr(c=0.4)[,1],col="black",t="l")

15 Implementazione Formula iterativa fib=function(n){ A=1;B=1 if(n==1)return(a) if(n==2)return(b) for(i in 3:n){ C=A+B A=B B=C return(c) Formula chiusa per la successione di Fibonacci fib.2=function(n){ fi=(1+sqrt(5))/2 return((fiˆn-(-fi)ˆ(-n))/sqrt(5))