La conduzione del calore e l equazione di Fourier

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1 La conduzione del calore e l equazione di Fourier uali sono le caratteristiche del fenomeno di spostamento dell energia per calore? uando due corpi a temperatura diversa, sono posti a contatto, oppure quando le parti di uno stesso oggetto hanno differente temperatura, ha luogo un processo in cui si ha trasferimento di energia (cinetica, al livello delle particelle) senza che vi sia trasferimento di materia. A tale meccanismo si dà il nome di conduzione. uali sono i fattori che regolano l efficienza della conduzione di calore? L esperienza mostra che l efficacia della conduzione dipende sia da caratteristiche geometriche, sia dalla natura delle sostanze. Schematizziamo la zona di contatto fra le parti che si trovano a differente temperatura, come una regione avente superficie A e spessore L. Chiameremo flusso di calore l energia scambiata per calore nella zona di contatto ogni secondo che passa, e lo esprimeremo tramite il rapporto fra il calore transitato durante il tempo t, e la durata del tempo t stesso: t. T 1 A T L Si osserva che il flusso di calore: 1) è tanto maggiore quanto più estesa è A, e tanto minore quanto più grande è lo spessore L della regione: A t L ) è tanto maggiore quanto più elevata è la differenza di temperatura T= T T : 1 T t 3) dipende dalle caratteristiche al livello dei legami chimici fra le molecole del materiale utilizzato. Ad esempio se teniamo in una mano l estremità di una forchetta, mentre i rebbi si scaldano alla fiamma, percepiremo immediatamente il cambio di temperatura. Viceversa un mestolo di legno nella medesima condizione, potrebbe addirittura prendere fuoco all altra estremità senza che noi rivelassimo alcuna nuova sensazione nel punto d impugnatura. Il meccanismi estremamente complessi che regolano la dipendenza della conduzione di calore dai legami chimici vengono riassunti in un coefficiente di proporzionalità k, che viene detto conducibilità termica della sostanza: A = k T t L 1

2 la relazione così scritta è una forma elementare dell equazione detta di Fourier. SO STANZA k [/( m K) ] ACUA 0,60 GHIACCIO 1,60 ARGENTO 17 RAME 395 ALLUMINIO 17 VETRO 0,8 LE GNO 0, 10 LANA 0, 0 0 ARI A 0, 03 CEME N TO 1, 30 uali sono le unità di misura della conducibilità cibilità termica? Il coefficiente di conducibilità termica si misura in: [ J/s] [ ] t k = A = = T [ m][ K] m K L dove ricordiamo che il flusso di energia ogni secondo [ J/s ] ha una propria unità, il att [ ]. Per come è stato definito, quanto più esso è grande, tanto più efficiente risulta la conduzione. Come si vede dalla tabella esso è minore per legno,, lana ed, che quindi fungono da buoni isolatori di calore, mentre è assai elevato per i metalli. In generale poi, il fenomeno della conduzione è efficace nei solidi, mentre risulta modesto nei liquidi e negli aeriformi. Perché i metalli danno sensazioni tattili di calore diverse da quelle dell ambiente? Le differenze nella conducibilità termica spiegano la varietà di sensazioni tattili che si registrano toccando materiali diversi che pure si trovano alla stessa temperatura. 1) passeggiando a piedi nudi prima sul pavimento, e poi su di un tappeto, si sperimenta un differente flusso di calore t, che produce una sensazione di freddo quando la pelle è a contatto con le mattonelle, e di caldo se tocca la stoffa. E tutto questo avviene nonostante la temperatura del pavimento e del tappeto sia la stessa, come previsto dal principio dell equilibrio termico. ) una ringhiera metallica esposta al sole appare rovente al tatto se confrontata con un pavimento di legno nelle medesime condizioni. 3) due cubetti di ghiaccio posti, il primo su di una superficie metallica, il secondo su di una superficie di legno, entrambe alla stessa temperatura dell ambiente, fondono con velocità sensibilmente differenti, e nel caso del contatto con il metallo il processo è assai più rapido. E possibile farsi un idea di quanto accade negli esempi sopra riportati ragionando come segue. Il contatto con un oggetto a bassa conducibilità produce in esso una vzione di temperatura che rimane localizzata, non essendo efficiente la trasmissione dello stato di agitazione fra le molecole della sostanza. In breve tempo la differenza di temperatura fra i due oggetti che si toccano diminuisce, fino anche ad annullarsi, e questo rallenta e poi arresta il flusso di calore, come si vede ponendo T= 0 nell equazione di Fourier. Viceversa, il contatto con un materiale ad elevata conducibilità termica produce un trasferimento di energia per calore che viene immediatamente condiviso con tutto il resto dell oggetto. Per conseguenza si ha solo una minima vzione della temperatura nella regione di contatto, ed il T delle due sostanze rimane praticamente immutato durante il processo. Ne segue che il flusso di calore t tempo. continua con la stessa efficienza per un lungo periodo di

3 Come funziona l isolamento tramite finestre con i vetri doppi? In una finestra normale il maggior contributo all isolamento dalla temperatura esterna non si deve al, ma viene piuttosto da un sottile strato di immobile, localizzato immediatamente a ridosso del stesso. Infatti, grazie alla sua bassa conducibilità termica, uno strato di un solo millimetro di permette lo stesso isolamento termico di un circa quaranta volte più spesso (vale a dire almeno quattro centimetri). Se per assurdo volessimo ottenere lo stesso isolamento con un pannello di rame, ne dovremmo avere uno strato oltre sedicimila volte più spesso del millimetro di, e cioè più di sedici metri. L isolamento dovuto all localizzata sulle pareti esterne in genere perde efficacia se c è circolazione in prossimità della finestra. Nella finestra doppia, invece, si sfrutta al meglio la bassa conducibilità termica dell confinandone uno strato fra due pannelli di in modo da potenziarne l effetto isolante. Esercizio 1 Il di una finestra ha una superficie A= 1.5m ed è spesso 5.0 mm, la temperatura esterna è T = 75K ( =.0 C), quella interna T = 300 K ( = 7 C). Si trovi il calore che fuoriesce attraverso la finestra in un ora, e si i ripeta il calcolo nell ipotesi che vi sia uno strato di di 1.0mmdi spessore complessivo che rimane immobile a ridosso del dalla parte interna. e Applicando l equazione di Fourier, con t= 3600s, k = 0.8 m K abbiamo: A = k T t= 0.8 ( ) 3600= J L Per calcolare il flusso di calore nel secondo caso occorre la temperatura T * nel punto di contatto fra l ed il. Poiché il calore che passa attraverso lo stato d ogni secondo deve essere lo stesso che poi attraversa il, si può calcolare T * uguagliando i due flussi: A A = k T = k T t L L ( 75) ( 300 ) * * semplificando: k k * ( T 75) = ( 300 T) k ( T 75) = 5k ( 300 T) * * * * T( k + 5 k ) = 300 5k + 75 k T * 300 5k+ 75 k = = = 78 K k + 5k T * 3

4 Il valore trovato è molto più vicino a quello esterno dato che l, avendo minore conducibilità, deve avere una più grande differenza di temperatura per poter sostenere lo stesso flusso di calore. Calcoliamo quindi il calore che attraversa la finestra in un ora: A 1.5 = k ( ) t= = J L A 1.5 = k ( 78 75) t= = J L Come si vede il risultato precedente è del tutto irrealistico, in quanto trascurando il sottile strato di si sovrastima di quasi sei volte il flusso di calore. Perché alcuni tessuti tengono caldo? La trama dei tessuti, in particolare la lana, intrappola uno strato di che, grazie alla bassa conducibilità termica, impedisce il flusso di calore dal nostro corpo verso l esterno. Perché si sente più freddo quando tira vento, oppure se si viaggia in motorino? uando non c è vento il nostro corpo funziona un po come una stufa a 37 C, riscaldando lo strato di che i nostri vestiti trattengono tutt intorno. In questo modo la differenza di temperatura fra la pelle e l fuori si riduce, e con essa il flusso di calore verso l esterno, come previsto dalla dipendenza di da T t legge di Fourier. Ma un spostamento repentino di, dovuto al vento oppure al muoversi esposti come quando si è sul motorino, rimuove lo strato di riscaldato intorno a noi per sostituirlo con uno freddo. In conseguenza, la differenza di temperatura T fra la pelle e l ambiente non diminuisce mai, perché non appena riscaldiamo un guscio di questo è immediatamente rimosso. Il flusso costante di calore t produce così un rapido raffreddamento, che può diventare pericoloso quando già la temperatura è rigida di per sé. 1 Secondo la legge di Fourier, è conveniente tenere sempre acceso il riscaldamento in casa? ualcuno sostiene che mantenere il riscaldamento acceso per l intera notte è più economico che non spegnerlo e riaccenderlo la mattina. Il motivo sarebbe la grande capacità termica delle pareti e degli oggetti all interno, i quali, raffreddatisi durante la notte, risucchierebbero la gran parte del calore per essere nuovamente riscaldati al mattino. A norma dell equazione di Fourier si tratta di un ragionamento fallace. Una maggiore differenza di temperatura fra l interno e l esterno favorisce un più consistente flusso di calore, come si osserva dalla presenza del T al numeratore. uindi è più facile mantenere stabile una temperatura un poco più bassa all interno di un appartamento che non una elevata. In altri termini, più si tenta di riscaldare l interno, più il calore cerca di fuggire attraverso le pareti. uanto agli oggetti che devono nuovamente riscaldarsi, non si tratta certo di energia che viene dissipata, ma che anzi contribuisce ad innalzare la temperatura proprio per la presenza degli stessi oggetti che vengono riscaldati. 1 Il fenomeno è noto in Canada come wind chill (raffreddamento da vento) e può causare l abbassamento anche di diverse decine di gradi della temperatura percepita dalla pelle rispetto a quella reale, provocando, in casi estremi, la morte per ipotermia.

5 Esercizio Le pareti di un contenitore di polistirolo sono spesse.0 cm ed hanno area complessiva di 0.80 m. Vi vengono introdotti dei cubetti di ghiaccio a 0 C. Sapendo che il calore necessario alla fusione è 10 Jsi dica quanto tempo occorre per avere solo acqua liquida all interno sapendo che la temperatura esterna è 30 C e che k polistirolo= 0.01 m K Durante la fusione la temperatura del ghiaccio rimane costantemente a 0 C, quindi risulta: A 0.00 = k T= 0.01 (30 0) = 1J/s t L t= = = 835s= 1min 1 1 5