Rappresentazione digitale. Rappresentazione digitale

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1 Rappresentazione digitale E una rappresentazione di tipo DISCRETO sia a livello di descrizione che di rappresentazione Se devo rappresentare in modo digitale grandezze continue variabili nel tempo (es. suoni, temperature, grandezze fisiche come velocità e posizione, ecc.) o nello spazio (es. luminosità/colore delle immagini, altitudini in una carta geografica, ecc.) devo CAMPIONARLE. Rappresentazione digitale Campionare una grandezza significa approssimarla attraverso una sequenza ordinata nel tempo (o nello spazio) di dati, detti campioni, che descrivono i valori di tale grandezza in un numero limitato di istanti di tempo (punti nello spazio) sufficientemente vicini. La distanza fra due campioni consecutivi è detta tempo (intervallo, se nello spazio) di campionamento; il suo inverso frequenza di campionamento (risoluzione spaziale, se nello spazio): indica quanti campioni ho a disposizione per la descrizione nell unità di tempo (spazio) 1 1/5 Sin(x): rappresentazione continua f c = 2 f c = 10 f c = 1 1/10 1/100 1

2 Rappresentazione digitale La frequenza di campionamento si misura in campioni/secondo La risoluzione spaziale in campioni/millimetro Rappresentazione digitale Per rappresentare un campione si ha a disposizione un numero finito di bit. Con N bit si possono formare 2 N combinazioni diverse Se si vogliono rappresentare valori in un certo intervallo [min,max] posso rappresentare 2 N valori compresi fra min e max ed equispaziati e approssimare tutti gli altri possibili valori nell intervallo mediante il valore più vicino fra quelli rappresentabili (QUANTIZZAZIONE): v. esercizi dell altra volta In conclusione La rappresentazione digitale, essendo discreta, introduce due tipi di approssimazioni: 1. Errore di campionamento: dovuto all approssimazione del valore effettivo della grandezza che sto rappresentando con il valore del campione più vicino, (cioè alla rappresentazione discreta delle ascisse): produce nel grafico i gradini verticali. In conclusione 2. Errore di quantizzazione: dovuto all approssimazione del valore effettivo della grandezza che sto rappresentando con il valore rappresentabile più vicino (rappresentazione discreta delle ordinate) Dipende dal numero di bit disponibili per la rappresentazione: produce come effetto i gradini orizzontali. 2

3 Rappresentazione di simboli Con N bit posso rappresentare qualunque insieme numerabile (che può essere messo in corrispondenza con gli interi) di simboli. Con due bit è possibile generare 4 configurazioni distinte (00, 01, 10, 11) che possono essere associate a 4 informazioni distinte Esempi di insiemi diversi di informazioni rappresentabili: 00 -> a 1 verde 01 -> b 2 rosso 10 -> c 3 giallo 11 -> d 4 blu Codifica dei caratteri alfanumerici 26 lettere minuscole e 26 lettere maiuscole, 10 cifre, 10 segni aritmetici, 20 segni di interpunzione (spazi inclusi) e 3 caratteri non stampabili (a capo, tabulazione, backspace) = 95 caratteri, che rappresentano la lingua Inglese Per 95 simboli sono necessari 7 bit: log 2 M =7 Una consolidata rappresentazione a 7-bit è il codice ASCII (American Standard Code for Information Interchange) Codifica dei caratteri alfanumerici Codifica dei caratteri alfanumerici A metà degli anni 60 divenne chiaro che il codice a 7 bit non bastava per rappresentare anche i caratteri dei linguaggi diversi dall inglese IBM estese il codice ASCII a 8 bit e 256 simboli Chiamato "Extended ASCII", la prima metà è costituita dall originale codice ASCII (con uno 0 aggiunto all inizio di ogni gruppo di bit) Permette di esprimere la maggior parte dei caratteri degli alfabeti occidentali e include molti altri simboli utili 3

4 Colori nelle immagini digitali Codifica RGB per le immagini a colori Ogni colore è diviso in 3 componenti fondamentali: Rosso (R), Verde (G), Blu (B). L intesità di ogni componente è di solito rappresentata su 8 bit => ogni colore è rappresentato su 24 bit. Posso quindi rappresentare (quantizzazione) 2 24 colori diversi (circa 16 milioni). Se una delle componenti è diversa dalle altre ho percezione del colore, altrimenti vedo una tonalità grigia più o meno intensa (0,0,0 è il nero; 255,255,255 il bianco) Memoria Centrale Spazio di lavoro del calcolatore: contiene i dati da elaborare e i risultati delle elaborazioni durante il funzionamento del calcolatore. Insieme di celle di dimensione 1 byte, ciascuna delle quali è individuata da un indirizzo Se ogni indirizzo è lungo 32 bit posso distinguere e accedere singolarmente a 2 32 celle diverse celle = 4 Gcelle -> 4 Gbyte Si usano normalmente indirizzi a 32 o 64 bit (16x10 18 celle) Poiché è possibile indirizzare direttamente ogni singola cella, una memoria di questo tipo si chiama Random Access Memory (RAM), cioè, alla lettera, memoria ad accesso casuale. Memoria Centrale La memoria centrale contiene codici binari interpretabili come dati o istruzioni (che costituiscono i programmi) durante il funzionamento del calcolatore. I dati possono essere modificati durante l esecuzione dei programmi (elaborazione dati) come risultato delle istruzioni eseguite. Sulla memoria centrale deve quindi essere possibile fare operazioni di lettura (ad es. delle istruzioni da eseguire o dei dati da elaborare) e scrittura (ad es. dei dati elaborati). Tipi di Memoria RAM (Random Access Memory) Tutte le memorie utilizzate come memoria centrale sono RAM. Tuttavia abitualmente con il termine RAM ci si riferisce ad un particolare tipo (RAM dinamica) che è volatile, cioè perde il proprio contenuto quando non è alimentata. Da questo punto di vista la RAM si distingue dalle ROM (Read Only Memory) memorie dal contenuto fisso, non riscrivibili, scritte una volta per tutte in fase di fabbricazione. PROM (Programmable ROM) si possono scrivere una sola volta. EPROM (Erasable PROM) si possono scrivere e cancellare (ma non selettivamente) per essere riutilizzate esponendole ai raggi UV. ROM, PROM, EPROM mantengono il loro contenuto anche a computer spento. 16 4

5 Memoria Centrale Memoria Centrale Caratteristiche fondamentali: Dimensione o capacità (n. di celle, quindi di byte) Tempo di accesso (il ritardo dopo l invio del comando di lettura con cui il dato diviene effettivamente disponibile per l elaborazione) Tipicamente la dimensione della memoria centrale è dell ordine del GByte. Il tempo di accesso è dell ordine delle decine di nanosecondi. (1 ns = 10-9 s = un miliardesimo di secondo) La capacità di una memoria si misura in byte: K (kilo) (1024) M (mega) ( ) G (giga) ( ) T (tera) ( ) Memorie di massa Memorie permanenti: mantengono il loro contenuto anche dopo lo spegnimento del calcolatore. Memorie di massa Il primo tipo di memoria di massa magnetica sono stati i nastri magnetici Diverse rispetto alla memoria centrale: il loro funzionamento è basato su fenomeni di tipo ottico o magnetico, non su fenomeni elettrici. Tipicamente organizzate in dischi, fissi o asportabili. Più economiche rispetto alle memorie RAM/ROM. Il loro tempo di accesso è tuttavia molto maggiore, cioè, a parità di dati da leggere, il processo di lettura avviene in modo più lento. L informazione è divisa su 9 tracce, corrispondenti ciascuna ad un bit in una certa posizione (8 bit + 1 bit di parità per controllo degli errori). L accesso ai dati è di tipo sequenziale. I dati sono divisi in blocchi separati da un gap. 5

6 Memorie di massa Per ottenere una lettura random anziché sequenziale si possono utilizzare supporti magnetici di forma diversa, tipicamente dischi. Memorie di massa Invece che in blocchi rettangolari come i nastri, i dischi sono suddivisi in settori circolari. Sommando il movimento di rotazione del disco e il movimento radiale della testina è possibile raggiungere rapidamente qualunque punto del disco. In pratica il tempo max per raggiungere una certa posizione è pari al maggiore fra il tempo richiesto per una rotazione e quello necessario alla testina per percorrere il raggio del disco. Poiché il disco ruota, lo stesso punto ripassa sotto la testina periodicamente. Quindi è sufficiente predisporre un unico gap come riferimento per ritrovare le altre posizioni sul disco. La formattazione del disco consiste nella creazione di questi riferimenti, che dipendono da sistema a sistema. Variabile (scalare) E un astrazione della cella di memoria Formalmente, è un simbolo che viene associato ad un indirizzo fisico (posizione all interno della memoria della cella o delle celle associate al simbolo, che conterranno la rappresentazione di un valore) Es. Simbolo indirizzo contenuto x Il simbolo x rappresenta il contenuto della cella di memoria avente l indirizzo 1328 (normalmente l indirizzo è invisibile all utente). Se l utente stampa x, sul video apparirà il valore 4, cioè il contenuto della cella avente indirizzo Variabile (scalare) L indirizzo fisico di una variabile, associato dal sistema al simbolo che la identifica, è fisso e immutabile all interno del programma; può però cambiare il suo contenuto, cioè il valore della variabile... esempio: x=4;

7 Inizializzazione di variabili Una variabile esiste dal momento in cui viene dichiarata o in cui le viene assegnato un valore In alcuni linguaggi (ad es. il C) è obbligatorio dichiarare la variabile prima di usarla In altri (es. MATLAB) basta assegnarle un valore. int x; in C, dichiara l esistenza di x come variabile intera senza assegnarle ancora un valore speed = 124.6; C/MATLAB assegna un valore a speed e time time = 1.6; in C però bisogna che siano state dichiarate prima km = speed*time; definisco la variabile km assegnandole il prodotto speed*time Caratteristiche delle variabili Campo d azione (scope): è la parte di programma (unità di codifica) entro cui la variabile è nota e può essere usata Tipo: specifica la classe di valori che la variabile può assumere (e quindi gli operatori applicabili) Tempo di vita: l intervallo di tempo in cui rimane valida l associazione simbolo/cella di memoria Valore: è rappresentato (secondo la codifica adottata per il tipo cui la variabile appartiene) nell area di memoria associata alla variabile. Strutture di dati Strutture di dati Non sempre è sufficiente un solo valore per descrivere/quantificare un concetto, ma è necessario utilizzare un insieme di valori e riferirsi ad essi in modo omogeneo (in pratica, con lo stesso nome), mantenendo però la possibilità di considerare ciascun valore singolarmente. Ad es. le temperature massime giornaliere registrate in un anno, i risultati ottenuti da ciascun pilota nel campionato di F1, ecc. Una struttura di dati ha le seguenti proprietà: è un insieme di dati Es. una struttura contenente il totale dei ricavi di un azienda in ognuno dei dodici mesi di un anno ogni dato dell insieme può essere singolarmente identificato rispetto agli altri Es. si deve poter conoscere il totale venduto in un certo mese 7

8 Strutture di dati La modalità di identificazione dei singoli dati, consente che una stessa istruzione possa operare selettivamente solo su specifici dati della struttura (e non su tutti) utilizzando un opportuno indice Es. deve essere possibile leggere tutte le fatture emesse da un azienda in un ordine arbitrario specificato dall utente Si possono quindi eseguire operazioni a livello dell intera struttura e operazioni che operano su singoli elementi della struttura stessa Vettori un vettore (array monodimensionale) è un insieme di elementi dello stesso tipo, inseriti in locazioni consecutive di memoria ha un nome che lo identifica gli elementi del vettore vengono identificati, oltre che con il nome del vettore di appartenenza, con il valore di un indice numerico giorni_mese nome vettore giorni_mese(1) giorni_mese(2) giorni_mese(3) indice contenuto Vettori Array Multidimensionali per identificare un elemento si utilizza il nome del vettore seguito dal valore dell indice racchiuso tra parentesi. es. giorni_mese(3) il valore dell indice può essere una qualsiasi espressione; ad esempio es. n=0; giorni_mese(n 3) Generalizzano il concetto di array hanno due o più indici (o dimensioni) i vettori bidimensionali sono denominati matrici Es. a=[1,2,3; 4,5,6] a(1,2) a(1,1) a(1,3) a(2,1) a(2,3) a(2,2) 8

9 Array Multidimensionali Generalizzano il concetto di array Un array monodimensionale (vettore) è un array di variabili scalari Un array bidimensionale (matrice) è un array di array monodimensionali a(1,2) denota il secondo elemento del primo array (riga) che compone la matrice Un array tridimensionale è un array di matrici ecc. Array Multidimensionali Un array monodimensionale può essere visto come Un array bidimensionale (matrice) avente una sola riga Un valore scalare può essere visto come: Un array monodimensionale di lunghezza 1 Un array bidimensionale (matrice) contenente una sola riga lunga 1, quindi con una sola riga e una sola colonna In MATLAB le variabili sono considerate tutte matrici. Ad esse possono quindi essere applicati 2 indici, compatibilmente con il loro contenuto. Es. non posso fare riferimento a f(1,2) se f è scalare perché f(1,2) non esiste, però posso fare riferimento al (singolo) valore di f come f(1,1) Esercizi Data una matrice a definita come a = [5, 3, 1; 6, 4, 2; 7, 5, 3]; determinare (usando MATLAB o Octave) il risultato delle seguenti espressioni: a(1,1)+a(2,2)+a(3,3) a(2,1)-a(1,1)+a(2,2)-a(1,2)+a(2,3)-a(1,3) Verificare che il comando trace(a) di Matlab restituisca lo stesso valore della prima espressione Verificare il risultato dei seguenti comandi: 2*a a.*a a*a Determinare la formula che permette di calcolare il determinante di a, inserirla e veriicare che il risultato sia lo stesso della funzione det(a) di Matlab 9