Problemi in fisica matematica

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Orazio Salvatori
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1 Problemi in fisica matematica Pierre Martinetti Università di Genova 19 maggio 2016

2 Claudio Bartocci: modelli integrabili, solitoni, teoria di gauge, struttura bi-hamiltoniana e quiver. Filosofia e storia della matematica. Nicola Pinamonti: teoria quantistica dei campi in spazio curvo e rinormalizazione, applicazioni alla cosmologia e alla fisica dei bucchi neri, descrizione quantistica dello spazio e del tempo Pierre Martinetti: geometria non-commutativa, applicazione al modello standard delle interazioni fondamentali, aspetto metrico. Studenti: Federico Faldino, Nicolo Drago

Nicola Pinamonti: teoria quantistica dei campi in spazio curvo e rinormalizazione, applicazioni alla cosmologia e alla

3 Fisica delle interazioni fundamentali in a nutshell Relatività speziale (alta velocità) + Fisica quantistica (piccole scale) = teoria quantistica dei campi. Grande successo sperimentale (cf boson di Higgs), ma teoria definita solo pertubativamente (sviluppo in diagrammi di Feynman). visione parziale della realtà: Modello Standard delle interazioni fondamentali (eletromagnetismo, interazione debole, interazione forte) ma manca la gravitazione. La gravitazione non può essere trattata perturbativamente:non-rinormalizabile. Non è un problema nella vita quotidiana (gravitazione trascurabile davanti alle altre interazioni, o vice-versa), ma lo è nelle situazioni estreme (bucchi-neri, Big-Bang). La storia ci insegna che si fa progressi cercando l unità (cf elettromagnetismo).

visione parziale della realtà: Modello Standard delle interazioni fondamentali (eletromagnetismo, interazione debole, interazione forte) ma manca la gravitazione.

4 Problemi per la fisica matematica gravitazione = relatività generale = spazio-tempo curvo : geometria pseudo-riemanianna. modello standard = teoria quantistica dei campi : algebra di operatori (su spazi di Hilbert). teoria dei campi su spazi curvi. Utile l approccio non perturbativo: teoria algebrica dei campi (applicazioni e.g. in cosmologia). trovare l oggetto geometrico appropriato per descrivere lo spazio-tempo a piccole scale: geometria noncommutativa.

teoria dei campi su spazi curvi. Utile l approccio non perturbativo: teoria algebrica dei campi (applicazioni e.g. in cosmologia).

5 Geometria noncommutativa Localizzare un oggetto con una precisione λ = illuminare l oggetto con una luce di lunghezza d onda λ = concentrare energia 1 λ = curvare lo spazio-tempo = possibile buco nero. Lo spazio tempo sotto la lunghezza di Planck λ P = più senso effettivo. G c 3 non ha Soluzione possibile: imporre un incertezza minimale non-nulla sulla misura simultanea delle coordinate: x 0 ( x 1 + x 2 + x 3 ) λ 2 P, x 1 x 2 + x 2 x 3 + x 3 x 1 λ 2 P. Si può fare trasformando le coordinate x µ in operatori noncommutativi, x µ = q µ with [q µ, q ν ] = Q µν Doplicher, Fredenhagen, Roberts 1995 Tanti modelli, secondo la scelta dei Q µν.

G c 3 non ha Soluzione possibile: imporre un incertezza minimale non-nulla sulla misura simultanea delle coordinate: x 0 ( x 1 + x 2 + x 3 ) λ 2 P, x 1 x 2 + x

6 Geometria noncommutativa a la Connes C algebra commutativa Gelfand spazio localmente compatto Tripletto spettrale (A, H, D) con A commutativa Connes varietà riemanniana (spin) Tripletto spettrale (A, H, D) geometria noncommutativa Per la matematica: studio dello spazio delle foglie in certe fogliazioni, teoria del indice, teoria dei numeri etc (cf Connes-Marcolli Noncommutative geometry, quantum fields and motives ). Per la fisica: descrizione delle modello standard delle interazioni fondamentali, insieme alla gravità, come un modello di pure gravità, ma su un spazio quasi-commutativo C (M) (C H M 3 (C)). Il campo di Higgs diventa una 1-forma di connection (come gli altri bosoni), ma nella parte non-commutativa della geometria. Apre una porta per modelli oltre il modello standard.

7 Aspetto metrico della geometria non-commutativa Tripletto spettrale (A, H, D). ϕ uno stato di A (ϕ : A C, ϕ(a a) R +, ϕ(i) = 1). Distanza di Connes: d(ϕ, ϕ ) := sup ϕ(a) ϕ (a) a L D (A) dove L D (A) := {a A, [D, a] 1}. Per A = C (M) che agisce su Ω 2 (M) con D = d + d, la distanza di Connes è la distanza di Wasserstein nella teoria del trasporto ottimale. In particolare, tra stati puri δ x (f ) := f (x), coincida con la distanza geodetica di M.

Distanza di Connes: d(ϕ, ϕ ) := sup ϕ(a) ϕ (a) a L D (A) dove L D (A) := {a A, [D, a] 1}.

8 Vari problemi, ispirati della fisica ma trattati col rigore matematico! Communità abbastanza grande in Italia (Roma, Trieste, Trento, Pavia, Napoli, Germania, Francia, Olanda, Inghilterra) con frequenti incontri, workshop... Dottorandi benvenuti :-)

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