Metodi Matematici in Relatività Generale

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1 Metodi Matematici in Relatività Generale (primo semestre , 40 ore/5 crediti, triennale o magistrale) Gravitazione Newtonianna (1687): forza per azione a distanza, istantanea. Relatività ristretta (Einstein, 1905): nessun informazione si può propagare più veloce della luce nel vuoto (c = ms 1 ). Necessità di una teoria relativistica della gravitazione: Relatività Generale (1915)

2 Metodi Matematici in Relatività Generale (primo semestre , 40 ore/5 crediti, triennale o magistrale) Gravitazione Newtonianna (1687): forza per azione a distanza, istantanea. Relatività ristretta (Einstein, 1905): nessun informazione si può propagare più veloce della luce nel vuoto (c = ms 1 ). Necessità di una teoria relativistica della gravitazione: Relatività Generale (1915) La gravitazione non è una forza, ma è l effetto della curvature dello spazio tempo.

3 Metodi Matematici in Relatività Generale (primo semestre , 40 ore/5 crediti, triennale o magistrale) Gravitazione Newtonianna (1687): forza per azione a distanza, istantanea. Relatività ristretta (Einstein, 1905): nessun informazione si può propagare più veloce della luce nel vuoto (c = ms 1 ). Necessità di una teoria relativistica della gravitazione: Relatività Generale (1915) La gravitazione non è una forza, ma è l effetto della curvature dello spazio tempo. Quale sono le leggi che governano la dinamica di questa curvatura? massa = curvatura (equazioni di Einstein) Qual è la dinamica di un corpo in un tale spazio-tempo curvo? traiettorie fisiche = geodetiche Come la Relatività Generale permette di ritrovare la gravità Newtonianna, e come se ne distingue approssimazione lineare, perielio di Mercurio, deflessione della luce, spostamento verso il rosso.

4 Durante questo corso verranno studiati alcuni elementi di geometria differenziale utili a formalizzare rigorosamente la teoria della relatività generale: concetti di connessione e curvatura in una varietà differenziale; derivata covariante e calcolo tensoriale; struttura aggiuntiva: metrica; compatitibilità tra questi strutture: teorema di Leci-Civita; equazione delle geodetiche e alcune delle loro soluzioni.

5 Durante questo corso verranno studiati alcuni elementi di geometria differenziale utili a formalizzare rigorosamente la teoria della relatività generale: concetti di connessione e curvatura in una varietà differenziale; derivata covariante e calcolo tensoriale; struttura aggiuntiva: metrica; compatitibilità tra questi strutture: teorema di Leci-Civita; equazione delle geodetiche e alcune delle loro soluzioni. Si studierà in dettaglio in che senso lo spazio-tempo così definito come varietà pseudo-riemanniana dà, localmente, lo spazio-tempo della relatività ristretta. Vedremmo anche come arrivare alle equazioni di Einstein, e studieremo alcune delle loro soluzioni (Shwarzschild, Robertson-Walker).

6 Durante questo corso verranno studiati alcuni elementi di geometria differenziale utili a formalizzare rigorosamente la teoria della relatività generale: concetti di connessione e curvatura in una varietà differenziale; derivata covariante e calcolo tensoriale; struttura aggiuntiva: metrica; compatitibilità tra questi strutture: teorema di Leci-Civita; equazione delle geodetiche e alcune delle loro soluzioni. Si studierà in dettaglio in che senso lo spazio-tempo così definito come varietà pseudo-riemanniana dà, localmente, lo spazio-tempo della relatività ristretta. Vedremmo anche come arrivare alle equazioni di Einstein, e studieremo alcune delle loro soluzioni (Shwarzschild, Robertson-Walker). Avere seguito un corso di geometria differenziale è un plus, ma tutti i concetti necessari verranno introdotti e spiegati durante il corso. Nello stesso gli elementi di relatività speciale necessari alla comprensione del corso verrano richiamati.

7 Complementi di Fisica Matematica (secondo semestre , 40 ore/5 crediti, magistrale) L insegnamento si propone di fornire agli studenti alcuni strumenti avanzati di fisica matematica per lo studio della struttura dello spazio-tempo curvo. 1. Struttura delle singolarità: motivazione con esempi propri dalla Relatività Generale (spazio di Schwarzschild e estensione di Kruskal, spazio di Kerr), per poi arrivare ai teoremi di singolarità di Hawking e Penrose.

8 Complementi di Fisica Matematica (secondo semestre , 40 ore/5 crediti, magistrale) L insegnamento si propone di fornire agli studenti alcuni strumenti avanzati di fisica matematica per lo studio della struttura dello spazio-tempo curvo. 1. Struttura delle singolarità: motivazione con esempi propri dalla Relatività Generale (spazio di Schwarzschild e estensione di Kruskal, spazio di Kerr), per poi arrivare ai teoremi di singolarità di Hawking e Penrose. 2. Propagazione su spazi curvi: si studieranno le tecniche di risoluzione di problemi di propagazione iperbolici su spazi curvi, e affronteremo il problema della formulazione in valori iniziali della la Relatività Generale. Alcune nozioni che verranno incontrate durante questo percorso sono: i diagrammi di Penrose (per lo studio della struttura causale dello spazio-tempo), le superfici di Cauchy, lo spazio globalmente iperbolico.

9 Complementi di Fisica Matematica (secondo semestre , 40 ore/5 crediti, magistrale) L insegnamento si propone di fornire agli studenti alcuni strumenti avanzati di fisica matematica per lo studio della struttura dello spazio-tempo curvo. 1. Struttura delle singolarità: motivazione con esempi propri dalla Relatività Generale (spazio di Schwarzschild e estensione di Kruskal, spazio di Kerr), per poi arrivare ai teoremi di singolarità di Hawking e Penrose. 2. Propagazione su spazi curvi: si studieranno le tecniche di risoluzione di problemi di propagazione iperbolici su spazi curvi, e affronteremo il problema della formulazione in valori iniziali della la Relatività Generale. Alcune nozioni che verranno incontrate durante questo percorso sono: i diagrammi di Penrose (per lo studio della struttura causale dello spazio-tempo), le superfici di Cauchy, lo spazio globalmente iperbolico. Requisiti: aver già seguito un insegnamento in Relatività Generale (non necessariamente il corso di Metodi Matematici in Relatività Generale).