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1 UNITEXT for Physics Series editors Michele Cini, Roma, Italy Attilio Ferrari, Torino, Italy Stefano Forte, Milano, Italy Massimo Inguscio, Firenze, Italy G. Montagna, Pavia, Italy Oreste Nicrosini, Pavia, Italy Luca Peliti, Napoli, Italy Alberto Rotondi, Pavia, Italy

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3 Maurizio Gasperini Relatività Generale e Teoria della Gravitazione Second Edition 123

4 Maurizio Gasperini Dipartmentimento di Fisica Università di Bari Bari Italy ISSN ISSN (electronic) ISBN ISBN (ebook) DOI / Springer Milan Heidelberg New York Dordrecht London Springer-Verlag Italia 2015 Quest opera è protetta dalla legge sul diritto d autore e la sua riproduzione è ammessa solo ed esclusivamente nei limiti stabiliti dalla stessa. Le fotocopie per uso personale possono essere effettuate nei limiti del 15 % di ciascun volume dietro pagamento alla SIAE del compenso previsto dall art. 68. Le riproduzioni per uso non personale e/o oltre il limite del 15 % potranno avvenire solo a seguito di specifica autorizzazione rilasciata da AIDRO, Corso di Porta Romana n.108, Milano 20122, segreteria@aidro.org e sito web Tutti i diritti, in particolare quelli relativi alla traduzione, alla ristampa, all utilizzo di illustrazioni e tabelle, alla citazione orale, alla trasmissione radiofonica o televisiva, alla registrazione su microfilm o in database, o alla riproduzione in qualsiasi altra forma (stampata o elettronica) rimangono riservati anche nel caso di utilizzo parziale. La violazione delle norme comporta le sanzioni previste dalla legge. L utilizzo in questa pubblicazione di denominazioni generiche, nomi commerciali, marchi registrati ecc., anche se non specificatamente identificati, non implica che tali denominazioni o marchi non siano protetti dalle relative leggi e regolamenti. Printed on acid-free paper Springer is part of Springer Science+Business Media (

5 A mia moglie e mia figlia

6 Prefazione alla II edizione La seconda edizione di questo testo mantiene tutte le caratteristiche della prima edizione, progettata in modo specifico per i corsi semestrali della Laurea Magistrale in Fisica: un testo di riferimento completo, autosu ciente, facilmente utilizzabile, e accessibile a studenti provenienti da indirizzi e piani di studio diversi. Contiene le principali informazioni sulla teoria gravitazionale che al giorno d oggi ogni laureato in Fisica dovrebbe possedere: si parte dalle nozioni di base della Relatività Generale, e si sviluppa la teoria gravitazionale classica sino ad argomenti di frontiera come l estensione supersimmetrica delle equazioni di Einstein. Dall epoca della prima edizione, anno 2009, sono successe però varie cose. C è stata la scoperta al CERN del bosone di Higgs (che, salvo sorprese, dovrebbe essere confermato dall ultima serie di esperimenti che verrà e ettuata, dal 2015 in poi, alle più alte energie raggiungibili dall acceleratore LHC). Inoltre, per quel che riguarda più da vicino la gravità, c è stato l annuncio (successivamente smentito!) della misura di velocità di neutrini superiori a quella della luce, e recentissima novità l annuncio dell esperimento BI- CEP2 (Marzo 2014) che sembra aver osservato gli e etti di onde gravitazionali fossili, prodotte ad altissima energia nell Universo primordiale. Tutte queste eccitanti novità, insieme all esigenza di revisionare e perfezionare alcune parti del testo originale, hanno contribuito a motivare la preparazione di questa seconda edizione, che si di erenzia dalla prima per l aggiunta di materiale di forte interesse attuale. È stata aggiunta, in particolare, una seconda appendice (l Appendice B) che fornisce una dettagliata presentazione dei modelli gravitazionali multidimensionali, motivati dalla teoria delle stringhe e delle membrane (la ricerca di eventuali dimensioni extra rientra infatti tra i principali obiettivi dell acceleratore LHC). È stata anche aggiunta, nel Capitolo 10, la nuova Sezione 10.5 che riporta una originale discussione delle misure di velocità e degli effetti di dilatazione temporale in presenza di un campo gravitazionale esterno (argomenti portati alla ribalta dai recenti esperimenti sui neutrini). Va segnalata infine, tra le novità più rilevanti, anche la Sezione 9.5 che introduce allo

7 viii Prefazione alla II edizione studio del fondo cosmico di onde gravitazionali, e in particolare agli e etti polarizzanti che tale fondo potrebbe avere sulla radiazione cosmica di tipo elettromagnetico (è proprio questa polarizzazione, infatti, che viene misurata dal citato esperimento BICEP2). In questo modo spero di aver reso il testo più completo e più rispondente alle attuali esigenze degli studenti della Laurea Magistrale in Fisica e in Astronomia. Rinnovo i miei ringraziamenti a Marina Forlizzi, Editore Esecutivo della Springer-Verlag Italia, per il suo continuo ed eccellente supporto che ha permesso di realizzare questa seconda edizione. Ringrazio anche in anticipo tutti i lettori (studenti e non) che vorranno segnalarmi errori, imprecisioni o importanti omissioni (o anche presentare critiche e commenti personali). Possono farlo inviando un messaggio di posta elettronica all indirizzo gasperini@ba.infn.it, e saranno sempre i benvenuti per la loro collaborazione. Cesena, Marzo 2014 Maurizio Gasperini

8 Prefazione Questo libro è basato su lezioni per gli studenti di Fisica tenute in passato all Università di Torino, e attualmente all Università di Bari. Tali lezioni, preparate in origine per il corso di Relatività del vecchio ordinamento di laurea, sono state recentemente rielaborate e riorganizzate per adattarsi alle esigenze del nuovo ordinamento che ha introdotto la Laurea Magistrale (o Specialistica) in Fisica. È nato così un libro di testo che si rivolge in modo specifico agli studenti dei corsi di Relatività Generale e/o Teoria della Gravitazione che oggi compaiono nel piano di studi degli indirizzi Teorico/Generale, Astrofisico, Astroparticellare della Laurea Magistrale in Fisica e in Astronomia. Scopo del testo è quello di rappresentare un riferimento che sia completo e autosu ciente per un corso di tipo semestrale, ma anche facilmente utilizzabile, e accessibile a studenti provenienti da indirizzi diversi. Per realizzare questi obiettivi il libro include una parte tradizionale che presenta la relatività generale come teoria geometrica classica del campo gravitazionale macroscopico, e una parte più avanzata che collega la relatività generale alle teorie di gauge delle interazioni fondamentali attive a livello microscopico, e che illustra i legami formali (e le di erenze fisiche) esistenti tra la gravità e le altre interazioni. In questo modo si cerca di raccordare il corso di gravità ai corsi sul modello standard, riempiendo un vuoto che non viene colmato dai testi tradizionali di relatività generale e che può creare disagio agli attuali studenti. In questo contesto sono state ridotte al minimo le parti formali di geometria di erenziale per lasciare più spazio alle moderne problematiche dell interazione gravitazionale, sia di tipo applicativo (ad esempio: la fenomenologia delle onde gravitazionali), sia di tipo teorico fondamentale (ad esempio: le interazioni gravitazionali dei campi spinoriali e la supergravità). È stata però inclusa un Appendice finale che presenta i rudimenti del cosiddetto calcolo di Cartan per le forme esterne (o forme di erenziali). Tale tecnica risulta di grande utilità non solo nel contesto della teoria gravitazionale, ma anche in molti altri campi della fisica teorica.

9 x Prefazione Un buon utilizzo di questo testo presuppone che il lettore abbia una conoscenza di base della relatività ristretta, dell elettromagnetismo e della teoria classica dei campi. Al di fuori di questo, però, il libro cerca di essere autosu ciente: le nozioni necessarie e le tecniche da utilizzare vengono di volta in volta richiamate o introdotte esplicitamente. Inoltre, per una migliore e - cacia didattica, tutti i calcoli necessari vengono svolti in maniera dettagliata nel testo (senza lasciare al lettore buchi da riempire), oppure presentati come esercizi proposti e risolti. Per questo motivo la soluzione degli esercizi è stata inserita alla fine di ogni capitolo, e costituisce parte integrante del capitolo stesso. Mi sembra doveroso anche se ovvio sottolineare che questo libro è lontano dal rappresentare un riferimento completo per uno studio rigoroso ed esauriente della teoria della gravitazione. Lo stile è quello di note e appunti per lezioni, e lo scopo è quello di fornire agli studenti le nozioni di base che li rendano in grado di approfondire e ampliare autonomamente, in seguito, gli argomenti trattati mediante l uso di testi più avanzati e professionali (si vedano ad esempio i riferimenti bibliografici finali). Va notato infine che questo libro evita deliberatamente di a rontare temi di cosmologia e astrofisica relativistica, per i quali il nuovo ordinamento di laurea prevede corsi specifici, separati da quello di Relatività Generale, ed ai quali è opportuno riservare un testo dedicato. Un apposito libro di cosmologia teorica, che rappresenta la continuazione naturale del presente testo, è attualmente in fase di preparazione da parte del sottoscritto. Ringraziamenti Desidero ringraziare in primo luogo i molti studenti e i colleghi di Torino e di Bari che nel corso degli anni hanno contribuito, con i loro commenti, suggerimenti e critiche, a correggere e migliorare queste note. Elencarli tutti sarebbe impossibile, per cui mi limito a ringraziarli collettivamente. Faccio un eccezione per l amico e collega Stefano Forte, che cura la collana di Fisica e Astronomia della Springer, perché è anche grazie al suo incoraggiamento se il progetto di questo libro si è finalmente concretizzato. Un dovuto pensiero di riconoscimento va inoltre a Venzo De Sabbata, che è stato un mio professore quando (molti anni fa!) ero studente di Fisica all Università di Bologna, e che mi ha introdotto allo studio della gravitazione e della cosmologia, stimolando il mio interesse verso questi argomenti di studio e di ricerca. Sono infine grato alla Springer-Verlag Italia, e in particolare all Editore Esecutivo Marina Forlizzi, per l assistenza ricevuta, gli utili consigli e l ottima riuscita editoriale di questo libro. Cesena, Ottobre 2009 Maurizio Gasperini

10 Notazioni e convenzioni In questo libro useremo l indice 0 per la coordinata temporale, e gli indici 1, 2, 3 per le coordinate spaziali. Per la metrica g µ dello spazio-tempo adotteremo la segnatura con autovalore temporale positivo, ossia: g µ = diag (+,,, ). Le convenzioni per gli oggetti geometrici sono le seguenti. Tensore di Riemann: R µ µ + µ (µ $ ); tensore di Ricci: R = R µ µ ; derivata covariante: r µ V µ V + µ V ; r µ V µ V µ V ; derivata covariante di Lorentz: D µ V a µ V a +! µ a b V b ; D µ V a µ V a! µ b a V b. Inoltre, il simbolo 2 indica l usuale operatore di D Alembert nello spazio di Minkowski, ossia 2 = 2 c 2 r 2, dove è l a m e t r i c a d i M i n k o w s k i e r 2 = j il Laplaciano dello spazio Euclideo tridimensionale. A meno che non sia esplicitamente indicato il contrario, useremo le lettere Latine minuscole i, j, k,... per indicare gli indici spaziali 1, 2, 3; le let-

11 xii Notazioni e convenzioni tere Greche minuscole µ,,,... per gli indici spazio-temporali 0, 1, 2, 3. In uno spazio-tempo multidimensionale, con d>3 dimensioni spaziali, indicheremo invece gli indici spazio-temporali con le lettere Latine maiuscole, A, B, C,... =0, 1, 2, 3,...,d. Gli indici racchiusi in parentesi tonde oppure quadre soddisfano, rispettivamente, le proprietà di simmetria o antisimmetria definite dalla regola: T ( ) 1 2 (T + T ), T [ ] 1 2 (T T ). Se un oggetto ha più di due indici, e gli indici da simmetrizzare o antisimmetrizzare non sono contigui, tali indici verrano separati dagli altri mediante una barra verticale. Ad esempio: T (µ ) 1 2 (T µ + T µ ), T [µ ] 1 2 (T µ T µ ), dove il primo oggetto è simmetrizzato in µ e (con fisso), mentre il secondo oggetto è antisimmetrizzato in µ e (con e fissi). E così via. La procedura di simmetrizzazione e antisimmetrizzazione può essere ovviamente estesa a un numero arbitrario di indici n 2, prendendo tutte le loro possibili permutazioni e dividendo per il numero di permutazioni n!. Nel caso di una simmetrizzazione tutte le permutazioni vanno prese col segno positivo, nel caso di una antisimmetrizzazione le permutazioni pari vanno prese col segno positivo, quelle dispari col segno negativo. Ad esempio: T (µ ) = 1 3! (T µ + T µ + T µ + T µ + T µ + T µ ), T [µ ] = 1 3! (T µ + T µ + T µ T µ T µ T µ ). E così via. Infine, il simbolo completamente antisimmetrico (o simbolo di Levi-Civita) nello spazio di Minkowski, µ = [µ ], è definito con le seguenti convenzioni: 0123 =+1, µ = µ ; le sue componenti valgono +1 se gli indici µ corrispondono a una permutazione pari di 0123, valgono 1 se gli indici µ corrispondono a una permutazione dispari di 0123, e valgono 0 se ci sono due o più indici uguali. Il sistema di unità che verrà usato per le stime numeriche è il sistema CGS, dove le equazioni di Maxwell assumono la µ F µ = 4 c j, F µ µ A µ, A µ =(, A).

12 Notazioni e convenzioni xiii Nella trattazione dei campi scalari e spinoriali useremo invece il cosiddetto sistema di unità naturali, nel quale la velocità della luce c e la costante di Planck h sono posti uguale ad uno. In questo sistema la costante di Newton G acquista dimensioni di lunghezza al quadrato (o inverso di massa al quadrato), ed è collegata alla massa di Planck M P e alla lunghezza di Planck P dalla relazione: In unità CGS: G 1 = M 2 P = 2 P. 1/2 hc M P = ' g, G 1/2 G h ' cm. P = c 3 L energia associata alla massa di Planck è data da E P = M P c 2 ' GeV, dove 1 GeV = 10 9 ev è la scala di energia associata alla massa di riposo del protone. La scala di energia di Planck controlla l intensità dell accoppiamento gravitazionale relativamente alle altre interazioni presenti su scala microscopica, e determina l importanza delle correzioni quantistiche alle equazioni gravitazionali classiche.

13 Indice Prefazione alla II edizione... Prefazione... Notazioni e convenzioni... vii ix xi 1 Complementi di relatività ristretta Simmetrie e leggi di conservazione Traslazioni globali e tensore canonico energia-impulso Non-univocità della definizione Trasformazioni di Lorentz e tensore momento angolare Simmetrizzazione del tensore energia-impulso Esempi di tensore energia-impulso Campo scalare Campo elettromagnetico Particella puntiforme Fluido perfetto Esercizi Capitolo Soluzioni Verso una teoria relativistica della gravitazione I postulati della geometria Riemanniana Il principio di equivalenza Esercizi Capitolo Soluzioni Calcolo tensoriale in una varietà di Riemann Tensori covarianti e controvarianti Densità tensoriali Trasformazioni infinitesime, isometrie e vettori di Killing Trasformazioni infinitesime al secondo ordine Derivata covariante e connessione a ne

14 xvi Indice Curve autoparallele Torsione, non-metricità e simboli di Christo el Utili regole di calcolo di erenziale covariante Traccia della connessione di Christo el Derivata covariante di densità tensoriali Divergenza e D Alembertiano covariante Esercizi Capitolo Soluzioni Equazioni di Maxwell e geometria di Riemann Il principio di minimo accoppiamento Accoppiamento tra campo elettromagnetico e geometria Le equazioni di Maxwell generalizzate Analogia con le equazioni in un mezzo ottico Esercizi Capitolo Soluzioni Corpi di prova e segnali nello spazio-tempo di Riemann Moto geodetico di un corpo libero puntiforme Limite Newtoniano Dilatazione temporale e spostamento delle frequenze Spostamento spettrale in un campo Newtoniano Esercizi Capitolo Soluzioni Deviazione geodetica e tensore di curvatura L equazione di deviazione geodetica Il tensore di curvatura di Riemann Un esempio: varietà a curvatura costante Esercizi Capitolo Soluzioni Equazioni di Einstein per il campo gravitazionale Azione gravitazionale ed equazioni di campo Contributo di bordo Contributo dell azione materiale Equazioni di Einstein Il tensore dinamico energia-impulso Esempi: campo scalare, vettoriale, sorgente puntiforme Equazioni di Einstein con costante cosmologica Conservazione dell energia-impulso e moto dei corpi di prova. 133 Esercizi Capitolo Soluzioni

15 Indice xvii 8 Approssimazione di campo debole Equazioni di Einstein linearizzate Il gauge armonico Metrica dello spazio-tempo per un campo debole e statico Deflessione dei raggi luminosi Ritardo dei segnali radar Misure di velocità in un campo gravitazionale Esercizi Capitolo Soluzioni Le onde gravitazionali Propagazione delle fluttuazioni metriche nel vuoto Stati di polarizzazione ed elicità Emissione di radiazione nell approssimazione quadrupolare Campo gravitazionale nella zona d onda Tensore energia-impulso dell onda gravitazionale Potenza media irradiata Esempio: sistema stellare binario Interazione tra onde polarizzate e materia L oscillatore smorzato come esempio di rivelatore I rivelatori attualmente operanti E etto polarizzante della radiazione gravitazionale fossile Esercizi Capitolo Soluzioni La soluzione di Schwarzschild Equazioni di Einstein a simmetria sferica nel vuoto Teorema di Birkho e soluzione di Schwarzschild Limite di campo debole Precessione del perielio Orizzonte degli eventi e coordinate di Kruskal Struttura causale della geometria di buco nero Tempo proprio per osservatori in moto in un campo statico Esercizi Capitolo Soluzioni La soluzione di Kasner Equazioni di Einstein per una metrica omogenea anisotropa Soluzioni multidimensionali nel vuoto Esercizi Capitolo Soluzioni

16 xviii Indice 12 Tetradi e connessione di Lorentz Proiezione sullo spazio piatto tangente Simmetrie locali e campi di gauge Invarianza locale di Lorentz e derivata covariante La condizione di metricità per le tetradi La connessione di Levi-Civita e i coe cienti di Ricci Tensore di curvatura e azione gravitazionale Esercizi Capitolo Soluzioni Equazione di Dirac in un campo gravitazionale Richiami di formalismo spinoriale Equazione di Dirac covariante e localmente Lorentz-invariante Accoppiamento geometrico alla corrente assiale e vettoriale Forma simmetrizzata dell azione covariante di Dirac Esercizi Capitolo Soluzioni Supersimmetria e supergravità Supersimmetria globale nello spazio-tempo piatto Esempio: il modello di Wess-Zumino Il campo di Rarita-Schwinger Supersimmetria globale nel sistema gravitone-gravitino Supergravità N =1inD = 4 dimensioni Equazioni di campo per la metrica e il gravitino Esercizi Capitolo Soluzioni Appendice A Il linguaggio delle forme di erenziali A.1 Operazioni con le forme di erenziali A.1.1 Prodotto esterno A.1.2 Derivata esterna A.1.3 Dualità e co-di erenziale A.2 Forme di base e di connessione: derivata covariante esterna A.3 Forme di torsione e di curvatura: equazioni di struttura A.3.1 Teoria di gauge per il gruppo di Poincarè A.3.2 Identità di Bianchi A.4 Equazioni di campo con il metodo variazionale di Palatini A.4.1 Relatività generale ed equazioni di Einstein-Cartan A.4.2 Sorgenti con spin e geometria con torsione A.4.3 Un semplice modello di supergravità

17 Indice xix Appendice B Gravità multidimensionale B.1 Il modello di Kaluza-Klein B.1.1 Riduzione dimensionale in D =4+n dimensioni B.1.2 Compattificazione spontanea B.2 Le membrane-universo B.2.1 Confinamento della gravità B.2.2 Correzioni a corto raggio Bibliografia Indice analitico