FONDAMENTI MATEMATICI DELLA FISICA

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1 FONDAMENTI MATEMATICI DELLA FISICA MACROSCOPICA: UN PERCORSO GEOMETRICO C. LO SURDO

2 2 INDICE 0.0 PRESENTAZIONE CONSIDERAZIONI GENERALI E PIANO DI LAVORO I CONTENUTI CAPITOLO PER CAPITOLO: SINTESI E COMMENTI ISTRUZIONI PER L USO 0.1 INTRODUZIONE: ALCUNE RIFLESSIONI SULLE TEORIE FISICO-MATEMATICHE PREMESSA RAGIONAMENTO ASSIOMATICO-DEDUTTIVO VS. RAGIONAMENTO INDUTTIVO MATEMATICA SIGNIFICANTE VS. MATEMATICA NON SIGNIFICANTE SCIENZE MATEMATIZZABILI VS. SCIENZE NON MATEMATIZZABILI, E ALTRI COMMENTI PARTE PRIMA GEOMETRIA EUCLIDEA E PSEUDOEUCLIDEA CAP.1 LA GEOMETRIA EUCLIDEA 1.1 LA GEOMETRIA COME PROTOTIPO DI TEORIA FISICO-MATEMATICA GENERALITÀ E INQUADRAMENTO STORICO GEOMETRIA EUCLIDEA SINTETICA E ANALITICA 1.2 UNA FORMALIZZAZIONE METRICA DELLA GEOMETRIA EUCLIDEA INTRODUZIONE I PRIMI NOVE ASSIOMI E LA GEOMETRIA SPECIALE DELLA RETTA I SUCCESSIVI OTTO ASSIOMI E LE GEOMETRIE DIADICHE DEL PIANO E DELLO SPAZIO GLI ULTIMI DUE ASSIOMI: LA GEOMETRIA ASSOLUTA E LA GEOMETRIA EUCLIDEA 1.3 L ISOMORFISMO TRA H n E LO SPAZIO CARTESIANO REALE n-dimensionale R n R n COME MODELLO NORMALE DI H n : PARTE PRIMA R n COME MODELLO NORMALE DI H n : PARTE SECONDA 1.4 QUESTIONI DI ESTENSIONE E ORIENTAMENTO, CONCLUSIONI ESTENSIONE ORIENTAMENTO CONSIDERAZIONI CONCLUSIVE

3 3 APP. SPEC. CAP. 1 1.A LE RELAZIONI D ORDINE 1.B LE FUNZIONI Cos E Sin CAP. 2 LA GEOMETRIA PSEUDOEUCLIDEA 2.1 PREMESSA: LO SPAZIO-TEMPO DI EUCLIDE-NEWTON ELEMENTI DI CINEMATICA EUCLIDEA-NEWTONIANA ELEMENTI DI DINAMICA NEWTONIANA 2.2 INTRODUZIONE ALLA CINEMATICA E ALLA DINAMICA RELATIVISTICHE SPECIALI CINEMATICA RELATIVISTICA SPECIALE E TRASFORMAZIONI DI LORENTZ RUDIMENTI DI DINAMICA RELATIVISTICA SPECIALE 2.3 INTRODUZIONE ALLA GEOMETRIA PSEUDOEUCLIDEA GLI SPAZI PSEUDOEUCLIDEI (NOZIONI DI BASE) LO SPAZIO DI MINKOWSKI (NOZIONI DI BASE) 2.4 ALGEBRA E GEOMETRIA DELLO SPAZIO DI MINKOWSKI PARTE PRIMA PARTE SECONDA 2.5 INTRODUZIONE ALL ELETTROMAGNETISMO MAXWELLIANO LE EQUAZIONI DI MAXWELL-LORENTZ LA TEORIA EM NEL LINGUAGGIO DEL CALCOLO TENSORIALE L ELETTROMAGNETISMO NEI CONTINUI MATERIALI APP. SPEC. CAP. 2 2.A SPOSTAMENTI RIGIDI E CINEMATICA CLASSICA 2.B PROCEDURE DI SINCRONIZZAZIONE 2.C COMPLEMENTI SULLE TRASFORMAZIONI DI LORENTZ 2.D LE FORMULE DI TRASFORMAZIONE DI LORENTZ PARALLELA 2.E INDUZIONE DI LEGGI DI CONSERVAZIONE IN MECCANICA RELATIVISTICA SPECIALE (SECONDO LEWIS E TOLMAN) 2.F ANCORA SULLA RELAZIONE TRA MASSA DI QUIETE E MASSA DI MOTO 2.G DESCRIZIONE LAGRANGIANA E DESCRIZIONE EULERIANA DEL MOTO DI UN CONTINUO 2.H ELEMENTI DI DINAMICA CLASSICA E RELATIVISTICA DEI MEZZI MATERIALI CONTINUI 2.I I PARADOSSI DELLE VELOCITÀ SUPERLUMINALI IN RELATIVITÀ SPECIALE

4 4 PARTE SECONDA STRUMENTI MATEMATICI DI BASE CAP. 3 STRUMENTI MATEMATICI I 3.1 ELEMENTI DI ALGEBRA MULTILINEARE E TENSORIALE IN SPAZI PSEUDOEUCLIDEI FORME κ-lineari κ-tensori FORME SIMMETRICHE E ANTISIMMETRICHE 3.2 SVILUPPI E APPLICAZIONI DELL ALGEBRA TENSORIALE SULLE TRASFORMAZIONI ORTOGONALI E PSEUDORTOGONALI PSEUDOTENSORE DI LEVI-CIVITA ALCUNE APPLICAZIONI ALLA FISICA B-ORTOGONALITÀ E SOTTOSPAZI GRAMIANI E PROIETTORI ORTOGONALI OPERATORI LINEARI SIMMETRICI E HERMITIANI, AUTOPROBLEMI INVARIANTI SCALARI 3.3 ANALISI TENSORIALE LOCALE IN SPAZI PSEUDOEUCLIDEI E IN LORO VARIETÀ IMMERSE I CAMPI TENSORIALI, BASI CARTESIANE E BASI LOCALI DERIVAZIONE DI UN CAMPO TENSORIALE IN UNA BASE LOCALE 3.4 ANALISI TENSORIALE LOCALE IN SPAZI PSEUDOEUCLIDEI E IN LORO VARIETÀ IMMERSE II DERIVAZIONE DI CAMPI TENSORIALI INTERNA A VARIETÀ IMMERSE IL TENSORE DI RIEMANN IN VARIETÀ IMMERSE 3.5 TEORIA DELLA CURVATURA PER VARIETÀ EMBEDDED IN UNO SPAZIO EUCLIDEO m-dimensionale INTRODUZIONE CASO DELLE CURVE, n = CASO DELLE (IPER)SUPERFICI, 2 n = m CASO DELLE VARIETÀ, 2 n < m 1 APP. SPEC. CAP. 3 3.A NOTA SUL TENSORE FONDAMENTALE IN RELATIVITÀ SPECIALE 3.B ALCUNI ASPETTI DELLA GEOMETRIA DIFFERENZIALE DI UNA SUPERFICIE IMMERSA IN R 3

5 5 CAP 4 STRUMENTI MATEMATICI II 4.1 VARIETÀ TOPOLOGICHE E DIFFERENZIABILI NOZIONI DI BASE I NOZIONI DI BASE II ESEMPI E COMMENTI 4.2 CALCOLO DIFFERENZIALE SU VARIETÀ APPLICAZIONI DI UNA VARIETÀ IN UNA VARIETÀ CALCOLO DIFFERENZIALE DEL 1 ORDINE SU O TRA VARIETÀ APPROCCI ALTERNATIVI AL CALCOLO DIFFERENZIALE SU O TRA VARIETÀ 4.3 ALGEBRA/ANALISI DIFFERENZIALE DI CAMPI a,b -TENSOR. SU VARIETÀ ASTRATTE ALGEBRA DEI a,b -TENSORI CAMPI TENSORIALI IN VARIETÀ A CONNESSIONE AFFINE CAMPI TENSORIALI RELATIVI E CAMPI PSEUDOTENSORIALI 4.4 ALGEBRE DELLE FORME SIMMETRICHE E ANTISIMMETRICHE INTRODUZIONE FORME (COMPLETAMENTE) SIMMETRICHE ED ANTISIMMETRICHE ALGEBRE DI GRASSMANN 4.5 INTRODUZIONE AL CALCOLO DIFFERENZIALE ESTERNO DALLE FORME DIFFERENZIALI ESTERNE AL LEMMA DI POINCARÉ INVERSO TEOREMI DEL TIPO FROBENIUS IL TEOREMA DI GAUSS-BONNET APP. SPEC. CAP. 4 4.A ESTENSIONE DELLE FORMULE DI FRENET-SERRET A UNA VARIETÀ PSEUDORIEMANNIANA 4.B COMPLEMENTI: OLTRE IL PULL-BACK 4.C LE GEOMETRIE A CONNESSIONE AFFINE CON TENSORE FONDAMENTALE. CENNI ALLE TEORIE FISICHE UNITARIE CAP 5 STRUMENTI MATEMATICI III 5.1 INTEGRAZIONE INTEGRAZIONE SU SPAZI CARICHI J-MISURA DI SOTTOINSIEMI NOTEVOLI DI R n INTEGRAZIONE SU SOTTOVARIETÀ DI R n ESTENSIONI AGLI L-INTEGRALI 5.2 IL RAPPORTO DIFFERENZIAZIONE-INTEGRAZIONE I IL TEOREMA DI GAUSS-OSTROGRADSKIJ

6 ESEMPI ED APPLICAZIONI I ESEMPI ED APPLICAZION II (TEORIA DEL POTENZIALE NEWTONIANO) ESEMPI ED APPLICAZIONI III (TEORIA DEI POTENZIALI ELETTROMAGNETICI) 5.3 IL RAPPORTO DIFFERENZIAZIONE-INTEGRAZIONE II EQUAZIONI DIFFERENZIALI E LORO SISTEMI: GENERALITÀ IL PROBLEMA DI CAUCHY NORMALE NELLA TEORIA DEI SDP IL PROBLEMA DI CAUCHY GENERALIZZATO NELLA TEORIA DEI SDP 5.4 L EQUAZIONE DIFFERENZIALPARZIALE DEL 1 ORDINE IL CASO PROTOTIPO CON 2 VARIABILI INDIPENDENTI IL CASO GENERALE CON n 2 VARIABILI INDIPENDENTI L INTEGRALE COMPLETO APP. SPEC. CAP. 5 5.A I PROBLEMI DI DIRICHLET E DI NEUMANN, INTERNI ED ESTERNI CAP. 6 STRUMENTI MATEMATICI IV 6.1 ELEMENTI DI CALCOLO DELLE VARIAZIONI I GENERALITÀ LE EQUAZIONI DI EULERO-LAGRANGE NEL CASO UNIDIMENSIONALE PROBLEMI VARIAZIONALI UNIDIMENSIONALI CONDIZIONATI 6.2 APPLICAZIONI DEL CDV UNIDIMENSIONALE RASSEGNA DI PROBLEMI CLASSICI GEODETICHE DI UNA VARIETÀ RIEMANNIANA 6.3 DINAMICA ANALITICA CLASSICA I DALLA DINAMICA DEI SISTEMI DI PUNTI MATERIALI ALLA DINAMICA LAGRANGIANA LE BASI CONCETTUALI DELLA DINAMICA HAMILTONIANA TRASFORMAZIONI CANONICHE I TRASFORMAZIONI CANONICHE II (PARENTESI DI LAGRANGE E DI POISSON) 6.4 DINAMICA ANALITICA CLASSICA II L EQUAZIONE DI HAMILTON-JACOBI APPLICAZIONI DELL EQUAZIONE DI HAMILTON-JACOBI ELEMENTI DI DINAMICA CELESTE I ELEMENTI DI DINAMICA CELESTE II APP. SPEC. CAP. 6 6.A SULLA RAPPRESENTAZIONE POLARE DELLE CONICHE 6.B FORMULAZIONE LAGRANGIANA/HAMILTONIANA DELLA DINAMICA RELATIVISTICA SPECIALE DI UN PUNTO MATERIALE CARICO

7 7 CAP. 7 STRUMENTI MATEMATICI V 7.1 ELEMENTI DI CALCOLO DELLE VARIAZIONI II FONDAMENTI DEL CDV MULTIDIMENSIONALE ESEMPI DI APPLICAZIONE DEL CDV MULTIDIMENSIONALE I ESEMPI DI APPLICAZIONE DEL CDV MULTIMENSIONALE II 7.2 ELEMENTI DI CALCOLO DELLE VARIAZIONI III COMPLEMENTI DI CDV SUL TEOREMA DI NOETHER 7.3 PROBLEMI VARIAZIONALI OMOGENEI DEL 1 ORDINE PROBLEMI OMOGENEI UNIDIMENSIONALI PROBLEMI OMOGENEI MULTIDIMENSIONALI (CENNI) APP. SPEC. CAP. 7 7.A DISCONTINUITÀ DI SOLUZIONI DI SDP QUASI-LINEARI PARTE TERZA COMPLEMENTI DI GEOMETRIA DIFFERENZIALE E DI RELATIVITÀ SPECIALE, RELATIVITÀ GENERALE CAP. 8 COMPLEMENTI DI GEOMETRIA DIFFERENZIALE 8.1 COMPLEMENTI DI GEOMETRIA DIFFERENZIALE LOCALE I n-superfici IMMERSE IN UNO SPAZIO EUCLIDEO: UNA RIVISITAZIONE ALTERNATIVA PARALLELISMO GEODETICO E COORDINATE SEMIGEODETICHE SUL TRASPORTO PARALLELO (DI UN VETTORE LUNGO UNA CURVA SU UNA SUPERFICIE) SUPERFICI IMMERSE IN UNO SPAZIO MINKOWSKIANO 3-DIMENSIONALE 8.2 COMPLEMENTI DI GEOMETRIA DIFFERENZIALE LOCALE II GEOMETRIA DELLE VARIETÀ ELEMENTARI PSEUDORIEMANNIANE GEOMETRIA DELLE VARIETÀ ELEMENTARI A CONNESSIONE AFFINE 8.3 COMPLEMENTI DI GEOMETRIA DIFFERENZIALE LOCALE III ALGEBRA DEI CAMPI TENSORIALI SU VARIETÀ DERIVAZIONE DI CAMPI TENSORIALI SU VARIETÀ ORDINARIE. DERIVATA DI LIE

8 8 8.4 ELEMENTI DI TEORIA DELL INTEGRAZIONE SU VARIETÀ ELEMENTARI PROPEDEUTICA IL TEOREMA DI POINCARÉ-STOKES ESEMPI ED APPLICAZIONI 8.5 INTEGRAZIONE DI FORME DIFFERENZIALI ESTERNE SU VARIETÀ: COMPLEMENTI κ-forme E DUALITÀ DI HODGE CODIFFERENZIAZIONE IL PROBLEMA -δ I TEOREMI DI DE RHAM APP. SPEC. CAP. 8 8.A SUI MODELLI CANONICI DEL PIANO ELLITTICO E DI QUELLO IPERBOLICO CAP. 9 COMPLEMENTI DI RELATIVITÀ SPECIALE, RELATIVITÀ GENERALE 9.1 NOTA STORICA: DA GAUSS A EINSTEIN VERSO LE GEOMETRIE NON EUCLIDEE LA RELATIVITÀ SPECIALE LA RELATIVITÀ GENERALE LA RELATIVITÀ E I FATTI OSSERVATIVI 9.2 SULLA GEOMETRIA DI UNA VARIETÀ LORENTZIANA PARTE PRIMA: APPROFONDIMENTI ALGEBRICI PARTE SECONDA: APPROFONDIMENTI ANALITICI TETRADI E MATRICI LORENTZIANE, TRASPORTO ALLA FERMI-WALKER COMPLEMENTI SUL TENSORE DI RIEMANN 9.3 LA TEORIA RELATIVISTICA GENERALE PRELIMINARI FONDAMENTI DI RELATIVITÀ GENERALE: PARTE PRIMA FONDAMENTI DI RELATIVITÀ GENERALE: PARTE SECONDA FONDAMENTI DI RELATIVITÀ GENERALE: PARTE TERZA FONDAMENTI DI RELATIVITÀ GENERALE: PARTE QUARTA 9.4 APPLICAZIONI E COMPLEMENTI I ANALISI GEODETICA IN RIFERIMENTI NON INERZIALI IL PARADOSSO DEI GEMELLI E LA SUA SOLUZIONE MEDIANTE LA TRASFORMAZIONE DI MØLLER SUL TENSORE ENERGETICO TOTALE MEZZO MATERIALE CONTINUO CON SFORZI DI CONTIGUITÀ 9.5 APPLICAZIONI E COMPLEMENTI II

9 LE METRICHE, ESTERNA ED INTERNA, DI SCHWARZSCHILD CAMPI VETTORIALI DI KILLING, K-SIMMETRIE IL TEOREMA DI BIRKHOFF DINAMICA RELATIVISTICA GENERALE DEL PUNTO MATERIALE E DEL FOTONE APP. SPEC. CAP. 9 9.A SULLA DEDUZIONE EINSTEINIANA DELLE TRASFORMAZIONI DI LORENTZ SPECIALI 9.B TRASFORMAZIONI DI LORENTZ PARALLELE DI κ-tensori 4-DIMENSIONALI 9.C TRASFORMAZIONE DI LORENTZ PARALLELA DEL 2-TENSORE DEGLI SFORZI MECCANICI 9.D L-TRASFORMAZIONI E L-BOOSTS 9.E MOTI RADIALI E CIRCOLARI DI PUNTI MATERIALI O DI FOTONI IN UNA VARIETÀ DI SCHWARTZSCHILD ESTERNA 9.F SULLE VARIETÀ CARATTERISTICHE DELLE EQUAZIONI DI EH 9.G NOTA SULLE COORDINATE PSEUDOARMONICHE APPENDICI GENERALI APP. GEN. A NOZIONI ELEMENTARI DI LOGICA E TEORIA DEGLI INSIEMI A.0 PREMESSA A.1 LOGICA E TEORIA DEGLI INSIEMI: NOTAZIONI, MORFOLOGIA, INTERPRETAZIONE INTUITIVA A.2 GENERALITÀ SULLA TEORIA DELLA DEDUZIONE A.3 GLI ASSIOMI E SCHEMI DI ASSIOMI DELLA TEORIA DEGLI INSIEMI, E ALCUNE DELLE LORO CONSEGUENZE A.4 ALCUNE CONSIDERAZIONI SULLA FONDAZIONE E LA FORMALIZZAZIONE DELLE TEORIE MATEMATICHE A.5 SEMANTICA DEI SISTEMI FORMALI E TEORIA DEI MODELLI (CENNI) APP. GEN. B GLOSSARIO RAGIONATO DI TOPOLOGIA B.0 PREMESSA B.1 DEFINIZIONI FONDAMENTALI B.2 CONTINUITÀ, CONNESSIONE, COMPATTEZZA, CICLI, GRUPPO FONDAMENTALE, ECC. APP. GEN. C STRUTTURE DI MISURA C.0 CENNI STORICI C.1 MISURA DI LEBESGUE SUL QUADRATO UNITARIO C.2 STRUTTURE DI PRE-MISURA C.3 L-MISURE E J-MISURE ASTRATTE APP. GEN. D INTRODUZIONE ALLA SCIENZA COMPUTAZIONALE D.1 RISOLUZIONE APPROSSIMATA DI EQUAZIONI D.2 RISOLUZIONE APPROSSIMATA DI EQUAZIONI: ESEMPI ED APPLICAZIONI D.3 GENERALITÀ SULL ANALISI FUNZIONALE-NUMERICA

10 10 D.4 ESEMPI DI METODI COSTRUTTIVI PER LA SOLUZIONE DI EQUAZIONI ASTRATTE D.5 I SISTEMI DINAMICI E IL CAOS DETERMINISTICO (CENNI) APP. GEN. E SUI FONDAMENTI DELLA TERMODINAMICA CLASSICA E.1 IL 1 PRINCIPIO E.2 LA TESI DI CARNOT E LA TEMPERATURA ASSOLUTA E.3 IL 2 PRINCIPIO, L ENTROPIA E I POTENZIALI TERMODINAMICI E.4 CONSIDERAZIONI CONCLUSIVE (DAL PUNTO DI VISTA FISICO-MATEMATICO) APP. GEN. F ELEMENTI DI TEORIA COSMOLOGICA MACROSCOPICA F.1 CENNI STORICI F.2 I MODELLI COSMOLOGICI DI EINSTEIN E DI DE SITTER F.3 IL MODELLO COSMOLOGICO STANDARD F.4 APPLICAZIONI DEL MODELLO COSMOLOGICO STANDARD: FRIEDMANN E LEMAITRE BIBLIOGRAFIA GENERALE ACRONIMI GLOSSARI INDICE DEI NOMI NOTEVOLI