2 + cos 2 ' 2. (4.41) + cos sin ' 2 =0. (4.42) = tan, in accordo con (3.322). Tutti gli altri sono nulli.

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1 86 CHAPTER 4. FONDAMENTI DELLA RELATIVITÀ GENERALE [disegno sfera] Nel caso Lorentziano, Ttra due punti x, y che possono essere collegati da un curva di tipo tempo, si può sempre trovare una curva di tipo tempo di lunghezza arbitrariamente piccola (cf fig.??). Può capitare che esista una curva di lunghezza massimale, in quel caso è necessariamente una geodetica (ma di nuovo, una geodetica non è necessariamente una curva di lunghezza massima). [disgegno curva tempo approssimata da curve luce] Nello spazio di Minkowski, si dimostra che le geodetiche sono le curve che massimizzano il tempo proprio. [disegno] Osservazione I.6. * Sapere che una geodetica è soluzione delle equazioni di Euler-Lagrange permette di calcolare più semplicemente le componenti della connessione di Levi-Cita. Ad esempio la metrica della sfera di raggio r =1è g = d d + cos 2 d' d' (cf (3.319). Quindi L equazioni di Euler-Lagrange per dà F = cos 2 ' 2. (4.41) + cos sin ' 2 =0. (4.42) Paragonando con (4.40)) viene '' = cos sin, in accordo con (3.321). L equazione per ', 0= d ds cos2 ' = cos 2 ' 2 cos sin ' cioè ' tan ' tan ' =0, (4.43) dà ' ' = ' ' = tan, in accordo con (3.322). Tutti gli altri sono nulli. I.5 Forze di marea In un campo gravitazionale non uniforme, due corpi in caduta libera lungo due traiettorie inizialmente paralleli avranno tendenza a avvicinarsi o allontanarsi uno dall altro. Si osservà quindi un accelerazione relativà tra di loro, che classicamente viene interpretata come una forza di marea gravitazionale. In relatività generale, questo fenomeno è descritto geometricamente come accelerazione relativa tra geodetiche, anche chiamata deviazione geodetiche. Consideriamo dei corpi in caduta libera, con condizioni iniziali (posizione e velocità) molti vicini. Questa configurazione è compatibile con l assunzione che le traiettorie di cadute libere sono delle geodetiche, perchè abbiamo visto che ad ogni punto p di una varietà M (cioè per ogni condizione iniziale sulla posizione) e per qualunque vettore in T p M (cioè per ogni condizione iniziale sulla velocità) passa una e una sola geodetica. Otteniamo quindi una famiglia s di geodetiche (di tipo tempo) vicine una dell altra, parametrizzata da un numero reale s che corre dentro un intorno I 2 R di 0. Assumiamo che la dipendenze nel parametro s sia tale che la mappa ' : (s, t) 7! s (t) (4.44) sia liscia con inversa ' 1 liscia, dove t varia in un aperto J di 0. L insieme delle geodetiche s forma una superficie in M. Essendo l imagine dell aperto I J di R 2 sotto la mappa

2 I. MOTO NEL CAMPO GRAVITAZIONALE 87 liscia ', questa superficie è una sottovarietà di dimensione 2 di M. La mappa ' 1 fornisce una carta, con coordinate (s, t). [disegno ] Denotiamo = = (4.45) i due campi vettoriali associate alle coordinate s, t, con X e T le loro componenti nelle coordinate x =0,1,2,3,4 di M. Siccome t e s sono delle coordinate in una mappa, d d dt ds = d d ds dt, cioè [X, T] =0. (4.46) La commutatività dei campi X e T ha conseguenze sulle loro derivate covariante. Quest ultima essendo associata alla connessione di Levi-Civita, che non ha torsione, abbiamo da (3.174) ed è metrica, cioè da (3.258) e (3.267) viene r U V r V U =[U, V ] 8 U, V 2 X(M), (4.47) r W (g(u, V )) = g(r W U, V )+g(u, r W V ) 8 U, V, W 2 X(M). (4.48) Perciò, per campi vettoriali commutativi come X e T, da (4.47) viene mentre da (4.48) otteniamo r X T = r T X, (4.49) r T (g(x, T)) = g(r T X, T)+g(X, r T T ) (4.50) = g(r T X, T) =g(r X T,T)= 1 2 r X(g(T,T)), (4.51) dove nell ultima uguaglianza abbiamo notato che T è un campo tangente a una geodetica (cioè r T T = 0), poi usiamo (4.48) insieme alla simmetria del tensore metrico per scrivere r X (g(t,t)) = g(r X T,T)+g(T,r X T )=2g(r X T,T). (4.52) Senza perdità di generalità, possiamo sempre assumere che t parametrizza ogni geodetica s in modo a ne. Inoltre, con una scelta opportuna della parametrizzazione, si può sempre fare in modo che X e T siano ortogonali. Per mostrarlo useremmo il seguente lemma che classifica tutte le parametrizzazioni a ni di una geodetica. Lemma I.7. Sia t un parametro a ne di una geodetica c in una varietà (pseudo)-riemanniana. Allora ogni combinazione lineare t 0 = at + b con a, b dei costanti reali, a 6= 0, è un parametro a ne di c, e ogni parametro a ne è di questo tipo. Proof. Sia ċ il vettore tangente a c(t). Uno ha c 0 := d dt 0 = dt d dt 0 dt = dt ċ. (4.53) dt0

3 88 CHAPTER 4. FONDAMENTI DELLA RELATIVITÀ GENERALE Usando le proprietà della derivata covariante, si ottiene dt r c 0c 0 = r c 0 dt 0 ċ = c 0 [ dt dt ]ċ + dt0 dt 0 r c0ċ, (4.54) = d2 t dt 2 dt 02 ċ + dt 0 rċ ċ = d2 t ċ (4.55) dt02 Queste si annula se e solo se t 0 = at + b con a, b costanti. Proposizione I.8. Esiste una carta s, t di tale che g(x, T) =0. (4.56) Proof. *Sia(s, t) una carta di tale che t sia un parametro a ne per ogni geodetica. Sia t 0 = a(s)t un altra parametrizzazione a ne di s, dovea è una funzione liscia di s che mai si annula. Abbiamo @t = at 0 dove T 0. (4.57) Siccome a dipende da s, il campo vettoriale T 0 = 1 at non commuta con X. Conviene quindi trasformare la coordinate s in s 0 (t, s), in tale modo che X commuta con T 0. 0 Una possibilità è scegliere s 0 tale che il Jacobiano della trasformazione (s, t) 7! (s 0,t 0 ) abbia determinante 1, ad esempio s 0 (s, t) = (s) con una funzione di s di derivata 1 a. Allora = = a 0 tt a X0 dove X 0 (4.58) e a 0 è la derivata (rispetto a s) della funzione a. Il sistema (4.57)- (4.58) si inverte in X 0 = ax a 0 tt, T 0 = 1 T, (4.59) a e si verifica - sfruttando (4.46) che da [fx,gt]=fx[g]t gt[f]x -che Notando che [X 0,T 0 ]=[ax, 1 a T ] [a0 tt, 1 a T ], (4.60) = ax[ 1 a ]T 1 a T [a]x a0 tt [ 1 a ]T + 1 a T [a0 t]t, (4.61) a 0 = a T a a0 T =0. (4.62) a 2 g(t 0,T 0 )= 1 g(t,t), (4.63) a2 si può fissare a(s) tale che g(t 0,T 0 ) t 0 =0 non dipende da s, e quindi non da s 0. Da (4.51) segue r T 0g(X 0,T 0 )] = 0, il cui significa che g(x 0,T 0 ) è costante lungo ogni geodetica. Facendo un ulteriore cambio di coordinate (s 0,t 0 ) 7! (s 00 := s 0,t 00 := t 0 + b(s 0 )), otteniamo T 0 = T 00 T X 0 = b 0 T 00 + X 00 =) 00 = T 0 X 00 = X 0 b 0 T 0. (4.64)

4 I. MOTO NEL CAMPO GRAVITAZIONALE 89 Si verifica che [X 00,T 00 ]=[X 0,T 0 ] [bt 0,T 0 ] = 0, di conseguenza ripetendo l analisi di sopra viene che g(x 00,T 00 )=g(t 0,X 0 ) b 0 g(t 0,T 0 ) (4.65) è costante lungo ogni geodetica. Scegliendo b 0 in modo opportuno, si rende questa costante zero lungo ogni geodetica. Allora g(x 00,T 00 )=0sututto,cioèX 00,T 00 sono ortogonali. La derivata covariante di X lungo la geodetica è chiamata il vettore velocità di deviazione, v := r T X. (4.66) La derivata covariante della velocità è il vettore di accelerazione relative delle geodetiche, a := r T v = r T (r T X). (4.67) Proposizione I.9. L accelerazione relative delle geodetiche è proporzionale alla curvatura, Proof. Dalla definizione (3.173) del tensore di Riemann, viene a = R(T,X,T). (4.68) R(T,X,T)=r T r X T r X r T T r [T,X] T, (4.69) dove l ultima uguaglianza segue da (4.49) e [X, T] = 0. = r T r T X, (4.70) L equazione (4.68) è chiamata l equazione delle deviazione delle geodetiche. Geodetiche che sono parallele (r T X = 0) al tempo non lo sono più necessariamente ad un tempo ulteriore, almeno che il tensore di Riemann sia zero. Questa possibilità di descrivere le forze di marea grazie al tensore di Riemann ra orza la coerenza del asserzione seconda quale gli e etti della gravitazione possono essere completamente descritti come e etti geometrici dovuti alla curvatura dello spazio tempo. In geometria di erenziale, l accelerazione relativa è chiamata campo di Jacobi, definito come soluzione dell equazione I.6 Coordinate normali (r T r T J)+R(J, T, T )=0. (4.71) Abbiamo visto nella proposizione IV.11 del capitolo 3 che ad ogni punto p di una varietà (pseudo)-riemanianna (M,g) esiste un unica geodetica c V tangente ad un dato V 2 T p M. Questo fatto permette di costruire, in un intorno di p, un sistema di coordinate molto comodo per i calcoli, e che da un senso preciso all idea secondo cui lo spazio-tempo della relatività generale rassomiglia localmente allo spazio-tempo di Minkowski della relatività ristretta. Queste coordinate sono chiamate coordinate normali e sono costruite usando l esponenziale di un vettore, già introdotto per un campo vettoriale nella sezione II.4 del capitolo 3. Più precisamente, dato p 2M, uno definisce la mappa esponenziale exp : T p M!U p M (4.72) V 7! c V (1) (4.73)

5 90 CHAPTER 4. FONDAMENTI DELLA RELATIVITÀ GENERALE dove c V è l unica geodetica tale che c V (0) = p e ċ V p = V. (4.74) Per un vettore V di norma troppo grande, può capitare che la geodetica c V incontra una singolarità, o incrocia un altrà geodetica, prima di raggiungere il valore 1 del parametro. Però si dimostra (cf la referenza in Wald 3.3), che esiste sempre un intorno T 0 del vettore nullo in T p M tale che la mappa esponenziale sia biunivoca n tra T 0 e la o sua imagine U p := exp (T 0 ). Scegliendo in T p M una base p,=1..., m, cioè tale che g p,@ p = (4.75) dove sono le componenti della metrica di Lorentz (4.1), si identifica T p M a R m via l identificazione della base ortonormale con la base canoniche {e } di R m,cioè 2 T p M! V e 2 R m. (4.76) L inverse ' della mappa esponenziale definisce allora una carta tale che U p! R m : q 7! '(q). (4.77) ' (exp )) = V e. (4.78) Le geodetiche hanno una forma particolarmente piacevole in questa carta. Per vederlo, notiamo che fissato un vettore V 2 T p M, per ogni valore t tale che tv 2 T 0, abbiamo c V (t) =c tv (1). (4.79) Di fatti, cambiare nell equazione delle geodetiche le condizioni iniziali sulle derivate prime, cioè ċ 0 = V! ċ 0 = V con 2 R, (4.80) genera una soluzione c che è legata alla prima soluzione c tramite c (s) =c(s ). (4.81) In altre parole, le due curve c e c descrivono la stessa traiettoria nello spazio-tempo, ma che sono percorse a velocità diverse. Nel nostro caso, (4.81) si legge c V (s) =c V ( s), in particolare uno ha c V (1) = c V ( ), che non è altro che (4.79) identificando con t. Per definizione della mappa esponenziale, c tv (1) = exp(tv ), (4.82) quindi c V (t) =exp(tv ). Applicando la mappa inversa ', seguita dall identificazione (4.77) tra T p M e R m, otteniamo ' (c V (t)) = tv e. (4.83) Scriviamo s il parametro per non confondere con il parametro t delle coordinate normale.

6 I. MOTO NEL CAMPO GRAVITAZIONALE 91 In altre parole, nella carte (4.77) la geodetica c V passando per p è l a r e t a i n R m di coordinate ' V (t) :=tv. (4.84) Lo stesso vale per tutte le geodetiche passando per p: localmente intorno a p, le traiettorie in caduta libera sono mappate nelle geodetiche dello spazio di Minkowski. Però questo non significa che l aperto U p si identifica ad un aperto dello spazio di Minkowski. Topologicamente è vero che U p è omeomorfo a un aperto di R m (per definizine di una varietà); ma dal punto di vista della metrica, quest identificazione avviene solo al punto p, come spiegato nella seguente proposizione. Proposizione I.10. Al punto p, le componenti - nelle coordinate normale - della metrica coincidono con le componenti della metrica di Lorentz; mentre le componenti della connessione di Levi-Civita sono tutte nulle. Proof. La prima asserzione è semplicemente l equazione (4.75). Denotando (t) le componenti, nelle coordinate normale, della connessione di Levi- Civita al punto '(c V (t)), l equazione della geodetica per c V si scrive ' V (t)+ (t) ' V (t) ' V (t) =0 8. (4.85) Con ' data in (4.84), viene In particolare, per t =0unoha (t) V V =0 8. (4.86) (p)v V =0 8. (4.87) Quest equazione è soddisfatta per qualunque vettore V 2 T p M. In particolare per V =1 per ogni, viene (p)+ (p) =0 8,,. (4.88) Dalla simmetria nello scambio di e, segue (p) =0 8,,. È importante sottolineare che l equazione (4.86) non implica che si annula in un punto q diverso da p. Questo è vero se il tensore di Riemann si annula nel punto p. Ma se non è il caso, (3.199) dà R (p) =@ p, (4.89) il cui significa che almeno uno dei p p non è zero, indicando che le componenti della connessione non sono più tutte nulle intorno a p. Dall annullamento della connessione in p, si deduce invece che le derivate prime della metrica sono nulle (utilizzando la condizione di compatibilità con la metrica (3.269)). Ma non le derivate seconde. Si dimostra che nella vicinanza di p, uno ha lo sviluppo di Taylor g (p + x) = R x x +... (4.90) La curvatura induce delle correzioni alla metrica di Lorentz nel secondo ordine nelle coordinate normali.