La relatività generale: princìpi e fatti

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1 Accademia delle Scienze di Torino 19 gennaio 017 La relatività generale: princìpi e fatti Vincenzo Barone

2 Le due teorie della relatività La relatività speciale, o ristretta, considera solo una particolare classe di osservatori, quelli inerziali È un formalismo teorico che non descrive una specifica classe di fenomeni, ma si applica a fenomeni di diversa natura. È il linguaggio ordinario della fisica nucleare e subnucleare e dell astrofisica La relatività generale considera anche osservatori accelerati e soggetti a gravità È la teoria di campo dell interazione gravitazionale. È alla base della moderna cosmologia (lo studio dell universo inteso come un tutto").

3 I tre atti della Relatività Generale Relatività speciale 1907: Primo atto: «Il pensiero più felice della mia vita» [Principio di equivalenza: Per un osservatore in caduta libera, non esiste alcun campo gravitazionale] 1913: Secondo atto: Lo spazio-tempo come campo gravitazionale. Collaborazione con Marcel Grossmann e calcolo tensoriale di Ricci e Levi-Civita 1915: Terzo atto: Il completamento della teoria Comunicazioni all Accademia di Berlino e articolo Il fondamento della teoria della relatività generale («Annalen der Physik», 1916)

4 I postulati della relatività ristretta 1. Principio di relatività: Le leggi fisiche hanno la stessa forma in tutti i sistemi di riferimento inerziali. [Tutti gli osservatori inerziali sono fisicamente equivalenti]. Postulato della costanza della velocità della luce: La velocità della luce nel vuoto (c) ha lo stesso valore in tutti i sistemi di riferimento inerziali, indipendentemente dal moto della sorgente. Un altro postulato: il principio di inerzia Esistono dei sistemi di riferimento in cui i corpi non soggetti a forze si muovono di moto rettilineo uniforme

5 Dilatazione degli intervalli temporali Eventi A e B che avvengono nello stesso punto in K x x x B A ) (, ) (, B B B B A A A A vt x x x c v t t vt x x x c v t t Coordinate e tempi in K / 1 ) ( c v t t t t t t A B A B Intervallo temporale tra i due eventi in K

6 La precisione attuale degli orologi atomici è dell ordine di Si possono rilevare effetti relativistici per velocità di 5-10 m/s (Wineland et al. 010)

7 Lo spazio-tempo Se il tempo è una grandezza locale (cioè dipende dal sistema di riferimento e dalla posizione dell'orologio), allora ha lo stesso status delle tre dimensioni spaziali. Il tempo è la quarta dimensione di un continuo quadridimensionale in cui si svolgono i fenomeni fisici, lo spazio-tempo D'ora in poi lo spazio in sé e il tempo in sé sono destinati a svanire come pure ombre, e solo un genere di unione tra i due conserverà una realtà indipendente (H. Minkowski, Convegno dei naturalisti tedeschi, Colonia 1908)

8 I punti dello spazio-tempo sono eventi ( x, y, z, t) Ciò che contraddistingue lo spazio-tempo e lo differenzia da una semplice estensione 4d dello spazio euclideo è la metrica, cioè la distanza o intervallo tra gli eventi Spazio euclideo s x y z Spazio-tempo s ( c t ) x y z Nota: segno non definito! L intervallo è una quantità invariante: mantiene lo stesso valore in seguito a una trasformazione di Lorentz. Le trasformazioni di Lorentz sono le isometrie dello spazio-tempo

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10 Classificazione degli eventi s 0 Intervallo di tipo tempo Eventi connessi causalmente da un segnale subluminale Eventi che avvengono nello stesso punto dello spazio s 0 Intervallo di tipo luce Eventi connessi causalmente da un segnale luminoso s 0 Intervallo di tipo spazio Eventi non connessi causalmente Eventi distinti simultanei

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12 Le origini della RG La relatività generale nasce da due esigenze teoriche: 1) Estendere il principio di relatività ai sistemi non inerziali (Il principio di inerzia non soddisfa la «clausola del significato»: non è possibile definire operativamente i sistemi inerziali) ) Descrivere la gravità La legge della gravitazione di Newton non è compatibile con la relatività ristretta Einstein intuisce che i due problemi sono legati e devono essere risolti assieme (Non ci sono esigenze empiriche all origine della relatività generale)

13 La gerarchia dei sistemi approssimativamente inerziali Accelerazione di rotazione della Terra (all equatore) a Terra = m s - Accelerazione del moto del Sole attorno al centro della Galassia a Sole = m s - Il Sole è più inerziale della Terra. La Galassia è più inerziale del Sole. Un sistema davvero inerziale sembra essere solidale con il moto medio della materia nell universo. Perché?

14 Il legame tra inerzia e materia (quindi tra inerzia e gravitazione) rimane misterioso nella fisica newtoniana «Principio di Mach»: I sistemi di riferimento inerziali sono i sistemi non accelerati rispetto alle stelle fisse, cioè rispetto a una media di tutta la materia dell'universo. L'origine delle forze inerziali risiede nell attrazione gravitazionale esercitata dalle masse (stelle, galassie, ecc.) presenti nell'universo. Le considerazioni di Mach influenzarono notevolmente Einstein

15 Relazione tra inerzia e gravità Principio di equivalenza (debole): La massa gravitazionale e la massa inerziale di un corpo sono uguali. Tutti i corpi cadono con la stessa accelerazione (Galileo) m g g m a i corpo g GM R m i m g a corpo g L uguaglianza di massa gravitazionale e massa inerziale è stata sottoposta a verifica da Eötvös (fine Ottocento), Dicke (1964), Braginsky & Panov (197), Baessler et al. (1999). La precisione attuale è di circa 10-1 Perché le due masse sono uguali? (La fisica newtoniana non lo spiega) La forza gravitazionale, a differenza di tutte le altre forze fondamentali, dipende dalla massa inerziale dei corpi. In ciò essa è simile alle forze inerziali che compaiono nei sistemi di riferimento accelerati.

16 Il principio di equivalenza di Einstein Una forza inerziale (dovuta all accelerazione del sistema di riferimento) può cancellare (o simulare) localmente una forza gravitazionale F m g g Fi miacorpo g m a m a i Se la massa gravitazionale coincide con la massa inerziale e l accelerazione del sistema di riferimento e uguale all accelerazione di gravità: i corpo a corpo 0

17 Fi miacorpo m a m a i i corpo Se la massa gravitazionale coincide con la massa inerziale e l accelerazione del sistema di riferimento è uguale e opposta a quella di gravità: m g g m a i corpo F g m a i corpo

18 La deflessione gravitazionale della luce Cabina-laboratorio in caduta libera in un campo gravitazionale Per un osservatore all interno della cabina il percorso della luce è rettilineo. Per un osservatore esterno il percorso è curvilineo

19 Lo spostamento gravitazionale delle frequenze Per il principio di equivalenza, l effetto del campo gravitazionale è simulato da un accelerazione Il ricevitore B va incontro alla luce emessa da A e la frequenza osservata da B è diversa da quella in A per effetto Doppler B V gd GMd A A 1 A A A c c R c c B

20 Relazione tra spazio e inerzia Il principio di inerzia visto da Einstein Se si desidera dare un esatto significato al principio classico di inerzia si deve introdurre lo spazio come la causa indipendente del comportamento inerziale dei corpi." (Einstein, 1954) D altra parte, se lo spazio-tempo agisce sui corpi, questi devono agire su di esso (lo spazio-tempo deve essere un ente dinamico).

21 Il triangolo concettuale della RG Il principio di inerzia stabilisce un legame tra spazio (geometria) e inerzia Il principio di equivalenza stabilisce un legame tra inerzia e gravità Einstein ipotizza un legame tra geometria e gravità La gravità si manifesta come curvatura dello spazio-tempo Il campo gravitazionale è lo spazio-tempo

22 Principio di Relatività Speciale: Simmetria delle leggi fisiche rispetto a una trasformazione del sistema di riferimento inerziale (cioè a una trasformazione di Lorentz delle coordinate) Principio di Covarianza Generale: Simmetria delle leggi fisiche rispetto a una qualunque trasformazione del sistema di riferimento (cioè a una trasformazione arbitraria delle coordinate)

23 Spazi curvi: caso bidimensionale Curvatura di una sfera K 1 R Somma degli angoli interni di un triangolo 1 3 K area Per esempio: un ottante K R Angolo di rotazione dei vettori trasportati parallelamente K area

24 La curvatura è legata alle distanze tra i punti di uno spazio Quattro località terrestri sono su un piano?

25 4 punti in un piano: 5 coordinate, 6 distanze Esiste una relazione tra le distanze

26 La curvatura di uno spazio può essere espressa in termini della metrica, cioè dell insieme di funzioni che specificano la distanza tra due punti (Theorema egregium di Gauss, Disquisitiones generales circa superficies curvas, 187) Nel caso di uno spazio bidimensionale la metrica è data da tre funzioni (che per uno spazio piatto, cioè euclideo, si riducono tutte a 1) La curvatura è specificata da una sola quantità, la curvatura gaussiana K

27 Spazi curvi: caso quadridimensionale (spazio-tempo)

28 L equazione delle geodetiche: «Lo spazio dice alla materia come muoversi» (J.A. Wheeler) E l equazione del moto di una particella (o di un raggio di luce) in uno spazio curvo Prende il posto dell equazione di Newton della meccanica classica e dell equazione di Einstein-Planck-Minkowski della relatività speciale Contiene una componente inerziale e una componente gravitazionale Prevede che una particella libera si muova lungo una geodetica (linea più breve tra due punti), che in uno spazio curvo non è una retta (su una superficie bidimensionale è un arco di cerchio massimo)

29 L equazione di Einstein: «La materia dice allo spazio come curvarsi» (J.A. Wheeler) Curvatura (gravità) densità di energia e quantità di moto Il campo gravitazionale è generato non solo da masse ma da qualunque distribuzione di energia, anche quella del campo stesso Le equazioni sono non lineari curvatura G G 8 densità c m / kg c Gli effetti della curvatura sono rilevanti solo in presenza di altissime densità di massa-energia

30 Gravità newtoniana vs. Relatività generale Simmetria generale dello spazio-tempo Perché la forza di gravità varia proprio come l inverso del quadrato della distanza? Legge di Newton caso particolare Legge di Einstein (Relatività generale) Moto degli astri

31 Precessione del perielio di Mercurio Rotazione di 43 secondi d arco non prevista dalla teoria newtoniana: primo successo della relatività generale Conseguenza diretta della non linearità delle equazioni del campo Precisione attuale dell accordo 0.01%

32 Deflessione gravitazionale della luce stellare 1919: Eclissi totale di Sole In Brasile e a Principe (A. Eddington, F. Dyson et al.) Effetto piccolissimo: 1,75 Verificato con un incertezza del 30%

33 Deflessione gravitazionale delle onde elettromagnetiche Precisione attuale (onde radio da quasar) 0.01 %

34 Spostamento gravitazionale verso il rosso (Conseguenza del principio di equivalenza) Su un dislivello di metri, una variazione della frequenza della luce dello 0, % (Pound, Rebka, 1960)

35 Esperimento di Hafele e Keating (197) Giro del mondo di orologi atomici a bordo di un aereo di linea

36 Dilatazione cinematica + gravitazionale del tempo t 1 v c c Entità relativa dell effetto t t v c c Nei primi esperimenti (anni 70) t t 10 1 Effetto gravitazionale c GM R c v fuga c

37 Esperimento di Briatore e Leschiutta (1976) Dilatazione puramente gravitazionale Differenza di circa 30 ns/giorno tra un orologio a Torino (50 m) e uno sul Plateau Rosa (3500 m)

38 Gli effetti di relatività speciale e generale sugli orologi sono verificati dal GPS. La correzione è di circa 40 microsecondi/giorno. Senza questa correzione la posizione di un oggetto sulla Terra sarebbe determinata con un errore di 10 km (la precisione del GPS è di 10 metri).

39 Differenza relativa della frequenza di due orologi atomici posti ad altezze diverse (Wineland et al. 010) Rallentamento gravitazionale del tempo su un dislivello di 50 cm

40 Le onde gravitazionali (016) Giugno 1916 Gennaio 1918 Integrazione approssimata delle equazioni di campo della gravitazione «Sulle onde gravitazionali

41 La caccia comincia alla fine degli anni 60 Le antenne di Joe Weber

42 Emissione di onde gravitazionali dalla pulsar binaria Hulse e Taylor, Nobel 1993

43 Gli interferometri gravitazionali Deformazione: metri

44 I segnali captati da LIGO L identikit di un onda emessa da due buchi neri che si fondono

45 Alcune domande conclusive 1) Fino a che punto la relatività generale è applicabile? ) Perché solo la gravità ha a che fare con la geometria dello spazio-tempo? 3) Perché la gravità è così debole? [Per due protoni all'interno di un nucleo, il rapporto tra la forza gravitazionale e la forza elettrica è ] Entra in gioco la teoria quantistica

46 Combinando le tre costanti c, ħ e G si ottengono tre scale naturali: di massa-energia, di lunghezza, di tempo Le scale di Planck E P c G GeV Energia di Planck L P G c m Lunghezza di Planck T P G c s Tempo di Planck

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48 Bibliografia A. Einstein, Relatività: esposizione divulgativa, Bollati Boringhieri, 015 A. Einstein, Le due relatività, Bollati Boringhieri, 015 D.W. Sciama, La relatività generale, Zanichelli, 197. T. Regge e G. Peruzzi, Spazio, tempo e universo, UTET Libreria, 003. V. B., Relatività. Principi e applicazioni, Bollati Boringhieri, 004 V.B., «Lettera Pristem» (in corso di pubblicazione) C. Bernardini (a cura di), Gravitazione, Quaderni de «Le Scienze», 1983 Articoli su «Asimmetrie», rivista dell INFN (