Direct Displacement Based Design applicato alle strutture in legno lamellare: calibrazione dello spostamento di progetto

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1 Direct Displacement Based Design applicato alle strutture in legno lamellare: calibrazione dello spostamento di progetto Cristiano Loss, Maurizio Piazza, Daniele Zonta e Paolo Zanon DIMS. University of Trento. Via Mesiano 77, 385 Trento ANIDIS29BOLOGNA Keywords: Direct Displacement Based Design, Glulam Portal Frame Structures, Moment Resisting Joint, Target Displacement, Monte Carlo Simulation ABSTRACT Si propone una metodologia di calcolo, denominata Direct Displacement Based Design (DDBD), testata su costruzioni in legno lamellare monopiano, con portali in direzione trasversale all ossatura portante. In Italia questa tipologia strutturale è impiegata nella realizzazione di capannoni industriali o coperture di palazzetti sportivi. Data la natura elasto-fragile del legno e la conformazione tipologica della struttura, le prestazioni sismiche dell intero edificio sono strettamente legate al tipo, alla posizione e alle prestazioni delle connessioni rispetto agli elementi. L edificio industriale in oggetto consta di una struttura a portali incernierati alla base, nella quale il giunto semirigido resistente a momento tra montante e traverso, è realizzato mediante l inserimento di spinotti metallici. Il lavoro si concentra sulla definizione del corretto valore da assegnare allo spostamento di progetto Δ d, sulla base delle proprietà geometriche e meccaniche degli elementi del telaio. La fase iniziale vede la formulazione analitica dell espressione di predizione dello spostamento Δ d e l analisi di sensitività dei parametri che lo controllano. Il comportamento reale della struttura è studiato attraverso una modellazione agli elementi finiti e l analisi in campo non lineare attraverso pushover analysis. In seconda fase il processo di validazione prevede il confronto tra la formula di predizione dello spostamento di progetto e il modello FEM nel piano forte del portale. La tecnica Monte Carlo, estesa su una base dati di 1 modelli, ha permesso poi di dimostrare la validità dell espressione e la sua calibrazione numerica mediante l assegnazione di coefficienti correttivi. 1 INTRODUZIONE 1.1 Inquadramento del problema La normativa sismica attuale, sia Nazionale che Europea, propone per le strutture in legno delle prescrizioni molto semplificate che, quindi, si rivelano a volte eccessivamente conservative. L esperienza insegna che il comportamento degli edifici in legno, in occasione di eventi sismici, è molto spesso buono (Foliente, 1995). È opinione degli autori che le restrizioni della normativa sismica in vigore siano connesse alle intrinseche approssimazioni del metodo Force Based Design (FBD). In questo metodo la capacità duttile della struttura e la sua capacità in termini di dissipazione energetica sono computate attraverso il valore del coefficiente di comportamento (il q-factor dell Eurocodice 8, CEN 23). I limiti dei metodi di progetto basati sul q-factor sono ben noti e sono stati evidenziati chiaramente da Priestley già nel 1998 (Priestley, 1998). Queste osservazioni si accompagnavano alla proposta di un nuovo metodo di progettazione sismica, chiamato Direct Displacement Based Design (DDBD). Ad oggi numerosi sono i lavori pubblicati riguardanti le applicazioni del metodo agli spostamenti sulle strutture. La maggior parte di questi si riferisce a strutture in cemento armato o in acciaio, mentre relativamente poche pubblicazioni riportano applicazioni a strutture di legno. In ogni caso

2 gran parte della ricerca svolta si rivolge a piccoli edifici residenziali con struttura intelaiata, dove la resistenza alle azioni orizzontali è affidata ai pannelli di legno chiodati. I risultati ottenuti su questi edifici, evidentemente, non si possono estendere alla generalità delle strutture di legno. La forte dipendenza della fase post-elastica di deformazione degli elementi di legno, dal sistema di collegamento, complica, di fatto, una definizione comune delle regole di progetto. In questa direzione si muove questo lavoro, suffragato dalla proposta analitica per il calcolo dello spostamento di progetto associato a grandi strutture (Heavy Timber Structures) in legno, presentato in Zonta et al. (26). A questa famiglia di strutture, in Italia, comunemente si associano i sistemi intelaiati realizzati in legno lamellare. In questi termini il caso studio di riferimento è descritto in dettaglio nel paragrafo 2. Trattasi di un capannone ad uso deposito. I concetti generali che saranno introdotti possono essere facilmente estesi alla maggior parte delle strutture in legno con portali iperstatici. Nella trattazione che segue si farà riferimento a connessioni composte di perni, poiché rappresentano il tipo di connessione meccanica più frequentemente utilizzato nella tecnologia costruttiva del legno lamellare. La schematizzazione e la modellazione che seguono si avvalgono di modelli agli elementi finiti, potendosi in tal modo studiare la capacità in termini di spostamento ultimo della struttura, mediante analisi statiche non lineari. In letteratura non esiste un metodo riconosciuto e accettato dalla comunità scientifica per calcolare le caratteristiche di duttilità dei connettori a perno. Le variabili che entrano in gioco sono molte, come ad esempio l angolo tra direzione del carico e la fibratura lignea, il segno dell azione (trazione o compressione), il rapporto tra lunghezza e diametro del connettore, oltre ovviamente al numero di piani di taglio. Vista la difficoltà nel rappresentare univocamente il comportamento del singolo connettore, il legame costitutivo sarà rappresentato tramite una legge bi-lineare di tipo elastico-perfettamente plastico. La validazione del metodo analitico di design è una condizione necessaria per garantirne una certa affidabilità. La sicurezza è ovviamente garantita in termini probabilistici, così come previsto a livello normativo. La validazione del metodo, vista l aleatorietà delle variabili in gioco, si basa su una simulazione numerica che comprende un numero considerevole di modelli (N=1). Le variabilità dei materiali, delle grandezze geometriche e della tecnologia costruttiva del problema sono state descritte mediante l assegnazione probabilistica dei valori spettanti a ciascuna variabile, secondo il procedimento ben noto come analisi matematicosimbolica di tipo Monte Carlo. I risultati sono stati elaborati e riassunti utilizzando la statistica descrittiva. Questa fase si basa su un programma di calcolo automatizzato che permette di eseguire operazioni simultanee di calcolo strutturale ed elaborazioni numeriche. Il software è stato creato ad hoc, ma in modo da poter essere applicato ad altre classi di strutture. L intento finale è quello di validare la formula di calcolo dello spostamento di progetto Δ d, da cui discende l applicazione diretta del metodo DDBD. Secondo quest approccio, infatti, lo spostamento di progetto si pone come obiettivo primario e non secondario come avviene nel metodo alle forze. Testi di approfondimento recenti, sulla applicazione formale del metodo DDBD alle strutture in legno, sono stati abbozzati all interno del progetto RELUIS. In Loss (27) è analizzata in maniera critica la procedura di calcolo e testata la validità in fase di progetto. In Zonta et al. (28) sono proposte due curve sperimentali che descrivono lo smorzamento viscoso equivalente, ξ eq, in funzione del diametro del perno. 1.2 Formulazione dello spostamento di progetto Δ d In questo paragrafo è riportata la formulazione analitica di calcolo dello spostamento di progetto Δ d, per strutture a telaio di legno, presentata in Zonta et al. (26). Tale parametro si rivela fondamentale nell applicazione del Direct Displacement Based Design. In egual modo lo è la possibilità di stimarlo a priori, in funzione della classe strutturale, senza una precisa definizione delle caratteristiche geometriche delle membrature e delle connessioni. Allo stato limite di collasso, senza avere a disposizione una progettazione mirata, si deve ricorrere a delle semplificazioni, poiché generalmente lo spostamento ultimo dipende anche dalla geometria degli elementi strutturali. In particolare è possibile assumere che gli spostamenti anelastici siano dovuti alla rotazione dei giunti, mentre gli elementi lignei rimangono in campo elastico. Possiamo così stimare lo spostamento limite Δ d come somma di due parti, come rappresentato in Figura 1:

3 Δ d Δ j Δs H u = + L Δs,1 Δs,2 Figura 1. Modello per la stima dello spostamento limite. Δ = Δ + Δ (1) d j s La prima componente, Δ j, è lo spostamento causato dalla rotazione rigida della colonna in seguito allo snervamento del giunto; la seconda, Δ s, è lo spostamento dovuto alla deformazione elastica della struttura, considerando il giunto infinitamente rigido. Introducendo alcune ipotesi sulle membrature e sul giunto, operando le sostituzioni adeguate, le due parti di spostamento si assumono pari a: θγβ Δ j = δ u (3) θγβ H Δ s γ ( θ + 1) (4) 2 In questa formula si può notare come i parametri che comandano lo spostamento della struttura sono: lo scorrimento ultimo del singolo spinotto δ u, l altezza dell edificio H, il rapporto θ tra l altezza e la lunghezza del portale L, il rapporto γ tra la larghezza del portale e l altezza della sezione del pilastro e il rapporto β tra l altezza della sezione e il raggio del giunto. Una trattazione completa sulla formulazione, cui si rimanda per maggior approfondimento, si trova in Zonta (26). 1.3 Obiettivo del lavoro L obiettivo di questo lavoro è dimostrare la validità della formulazione analitica per il calcolo dello spostamento di progetto Δ d, presentata in Zonta et al. 26. Nel paragrafo 2 saranno mostrati il caso studio in oggetto e le ipotesi di base. Nel paragrafo 3 sarà descritto il modello agli elementi finiti utilizzato per le analisi in campo non lineare. Nel paragrafo 4 sarà descritta la procedura di calcolo Monte Carlo e saranno elaborati i dati numerici dei casi studio. Nel paragrafo 5 è infine proposta una calibrazione della formula di previsione dello spostamento di progetto Δ d (introdotta con l Equazione 1), mediante dei coefficienti correttivi. L analisi di tipo statistico-numerico Monte Carlo è scelta come strumento per validare e tarare il metodo di calcolo agli spostamenti, basato sul valore assunto per Δ d. Figura 2. Caso studio. Vista assonometrica 3D dello schema strutturale principale e secondario (Piazza et al. 25). 2 DESCRIZIONE DEL CASO STUDIO La Figura 2 mostra il caso studio proposto. Si tratta di un tipico capannone industriale costruito interamente, per quanto riguarda gli elementi strutturali, in legno lamellare GL24h (CEN 2). Lo schema statico e i dettagli costruttivi fondamentali sono delle proprietà fissate a priori, come sarà chiarito nel seguito.

4 h h r int r ext b t Il traverso è realizzato mediante una trave curva con cappello non collaborante, per limitare gli sforzi di trazione ortogonale alle fibre nella zona d apice della trave stessa. Lo schema strutturale si riconduce ad un portale con un solo grado di iperstaticità. Tabella 1. Geometria limite del telaio MIN MAX Luce in asse tra i pilastri L 1 m 25 m b c /2 Figura 3. Descrizione geometrica del giunto trave-colonna La regolarità in pianta è garantita dalla configurazione compatta e approssimativamente simmetrica rispetto a due direzioni ortogonali, quindi dalla sostanziale coincidenza tra il centro di massa e il centro di rigidezza. La regolarità in altezza è assicurata dal fatto che tutti i sistemi resistenti verticali (quali telai e pareti) si estendono per tutta l altezza dell edificio. L edificio è costituito solamente da un piano e con masse concentrate pressoché alla medesima quota. Lo schema strutturale è regolare e consta di telai disposti a un interasse costante di 6.5 m. L analisi considera la risposta della struttura nel proprio piano forte: il numero dei portali e la lunghezza dell edificio in pianta, quindi, non modificano quanto esposto nei seguenti paragrafi. Considerando le esigenze tipologiche del fabbricato e la struttura di legno si risale ai limiti costruttivi della struttura. Un estesa indagine di tipo tecnologico-costruttivo ed economico, su costruzioni esistenti, ha permesso di dimostrare che la geometria caratteristica del telaio oggetto di studio è compresa entro i limiti riassunti in Tabella 1. Oltre questi limiti, in generale, si adottano altri sistemi costruttivi. L angolo d inclinazione della falda α è costante in tutti i modelli e pari a 1.2. La struttura principale, in dettaglio, è costituita da un portale con caratteristiche ricorrenti nell edilizia industriale e consta di due pilastri incernierati agli elementi di fondazione e accoppiati al traverso orizzontale mediante imbottiture e spinotti calibrati (Figura 3). Altezza teorica dei pilastri H 3.8 m 9 m Dimensioni ottimali commerciali della sezione Raggio di curvatura all intradosso Angolo di inclinazione della falda h 51 mm 229 mm R 6,6 m α 5 2 Interasse tra i portali i 5 m 1 m La struttura secondaria della copertura, fissato l interasse pari a 6.5 m, è costituita da arcarecci con dimensioni pari a m, da una trave di colmo sempre in legno lamellare e da correntini ad essa appoggiati. Il controvento di parete è formato da pannelli di legno strutturale posti tra i vari pilastri, mentre il controvento di falda è dato dall assito di copertura connesso ai correntini con chiodi. La massa sismica totale è ricavata con la combinazione fondamentale di tipo quasi permanente delle azioni. 3 MODELLO NUMERICO Il comportamento della struttura è indagato attraverso una modellazione agli elementi finiti delle membrature e dei collegamenti. La schematizzazione della connessione travepilastro gioca un ruolo essenziale sul comportamento finale del telaio. Sulla base di tale osservazione, è stata implementata una struttura composta da una serie di elementi frame connessi in modo opportuno nelle zone nodali (Figura 4a e 4b). Lo stato tensionale e deformativo finale è strettamente connesso al comportamento locale del giunto a parziale ripristino di momento. Il comportamento finale del giunto montantetraverso è controllato direttamente dal legame costitutivo assunto per il singolo perno e dalla descrizione matematica del sistema di connessione. Giova sottolineare, in questa fase, la difficoltà di implementazione del comportamento del giunto tramite una legge sintetica momento/rotazione.

5 a) In Figura 5 si riporta l andamento del legame costitutivo F-δ (forza - scorrimento) del singolo perno. F F y = F u δ y δ u b) δ Figura 5. Legame forza scorrimento per il singolo perno. Figura 4. Modellazione della struttura (a) e del giunto rispettivamente (b) Da ciò la necessità di descrivere l effettivo comportamento del giunto tramite una serie definita di singoli perni, ciascuno caratterizzato da una propria legge comportamentale. Il legame costitutivo forza-scorrimento scelto per il singolo perno è del tipo elastico - perfettamente plastico. La resistenza del connettore è stimata utilizzando la teoria di Johansen (1949) che, data la riconosciuta semplicità e affidabilità, è stata introdotta in molti codici strutturali, come ad esempio l Eurocodice 5 (24). Questo metodo di calcolo, talvolta indicato come European Yield Theory, fornisce esclusivamente la resistenza e la modalità di rottura del connettore, mentre non dà informazioni sulla capacità duttile del sistema o sulla sua capacità di dissipazione energetica. In questa sede, per conferire al nodo un adeguata capacità dissipativa in accordo all Eurocodice 8, si assume un valore di duttilità statica a scorrimento μ pari a 6. Lo scorrimento ultimo del perno è derivato da quello a snervamento in modo semplice visto il legame di tipo elastico-perfettamente plastico. Lo scorrimento in corrispondenza dello snervamento si calcola direttamente come rapporto tra la capacità resistente dello spinotto e il valore della rigidezza a scorrimento K ser, definita nell Eurocodice 5 (24) ed eventualmente scalata, allo stato limite ultimo, mediante il fattore 2/3 come proposto dalla medesima normativa. È bene ricordare che le condizioni iniziali, in accordo con l Eurocodice 8 (23), impongono uno spessore delle membrature pari almeno a 1 φ e un diametro massimo degli spinotti pari a φ=12mm per considerare la struttura dissipativa. Con questi presupposti è garantito un meccanismo di collasso che segue la modalità di rottura III della teoria di Johansen (1949). Con riferimento all Eurocodice 5 (24), ci si riferisce all espressione k, punto unioni metalliche del tipo a spinotto - per unione legno-legno. Il problema è trattato in dettaglio in Loss (27), al variare della classe del legno e dell acciaio. Si utilizza l analisi statica non lineare (pushover analysis) per valutare la capacità reale di deformazione della struttura in termini di spostamento. La condizione ultima per la struttura corrisponde al valore di spostamento massimo. Per il problema oggetto di studio questo stato corrisponde allo spostamento individuato sulla curva di pushover, in cui il tagliante di base (V b ) è massimo e la struttura può sviluppare la massima duttilità. Quando lo stato deformativo è controllato invece dal comportamento fragile degli elementi, lo spostamento corrispondente è limitato dal momento massimo resistente. Lo spostamento ultimo Δ d è pari al minore tra i due, associati alle rispettive modalità di collasso. 4 RISULTATI DELL ANALISI MONTE CARLO Per la validazione dell Espressione 1, come già anticipato, ci si è affidati alla tecnica numerica Monte Carlo. Evidentemente il metodo proposto deve risultare affidabile indipendentemente dal tipo di materiale utilizzato e dalla geometria del portale.

6 Ciò impone che tutte le grandezze, geometriche e meccaniche, siano descritte mediante le rispettive curve probabilistiche. Da un lato, infatti, può essere presente una casistica infinita di portali che variano in relazione alle loro dimensioni geometriche, dall altro, pur impiegando delle caratteristiche di produzione omogenee, le proprietà meccaniche del materiale possono comunque variare all interno di un lotto di produzione. Il metodo, date le problematiche in origine, è basato sull utilizzo di un sistema di gestione automatizzato di calcolo, costruito ad hoc, che controlla il codice di analisi strutturale Sap 2 e quello di trattamento dati MS Excel. Il programma è stato suddiviso, a livello di codice, in tre parti distinte, in modo da semplificare la programmazione e, soprattutto, predisporre lo stesso all estensione su altre tipologie costruttive. Il codice di base provvede alla generazione di tutte le quantità necessarie per definire il modello della struttura, eseguire le analisi e compiere l estrazione dei dati. L implementazione del codice ha richiesto la scrittura di un prompt di comandi secondo il linguaggio di programmazione VBA (Visual Basic Application) di Microft Excel. Nel metodo Monte Carlo il risultato finale è fortemente dipendente dalla definizione delle variabili di input e dei parametri. Per ciascuna variabile di input è stata associata una definita funzione probabilistica che viene formulata e studiata in modo da renderla appropriata al problema oggetto di studio. In Figura 5 sono riportati indicativamente gli andamenti delle variabili e le rispettive correlazioni. I parametri, cioè le quantità fissate a priori, sono: il diametro degli spinotti, φ=12 mm, la classe del legno e dell acciaio scelti, GL24h e S355 rispettivamente, e il valore di duttilità statica a scorrimento del perno, μ k =6. Per ulteriori indicazioni sul metodo, sugli aspetti implementativi e l elaborazione numerica dei dati si rimanda a Loss (27). La trattazione dei dati derivanti dalla simulazione permette di classificare tutte le quantità che controllano lo spostamento della struttura Δ d. Il numero dei modelli è stato scelto pari a 1 in modo da risultare statisticamente significativo pur senza appesantire in modo eccessivo i tempi di elaborazione. L affidabilità del metodo è stata verificata mediante la definizione dell errore sullo spostamento di progetto Δ d e la sua distribuzione statistica E[Δ d ]. Questa variabile può essere ritenuta un buon indice per stabilire l efficienza della formula. Essa è definita, in percentuale, come: [ d ] = 1 ( Δ d Δ d ) Δ, P d P E % /, Δ (5) In cui Δ d,p è lo spostamento dedotto dall analisi non lineare e Δ d è quello calcolato con l Espressione 1. L estrazione dei valori delle variabili in input segue la logica di designazione del progettista, in accordo alla normativa odierna: Eurocodice 5 (24) e Eurocodice 8 (23). L aleatorietà delle quantità meccaniche e geometriche che descrivono ciascun modello comporta, in certi casi, che si possa giungere a valori di spostamento non reali. In altri termini, ci sono alcune situazioni in cui il portale può raggiungere un comportamento fragile. Ciò avviene quando il valore di spostamento associato a quel determinato telaio produce un momento nel giunto maggiore o uguale a quello massimo resistente della sezione della trave e/o pilastro. In queste circostanze lo spostamento ultimo corrisponde al valore minore tra quello associato allo stato limite per rottura fragile del portale e quello allo stato limite per scorrimento massimo nei perni più sollecitati. In Tabella 2 si riporta la descrizione statistica dell errore E % [Δ d ] al variare del coefficiente di sovra-resistenza α, sulla base del campione di dati a disposizione. L analisi svolta permette di giustificare l assunzione di un valore minimo α=1.2, tale da consentire un comportamento duttile del telaio e non indurre un eccessivo sovradimensionamento delle membrature. Tabella 2. Indici statistici per E % [Δ d ] al variare del coefficiente di sovra-resistenza α α 1 1,1 1,2 1,3 1,4 Mediana (%) 4,43 6,69 7,7 8,63 1,4 Media (%) 4,46 6,82 8,28 9,41 1,8 Dev. standard (%) 9,2 8,77 8,1 7,62 7,73 5% Percent. (%) -9,81-6,9-4,44-2,41 -,89 2% Percent. (%) -13, -9,71-6,11-4,68-2,48 *Numero (%) *Su un totale di 1 casi studio

7 (a) Luce del portale (b) Base della colonna (c) Base della trave f (L) f (bc) f (bt) 1 25 L (m) bc(mm) bt(mm) (d) Altezza del portale (e) Altezza della trave (f) Densità del legno (GL24h) f (H) L/2 f (h) L/12.5 f (ρ) CV=13% H (m) L/14 L/11 h (mm) ρ k =38 ρ (Kg/m 3 ) (g) Modulo di elasticità parallelo (GL24h) (h) Modulo di elasticità ortogonale (GL24h) (i) Modulo elastico a taglio (GL24h) f (E ) CV=1% f (E 9 ) CV=1% f (G) CV=1% E, k =94 E E (MPa) 9mean =39 E 9 (MPa) G mean =72 G(MPa) f (fm) (l) Resistenza a flessione (GL24h) CV=1% f (fu) (m) Resistenza a trazione dello spinotto (S355) CV=5% f (μ) (n) Duttilità statica a scorrimento (GL24h e S355) CV=7% f mk =24 fm (MPa) f uk =51 fu (MPa) μ k =6 μ (o) Carico neve F(q) 2 5 q (KN/m 2 ) Figura 5. Andamento qualitativo delle variabili in input da cui si opera l estrazione del valore corrispondente. Distribuzioni di probabilità f(x) della variabile x. Nell Espressione 3, infatti, gli autori (Zonta et al, 26) avevano assunto implicitamente per α un valore medio pari a Il diagramma A di Figura 6 illustra un andamento tipico a coda allungata dell errore percentuale E % [Δ d ]. Il grafico mostra che l ipotesi di lavoro iniziale che presupponeva la necessità di garantire un comportamento post-elastico duttile, a seguito di input sismico, è vanificata. E convinzione degli autori confermare la necessità di un controllo a priori della struttura per garantire il rispetto del principio di gerarchia delle resistenze, analogamente ad altri materiali quali, ad esempio, acciaio e cemento armato. In questa direzione si definisce un coefficiente di sovra-resistenza di progetto α d, stimato sulla base delle caratteristiche meccaniche dei materiali e della geometria del telaio: α = (6) d M R, b / M R, j in cui 2 ( b h )/ fm k M R, b = 6,

8 (A) con α ,6-21,28-15,96-1,64-5,32, 7,63 15,26 22,89 3,52 38,15 12,% 1,% 8,% 6,% 4,% 2,%,% ,34-2,75-15,17-9,58-3,99 1,59 7,18 12,76 18,35 23,94 29,52 12,% 1,% 8,% 6,% 4,% 2,%,% con α 1.1 con α ,% 1,% 8,% 6,% 4,% 2,% ,% 1,% 8,% 6,% 4,% 2,%,%,% -21,54-16,24-1,95-5,65 -,36 4,94 1,23 15,53 2,82 26,12 31,41-13,25-8,67-4,8,5 5,9 9,67 14,26 18,84 23,43 28,1 32,59 con α 1.3 con α ,% ,% 4 8,% 6,% 4,% 2,% ,% 1,% 8,% 6,% 4,% 2,% -8,56-4,21,14 4,48 8,83 13,17 17,5221,86 26,213,56 34,9,% -6,71-2,35 2,1 6,37 1,72 15,819,4423,828,16 32,5236,88,% Figura 6. Istogramma riguardante l errore percentuale E % [Δ d ] al variare del coefficiente di sovra-resistenza α M R, j dove: = n r F + n r F e e u i i u b e h sono la base e l altezza della sezione; f m,k è la resistenza caratteristica a flessione del legno; n e e n i sono il numero di perni, rispettivamente, esterno ed interno del collegamento; r e e r i sono il raggio esterno ed interno del collegamento; F u è la capacità ultima caratteristica del singolo perno. La costruzione dei primi istogrammi permette di capire che in media lo scostamento E % [Δ d ] è decentrato di una certa quantità rispetto allo zero. L effetto indotto dai carichi gravitazionali, quantità trascurata nella formulazione analitica (Equazione 1), comporta una sovrastima dello spostamento Δ d che aumenta all aumentare del contributo plastico del nodo su quello elastico globale (Figura 7). Si può quindi proporre una correzione dell Equazione 2 introducendo un coefficiente correttivo sulla frazione plastica di deformazione, per effetto dei carichi verticali: c G = 1 q / q (7) lim

9 Il valore di carico limite, q lim, corrisponde allo stato di collasso della struttura per solo effetto di carichi gravitazionali. % Δ j /Δ s Ε % [Δ d ] Modello - [ID] Figura 7. Influenza del rapporto tra la parte di spostamento nodale e quella elastica sull errore percentuale E % [Δ d ] La determinazione del carico verticale di collasso del portale q lim, con la soglia di deformazione per solo effetto dei carichi gravitazionali, si basa su alcune ipotesi semplificative. Si assume un valore massimo di momento al nodo pari a M=q l 2 /12 e un taglio associato uguale a T= q l/2. Da questo stato di sollecitazione si calcola l azione massima sul perno più sollecitato, la quale deve essere minore o uguale alla massima capacità portante. La massima resistenza del singolo perno si calcola mediante la normativa in vigore (Eurocodice 5, 24), tenendo presente la necessità di spaziatura minima tra gli elementi di collegamento. Operando le sostituzioni e semplificazioni del caso si ottiene: 2 ( φ ) ( π )/ a eq F ( γ β ) linea di tendenza q lim = 24 u / (8) in cui a eq può essere assunto pari a 5, mentre per gli altri simboli si fa riferimento ai paragrafi precedenti. 5 CALIBRAZIONE DELLA FORMULA Il processo di calibrazione dell Equazione 1 si basa sulla ricerca dei coefficienti di correzione delle due frazioni Δ j e Δ s. I criteri di base con cui saranno tarati i coefficienti correttivi sono i seguenti. 1. In media il valore dell errore sullo spostamento deve essere nullo, sulla base della distribuzione corrispondente al campione di dati. Ciò significa avere una predizione del target displacement Δ d mediamente coincidente con quella desunta da un analisi pushover. 2. Si vuole ottenere la minore dispersione tra quelle possibili, sulla base del campione rappresentativo di dati disponibile. Ci si riconduce ad un problema di minimo in cui la distribuzione statistica di E % [Δ d ] ha media centrata nello zero e deviazione standard minima. L espressione finale, che segue dal processo di calibrazione numerica, è: ( q qlim ) + c Δ s Δ d = c1 Δ j / 2 1 (9) in cui c 1 e c 2 (grandezze adimensionali) valgono rispettivamente 1.1 e 1.2 e la quantità (1- q/q lim ) è la riduzione dello spostamento plastico per effetto del carico gravitazionale q. Quest ultimo carico è dato dalla combinazione di carico quasi permanente, definita nell Eurocodice 8 (23). L Equazione 9 è quindi direttamente utilizzabile in fase di progetto e permette di stimare un valore dello spostamento di progetto che mediamente coincide con quello reale e si discosta il meno possibile dalla distribuzione. L andamento dell errore E % [Δ d ], sulla base del campione di dati a disposizione e con l espressione calibrata, è riportato in Figura ,1-17,3-12,5-7,7-3, 1,8 6,6 11,4 16,2 21, 25,7 12,% 1,% 8,% 6,% 4,% 2,%,% Figura 8. Istogramma relativo all errore percentuale del target displacement, E % [Δ d ], in seguito alla calibrazione dei parametri c 1 e c 2. In Tabella 3 sono riassunti gli indici statistici e le indicazioni sul campione più rappresentativi. 6 CONCLUSIONI La memoria presenta un lavoro volto all applicazione di un metodo di calcolo agli spostamenti. Lo studio si concentra sulle strutture in legno di tipo intelaiato, attraverso il confronto tra domanda e capacità in termini di deformazione. È stata presentata la validazione della procedura di calcolo dello spostamento di

10 progetto Δ d, da cui discende l applicazione diretta del metodo. Nella procedura Monte Carlo la calibrazione numerica finale è conseguenza delle incertezze sul modello analitico di predizione di Δ d. Tabella 3. Valore finale degli indici statistici più rappresentativi Mediana m ed (E % [Δ d ]) -,73 % Media m(e % [Δ d ]) % Deviazione standard d s (E % [Δ d ]) 8,25 % Percentile 5% P 5% (E % [Δ d ]) -12,59 % Percentile 2% P 5% (E % [Δ d ]) -14,58 % Numero casi N TOT 532 Num casi < N(E % [Δ d ]<) 28 Cumulativa (%) Cum(E % [Δ d ]) 52,63 % I criteri di taratura permettono di ottenere un espressione finale di predizione di Δ d che mediamente coincide con quello desunto da analisi statiche non lineari, in cui le proprietà del materiale sono descritte mediante variabili aleatorie di forma nota. L importanza dello sviluppo e della applicabilità di un approccio DDBD è auspicabile, anche in conseguenza di lacune e incertezze mostrate dalla metodologia FBD (Force Based Design). In particolare l approccio di calcolo tradizionale per le strutture lignee, secondo l Eurocodice 8 e la normativa italiana, mediante il fattore di comportamento q, è gravato da un tipico andamento a gradini della capacità duttile. Questo fatto induce a pensare che le catalogazioni siano state fatte con l intento principale di ottenere una pur apprezzabile semplificazione: tuttavia non si può fare a meno di notare che sono attribuiti valori del fattore di struttura q differenti a classi di strutture che, nella realtà, si discostano molto poco. 7 RINGRAZIAMENTI La ricerca presentata è stata finanziata dalla Rete dei Laboratori Universitari per l Ingegneria Sismica (RELUIS), nell ambito della ricerca svolta per il Dipartimento Nazionale della Protezione Civile. BIBLIOGRAFIA Casarin R., Gobbo M., 22. Metodi Monte Carlo per la valutazione delle opzioni finanziarie, Working Paper 2-5, GRETA Venezia. Ceccotti A., Detailing of timber structures in seismic areas, Step Lecture D1, Timber Engineering Step 2, EU Commett Programme. Capurso M., Introduzione al Calcolo Automatico delle Strutture, Ed.Sc.A.Cremonese, Roma. CEN 2. EN 148: Timber structures. Glued laminated timber. Requirements, European Committee for Standardisation (CEN), Bruxelles, Belgium. CEN 23. Eurocode 8 - Design of structures for earthquake resistance - Part 1: General rules, seismic actions and rules for buildings Final Draft, European Committee for Standardization (CEN), Bruxelles, Belgium. CEN 24. Eurocode 5 - Design of timber structures - Part 1-1: General -Common rules and rules for buildings Final Draft, European Committee for Standardization (CEN), Bruxelles, Belgium. CSI SAP 2, 24. Database Documentation, Computer and Structures, Inc., Berkeley, California, USA. Foliente, G.C., Hysteresis Modeling of Wood Joints and Structural Systems, Journal of Structural Engineering, 121, n 6, Ghersi, A., Marino, E.M., Neri, F., 22. Proposta di validazione di un procedimento statico non lineare per la progettazione di strutture antisismiche ad elevata duttilità, Dipartimento di Ingegneria Civile e Ambientale, Università di Catania. Johansen, K.W., Theory of timber connections, International Association of Bridge and Structural Engineering, Pub. 9, Bern, Switzerland. Loss, C., 27. Il direct displacement based design applicato a strutture di legno intelaiate: analisi numerico-probabilistica per la calibrazione di una metodologia di calcolo, Master s Thesis, Department of Civil and Mechanical Structural Systems, University of Trento. Patton-Mallory, M., Smith, F., Pellicane, P.J., Modeling Bolted Connections in Wood: a Three- Dimensional Finite-Element Approach, Journal of Testing and Evaluation, 26, n 2, Piazza, M., Tomasi, R., Modena, R., 25. Strutture in legno. Materiale, calcolo e progetto secondo le nuove normative europee, Hoepli, Milano, Italy. Priestley, M.J.N., Displacement-Based Approaches to Rational Limit States Design of New structures, Proc. 11th European Conference on Earthquake Engineering, Paris, France. Priestley, M.J.N., 23, Myths and Fallacies in Earthquake Engineering Revisited, The Mallet Milne Lecture, IUSS Press, Pavia, Italy. Sansò, F., 2. Elementi di teoria della probabilità, CittàStudiEdizioni. Zonta, D., Piazza, M., Zanon, P., Giuliani, G., 26. An application of Direct Displacement Based Design to Glulam Timber Portal-Frame Structures, Proc. First European Conference on Earthquake Engineering and Seismology ECEES, Zurich (CH). Zonta, D., Piazza, M., Zanon, P., Loss, C., Sartori, T., 28. Direct Displacement-Based Design of Glulam Timber Frame Buildings, Proc. 14th World Conference on Earthquake Engineering, October 12-17, Beijing, China.