Metodi MonteCarlo. Sono metodi probabilistici utilizzati per ottenere stime di grandezze d interesse attraverso estrazioni di numeri casuali.

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1 Metodi MonteCarlo Sono metodi probabilistici utilizzati per ottenere stime di grandezze d interesse attraverso estrazioni di numeri casuali Esempio: stima di Si estraggono coppie (a,b), dove a e b sono 2 numeri uniformemente distribuiti fra 0 e 1. Si calcola: 2 c = a + b 2 Al crescere del N lanci con c< 1 N totale lanci numero dei tende a : area settore circolare area quadrato π = 4 lanci, N estrazioni

2 I metodi probabilistici hanno una lunga storia, ma solo dopo il 1944 è iniziato un loro studio sistematico, che ha portato a notevoli sviluppi. Attualmente si valuta che quasi la metà delle applicazioni del calcolo scientifico ad alte prestazioni (basate sull utilizzo di macchine con architettura avanzata o su sistemi per il calcolo parallelo) utilizzi metodi Monte Carlo o qualche loro versione più recente (i cosiddetti metodi quasi-montecarlo ). Numeri casuali sono utilizzati per costruire simulazioni di natura probabilistica di fenomeni fisici (reattori nucleari, traffico stradale, aerodinamica), per risolvere eq.differenziali alle derivate parziali, in problemi decisionali e finanziari, in informatica (progettazione VLSI, rendering) o come semplice fonte di divertimento (videogiochi). Il successo riscosso da tali tecniche è legato fondamentalmente: - all estrema facilità d uso: non sono praticamente richiesti sviluppi matematici di nessun tipo; - alla possibilità di simulare con facilità il comportamento di sistemi estremamente complessi. Sui metodi MonteCarlo:

3 Generazione di numeri casuali Un problema strettamente collegato all uso di metodi probabilistici è quello della generazione di numeri casuali. L idea stessa di utilizzare un calcolatore (quindi un oggetto che -almeno in teoriaè puramente deterministico e di conseguenza prevedibile), per generare un numero casuale (quindi imprevedibile) sembra costituire una sfida impossibile. In effetti nessun calcolatore è in grado di generare numeri puramente casuali, ma solo numeri pseudo-casuali. Si tratta di numeri generati da algoritmi deterministici in grado di superare una serie di test statistici che conferiscono a tali numeri una apparente casualità. Metodo middle-square Suggerito da John von Neumann nei primi anni dell era dei computer (1946) per generare numeri pseudo-casuali distribuiti in modo uniforme. Il metodo middle-square richiede, come tutti i generatori di numeri casuali, un valore iniziale, detto seme, dal quale vengono generati i successivi valori. Ad esempio: Supponiamo di volere generare un numero casuale di 4 cifre, ossia un numero tra 0000 e A partire da 1234, elevando tale numero al quadrato si hanno le otto cifre , delle quali vengono tenute solo le quattro cifre di mezzo Da queste, ripetendo il procedimento, si ottiene e quindi 3215.

4 Si noti che ogni nuovo numero nella successione è determinato univocamente dal suo predecessore. La successione generata quindi non potrà essere casuale ma avrà solo il carattere di apparente casualità. In particolare, ogni successione di numeri generati da questo algoritmo inizierà a ripetersi prima o poi (appena torno a un n già estratto, da lì ripeto la sequenza; se finisco nell 1 o nello 0, la sequenza diventa costante). Il numero di valori che costituiscono la sequenza che si ripete è detto periodo della sequenza. La lunghezza di tale periodo può essere considerata una misura della bontà del generatore di numeri pseudo-casuali. Sfortunatamente il metodo middle-square può degenerare in sequenze con periodi molto brevi. Ad esempio, a partire dal valore 0 o dall 1 la sequenza ha sempre periodo 1, oppure partendo con 43 e numeri a 2 cifre otteniamo la sequenza 43, 84, 05, 02, 00, 00,...

5 Generatori lineari congruenziali (LGG, Lemer 1948) Il metodo LCG, analogamente al metodo middle-square, ha bisogno di un seme X 0 per inizializzare la successione numerica, che è così definita: x n+1 = (ax n + c) mod m dove a, c ed m sono opportuni numeri interi costanti. Ovviamente x n+1 assume valori interi tra 0, 1, 2,...,m 1. Un esempio: a = 13, c = 0, m = 31, x 0 = 1: , 1. Con tale terna (a,c,m), a prescindere dalla scelta di X 0, tutti i numeri da 1 a 30 (m-1) compaiono 1 e 1 sola volta, poi la sequenza si ripete all ( proprietà del massimo periodo ). La proprietà del massimo periodo non vale per tutte le terne (a, c, m). P.es., scegliendo a = 7, c = 7, m = 10, X 0 il periodo è 4 anziché 10 (per c 0 il massimo periodo è infatti pari a m anziché m-1): , ,. Tra le scelte ad alto m che rispettano la proprietà del massimo periodo, una delle più popolari è: a = 7 5, c = 0, m = (n primo). Questa scelta garantisce un periodo di = numeri pseudo-casuali!

6 Generatori più recenti I generatori di numeri casuali più recenti, come quello incluso nelle versioni di MATLAB successive alla 4^, non sono basati sul metodo LCG. Tali generatori sono una combinazione di operazioni di spostamento di registri e manipolazione sui bit che non richiedono nessuna operazione di moltiplicazione o divisione. Questo nuovo approccio risulta estremamente veloce ed inoltre garantisce periodi di sequenza incredibilmente lunghi. Nelle ultime versioni MATLAB, il periodo è , che ad un milione di numeri casuali al secondo richiederebbe anni (circa volte l età dell universo) prima di ripetersi! Data la coincidenza dell esponente con la data della scoperta dell America, questo generatore viene comunemente chiamato il generatore di Cristoforo Colombo. Sui generatori di numeri pseudo-casuali:

7 Utilizzo dei Metodi MonteCarlo per l analisi di sistemi complessi a N componenti Metodi di tipo Monte Carlo casuale Per ciascun componente, siano note le probabilità di presentazione di ognuno dei suoi stati possibili. Mediante l estrazione di una N-upla di numeri, si definisce direttamente lo stato degli N componenti del sistema (e quindi il suo assetto complessivo) nell istante sotto esame; su tale assetto si svolgono le analisi d interesse (per esempio, nel caso del sistema elettrico, si conteggia l eventuale energia non fornita nella configurazione esaminata). Dopo numerose estrazioni (N-uple), si hanno indicazioni del comportamento medio ed estremo del sistema nell istante analizzato. Ogni estrazione (N-upla) ignora i risultati dell estrazione precedente. Sono metodi adatti allo studio di sistemi senza storia (si analizza un solo istante; se anche si analizzano più istanti, lo si fa per ognuno di essi in maniera indipendente da quelli che cronologicamente lo anticipano). Permettono di valutare solo indici monoparametrici.

8 Metodi di tipo Monte Carlo sequenziale Si utilizzano per simulare, in base all esito di estrazioni casuali, il verificarsi di eventi tipici del funzionamento del sistema. In genere, si tratta delle transizioni di stato dei componenti; in particolare, i guasti e i rientri in servizio (*). Per ciascun componente, si suppone nota la mappa dei tassi di transizione tra stato e stato. Si definisce un orizzonte temporale in esame (es. 1 anno) e una discretizzazione (es. 1 ora). Si ipotizza noto lo stato di ogni componente nell ora 0. Ad ogni ora, mediante l estrazione di una N-upla di numeri, si annotano le eventuali transizioni di stato di ciascun componente rispetto allo stato assunto nell ora precedente (*). Lo stato assunto dal sistema in ogni ora dipende dunque anche da quello estratto nell ora precedente. Identificato l assetto del sistema nell ora in esame, si svolgono le analisi d interesse (per esempio, nel caso del sistema elettrico, si valuta lo scostamento del dispacciamento da quello previsionale e si conteggia l eventuale energia oraria non fornita). Giunti, di ora in ora, fino al termine dell orizzonte temporale, si ottiene una delle possibili evoluzioni annue del sistema, corrispondente a precisi valori degli indici di rischio. Iterando N volte l anno in esame a partire dallo stesso stato iniziale, i diversi esiti delle estrazioni differenziano le traiettorie annue del sistema e con esse i valori annui degli indici di rischio, fornendo così indicazioni sul comportamento medio ed estremo del sistema nell anno analizzato. Sono metodi adatti anche allo studio di sistemi con storia, ma i tempi di calcolo sono maggiori del Monte Carlo casuale (serve un campione più ampio per giungere a convergenza). Permettono di valutare anche indici biparametrici. (*) In più, si possono estrarre i valori assunti da variabili aleatorie come il carico effettivo, la velocità del vento, l apporto idrico,

9 Esempio di calcolo di un indice di rischio () con una tecnica Monte Carlo casuale (analisi dell ora di maggior carico presunto annuo). Modello sbarra. Si può calcolare anche E e R: E E R h = = = 8760 h= h h= 1 h ( C estrazioni con ENF N G) totale estrazioni E

10 o Montecarlo casuale Le tipologie di analisi di affidabilità qui elencate sono tipiche di sistemi verticalm. integrati, dove un unico operatore pianifica (cioè dimensiona e ottimizza) ed esercisce il sistema. Come vedremo, in un contesto liberalizzato, analisi simili sono svolte dall ISO: come verifica di adeguatezza del parco e della rete per definire i quantitativi dei servizi ausiliari di sistema (es. riserva operativa) da acquistare sui rispettivi mercati per la definizione della capacità di transito in sicurezza (TTC) di una certa sezione di rete per la simulazione dell impatto di nuove regole di mercato

11 Utilizzo degli indici di rischio per la pianificazione del sistema o la verifica della sua adeguatezza Criterio del rischio accettabile (detto anche dell affidabilità richiesta) Si definisce, sulla base dell esperienza passata o per confronto con sistemi analoghi, un livello di rischio accettabile,da non superare né in sede di progetto né di verifica. Per esempio: ENF=1 p.p.m. del carico annuo. Criterio del minimo costo totale Si punta alla minimizzazione di una funzione di costo totale. Per esempio, in un sistema verticalmente integrato in cui un unico operatore assume su di sé tutti i costi e li ribalta sulla collettività: C tot = C install + C O&M + C eserc + C rischio In un ottica liberalizzata, un regolatore posto a garanzia dei clienti finali tenderà a introdurre regole di mercato che inducano alla minimizzazione di una funzione di costo del tipo: C tot = P energia *E + P ris *Q ris + C rischio ENF*c ENF dove c ENF è il valore unitario associato all energia non fornita

12 Quale valore economico unitario c ENF assegnare all energia non fornita? 1^ metodo: Valutazioni macroeconomiche PIL Ricchezza annua prodotta dal Paese Carico annuo 300 TWh = kwh c ENF 5 /kwh Per molte realtà industriali è una stima per difetto, perché l assenza di energia elettrica comporta non solo una mancata produzione, ma spesso anche ingenti danni. 2^ metodo: Costo implicito del rischio E un calcolo a posteriori basato su sistemi già esistenti. Dall analisi dell attuale configurazione del sistema, si risale al costo implicitamente assegnato al rischio durante lo sviluppo passato del sistema, nell ipotesi che questo sia dimensionato al meglio. Si suppone nota la dipendenza, dalla riserva r% installata, sia dell ENF che del costo annuo C install +C O&M +C eserc. Si parametrizzano varie curve C rischio =f(r%) per diversi valori di tentativo di c ENF. Si trova quel valore di c ENF per cui il C tot è minimo proprio in corrispondenza dell attuale riserva effettivamente installata.

13 6 /kwh 3 /kwh * Se la riserva effettiva del sistema è il 19% e la curva di C tot che trova il proprio minimo in r=19% è quella con c ENF =6 /kwh, allora tale valore è il costo implicito del rischio Curve tracciate a partire dal punto (r*;ci*+cm*+cf*) storico, variando in aumento e in diminuzione la r% Varie curve c E *ENF tracciate in base a ENF(r%) e assegnando diversi valori di tentativo a c E