Dipartimento di Meccanica

Transcript

1 8. INCERTEZZA DI MISURA 8.. GENERALITÀ La terminologia e la metodologia per il calcolo e l espressione dell incertezza di misura è data dalla Guida Internazionale ISO - GUM: ISO : International Organiztion for Standardization GUM:Guide to expression of Uncertainty in Measurement che ha lo scopo di fornire i principi fondamentali applicabili alla quasi universalità delle misure e quindi agli strumenti di misura allo scopo di: - Mantenere il controllo e la garanzia della qualità nella produzione - Garantire la conformità a leggi e regolamenti o imporne il rispetto - Sviluppare, mantenere e confrontare campioni di riferimento nazionali ed internazionali Tale Guida Internazionale ISO - GUM è in pratica una raccomandazione da seguire per l espressione delle incertezze di misura, poiché definisce una procedura standardizzata applicabile in pratica in tutti i settori Politecnico industriali, commerciali, ambientali di e Milano dei servizi, per valutare la qualità del risultato di una misura o di un processo di misurazione, cioè per esprimerne sua incertezza di misura. 8.. TERMINI E DEFINIZIONI I termini in italiano sono tratti dalla Norma Italiana ed Europea UNI CEI ENV 3005 che è il recepimento della traduzione integrale della Guida Internazionale ISO - GUM. INCERTEZZA TIPO (Standard uncertainty) u(x) Incertezza di una stima x espressa come scarto tipo: u(x) s(x) σ(x) VALUTAZIONE DELL'INCERTEZZA DI CATEGORIA A (Type A uncertainty evaluation) Metodo di valutazione dell'incertezza per mezzo dell'analisi statistica di serie d osservazioni. VALUTAZIONE DELL'INCERTEZZA DI CATEGORIA B (Type B uncertainty evaluation) Metodo di valutazione dell'incertezza con mezzi diversi dall'analisi statistica di serie d osservazioni. INCERTEZZA TIPO COMPOSTA (Combined standard uncertainty) u c (y) Incertezza tipo del risultato di una misurazione allorquando il risultato è ottenuto mediante i valori di un certo numero di altre grandezze e corrisponde alla radice quadrata positiva della somma delle varianze (ovvero delle incertezze tipo al quadrato) di quelle grandezze, pesate secondo la variazione del risultato della misurazione al variare di esse (ovvero secondo il loro coefficiente di sensibilità desunto dalle loro derivate parziali). FATTORE DI COPERTURA (Coverage factor) k Fattore numerico usato come moltiplicatore dell'incertezza tipo composta per ottenere un'incertezza estesa (normalmente posto uguale a per ottenere una incertezza estesa a livello di fiducia o confidenza del 95 %). INCERTEZZA ESTESA (Expanded uncertainty) U(y) = k. u c (y) Grandezza che definisce, intorno al risultato di una misurazione, un intervallo che ci si aspetta comprendere una frazione rilevante della distribuzione di valori ragionevolmente attribuibili al misurando.

2 8.3. REGOLE DI SCRITTURA Le incertezze di misura dei risultati sperimentali e dei processi di misurazione devono rispondere alle seguenti regole: REGOLA I simboli dell incertezza sono normalmente i seguenti: u per l incertezza tipo u per l incertezza composta U per l incertezza estesa REGOLA I valori di incertezza, Politecnico rappresentando una fascia di valori di distribuzione Milano di probabilità intorno al misurando, devono essere espressi senza segno, ovvero: u c (y) = 0. bar e non u c (y) = ± 0. bar U(y) = 0. bar e non U(y) = ± 0. bar REGOLA 3 Il risultato di una misurazione deve essere sempre presentato sotto forma di valore misurato, accompagnato dalla sua incertezza di misura estesa, ovvero: Y = y ± U(y) e il fattore di copertura k, utilizzato nella stima dell incertezza estesa, dovrebbe essere specificato, e meglio se è specificato anche il suo livello di probabilità. REGOLA 4 Se la frazione della distribuzione di probabilità è definita ed ha valore p, si dovrebbe scrivere: U p (y) = k p. u c (y) Per esempio, se p = 0,95 (al normale livello di fiducia o di confidenza del 95%, ovvero a livello di scarti tipo σ), si dovrebbe scrivere esplicitamente: U 95 (y) = k 95. u c (y) =. u c (y)

3 8.4. CALCOLO DELL INCERTEZZA Il documento generale di riferimento per la valutazione dell incertezza, e per la determinazione dei livelli di confidenza, è la predetta Guida Internazionale ISO-GUM: Guide to the expression of Uncertainty in Measurements (993) attualmente disponibile anche nella versione italiana nella norma UNI CEI ENV 3005 (000). A cura dell organismo europeo per l accreditamento EA (European cooperation for Accreditation) è stata pubblicata una guida applicativa siglata: EA-4/0 ex EAL-R ad uso essenzialmente dei laboratori di prova e di taratura con un supplemento contenente un certo numero di esempi pratici di valutazione dell incertezza riferiti ad alcuni casi tipici di taratura in diversi settori diversi di misura. Inoltre, per il settore specifico delle misure dimensionali, la norma internazionale siglata: ISO 453 Fornisce una linea guida alla stima semplificata dell incertezza di misura, corredata da numerosi esempi applicativi Principi di base della ISO-GUM Errore e incertezza pur costituendo due aspetti dell attività di misurazione strettamente collegati non sono sinonimi ma rappresentano concetti sicuramente differenti tra loro L errore riflette la variabilità dei valori stimati di uno stesso misurando in occasione di osservazioni ripetute: è un concetto di tipo quantitativo, anche se il suo valore non può essere conosciuto con esattezza e questo implica che l errore non può essere eliminato. Gli effetti che generano errore sono di due tipi: - effetti casuali: che possono essere ridotti aumentando il numero delle osservazioni; - effetti sistematici: che possono invece essere ridotti applicando al valore stimato del misurando opportune correzioni; e pertanto una applicazione efficace delle correzioni rende indistinguibili i due tipi di effetti. 3

4 La Guida prevede che al valore stimato del misurando siano apportate le correzioni per tutti gli effetti sistematici significativi, e ogni sforzo sia fatto per identificare tali effetti: Vedasi schema grafico seguente. L incertezza è quindi un concetto di tipo qualitativo: ovvero riflette la mancanza della conoscenza esatta del valore del misurando. L incertezza diventa invece un concetto di tipo quantitativo quando: stabiliti opportuni criteri è possibile individuare adeguati metodi di calcolo che consentono di attribuirle un valore numerico, che sarà espresso nella stessa unità di misura del misurando. Indipendentemente, dai metodi di calcolo adottati, occorre notare che un valore piccolo dell incertezza non garantisce che l errore nella stima del valore del misurando sia piccolo Infatti, per mancanza di conoscenze adeguate, potrebbe essere stata valutata male (oppure omessa) una significativa correzione di qualche effetto sistematico d errore. Pertanto l incertezza non è necessariamente una indicazione di quanto il valore effettivamente stimato come risultato della misurazione sia prossimo al valore del misurando: essa è invece una misura di quanto il valore effettivamente stimato è prossimo alla miglior stima del valore del misurando ottenibile in base al livello disponibile di conoscenza dell apparato strumentale adottato e delle condizioni d impiego. 4

5 8.4.. Modello della misurazione Nella maggioranza dei casi la grandezza che si intende misurare (ovvero il misurando) non è solitamente osservabile in modo diretto, ma viene determinata in modo indiretto (sulla base della misura e osservazione di altre k grandezze di ingresso X, X,..., X k ), attraverso una opportuna relazione funzionale: ( x x ) Y = f,...,, x k che prende il nome di modello della misurazione. Le grandezze di ingresso X, X,..., X k dalle quali dipende la grandezza di uscita Y possono essere considerate a loro volta come altrettanti misurandi. Per stimare il valore numerico delle grandezze di ingresso X, X..., X k e per assegnare loro l intervallo di incertezza occorre partire dalla seguente assunzione: in un contesto probabilistico Questo significa che: La misurazione è un evento descrivibile alla grandezza fisica di ingresso X viene associata per analogia la variabile casuale definita come l evento osservazione di X ; il valore stimato della grandezza d ingresso X e la corrispondente componente di incertezza devono essere ricavati da una distribuzione di possibili valori di X. Per una qualsiasi grandezza fisica la descrizione probabilistica della distribuzione dei possibili valori può essere desunta da: una analisi di tipo frequentistica, vale a dire da una serie di osservazioni ripetute della grandezza; oppure può essere ipotizzata sulla base del grado di credenza, vale a dire sulla conoscenza a priori della grandezza e della sua distribuzione di probabilità. Le grandezze fisiche di ingresso in un modello di misurazione possono essere: grandezze i cui valori e le cui incertezze sono determinati direttamente nel corso di misure, attraverso osservazioni ripetute, statistiche, ecc. (Categoria A); grandezze i cui valori e le cui incertezze sono introdotti nella misurazione da fonti esterne, come i dati tratti da manuali tecnici, specifiche, ecc. (Categoria B). 5

6 Categoria A Le componenti di incertezza corrispondenti a grandezze fisiche di ingresso per le quali la distribuzione di probabilità è determinata con un criterio frequentistico sono indicate come componenti con cosiddetta valutazione di categoria A. Per esse la miglior stima del valore numerico è data dalla media delle N osservazioni indipendenti x j effettuate; essa prende il nome di media o valore atteso sperimentale : x = N N x j j = Il parametro che meglio descrive la possibile distribuzione delle medie ripetute delle N osservazioni è la varianza del valore atteso sperimentale o scarto tipo al quadrato e vale: s ( x) s = N ( x ) j N = N ( N ) j = ( ) x x Il corrispondente scarto tipo sperimentale della media invece vale: u ( x) = j s ( x) e quantifica quanto bene x stimi il valore atteso della grandezza X i ; fornisce pertanto la formulazione appropriata per esprimere l'incertezza da associare al valore stimato del misurando: ovvero rappresenta l incertezza tipo. Categoria B Le componenti di incertezza corrispondenti a grandezze fisiche di ingresso per le quali la distribuzione di probabilità è determinata con un criterio a priori sono indicate come componenti con valutazione di categoria B. Al fine di riportare anche la valutazione di queste componenti d incertezza nell ambito dell analogia grandezza fisica / variabile casuale, l incertezza tipo u(x i ) da associare al valore di una grandezza X i che non sia stato determinato mediante osservazioni ripetute della grandezza deve essere valutata per mezzo di un giudizio scientifico basato sulle informazioni disponibili sulla possibile variabilità di X i. L insieme di informazioni può comprendere: dati di misurazioni precedenti, esperienza o conoscenza generale del comportamento precedente, specifiche tecniche del costruttore, incertezze assegnate a valori di riferimento riportati in manuali tecnici. 6

7 Determinazione dell incertezza tipo L incertezza tipo associata ad un livello di confidenza del 68,7 % (ovvero scarto tipo) può essere determinata nei diversi ambiti, nei seguenti casi tipici: ) Se l'informazione è tratta da una specifica nella quale si stabilisce che l'incertezza associata al valore fornito per la grandezza è un certo multiplo di uno scarto tipo, allora: l'incertezza tipo u(x) è pari a quella contenuta nella specifica, divisa per il moltiplicatore indicato. ) Se l'informazione è tratta da una specifica nella quale si stabilisce che l'incertezza associata al valore fornito per la grandezza in questione definisce un intervallo caratterizzato da un livello di confidenza pari al 90; 95; 99 % (ipotizzando una distribuzione normale), allora: l'incertezza tipo Politecnico u(x) è pari al valore indicato di nella Milano specifica, diviso per il fattore corrispondente al livello di confidenza dichiarato: rispettivamente,64 ;,96 (ovvero ) ;,58. 3) Se l'informazione a disposizione consente solamente di definire un intervallo (di ampiezza a), tale che la probabilità che il valore da assegnare alla grandezza in questione cada al suo interno è praticamente unitaria (ovvero una distribuzione rettangolare), allora: a l'incertezza tipo è ( x) u =. 3 4) Se l'informazione a disposizione consente solamente di definire un intervallo (di ampiezza a), tale che la probabilità che il valore da assegnare alla grandezza in questione sia massimo al centro e minimo ai suoi estremi (ovvero una distribuzione triangolare), allora: a l'incertezza tipo è u ( x) =. 6 7

8 Determinazione dell incertezza tipo composta L incertezza tipo di y, che è la stima del misurando Y e quindi il risultato della misurazione, si ottiene mediante una opportuna composizione delle incertezze tipo delle stime delle grandezze d ingresso x, x,. x n, ciascuna determinata come descritto in precedenza. Questa incertezza tipo composta del valore stimato è data dall espressione: k k k f f f ( y) = u ( xi ) + u( xi x j ) u c i x, = i i= j= i xi x j essendo: f la relazione funzionale che esprime il modello della misurazione u(x i ) l incertezza tipo corrispondente alla stima della grandezza d ingresso X i u(x i,x j ) la covarianza stimata associata alle stime delle grandezze d ingresso X i e X j I termini del tipo f sono solitamente denominati anche coefficienti di sensibilità c i. x i Correlazione delle grandezze di ingresso Se delle variabili casuali associate alle grandezze d ingresso sono correlate, allora nella espressione per il calcolo dell incertezza di tipo composta, i termini delle covarianze u(xii,y i j ) a queste associate non sono nulli. Si noti però che nella maggior parte dei casi pratici correlazioni molto evidenti (quali, per esempio, quella tra la temperatura di un particolare meccanico e le sue dimensioni) sono eliminate in quanto le corrispondenti grandezze entrano esplicitamente nella relazione funzionale del modello della misurazione e le loro incertezze tipo sono valutate separatamente. D altra parte, correlazioni significative tra due o più variabili d ingresso possono sussistere se, per la determinazione del loro valore stimato: si utilizza il medesimo strumento oppure lo stesso campione di riferimento oppure ancora un unica fonte di informazione Trascurando le covarianze, il calcolo dell incertezza in pratica si riduce alla sommatoria in quadratura delle varie incertezze afferenti il processo di misurazione: La valutazione dei termini di covarianza può risultare difatti un operazione molto complessa! Un modo certamente conservativo ma anche pratico di affrontare il problema è il seguente: si considerano totalmente correlate tutte le grandezze che non sono sicuramente scorrelate; l incertezza combinata associata alla stima del misurando è data dall equazione: h ( y) [ c u( x )] u u c = i i + i= r essendo: h il numero delle grandezze d ingresso sicuramente scorrelate, u r la somma delle incertezze tipo associate alle r grandezze d ingresso correlate, ciascuna moltiplicata per il corrispondente coefficiente di sensibilità: u r = r j= c j u ( x ) j 8

9 Valutazione dell incertezza estesa Obiettivo di tale valutazione è quello di poter esprimere il risultato della misurazione della grandezza Y nella forma: Y = y ± U p essendo: U p = k p u c (y) Ovvero la cosiddetta incertezza estesa la quale definisce, nell intorno del valore stimato del misurando, un intervallo y - U p Y y + U p caratterizzato da un livello di confidenza p, così definito in quanto si può supporre racchiuda una specificata frazione p (per esempio il 95%) della distribuzione dei valori che potrebbero essere ragionevolmente attribuiti al misurando stesso: k p prende il nome di fattore di copertura. Il problema è quindi individuare un criterio e un metodo per assegnare un valore al fattore di copertura e quindi alla incertezza estesa da associare alla stima del misurando: Nella prassi è uso attribuire al fattore di copertura ha un valore di e così attribuire all intervallo così ottenuto un livello di confidenza del 95,45% ovvero del 95%. In pratica la valutazione dell incertezza estesa di una serie di N osservazioni o misurazioni x j, è caratterizzata dai seguenti parametri: Valore medio µ: N µ = x j N j= Scarto tipo stimato s: N ( x j µ ) s = = N SOLO ( ) USO DIDATTICO x µ j mentre lo scarto tipo vero σ della distribuzione in considerazione, varrebbe con N : σ = N j= j N Poiché nella pratica delle misure non è possibile eseguire infinite osservazioni (N ), allora per ricavare l incertezza estesa della media delle osservazioni µ, il fattore di copertura k, deve essere corretto per la scarsa significatività delle osservazioni condotte attraverso la cosiddetta distribuzione t di Student (vedasi Tab. 8-), che corregge appunto la valenza e quindi la validità dello scarto tipo stimato s: difatti, come predetto, solo con infinite osservazioni è possibile determinare lo scarto tipo vero σ del fenomeno o processo in misurazione, per cui vale che l intervallo σ intorno alla media µ definisce il 95 % di probabilità che cada il valore vero del misurando! Quindi in pratica, a seconda del numero di osservazioni N e quindi dei gradi di libertà ν (ovvero N- avendo stimato la media µ) il fattore di copertura stimato K ps per la valutazione dell incertezza estesa va individuato nella Tab. 8- in funzione della frazione di probabilità desiderata, e pertanto l incertezza estesa stimata U ps vale in relazione allo scarto tipo stimato s: U ps = k ps s 9

10 Gradi di libertà Frazione di probabilità p in per cento (%) ν 68,7 (*) ,45 (*) 99 99,73 (*) (*)Per una grandezza descritta da una distribuzione normale con valore atteso µ e scarto tipo σ, l intervallo µ ± kσ comprende una probabilità p = 68.7 %, 95.45% e 99.73% della distribuzione per un fattore di copertura k =, e 3 rispettivamente Tab. 8- Valori della distribuzione t di Student in frazioni di probabilità percentuale desiderata p in funzione dei gradi di libertà ν 0

11 8.5. SINTESI DEL CALCOLO DELL INCERTEZZA L incertezza, come predetto, è il risultato della stima che determina l ampiezza del campo entro il quale il misurando si trova con una determinata probabilità. Difatti, ancorché corretta la misura grezza dagli errori sistematici noti, in pratica rimangono ancora delle sorgenti di incertezza della misura, derivanti dai fattori seguenti (Rif. Guida ISO-GUM): a) Incompleta definizione del misurando b) Imperfetta modellizzazione del misurando c) Incompleto o non rappresentativo campionamento del misurando d) Inadeguata conoscenza degli effetti ambientali e) Imperfetta lettura della strumentazione analogica f) Limitata risoluzione della lettura g) Inesatti valori dei materiali o campioni di riferimento h) Inesatti valori delle costanti o altri parametri inerenti la misura i) Approssimazioni assunte nella metodologia della misura j) Variazioni di ripetibilità nelle medesime condizioni della misura Metodologia pratica di valutazione di una misurazione La Guida ISO-GUM di riferimento, illustra in Fig.8-, come le grandezze di ingresso, di influenza e di uscita di un processo di misurazione, siano caratterizzate da valori accompagnati da relative incertezze, e come il risultato Sezione finale debba sempre di essere Misure necessariamente un valore elaborato accompagnato dalla relativa incertezza di misura finale, dipendente dalla composizione delle incertezze delle misure eseguite e del misurando rilevato. La dipendenza dell incertezza della misura finale dalle varie incertezze parziali via via incontrate (cioè, quelle relative in successione alle misure, alla media delle misure, alla correzione degli errori sistematici e SOLO infine quella attribuita USO al misurando), è DIDATTICO considerata di tipo stocastico ed è determinata dalla (supponendo le incertezze non correlate): radice quadrata della somma delle singole incertezze afferenti al quadrato. Ovviamente le singole incertezze dovranno prima essere valutate allo stesso livello di confidenza, per esempio, a quello equivalente ad uno scarto tipo (σ) di circa il 68 %, oppure a quello equivalente a due scarti tipo (σ) di circa il 95 % Composizione delle incertezze di una misurazione Se le singole incertezze provengono da distribuzioni di probabilità diverse, è necessario prima per esempio uniformarle allo scarto tipo equivalente (σ eq) e quindi procedere alla loro combinazione.

12 A tal proposito la Fig. 8- illustra il processo di riduzione delle incertezze allo scarto tipo normale (σ) o equivalente (σ eq), partendo dalla loro media (σ) e dalla loro forma e ampiezza di distribuzione probabilità. Difatti nelle varie illustrazioni, si nota in Fig. 8-: (a) la curva di distribuzione normale o gaussiana: nella quale se non noto lo scarto tipo σ per via statistica, si può determinare a fronte di varie misurazioni, l ampiezza dei valori probabili ± 3σ (che contiene circa il 00 % dei casi: % per l esattezza), da cui è calcolabile facilmente lo scarto tipo: dividendo la semiampiezza 3σ, per 3. (b) la curva di distribuzione triangolare: nella quale, invece, lo scarto tipo equivalente σ eq è calcolabile: dividendo la semiampiezza a, per 6. (c) la curva di distribuzione rettangolare: nella quale, infine, lo scarto tipo equivalente σ eq è calcolabile: dividendo la semiampiezza a, per 3. Una volta determinate le varie incertezze a livello di uno scarto tipo è facile determinarne l incertezza tipo composta: radice quadrata della loro sommatoria al quadrato e quindi determinare l incertezza estesa, ovvero con fattore di copertura σ o 3σ, allo scopo di esprimere l incertezza finale della misurazione a circa il 95 o 99 % di livello di confidenza: solitamente comunque con fattore di copertura σ e quindi al 95 % Determinazione pratica della incertezza di misura in un processo di misurazione Come si è dibattuto precedentemente non può circolare una misura se non accompagnata da suo relativo livello di incertezza! Allora sorge SOLO il problema: USO DIDATTICO Che metodologie applicare per la determinazione e la formulazione dell incertezza nell ambiente industriale? Occorre innanzitutto avere infrastrutture appropriate, ovvero: - Ambiente: Laboratori a condizioni ambientali controllate o almeno registrate e tipicamente equivalenti a: Temperature: 0 ± C per misure meccaniche 3 ± C per misure elettriche Umidità : 50 ± 0 % (o ± 5 %) - Apparecchiatura: Strumentazione adeguata ai campi di misura ed ai livelli di incertezza desiderati, con riferibilità al Sistema Internazionale di misura (SI) attraverso: Centri del Servizio di Taratura in Italia: SIT o di altri Sevizi accreditati EA Oppure direttamente attraverso gli Istituti Metrologici Primari: IMGC, IEN, ENEA.

13 - Personale: Specificatamente addestrato e operante secondo le procedure tecniche e gestionali del Manuale di Qualità del laboratorio o dell azienda. Con questa minimale triade di elementi sarà possibile effettuare delle accurate misure la cui incertezza potrà così essere valutata (Fig. 8-):. Individuare l incertezza di misura del campione di riferimento del certificato di taratura SIT o EA: incertezza che è buona norma sia migliore di /3 e preferibilmente /0 dell incertezza della misura o delle misurazioni da eseguire; (generalmente fornita con distribuzione normale a due scarti tipo σ). Eseguire secondo le definite procedure la misura o la serie di misurazioni 3. Valutare il valore della misura, o la media e la varianza delle misure: allo scopo di determinare il risultato grezzo delle misura e la sua incertezza 4. Correggere il risultato grezzo della misura con l errore sistematico manifestato dal campione di riferimento Politecnico durante la taratura: di Milano ovvero rilevandolo dal certificato di taratura del campione 5. Compensare il risultato così corretto con gli eventuali errori dovuti alle variazioni delle grandezze influenti rispetto i loro valori nominali: per esempio, per effetto delle variazioni di temperatura ambiente; (solitamente fornito con incertezza a distribuzione rettangolare con scarto tipo equivalente σ eq uguale alla semi ampiezza dell errore divisa 3). 6. Valutare le varie incertezze tipo afferenti alla misura: eventualmente quantificarle tutte ad uno scarto tipo σ 7. Determinare l incertezza tipo composta: come radice quadrata della sommatoria delle singole incertezze al quadrato 8. Determinare l incertezza estesa: Sezione Misure con fattore di copertura ovvero al 95 % di livello di confidenza 9. Esprimere il risultato finale nella forma seguente: risultato compensato o corretto, con incertezza estesa. Va da sé, che se si tralasciano le fasi: 4 o 5 il risultato finale sarà quello grezzo ottenuto alla fase 3, però in questo caso, essendo il risultato non corretto dalle deviazioni del certificato e non compensato dalle variazioni delle grandezze influenti, sarà tanto maggiore: - quanto maggiori sono gli errori sistematici del campione di riferimento; - quanto maggiori sono le deviazioni delle condizioni operative rispetto quelle ideali di funzionamento. Pertanto, per migliorare le incertezze nelle misurazioni, occorre: - correggere gli errori sistematici del campione di riferimento; - compensare le derive dello strumento nelle condizioni operative di esercizio. 3

14 GRANDEZZE VALORI INCERTEZZE a) Misure rilevate singola misura b) Media aritmetica delle misure rilevate media misure c) Correzione degli errori sistematici noti d) Risultato della misurazione e) Errore residuo (ignoto) misurazione corretta f) Valore del misurando (ignoto) g) Valore del misurando con incertezza dovuta alla sua non completa definizione (ignoto) h) Risultato finale della misurazione misurazione finale Fig. 8- Metodologia di correzione e formulazione della misurazione e della relativa incertezza attribuibile 4

15 % 68,7 % ( ~68 %) 99,73 % (~00%) 0 (a) 3σ σ σ - µ + σ σ 3σ % 00 % 0 % a σ eq = a/ 6 - µ + σ eq = a/ 6 a (b) 00 % 0 a σ eq = a/ 3 - µ + σ eq = a/ 3 a Fig. 8- (c) Curve probabilistiche delle incertezze (a) Normale o gaussiana (b) Triangolare (c) Rettangolare 5

16 8.6. ESEMPI DI CALCOLO PRATICO DELL INCERTEZZA 8.6. ESEMPI DI CALCOLO DELL INCERTEZZA COMPOSTA: Senza correlazioni FORMULA DI CALCOLO u c k ( y) = u ( x ) i= f x i i ESEMPIO :Misurazione di una tensione Modello matematico V = R. I ( V ) = u ( R) u ( I) u c + ponendo: u (R) = % u (I) = % si ottiene: u c ( V ) = + =.4% ESEMPIO :Misurazione di una potenza Modello matematico P = R. I ( P) = u ( R) u ( I) u c + ponendo: u (R) = % u (I) = % si ottiene: u c ( P) = + =.% 6

17 8.6.. ESEMPI DI CALCOLO DELL INCERTEZZA COMPOSTA: Con correlazioni FORMULA DI CALCOLO ESEMPIO : Misurazione di una temperatura differenziale (con stesso termometro) CORRELAZIONE (Cr) h ( y) [ c u( x )] u u c = i i + i= Modello matematico T= T T u c r ( T ) = u T ) + u ( T ) 0.8u( T ) u( T ) ponendo: u (T ) = % u (T ) = % c (T, T ) = si ottiene: ( ( V ) = =.% u c ovvero senza Cr sovra stima + 5% ESEMPIO :Misurazione di una massa somma ( masse tarate con stesso campione) M= M + M u c COVARIANZA (Cv) ( M ) = u M ) + u ( M ) + 0.8u( M ) u( M ) ponendo: u (M ) = % u (M ) = % c (M, M ) = si ottiene: ( ( V ) = =.7% u c ovvero senza Cv sotto stima - 0% 7

18 RIFERIMENTI Riferimenti bibliografici Brunelli A. Strumentazione di misura e controllo nelle applicazioni industriali Volume IV: Normativa e terminologia Indice analitico GISI Milano (999) Rebaglia I. La valutazione dell incertezza di misura Dispense: Corso Metrologia Base EMIT-LAS Milano (999) Riferimenti normativi ISO-GUM Guide to expression of Uncertainty in Measurement (993) Corrispondente UNI CEI ENV 3005 (000): Ex UNI CEI 9 (997) EA 4/0 Expression of the uncertainty of measurement in calibration (997) ISO 453 Geometrical Product Specification (GPS) 8