Matrici complesse e prodotti Hermitiani

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1 Matrici complesse e prodotti Hermitiani 28 ottobre 2009 Richiami sui numeri complessi In questo paragrafo richiamiamo alcune proprietà del campo dei numeri complessi C. 1. Ogni numero complesso z si può scrivere in modo unico come z = z 0 +i z 1, ove z 0, z 1 R e i = 1; l elemento z 0 = Rz è detto parte reale di z, mentre z 1 = Iz viene chiamato parte immaginaria. 2. Il coniugio : C C è la funzione che associa a z = z 0 + i z 1 il numero complesso z = z 0 i z Il coniugio è un automorfismo del campo C: in particolare, per ogni a, b, c C: a + bc = a + bc. 4. L insieme degli elementi x C per cui x = x coincide con R. 5. Per ogni z = z 0 + i z 1 C, il numero zz = z z2 1 definisce la norma di z come è reale e positivo. Si z = zz. 6. La norma di un numero reale coincide col suo valore assoluto. 7. In generale, z + w z + w. 8. La traccia di z C è il numero reale z + z = 2z 0. 1

2 9. In generale Rz = 1 (z + z); 2 Iz = i (z z) Ogni numero complesso può rappresentarsi in forma polare come z = a(cos θ + i sin θ) = a e iθ, ove a, θ R, a 0 mentre π < θ π. Se z 0 tale rappresentazione è unica. Il numero a = z il modulo di z, mentre θ è detto argomento. 11. Il campo complesso è algebricamente chiuso. In particolare, ogni polinomio p(x) C[x] di grado almeno 1 a coefficienti in C ammette sempre almeno una soluzione ^x C. 12. Conseguentemente, un polinomio di grado n in C ammette sempre esattamente n soluzioni complesse, contate con la debita molteplicità. 13. Applicando il teorema di Ruffini si ha che per ogni p(x) C[x] di grado n esistono λ 1,..., λ n (non necessariamente tutti distinti) tali che p(x) = (x λ 1 )(x λ 2 ) (x λ n ). In altre parole, si dice che p(x) si spezza in fattori lineari (i.e. di primo grado) su C. Prodotti Hermitiani Vogliamo definire un prodotto fra vettori di uno spazio vettoriale V sul campo complesso C che subordini una norma su V. In particolare, si desidera x V, 0 x, x R. È chiaro che, non potrà essere una forma bilineare ψ, in quanto, anche se per qualche vettore x V, si ha ψ(x, x) R, comunque ψ((1 + i)x, (1 + i)x) = 2iψ(x, x) R Definizione 1. Sia V uno spazio vettoriale sul campo C. Si dice forma sesquilineare su V ogni applicazione φ : V V C tale che, per ogni x, y, z V e λ C: 1. φ è lineare nella prima componente, cioè φ(x + λy, z) = φ(x, z) + λφ(y, z); 2

3 2. φ è antilineare nella seconda componente, cioè Se vale inoltre la condizione allora φ è detta simmetrica. φ(z, x + λy) = φ(z, x) + λφ(z, y). φ(x, y) = φ(y, x), Data una forma sesquilineare simmetrica φ abbiamo da cui segue φ(x, x) R. φ(x, x) = φ(x, x), Definizione 2. Sia M Mat n (C). Indichiamo con il simbolo M la matrice aggiunta Hermitiana di M, ottenuta coniugando la trasposta di M. In simboli M = M T = M T. Definizione 3. Una matrice H Mat n (C) è detta Hermitiana se H = H. Teorema 1. Una forma φ : C n C n C è sesquilineare simmetrica se, e solamente se, esiste una matrice Hermitiana H tale che φ(x, y) = x T Hy. Dimostrazione. Innanzi tutto verifichiamo che, data una matrice H con H = H, l applicazione θ H (x, y) = x T Hy è sesquilineare simmetrica. Infatti, per ogni x, y, z C n e λ C si ha 1. θ(x + λz, y) = (x + λz) T Hy = x T Hy + λz T Hy = θ(x, y) + λθ(z, y). 2. θ(x, y) = x T Hy = x Hy = y T H x = θ(y, x). Viceversa, sia φ una forma sesquilineare simmetrica e fissiamo una base di C n B = {b 1, b 2,..., b n }. Consideriamo la matrice H = (h ij ) le cui entrate sono h ij = φ(b i, b j ). Per la simmetria di φ, abbiamo che h ij = h ji, cioè H = H. Inoltre, scrivendo i vettori x e y in componenti rispetto B, φ(x, y) = x i y j φ(b i, b j ) = x i y j h ij = x T Hy. La tesi segue. i=1 j=1 3 i=1 j=1

4 Definizione 4. Sia φ : V V C una forma sesquilineare simmetrica. L applicazione h : V R descritta da h(x) = φ(x, x) è detta forma Hermitiana associata a φ. Definizione 5. Una forma Hermitiana h su V è detta definita positiva se, per ogni x V si ha h(x) = φ(x, x) 0 e h(x) = 0 se, e solamente se x = 0. In tale caso la forma sesquilineare φ che induce h sarà detta prodotto Hermitiano. Una matrice Hermitiana H è definita positiva se, e solamente se, la forma Hermitiana h(x) = x T Hx ad essa associata è definita positiva. Osserviamo che poiché h(x) R per ogni x V e H T = H, h(x) = h(x) = x Hx = x H T x. Teorema 2. Sia h una forma Hermitiana definita positiva associata ad una forma sesquilineare φ. Allora, x = h(x) è una norma su V. Dimostrazione. Rammentiamo che il modulo di un numero complesso λ è il numero reale λ = λλ. Innanzi tutto osserviamo che λx 2 = λλ x 2 = λ 2 x 2. Dobbiamo verificare ora la disuguaglianza triangolare, cioè (elevando tutto al quadrato) h(x + y) h(x) + h(y). Dimostriamo dapprima che la disuguaglianza di Schwartz vale anche nel caso di forme sesquilineari. Poiché φ è definita positiva abbiamo, per ogni α C φ(x + αy, x + αy) = φ(x, x) + α 2 φ(y, y) + αφ(x, y) + αφ(x, y) 0 In particolare, ponendo α = φ(x,y) φ(y,y) otteniamo φ(x, x) + φ(x, y) 2 φ(y, y) 2 φ(x, y) 2 φ(y, y) 0 4

5 da cui si deduce cioè D altro canto, φ(x, y) 2 φ(x, x)φ(y, y), φ(x, y) x y. x + y 2 = h(x + y) = φ(x + y, x + y) = Quindi, h(x) + φ(x, y) + φ(x, y) + h(y) h(x) + φ(x, y) + φ(x, y) + h(y) h(x) + φ(x, y) + φ(x, y) + h(y) = h(x) + 2 φ(x, y) + h(y) e la dimostrazione è conclusa. x + y x + y x x y + y 2. Sia x un vettore colonna di V = C n. Il prodotto Hermitiano standard su V è definito come x, y = x T y. Pertanto, la forma Hermitiana standard su V risulta Tenuto conto che h(x) R si vede che h(x) = x T x. h(x) = h(x) = x T x = x x. Pertanto, tale forma associa al vettore x = (x 1, x 2,..., x n ) T il numero reale h(x) = i x i x i = i x i 2 ; ed essa risulta definita positiva. La norma indotta da h verrà indicata col simbolo x 2 = h(x). Osserviamo che, se x R n, tale norma coincide esattamente con la 2 precedentemente introdotta. Similmente, ristretto a vettori x, y R n un qualsiasi prodotto Hermitiano si comporta come un prodotto scalare. Diremo che due vettori x, y C n sono ortogonali se, e solamente se, x, y = 0, 5

6 ove, denota il prodotto Hermitiano standard. Sia ora M Mat n,m (C) una matrice qualsiasi. Osserviamo che M induce in modo naturale un omomorfismo fra gli spazi vettoriali W = C m e V = C n. Prendiamo x C n e y C m. Inoltre, x, My = x T My = x T M T T y = x T (M ) T y = M x, y. Teorema 3 (Teorema di rappresentazione). Sia V uno spazio vettoriale su C di dimensione finita, e V il suo duale. Per ogni ϕ V esiste un vettore y V tale che, per ogni x V, ϕ(x) = x, y. Dimostrazione. Per definizione di forma sesquilineare, l applicazione, y è un elemento del duale V per ogni possibile scelta del vettore y. Fissiamo una base ortonormale per V E = {e 1, e 2,..., e n } e siano α i = ϕ(e i ) per i = 1,... n. Poniamo y = α i e i. Allora, e i, y = i=1 e i, α i e i = α i e i, e i = α i. i=1 Poiché le due forme lineari ϕ e, y coincidono su di una base di V, esse sono la stessa. Osserviamo che, esattamente come nel caso del prodotto scalare per spazi vettoriali reali, si che, per ogni y C n, l insieme y = {x C n : x, y = 0} è un sottospazio vettoriale di C n avente dimensione n se y = 0 e n 1 se y 0, in quanto nucleo di una forma lineare ϕ V. Matrici normali e teorema spettrale Definizione 6. Una matrice M Mat n (C) si dice Hermitiana se M = M Unitaria se MM = I Normale se M M = MM 6

7 Osserviamo che matrici Hermitiane e Unitarie sono sempre normali. Per matrici reali R Mat n (R) vale la condizione R = R T, pertanto vigono le le seguenti implicazioni: R Ortogonale R Unitaria R Simmetrica R Hermitiana Osserviamo che se U è una matrice unitaria e x C n : Ux 2 2 = x T U T Ux = x T U T Ux = x U Ux = x x = x T x = x 2 2, cioè le matrici unitarie corrispondono a trasformazioni lineari dello spazio vettoriale che conservano la 2 dei vettori. Vedremo in seguito, nel Teorema 14, che vale anche il viceversa. Dimostriamo ora un risultato che riguarda tutte le matrici a coefficienti in C. Teorema 4 (Schur). Sia M Mat n (C). Allora, esiste una matrice unitaria U tale che U MU sia triangolare superiore. Dimostrazione. Procediamo per induzione sull ordine n della matrice. Per n = 1, il teorema è banale. Supponiamo che il teorema valga per tutte le matrici di ordine (n 1) (n 1). Poiché C è algebricamente chiuso, la matrice M ammette almeno un autovalore λ. Sia x un autovettore associato a λ. È possibile supporre senza perdere in generalità x 2 = 1. Costruiamo una base ortonormale di C n che abbia come primo vettore proprio x e consideriamo la matrice di cambiamento di base V. Allora, V è unitaria e, posto M 1 = V MV si ha VM 1 e 1 = MVe 1 = Mx = λx = λve 1, dal che, tenuto conto del fatto che V è invertibile, si deduce M 1 e 1 = λe 1, cioè e 1 è un autovettore per M 1. Ne segue che ( ) λ... M 1 = 0 M 2 con M 2 matrice di ordine (n 1) (n 1). Per ipotesi induttiva esiste una matrice unitaria W tale che W M 2 W sia triangolare superiore. Poniamo ( ) 1 0 W = 0 W. 7

8 Chiaramente W è unitaria e trasforma in modo unitario M 1 in una matrice triangolare superiore T. Pertanto, posto U = VW si ha La tesi segue. U MU = W (V MV)W = W M 1 W = T. Per le matrici Hermitiane e ortogonali si può stabilire di più. Teorema 5. Gli autovalori di matrici Hermitiane sono tutti reali. Dimostrazione. Sia M Mat n (C) una matrice Hermitiana e supponiamo che λ sia un suo autovalore con autovettore x. Allora, tenuto conto che M = M, Pertanto, da cui Osserviamo che Pertanto, λ = λ e dunque λ R. Mx = λ, x M = λ. λx x = x (Mx) = (x M)x = λx x, (λ λ)x x = 0. x x = x, x = x i 2 > 0. i=1 Premettiamo al teorema fondamentale di questo paragrafo alcuni lemmi. Lemma 6. Sia M Mat n (C) una matrice normale. Allora, per ogni x C n si ha Mx 2 = M x 2. Dimostrazione. Tenuto conto che la norma è un numero reale positivo, Mx 2 2 = x T M T Mx = x T M T Mx = x M Mx = x MM x = x MM x = (M x) T M x = M x 2 2. Lemma 7. Sia M Mat n (C) una matrice normale e supponiamo che x sia un suo autovettore di autovalore λ. Allora, x è autovettore di M di autovalore λ. 8

9 Dimostrazione. Verifichiamo dapprima che M λi è una matrice normale. Infatti (M λi) (M λi) = (M λi)(m λi) = M M λm λm + λλi = In particolare, se x è autovettore di M si ha MM λm λm + λλi = (M λi)(m λi). 0 = (M λi)x 2 = (M λi)x 2 da cui si deduce che è la tesi. M x = λx, Teorema 8 (Teorema Spettrale). Ogni matrice normale M Mat n (C) è diagonalizzabile mediante matrici unitarie. Dimostrazione. Ragioniamo per induzione sull ordine n di M. Se n = 1 non vi è nulla da dimostrare e la matrice M = (m 11 ) è già diagonale. Supponiamo che ogni matrice normale (n 1) (n 1) sia diagonalizzabile mediante matrici unitarie. Per il Teorema 4 esiste sicuramente una matrice unitaria V tale che M 1 = V MV sia triangolare superiore. In particolare, vi è un λ tale che M 1 e 1 = λe 1. D altro canto, M 1M 1 = (V M V)(V MV) = V (M M)V = V (MM )V = (V MV)(V )M V) = M 1 M 1, per cui anche M 1 è normale. Per il Lemma 7, il vettore e 1 è anche autovettore di M 1 e M 1 e 1 = λe 1. Ne segue che M 1 è diagonale a blocchi della forma ( ) λ 0 M 1 =. 0 M 2 Tenuto conto del fatto che ( ) ( λλ λλ 0 M 2 M = M 1M 1 = M 1 M 1 = 2 M 2 M 2 si vede che M 2 è una matrice normale (n 1) (n 1). La tesi ora segue dall ipotesi induttiva. 9 )

10 In particolare, assegnata una matrice normale M è sempre possibile trovare una base ortonormale di C n formata da autovettori della stessa. Nel caso di matrici reali simmetriche si può dimostrare che è possibile costruire una base di autovettori reali. Teorema 9. Sia M Mat n (R) una matrice simmetrica. Allora, esiste una matrice ortogonale O Mat n (R) tale che D = OMO 1 è diagonale. Dimostrazione. Innanzi tutto osserviamo che, per il Teorema 5, tutti gli autovalori di M sono reali. Procediamo per induzione sull ordine n di M: Se n = 1, M è già diagonale. Supponiamo che ogni matrice reale simmetrica di ordine (n 1) sia diagonalizzabile mediante trasformazioni lineari. Mostriamo che allora anche una matrice di ordine n lo è. Sia λ un autovalore di M. Allora, esiste un vettore x tale che Poiché M = M, abbiamo anche Mx = λx. Mx = λx. Cio significa che x e x sono entrambi autovettori associati al medesimo autovalore. Distinguiamo due casi: 1. se x = x, allora il vettore y = ix è un autovettore reale di autovalore λ; 2. se x x, allora il vettore y = x + x è reale, diverso da 0 e My = M(x + x) = λx + λx = λy. Pertanto, anche in questo caso abbiamo trovato un autovettore reale. Consideriamo ora il vettore y = 1 y 2 y e sia O 1 la matrice ortogonale che manda y in e 1. Allora, O 1 MO 1 1 e 1 = O 1 My = λo 1 y = λe 1 10

11 Cioè e 1 è autovettore di O 1 MO 1 1. Esattamente come nella dimostrazione del Teorema 8, vediamo che e 1 deve essere anche autovettore di O 1 M T O 1 1. Pertanto, ( ) λ 0 O T MO 1 1 = 0 M, ove M è una matrice reale e simmetrica di ordine n 1 La tesi segue per induzione. Una conseguenza del Teorema 9 è la seguente caratterizzazione. Teorema 10 (Teorema dell asse principale). Sia M Mat n (R) una matrice reale. Allora, le seguenti tre condizioni sono equivalenti: (1) R n ammette una base ortonormale di autovettori per M; (2) M è diagonalizzabile mediante una matrice ortogonale; (3) M è simmetrica. Dimostrazione. Le condizioni (1) e (2) sono equivalenti, per costruzione di matrice diagonalizzante. Per il Teorema 9, la condizione (3) implica le prime due. D altro canto, se M è diagonalizzabile mediante una matrice ortogonale O, allora D T = (OMO 1 ) T = (OM T O 1 ), da cui cioè M è simmetrica. M = O 1 (OMO 1 )O = O 1 (OM T O 1 )O = M T, Esiste un metodo per calcolare gli autovalori di matrici Hermitiane (e quindi anche reali simmetriche) in termini del valore minimo che le relative forme Hermitiane assumono su opportuni insiemi. Sia H una matrice Hermitiana n n e indichiamo, come al solito, con h(x) = x Hx la forma Hermitiana ad essa associata. Teorema 11 (Quozienti di Rayleigh). Siano λ 1 λ 2... λ n gli n autovalori di H, posti in ordine crescente e contati con le debite molteplicità. Allora, λ k = min max h(x) dim F=k x F\{0} x 2 2 = min dim F=k max x F x 2 = 1 h(x). 11

12 Dimostrazione. Per ogni sottospazio F C n poniamo e sia h(x) R(F) = max x F\{0} x 2 2 = max{h(x) : x F, x 2 = 1} B = {b 1, b 2,..., b n } una base di autovettori, con Hb i = λ i. Chiaramente, per ogni vettore x C n possiamo scrivere x = i x ib i e si ottiene h(x) = i λ i x i 2. Consideriamo ora un generico sottospazio F di C n con dim F = k e poniamo B k = {b k, b k+1,..., b n }. Poiché la dimensione del sottospazio vettoriale B k generato da B k è proprio n k+1, si ha che esiste almeno un vettore x F B k con x 0. In particolare per i < k si ha x i = 0. h(x) = λ i x i 2 = λ i x i 2 λ k x i 2 = λ k x 2 2. i=0 i=k i=k Pertanto R(F) λ k e quindi min R(F) λ k. dim F=k D altro canto, se consideriamo lo spazio vettoriale F generato da {b 1, b 2,..., b k } vediamo che: 1. esso ha dimensione k; 2. per ogni x F si ha h(x) = k k x i 2 λ i λ k x i 2 = λ k x 2 2; i=1 i=1 pertanto R(F ) λ k. D altro canto b k F implica proprio R(F ) = λ k. Ne segue che che è la tesi. min dim F=k R(F) = λ k Teorema 12. Una matrice Hermitiana H è definita positiva se, e solamente se, tutti i suoi autovalori sono strettamente maggiori di 0. 12

13 Dimostrazione. Gli autovalori di H coincidono con quelli di H T = H. Supponiamo essi siano tutti strettamente maggiori di 0. Poiché H è Hermitiana, esiste una matrice U tale che U DU = H, con D matrice diagonale con d ii = λ i > 0 Sia U = {u 1, u 2,..., u n } la base di C n data dalle colonne di U. Per ogni x C n si può scrivere e quindi h(x) = x Hx = x = x 1 u x n u n x j u j Hx i u i = i,j=1 x j 2 λ i u j u i. i,j=1 Tenuto conto che la base U è ortonormale, si deduce che x j 2 λ i u j u i = i,j=1 x i 2 λ i 0, i=1 e x Hx = 0 se, e solamente se, x = 0. Pertanto, H è definita positiva. Viceversa supponiamo che H sia definita positiva e sia U = {u 1,..., u n } una base ortonormale di autovettori, con la condizione Hu i = λ i u i. Allora, h(u i ) = u T i Hu i = λ i u T i u i = λ i > 0. Pertanto tutti gli autovalori di H sono tutti positivi. Corollario 13. Una matrice Hermitiana H GL n (C) è definita positiva se, e solamente se, per ogni x C n con x 0 si ha x Hx > 0. Dimostrazione. Osserviamo che H è definita positiva se, e solamente se, H T = H lo è, ovvero x T H T x = x Hx > 0, per ogni x 0. Come conseguenza diretta del Teorema 12 osserviamo che se due matrici Hermitiane H 1 e H 2 sono simili, allora esse hanno i medesimi autovalori e sono simili alla stessa matrice diagonale D. Pertanto, una matrice Hermitiana simile ad una matrice Hermitiana definita positiva è a sua volta definita positiva. 13

14 Isometrie Sia V = C n uno spazio vettoriale su C. Definizione 7. Una trasformazione lineare M : V V è detta isometria se, per ogni x V: Mv 2 = v 2. Caratterizziamo ora tutte le isometrie di V. Teorema 14. Le isometrie di V = C n sono tutti e soli gli endomorfismi indotti da matrici unitarie; similmente le isometrie di W = R n sono tutti e soli gli endomorfismi indotti da matrici ortogonali. Dimostrazione. Sia x V e U una matrice unitaria. Allora, Ux 2 2 = Ux, Ux = x U Ux = x x = x, x = x 2 2 Pertanto, ogni matrice unitaria induce una isometria. Viceversa, supponiamo che M induca una isometria su V; allora Mx 2 2 = Mx, Mx = M Mx, x = x, x = x 2 2. In particolare, usando la linearità del prodotto Hermitiano nella prima componente, abbiamo (M M I)x, x = 0. Ora, la matrice S = M M I è normale in quanto Hermitiana (poiché S = S); pertanto, per il Teorema 9, essa è diagonalizzabile. Sia ora λ un qualsiasi autovalore di S e y 0 un suo autovettore. Si ottiene 0 = Sy, y = λy, y = λ y, y = λ y 2 2. Poiché y 0, si deduce λ = 0 per tutti gli autovalori di S, da cui S = 0 e M M = I, ovvero M è unitaria. Il caso reale si dimostra esattamente al medesimo modo, tenendo conto del fatto che una matrice reale unitaria è ortogonale. Una conseguenza del Teorema 14 è la seguente caratterizzazione degli autovalori di matrici unitarie. Teorema 15. Gli autovalori di una matrice unitaria U o di una matrice reale ortogonale sono numeri complessi di modulo 1. Dimostrazione. Sia λ un autovalore di U con autovettore x. Allora, Ux 2 = λ 2 x 2 2 Per il Teorema 14, U è una isometria; pertanto λ = 1. 14

15 Decomposizione Polare di una matrice Come richiamato nel primo paragrafo, ogni numero complesso z può essere identificato dalla coppia (a, θ) R + ] π, π] mediante la corrispondenza z = a (cos θ + i sin(θ)). Un risultato analogo vale anche per le matrici invertibili. Premettiamo due lemmi. Lemma 16. Sia H GL n (C) una matrice Hermitiana definita positiva. Allora, anche H 1 è Hermitiana definita positiva. Dimostrazione. Poiché H è Hermitiana, esiste una matrice unitaria U tale che H = U DU, con D matrice diagonale definita positiva. Chiaramente, anche D 1 è diagonale e definita positiva. D altro canto, posto M = U D 1 U abbiamo HN = (U DU)(U D 1 U) = U DD 1 U = U U = I. Pertanto N = H 1 e la tesi segue. Lemma 17. Sia H una matrice Hermitiana definita positiva. Allora, esiste una matrice Hermitiana definita positiva N = H tale che N 2 = H. Tale matrice è detta radice quadrata di H. Dimostrazione. Per il Teorema 8, esiste una matrice unitaria U tale che H = U DU, ove D è una matrice diagonale, con tutte le entrate d 1, d 2,..., d n diagonale principale reali e strettamente positive. Sia D = d1 d2.... dn sulla Chiaramente, D 2 = D. Poniamo N = U DU. Allora, N 2 = (U DU)((U DU) = U ( D) 2 U = U DU = H. Pertanto, N = H è la matrice cercata. 15

16 Teorema 18. Sia M GL n (C). Allora esiste un unica coppia (H, Q) ove 1. H è una matrice Hermitiana positiva definita; 2. Q è una matrice Unitaria; tale che M = HQ. Se M GL n (R), allora H risulta essere una matrice simmetrica definita positiva e Q una matrice ortogonale. Dimostrazione. Innanzi tutto osserviamo che la matrice MM è Hermitiana. Inoltre, se x 0, x MM x = M x, M x > 0, per cui MM è anche definita positiva. Usando il Lemma 17, poniamo H = MM, Q = H 1 M Chiaramente, M = HQ. Per costruzione, H è Hermitiana, positiva definita e D altro canto, H 2 = HH = U DUU DU = U D 2 U = U DU = MM Q Q = M (H 1 ) H 1 M = M H 2 M = M (MM ) 1 M = I, per cui U è unitaria e si è ottenuta una decomposizione polare per M. Supponiamo ora che M = H Q sia un altra decomposizione polare per M. Allora N = H 1 H = Q(Q ) 1 è ovviamente unitaria; pertanto tutti i suoi autovalori hanno modulo 1. Mostriamo ora che N è anche Hermitiana (rammentiamo che, in generale, il prodotto di due matrici Hermitiane non è Hermitiano), di modo da poter asserire che tutti i suoi autovalori sono reali. Per il Lemma 16, H 1 è Hermitiana e definita positiva. Pertanto, a norma del Lemma 17 esiste una matrice S Hermitiana definita positiva tale che S 2 = H 1. Allora, S 1 NS = S 1 H 1 H S = S 1 S 2 H S = SH S, per cui N è simile ad P = SH S. D altro canto, usando l Hermitianità di H e S si ha P = S H S = SH S = P, per cui P è Hermitiana e, conseguentemente, lo è pure N. 16

17 Mostriamo ora che N è definita positiva. Come sopra, ragioniamo su P. Osserviamo che S è invertibile, per cui x 0 implica Sx 0, e, chiaramente, per ogni y C n con y 0 si ha y T H y > 0. Da ciò si deduce che x T Px = x T (SH S)x = x T S T H Sx = (Sx) T H (Sx) = y T H y 0 Ne segue che P è definita positiva e dunque anche N lo è. Pertanto, N = I. Incidentalmente, si noti che dalla dimostrazione dell unicità della decomposizione polare segue anche che la radice quadrata di una matrice Hermitiana definita positiva è unica. Definizione 8. Sia M GL n (C) e indichiamo con (H, Q) la sua decomposizione polare. Gli autovalori di H (ovvero le radici quadrate degli autovalori di MM ) sono detti valori singolari di M. Decomposizione di Choleski Definizione 9. Sia M Mat n (C). Si dice minore principale p esimo di M il minore ottenuto da M prendendo le prime p righe e le prime p colonne. Si indicherà tale minore con il simbolo M (p). Lemma 19. Se una matrice Hermitiana M Mat n (C) è definita positiva allora anche tutti i suoi minori principali M (p) lo sono. In particolare, per ogni p = 1,..., n, det M (p) 0. Dimostrazione. Se esistesse un vettore x C p con x 0 tale che x M (p) x 0, allora sarebbe possibile scrivere il vettore x = ( x 1, x 2,..., x p, 0,... 0) C n \ {0} per cui x Mx = x M (p) x 0. Pertanto, affinché M sia definita positiva è necessario che tutti i suoi minori principali lo siano. Infine, osserviamo che se una matrice N è singolare, allora esiste un vettore x ker N con x 0. Pertanto, x Nx = 0, e N non può essere definita positiva. Da questo deduciamo che tutti i minori M (p) devono essere non singolari. 17

18 Teorema 20. Sia M GL n (C) una matrice Hermitiana definita positiva. Allora, esiste un unica matrice triangolare inferiore L Mat n (C) con entrate sulla diagonale principale reali positive tale che M = LL. Se M è una matrice reale simmetrica, allora anche la matrice L ottenuta è reale e M = LL T. Dimostrazione. Poiché M è definita positiva, tutti i suoi minori principali sono non singolari. Pertanto esiste una fattorizzazione LU di M del tipo M = L 0 U 0 con U 0 invertibile. Sia D la diagonale di U 0 e poniamo U 0 = DU 1, ove U 1 è una matrice triangolare superiore con tutti 1 sulla diagonale principale. Osserviamo che M = M = (LDU 1 ) = U 1D L. Dall unicità della fattorizzazione LU segue U 1 = L 0. Pertanto, M = L 0 (DL 0 ). Posto P = (L 1 0 ) si ha x Dy = x P MPy = (Px) M(Py). Quindi la matrice D è Hermitiana e, per il Corollario 13, visto che M è definita positiva, è anche essa definita positiva; in particolare D ammette radice quadrata. Poiché D è diagonale, tutte le sue entrate non nulle sono reali positive e, conseguentemente, lo sono anche tutte quelle di D. Posto ora L = L 0 D, si ottiene LL = L 0 D( D) L 0 = L 0 DL 0 = M, come desiderato. Eè chiaro che è possibile ripetere la stessa costruzione per una matrice S reale simmetrica; in questo caso tutte le matrici (incluse D e L) sono reali, per cui si ottiene S = LL = LL T. 18