Fondamenti di Informatica. Codifica binaria dell Informazione Aritmetica del Calcolatore Algebra di Boole e cenni di Logica

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1 Fondamenti di Informatica Codifica binaria dell Informazione Aritmetica del Calcolatore Algebra di Boole e cenni di Logica

2 L informazione: che cos'è? Messaggio che apporta conoscenza: C è una situazione iniziale, di "ignoranza" C è un evento fisico di qualche tipo (il messaggio) C è una situazione finale, in cui la conoscenza è superiore a quella iniziale Esempio: la definizione in questa slide All inizio non sapevate che cosa fosse l informazione Alcuni (molti) fotoni hanno colpito la vostra retina in un certo modo Ora sapete che cosa è l informazione!

3 Altri esempi di informazione Esempi di informazione: Un suono può apportare informazione: Può portare una notizia (se ascoltiamo un notiziario) Può segnalare un altro evento nell ambiente circostante (un clacson ci avvisa di una macchina che sta arrivando) Può anche semplicemente consistere nel fatto che c è stato un suono che ha "mosso dell aria" (se non sappiamo dargli altri signficati) Lo stesso messaggio può portare diverse quantità di informazione a seconda dello stato di chi lo riceve (ognuno lo interpreta, lo elabora)

4 Elaborazione dell'informazione Che cosa si può fare, con questa informazione? La notizia: trascriverla, ritrasmetterla, eventualmente dopo averla modificata, tradotta, sintetizzata La segnalazione: annotarla, usarla per reagire (fare un salto all indietro), misurarne l intensità Il suono in sé: registrarlo, amplificarlo o attenuarlo, distorcerlo, utilizzarlo per creare messaggi visivi (con un proiettore o una luce stroboscopica comandati da un microfono),

5 Elaborazione automatica I calcolatori elettronici sono in grado di compiere molto bene alcune di queste elaborazioni di informazione Purché: L informazione sia rappresentata con una codifica opportuna (digitale, cioè codificata numericamente) Le elaborazioni da compiere siano descritte in modo algoritmico Per i nostri fini (capire cosa può fare un calcolatore) possiamo considerare informazione ciò che viene trasmesso da un messaggio rappresentabile con un numero (intero)

6 Esempi Un diario contiene di certo dell informazione È informazione che può essere manipolata da un calcolatore?

7 Informazione Quello che c è scritto è informazione che può essere rappresentata con un numero? Sì: possiamo assegnare un numero di due cifre numero ad ogni lettera dell alfabeto ( a =, b = etc), compresi gli spazi chiamiamo la coppia di cifre corrispondente ad una certa lettera codice della lettera (ad esempio: per a ) possiamo trascrivere il diario utilizzando i nostri codici, uno dietro l altro Otteniamo un numero intero, molto grande, che codifica il diario L informazione contenuta nella codifica è sufficiente a ricostruire quello che c è scritto nel diario

8 Che cosa ce ne facciamo? Che cosa può fare un calcolatore con il numero che rappresenta il diario? può memorizzarlo può eventualmente trasmetterlo può misurare la frequenza d uso di alcune parole può controllare che le parole siano scritte correttamente e può caratterizzare la psicologia dello scrivente? di che cosa avrebbe bisogno, per provarci?

9 Tutta l informazione? Si potrebbe obiettare che nel diario c è molto di più di "quel che c è scritto" A esempio: la grafia (il modo con cui chi ha scritto ha scritto quel che ha scritto) potrebbe contenere dell informazione Possiamo tradurre l informazione sulla grafia in un numero?

10 Codificare un immagine Ad ogni punto facciamo corrispondere un numero che ne codifica il livello di grigio. Mettendo di seguito tutte le cifre di tali numeri in un ordine dato, l immagine è codificata da un solo grande numero.

11 E il suono? E il suono? Anche tutta l informazione contenuta in un brano musicale la posso trasformare in un numero? Ma che cos è, in questo caso, l informazione? Ad esempio: la conoscenza che serve per riprodurre acusticamente il brano (cioè per riprodurne il suono)

12 I numeri del suono La percezione del suono è fisicamente causata dalla variazione, nel tempo, della pressione dell aria in prossimità del timpano. La pressione si può misurare (cioè convertire in un numero) a intervalli di tempo piccoli (campionamento), i valori sono numeri.. anche un brano musicale si può rappresentare con un numero intero

13 Insomma molta dell informazione con cui abbiamo a che fare e che può interessarci elaborare...può essere rappresentata con un numero intero Che cosa non può esserlo? Per Pitagora, niente (tutto è numero) Per il pancomputazionalismo, nemmeno (tutta la realtà fisica sarebbe rappresentabile digitalmente)

14 In questo corso Non tratteremo il problema di acquisire l informazione che vogliamo elaborare Immagineremo di averla già disponibile, in forma numerica Non tratteremo il problema di comunicare i risultati dell elaborazione in modo efficacemente fruibile Ci accontenteremo di «visualizzarli da qualche parte» Impareremo, invece, come far compiere al calcolatore le elaborazioni che desideriamo sulla nostra informazione codificata, per trasformarla: Impareremo, cioè, a programmare il calcolatore

15 Calcolo e ambiente input output 7232 Calcolatore 54232

16 Rappresentare l'informazione: associare significati e simboli Significati Codifica Simboli sun soleil güneş Interpretazione Codifiche diverse 6

17 Rappresentare l'informazione: associare significati e simboli penna biro penna Codifica ridondante (l interpretazione è univoca) Codifica ambigua (l interpretazione non è univoca) 7

18 Codifica dell informazione Rappresentare (codificare) le informazioni con un insieme limitato di simboli (detto alfabeto A) in modo non ambiguo (algoritmi di traduzione tra codifiche) Esempio: numeri interi Codifica decimale (dec, in base dieci) A = {,, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 }, A = dieci sette : 7 dec ventitre : 23 dec centotrentotto : 38 dec Notazione posizionale dalla cifra più significativa a quella meno significativa ogni cifra corrisponde a una diversa potenza di dieci 8

19 Numeri naturali Notazione posizionale: permette di rappresentare un qualsiasi numero naturale (intero non negativo) nel modo seguente: la sequenza di cifre c i : c n c n c rappresenta in base B 2 il valore: c n B n + c n B n c B dove: c i {,, 2,, B } per ogni i n La notazione decimale tradizionale è di tipo posizionale (ovviamente con B = dieci) Esistono notazioni non posizionali Ad esempio i numeri romani: II IV VI XV XX VV 9

20 Numeri naturali in varie basi Base generica: B A = {... }, con A = B, sequenze di n simboli (cifre) c n c n-... c 2 c = c n x B n- + + c 2 x B + c x B Con n cifre rappresentiamo B n numeri: da a B n - ventinove in varie basi B = otto A = {,,2,3,4,5,6,7} 29 dec = 35 8 B = cinque A = {,,2,3,4} 29 dec = 4 5 B = tre A = {,,2} 29 dec = 2 3 B = sedici A = {,,...,8,9,A,B,C,D,E,F} 29 dec = D 6 Codifiche notevoli Esadecimale (sedici), ottale (otto), binaria (due) 2

21 Codifica binaria Usata dal calcolatore per tutte le informazioni B = due, A = {, } BIT (crasi di BInary digit ): unità elementare di informazione Dispositivi che assumono due stati Ad esempio due valori di tensione V A e V B Numeri binari naturali: la sequenza di bit b i (cifre binarie): b n b n b con b i {, } rappresenta in base 2 il valore: b n 2 n + b n 2 n b 2 2

22 Numeri binari naturali (bin) Con n bit codifichiamo 2 n numeri: da a 2 n - Con Byte (cioè una sequenza di 8 bit): bin = dec bin = 2 3 = 8 dec bin = = 43 dec bin = Σ n =,2,3,4,5,6,7,8 2 n = 255 dec Conversione bin dec e dec bin bin dec: bin = Σ i b i 2 i = = 29 dec dec bin: metodo dei resti 22

23 Metodo dei resti: si calcolano i resti delle divisioni per due In pratica basta: Conversione dec bin. Decidere se il numero è pari (resto ) oppure dispari (resto ), e annotare il resto 2. Dimezzare il numero (trascurando il resto) 3. Ripartire dal punto. fino a quando si ottiene come risultato della divisione 9 : 2 = 9 9 : 2 = 4 4 : 2 = 2 2 : 2 = : 2 = Ecco un esempio, per quanto modesto, di algoritmo si ottiene : fine 9 dec = bin 23

24 Metodo dei resti 29 : 2 = 4 () 76 : 2 = 38 () 4 : 2 = 7 () 38 : 2 = 9 () 7 : 2 = 3 () 9 : 2 = 9 () 9 : 2 = 4 () 3 : 2 = () 4 : 2 = 2 () : 2 = () 2 : 2 = () 29 dec = bin : 2 = () 76dec = bin Del resto 76 = 9x4 = Per raddoppiare, in base due, si aggiunge uno zero in coda, così come si fa in base dieci per decuplicare N.B. Il metodo funziona con tutte le basi! 29 =45 6 =32 9 =27 =2 4 = 29 24

25 Conversioni rapide bin dec In binario si definisce una notazione abbreviata, sulla falsariga del sistema metrico-decimale: K = 2 =.24 3 (Kilo) M = 2 2 = (Mega) G = 2 3 = (Giga) T = 2 4 = (Tera) È curioso (benché non sia casuale) come K, M, G e T in base 2 abbiano valori molto prossimi ai corrispondenti simboli del sistema metrico decimale, tipico delle scienze fisiche e dell ingegneria L errore risulta < % (infatti la 2 a cifra è sempre ) 25

26 Ma allora È facile (e rapido) calcolare il valore decimale approssimato delle potenze di 2, anche con esponente grande Infatti basta: Tenere a mente l elenco dei valori esatti delle prime dieci potenze di 2 [2 =, 2 =2, 2 2 =4, 2 3 =8, 2 4 =6, 2 5 =32, 2 6 =64, 2 7 =28, 2 8 =256, 2 9 =52] Scomporre in modo additivo l esponente in contributi di valore, 2, 3 o 4, leggendoli come successioni di simboli K, M, G oppure T Dimmi in un secondo (al massimo) quanto vale (circa) 2 7 risposta: 28 mila ( infatti 2 7 = 2 7+ = = 28 K ) in realtà, 2 7 vale un po di più (ma poco) valore reale = 3.72 errore = 28./3.72 2,3 % 26

27 Altri esempi 2 24 = = 6 M, leggi 6 milioni 2 35 = = 32 G, leggi 32 miliardi 2 48 = = 256 T, leggi 256 bilioni, o anche = = 256 K G, leggi 256 mila miliardi 2 52 = 4 K T, leggi 4 mila bilioni, o anche = 4 M G, leggi 4 milioni di miliardi N.B.: l approssimazione è sempre per difetto ma regge (err<%) anche su valori molto grandi 27

28 Al contrario (dec bin) Si osservi come 3 = 24 = 2, con errore = /24 = 2,3 % Pertanto, preso un intero n, si ha: n = ( 3 ) n / 3 (2 ) n / 3 = 2 n / 3 Dimmi subito quanto vale (circa) in base 2: 9 risposta: circa 2 9 / 3 = 2 3 con errore: 2 3 / 9 7,3 % risposta: circa 2 / con errore: 2 33 / 4, % (approx. eccesso) (approx. difetto) L approssimazione è per eccesso o per difetto 28

29 Operazioni sui numeri binari Dove sono memorizzati i numeri, in un calcolatore? Ad esempio in "registri" di memoria, cioè schiere di circuiti (hardware) che contengono sequenze di bit Essendo hardware, contengono necessariamente un numero predefinito di bit (ovviamente non di più, ma neanche di meno) Se il numero di bit è "cablato", un registro può contenere numeri fino a un massimo prefissato Non possono esserci bit "vuoti" (la tensione è V A o V B ) Come si elaborano i numeri? Ad esempio le addizioni e le sottrazioni? 29

30 Aumento e riduzione dei bit in bin Aumento dei bit premettendo in modo progressivo un bit a sinistra, il valore del numero non muta 4 dec = bin = bin = bin = bin 5 dec = bin = bin = bin = bin Riduzione dei bit cancellando in modo progressivo un bit a sinistra, il valore del numero non muta, ma bisogna arrestarsi quando si trova un bit! 7 dec = bin = bin = bin STOP! 2 dec = bin = bin = bin = bin STOP! 3

31 Operazioni Numeri binari naturali Algoritmo di addizione a propagazione dei riporti È l algoritmo decimale elementare, adattato alla base 2 Pesi Riporto Addendo + 77 dec Addendo 2 = 56 dec Somma 233 dec addizione naturale (a 8 bit) 3

32 Operazioni Numeri binari naturali overflow (o trabocco) Riporto perduto Pesi Riporto Addendo + 25 dec Addendo 2 = 56 dec Somma 25 dec! overflow risultato errato! addizione naturale con overflow 32

33 Riporto e overflow (addizione naturale) Si ha overflow quando il risultato corretto dell addizione eccede il potere di rappresentazione dei bit a disposizione 8 bit nell esempio precedente Nell addizione tra numeri binari naturali si ha overflow ogni volta che si genera un riporto addizionando i bit della colonna più significativa (riporto perduto ) 33

34 Numeri interi in modulo e segno (m&s) Numeri binari interi (positivi e negativi) in modulo e segno (m&s) il primo bit a sinistra rappresenta il segno del numero (bit di segno), i bit rimanenti rappresentano il valore per il segno positivo per il segno negativo Esempi con n = 9 (8 bit + un bit per il segno) m&s = + = m&s = = 8 dec m&s = 2 3 = 8 dec e così via 34

35 Osservazioni sul m&s Il bit di segno è applicato al numero rappresentato, ma non fa propriamente parte del numero in quanto tale il bit di segno non ha significato numerico Distaccando il bit di segno, i bit rimanenti rappresentano il valore assoluto del numero che è intrinsecamente positivo È una buona idea ma possiamo fare meglio! 35

36 Il complemento a 2 (C 2 ) Numeri interi in complemento a 2: il C 2 è un sistema binario, in cui il primo bit (quello a sinistra, il più significativo ) ha peso negativo, mentre tutti gli altri bit hanno peso positivo La sequenza di bit: b n b n b rappresenta in C 2 il valore: b n 2 n + b n 2 n b 2 Il bit più a sinistra è ancora chiamato bit di segno 36

37 Numeri a tre bit in C 2 C2 = = dec C2 = = dec C2 = = 2 dec C2 = = 2+ = 3 dec C2 = = 4 dec C2 = = 4+ = 3 dec C2 = = 4+2 = 2 dec C2 = = 4+2+ = dec N.B.: in base al bit di segno lo zero è considerato positivo 37

38 L inverso additivo (o opposto) N di un numero N rappresentato in C 2 si ottiene: Invertendo (negando) ogni bit del numero Sommando alla posizione meno significativa Esempio: Invertire un numero in C 2 C2 = = 8+2+ = dec + = C2 = = 6+4+ = dec Si provi a invertire C2 = 5 dec Si verifichi che con due applicazioni dell algoritmo si riottiene il numero iniziale [ ( N) = N ] e che lo zero in C 2 è (correttamente) opposto di se stesso [ = ] 38

39 Conversione dec C 2 Se D dec : Converti D dec in binario naturale. Premetti il bit alla sequenza di bit ottenuta. Esempio: 54 dec bin C2 Se D dec < : Trascura il segno e converti D dec in binario naturale Premetti il bit alla sequenza di bit ottenuta Calcola l opposto del numero così ottenuto, secondo la procedura di inversione in C 2 Esempio: 54 dec 54 dec bin bin + C2 Occorrono 9 bit sia per 54 dec sia per 54 dec 39

40 Aumento e riduzione dei bit in C 2 Estensione del segno: replicando in modo progressivo il bit di segno a sinistra, il valore del numero non muta 4 = = = = (indefinitamente) 5 = = = = (indefinitamente) Contrazione del segno: cancellando in modo progressivo il bit di segno a sinistra, il valore del numero non muta purché il bit di segno non abbia a invertirsi! 7 = = = STOP! ( è < ) 3 = = = = STOP! ( è > ) 4

41 Osservazioni sul C 2 Il segno è incorporato nel numero rappresentato in C 2, non è semplicemente applicato (come in m&s) Il bit più significativo rivela il segno: per numero positivo, per numero negativo (il numero zero è considerato positivo), ma NON si può distaccare il bit più significativo e dire che i bit rimanenti rappresentano il valore assoluto del numero questo è ancora vero, però, se il numero è positivo 4

42 Interi relativi in m&s e in C 2 Se usiamo Byte: da 28 a 27 dec. 27 m&s C

43 Intervalli di rappresentazione Binario naturale a n bit: [, 2 n ) Modulo e segno a n 2 bit: ( 2 n, 2 n ) C 2 a n 2 bit: [ 2 n, 2 n ) In modulo e segno, il numero zero ha due rappresentazioni equivalenti (..,..) L intervallo del C 2 è asimmetrico ( 2 n è compreso, 2 n è escluso); poco male 43

44 Lunghezza della rappresentazione [log 2 valore] + = # di bit per rappresentare il valore (in binario naturale) PARTE INTERA DEL LOGARITMO + Esempio: [log 2 74 dec ] = [6,2...] + = 7 bit In generale: [log B valore] + = # di cifre per rappresentare il valore in base B. Esempio: [log 74 dec ] = [,8...] + = 2 cifre E per il C 2? 44

45 Operazioni Numeri in C 2 Pesi Riporto Addendo + 77 dec Addendo 2 = dec Somma 23 dec addizione algebrica (a 8 bit) L algoritmo è identico a quello naturale (come se il primo bit non avesse peso negativo) 45

46 Operazioni Numeri in C 2 ancora overflow Pesi nessun riporto perduto Riporto Addendo + 77 dec Addendo 2 = 92 dec Somma 87 dec! Overflow: risultato negativo! risultato errato! addizione algebrica con overflow 46

47 Riporto e overflow in C 2 (addizione algebrica) Si ha overflow quando il risultato corretto eccede il potere di rappresentazione dei bit a disposizione La definizione di overflow non cambia Si può avere overflow senza riporto perduto Capita quando da due addendi positivi otteniamo un risultato negativo, come nell esempio precedente Si può avere un riporto perduto senza overflow Può essere un innocuo effetto collaterale Capita quando due addendi discordi generano un risultato positivo (si provi a sommare +2 e -7) 47

48 Rilevare l overflow in C 2 Se gli addendi sono tra loro discordi (di segno diverso) non si verifica mai Se gli addendi sono tra loro concordi, si verifica se e solo se il risultato è discorde addendi positivi ma risultato negativo addendi negativi ma risultato positivo Criterio di controllo facile da applicare! 48

49 255 bin Confrontiamo bin, m&s, C 2 dec. 27 m&s C

50 Rappresentazione ottale ed esadecimale Ottale o in base otto (oct): Si usano solo le cifre oct = 5 oct 8 dec2 + 3 oct 8 dec + 4 oct 8 dec = 348 dec Esadecimale o in base sedici (hex): Si usano le cifre -9 e le lettere A-F per i valori -5 B7F hex = B hex 6 dec2 + 7 hex 6 dec + F hex 6 dec = = dec 6 dec2 + 7 dec 6 dec + 5 dec 6 dec = 2943 dec Entrambe queste basi sono facili da convertire in binario, e viceversa 5

51 Conversioni bin hex e hex bin Converti: bin = bin bin bin bin bin = = uno tre tredici cinque undici = = hex 3 hex D hex 5 hex B hex = 3D5B hex Converti: A7B4C hex A hex 7 hex B hex 4 hex hex C hex = = dieci sette undici quattro zero dodici = = bin bin bin bin bin bin = = bin Si provi a convertire anche bin oct, oct bin, dec hex, dec oct 5

52 Numeri frazionari in virgola fissa, bin (in binario), bin = = /2 + /8 + /6 = =,5 +,25 +,625 =,6875 dec Si può rappresentare un numero frazionario in virgola fissa (o fixed point) nel modo seguente: 9,6875 dec =, virgola fissa poiché si ha: 9 dec = bin e,6875 dec =, bin proporzione fissa: 5 bit per la parte intera, 4 bit per quella frazionaria Avremo 2 9 diversi valori codificati, e avremo 2 4 valori tra e, 2 4 valori tra e 2, e così via, con tutti i valori distribuiti su un asse a distanze regolari

53 Numeri frazionari in virgola fissa La sequenza di bit rappresentante un numero frazionario consta di due parti di lunghezza prefissata Il numero di bit a sinistra e a destra della virgola è stabilito a priori, anche se alcuni bit restassero nulli È un sistema di rappresentazione semplice, ma poco flessibile, e può condurre a sprechi di bit Per rappresentare in virgola fissa numeri molto grandi (o molto precisi) occorrono molti bit La precisione nell'intorno dell'origine e lontano dall'origine è la stessa Anche se su numeri molto grandi in valore assoluto la parte frazionaria può non essere particolarmente significativa 53

54 Virgola fissa Conversione dec bin di parti frazionarie Il metodo per convertire in binario parti frazionarie di numeri decimali è duale di quello dei resti Conversione dec -> bin Parte intera (metodo dei resti) Divido per 2 il numero decimale intero Riporto il resto Mi fermo quando ottengo come risultato della divisione Per ottenere il numero binario che codifica il numero decimale intero, leggo i resti in ordine inverso rispetto a come li ho ottenuti Conversione dec -> bin Parte frazionaria (metodo dei prodotti) Moltiplico per 2 la parte frazionaria del numero decimale Riporto la parte intera Mi fermo quando (se!) ottengo per risultato della moltiplicazione Per ottenere il numero binario che codifica il numero decimale intero, leggo le parti intere nello stesso ordine in cui le ho ottenute 54

55 Virgola fissa Conversione dec bin di parti frazionarie Esempio:,625 dec,625 x 2,25,25 x 2,5,5 x 2,625 dec =, bin = x2 - +x2-2 +x2-3 =,5+,25 =,625 55

56 Virgola fissa Conversione dec bin di parti frazionarie Esempio:,675 dec si ottiene ancora,4: numero periodico,675 x 2,35,35 x 2,7,7 x 2,4,4 x 2,8,8 x 2,6,6 x 2,2,2 x 2,4,4 In binario non si può rappresentare in modo finito il valore,675 dec 56,675 dec =,() bin

57 Numeri frazionari in virgola mobile La rappresentazione in virgola mobile (o floating point) è usata spesso in base (detta notazione scientifica):,37 8 notazione scientifica per intendere 3.7. dec La rappresentazione si basa sulla relazione R virgola mobile = M B E [attenzione: non (MxB) E ] In binario, si utilizzano m bit per la mantissa M e n bit per l esponente E mantissa: un numero frazionario (tra - e +) la base B non è rappresentata (è implicita) in totale si usano m + n bit 57

58 Numeri frazionari in virgola mobile Supponiamo B=2, m=3 bit, n=3 bit, M ed E in binario naturale M = 2 ed E = 2 R virgola mobile =, 2 = (/4 + /8) 2 2 = 3/8 4 = 3/2 =,5 dec M ed E possono anche essere negativi Normalmente, infatti, si usa il modulo e segno per M, mentre per E si usa la rappresentazione cosiddetta in eccesso (qui non spiegata) Vantaggi della virgola mobile si possono rappresentare con pochi bit numeri molto grandi oppure molto precisi (cioè con molti decimali) Sull asse dei valori i numeri rappresentabili si affollano nell intorno dello zero, e sono sempre più sparsi al crescere del valore assoluto -M +M 58

59 ATTENZIONE! (i "pericoli" della virgola mobile) Approssimazione,375 x 7 +,24 x 3 =,37524 x 7,375 x 7 Ma, in virgola mobile, se disponiamo di poche cifre per la mantissa:,375 x 7 +,24 x 3 =,375 x 7 del resto sarebbe sbagliato approssimare a,374 x 7 o,376 x 7 Definiamo un ciclo che ripete la somma un milione di volte... Inizia con X =,375 x 7 Ripeti.. di volte X = X +,24 x 3 (incremento non intero) TUTTO OK? Alla fine dovrebbe essere X =,375 x 7 + (,24 x 3 x 6 ),245 x 9 59

60 ... ATTENZIONE! (i "pericoli" della virgola mobile) Alla fine dovrebbe essere X =,375 x 7 + (,24 x 3 x 6 ),245 x 9 Ma, in virgola mobile... Il contributo delle singole somme (una alla volta) si perde del tutto! Il risultato resta,375 x 7, sbagliato di due ordini di grandezza Scrivendo programmi che trattano valori rappresentati in virgola mobile è necessario essere consapevoli dei limiti di rappresentazione Lo stesso è vero con gli interi (rischio di overflow) 6

61 Aritmetica standard Quasi tutti i calcolatori oggi adottano lo standard aritmetico IEEE 754, che definisce: I formati di rappresentazione binario naturale, C 2 e virgola mobile Gli algoritmi di somma, sottrazione, prodotto, ecc, per tutti i formati previsti I metodi di arrotondamento per numeri frazionari Come trattare gli errori (overflow, divisione per, radice quadrata di numeri negativi,...) Grazie a IEEE 754, i programmi sono trasportabili tra calcolatori diversi senza che cambino né i risultati né la precisione dei calcoli svolti dal programma stesso 6

62 Non solo numeri! codifica dei caratteri Nei calcolatori i caratteri sono codificati mediante sequenze di n bit, ognuna rappresentante un carattere distinto Corrispondenza biunivoca tra numeri e caratteri Codice ASCII (American Standard Computer Interchange Interface): utilizza n=7 bit per 28 caratteri Il codice ASCII a 7 bit è pensato per la lingua inglese. Esteso a 8 bit, può rappresentare il doppio dei caratteri Si aggiungono così, ad esempio, le lettere con i vari gradi di accento (come À, Á, Â, Ã, Ä, Å, ecc), necessarie in molte lingue europee, e altri simboli speciali ancora 62

63 Alcuni simboli del codice ASCII # (in base ) Codifica (7 bit) Carattere (o simbolo) <terminator> 9 <tabulation> <carriage return> 2 <sound bell> 3 <end of file> 32 blank space 33! A 66 B 97 a 98 b 26 ~ 63

64 Rilevare gli errori Spesso, quando il codice ASCII a 7 bit è usato in un calcolatore avente parole di memoria da un Byte (o suoi multipli), l ottavo bit del Byte memorizzante il carattere funziona come bit di parità Il bit di parità serve per rilevare eventuali errori che potrebbero avere alterato la sequenza di bit, purché siano errori di tipo abbastanza semplice 64

65 Bit di parità Si aggiunge un bit extra, in modo che il numero di bit uguali a sia sempre pari: (quattro bit ) (quattro bit ) (cinque bit ) (sei bit ) Se, per errore, un (solo) bit si inverte, il conteggio dei bit uguali a dà valore dispari! Così si può rilevare l esistenza di un errore da un bit (ma non localizzarne la posizione) Aggiungendo più bit extra (secondo schemi opportuni) si può anche localizzare l errore Il bit di parità non rileva gli errori da due bit. Ma questi sono meno frequenti (probabili!) di quelli da un bit 65

66 Altre codifiche alfanumeriche Codifica ASCII esteso a 8 bit (256 parole di codice). È la più usata Codifica FIELDATA (6 bit, 64 parole codificate) Semplice ma compatta, storica Codifica EBDC (8 bit, 256 parole codifiate) Usata per esempio nei nastri magnetici Codifiche ISO-X (rappresentano i sistemi di scrittura internazionali). P. es.: ISO-LATIN 66

67 Codifica di testi, immagini, suoni,... Caratteri: sequenze di bit Codice ASCII: utilizza 7(8) bit: 28(256) caratteri Byte (l 8 bit può essere usato per la parità) Testi: sequenze di caratteri (cioè di bit) Immagini: sequenze di bit bitmap: sequenze di pixel (n bit, 2 n colori) jpeg, gif, pcx, tiff, Suoni (musica): sequenze di bit wav, mid, mp3, ra, Filmati: immagini + suoni sequenze di? "rivoluzione" digitale 67

68 Dentro al calcolatore... Informazione e memoria Una parola di memoria è in grado di contenere una sequenza di n bit Di solito si ha: n = 8, 6, 32 o 64 bit Una parola di memoria può dunque contenere gli elementi d informazione seguenti: Un carattere (o anche più di uno) Un numero intero in binario naturale o in C 2 Un numero frazionario in virgola mobile Alcuni bit della parola possono essere non usati Lo stesso può dirsi dei registri della CPU 68

69 indirizzi Ad esempio... parole da 32 bit un carattere ASCII, probabilmente è un dato quattro caratteri ASCII impacchettati nella stessa cella Numeri la cui codifica richiede molti bit possono estendersi su più celle consecutive 2 3 Z bit non usati A 234 (in bin. nat.) (in C 2 ) 4 9,758 (in virg. mob.) la cella resta parzialmente inutilizzata potrebbe essere un dato oppure l indirizzo di un altra cella (gli indirizzi sono intrinsecamente positivi) probabilmente è un dato un istruzione? (perché no?) 5... probabilmente è un dato 69

70 Algebra di Boole ed Elementi di Logica 7

71 Cenni all algebra di Boole L algebra di Boole (inventata da G. Boole, britannico, seconda metà 8), o algebra della logica, si basa su operazioni logiche Le operazioni logiche sono applicabili a operandi logici, cioè a operandi in grado di assumere solo i valori vero e falso Si può rappresentare vero con il bit e falso con il bit (convenzione di logica positiva) 7

72 Operazioni logiche fondamentali Operatori logici binari (con 2 operandi logici) Operatore OR, o somma logica Operatore AND, o prodotto logico Operatore logico unario (con operando) Operatore NOT, o negazione, o inversione Poiché gli operandi logici ammettono due soli valori, si può definire compiutamente ogni operatore logico tramite una tabella di associazione operandi-risultato 72

73 A B A or B (somma logica) Operatori logici di base e loro tabelle di verità A B A and B (prodotto logico) A not A (negazione) Le tabelle elencano tutte le possibili combinazioni in ingresso e il risultato associato a ciascuna combinazione 73

74 Espressioni logiche (o Booleane) Come le espressioni algebriche, costruite con: Variabili logiche (letterali): p. es. A, B, C = oppure Operatori logici: and, or, not Esempi: A or (B and C) (A and (not B)) or (B and C) Precedenza: l operatore not precede l operatore and, che a sua volta precede l operatore or A and not B or B and C = (A and (not B)) or (B and C) Per ricordarlo, si pensi OR come + (più), AND come (per) e NOT come (cambia segno) 74

75 Tabella di verità di un espressione logica A B NOT ( ( A OR B) AND ( NOT A ) ) Specificano i valori di verità per tutti i possibili valori delle variabili 75

76 Tabella di verità di un espressione logica A and B or not C A B C X = A and B Y = not C X or Y and = not = or = and = not = or = and = not = or = and = not = or = and = not = or = and = not = or = and = not = or = and = not = or = 76

77 A B NOT ( ( A OR B) AND ( NOT A ) ) A B C ( B OR NOT C ) AND ( A OR NOT C ) 77 Due esercizi

78 A che cosa servono le espressioni logiche? A modellare alcune (non tutte) forme di ragionamento A = è vero che è maggiore di 2? (sì o no, qui è no) = B = è vero che 2 più 2 fa 4? (sì o no, qui è sì) = A and B = è vero che sia maggiore di 2 e che 2 più 2 faccia 4? Si ha che A and B = and =, dunque no A or B = è vero che sia maggiore di 2 o che 2 più 2 faccia 4? Si ha che A or B = or =, dunque sì OR, AND e NOT vengono anche chiamati connettivi logici, perché funzionano come le congiunzioni coordinanti o ed e, e come la negazione non, del linguaggio naturale Si modellano ragionamenti (o deduzioni) basati solo sull uso di o, e e non (non è molto, ma è utile) 78

79 Che cosa non si può modellare tramite espressioni logiche? Le espressioni logiche (booleane) non modellano: Domande esistenziali: c è almeno un numero reale x tale che il suo quadrato valga? (si sa bene che non c è) x x 2 = è falso Domande universali: ogni numero naturale è la somma di quattro quadrati di numeri naturali? (si è dimostrato di sì) x x = a 2 +b 2 +c 2 +d 2 è vero ( teorema dei 4 quadrati ) Più esattamente andrebbe scritto: x a,b,c,d x = a 2 +b 2 +c 2 +d 2 e sono detti operatori di quantificazione, o quantificatori La logica che usa solo or, and, not è il calcolo proposizionale Aggiungendo gli operatori di quantificazione si ha il calcolo dei predicati (che è una logica molto più complessa) 79

80 Tautologia Tautologie e Contraddizioni Una espressione logica che è sempre vera, per qualunque combinazione di valori delle variabili Esempio: principio del terzo escluso : A or not A (tertium non datur, non si dà un terzo caso tra l evento A e la sua negazione) Contraddizione Una espressione logica che è sempre falsa, per qualunque combinazione di valori delle variabili Esempio: principio di non contraddizione : A and not A (l evento A e la sua negazione non possono essere entrambi veri) 8

81 Equivalenza tra espressioni Due espressioni logiche si dicono equivalenti (e si indica con ) se hanno la medesima tabella di verità. La verifica è algoritmica. Per esempio: A B not A and not B not (A or B) and = not = and = not = and = not = and = not = Espressioni logiche equivalenti modellano gli stessi stati di verità a fronte delle medesime variabili 8

82 Proprietà dell algebra di Boole L algebra di Boole gode di svariate proprietà, formulabili sotto specie di identità (cioè formulabili come equivalenze tra espressioni logiche, valide per qualunque combinazione di valori delle variabili) Esempio celebre (e utile): le Leggi di De Morgan not (A and B) = not A or not B ( a legge) not (A or B) = not A and not B (2 a legge) 82

83 Ancora sulle proprietà Alcune proprietà somigliano a quelle dell algebra numerica tradizionale: Proprietà associativa: A or (B or C) = (A or B) or C (idem per AND) Proprietà commutativa: A or B = B or A (idem per AND) Proprietà distributiva di AND rispetto a OR: A and (B or C) = A and B or A and C e altre ancora Molte altre sono alquanto insolite Proprietà distributiva di OR rispetto a AND: A or B and C = (A or B) and (A or C) Proprietà di assorbimento (A assorbe B): A or A and B = A Legge dell elemento : not A or A = e altre ancora 83

84 Uso delle proprietà Trasformare un espressione logica in un altra, differente per aspetto ma equivalente: not A and B or A = (assorbimento) = not A and B or (A or A and B) = (togli le parentesi) = not A and B or A or A and B = (commutativa) = not A and B or A and B or A = (distributiva) = (not A or A) and B or A = (legge dell elemento ) = true and B or A = (vero and B B) = B or A è più semplice dell espressione originale Si può verificare l equivalenza con le tabelle di verità Occorre conoscere un ampia lista di proprietà e si deve riuscire a vederle nell espressione (talvolta è difficile) 84