Lezioni Lincee. Meccanica Quantistica : l invisibile per poter capire il visibile ORIGINI, NECESSITA E PROSPETTIVE

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1 Lezioni Lincee Meccanica Quantistica : l invisibile per poter capire il visibile Sergio Doplicher ORIGINI, NECESSITA E PROSPETTIVE Accademia dei Lincei, 8 Ottobre 2013

2 Origini e necessità I moti dei corpi che possiamo vedere e toccare, dei pianeti nel cielo (in tutte le situazioni in cui le forze gravitazionali non siano eccezionalmente intense) sono descritti, praticamente alla perfezione, dalla Meccanica Classica (Galileo, Newton, Lagrange, Hamilton,...). Allo stesso modo i fenomeni luminosi sono descritti dalla teoria classica dell Elettromagnetismo (Maxwell, Faraday,...). La Meccanica Quantistica è essenziale per capire i fenomeni atomici e subatomici (dove le teorie classiche FALLIS- CONO, come ora ricorderemo). 1

3 Ma anche, per capire quel che vediamo alla scala ordinaria, e che dipende da come vanno le cose alla scala atomica e subatomica: - perché vediamo dei colori; - perché splende il sole;... A temperature bassissime, anche oggetti macroscopici possono essere sistemi QUANTISTICI: - Magneti superconduttori (LHC); - Calore specifico dei solidi;

4 ma anche a temperatura ambiente: - calore specifico dei metalli conduttori; Laser;... Quindi non solo in situazioni estreme, e non solo a scale microscopiche; anzi, il SISTEMA PIU ESTESO CHE POSSIAMO IMMAGINARE, LA RADIAZIONE DI FONDO COSMICO, E UN SISTEMA QUANTIS- TICO. Residuo della radiazione in equilibrio con la materia 13 miliardi di anni fa. Perché è un sistema quantistico? Occorre fare un passo indietro, alla fine del XIX secolo: problema del corpo nero.

5 Com è fatta la radiazione elettromagnetica (onde radio, microonde, infrarossi, luce visibile, ultravioletti, raggi X, raggi γ, in ordine di frequenza crescente) in equilibrio termico con la materia? Leggi (che seguono dai principi della Termodinamica e dell elettromagnetismo): - Kirchhoff (1860): la densità di energia della radiazione, per unità di volume e di intervallo di frequenza ν, in equilibrio alla temperatura assoluta T, è una FUN- ZIONE UNIVERSALE u(ν, T ); - Wien (1893): u(ν, T ) = ν 3 f(ν/t );

6 Segue che il valore massimo di u(ν, T ) si trova a una frequenza ν m =Costante x T, dove la Costante è universale. Se p.es. la frequenza massima cade nel visibile, il colore della radiazione ci dirà la temperatura. Esempio: stelle rosse = fredde ; stelle azzurre = calde. L esperienza conferma queste leggi. Ecco la forma sperimentale di u(ν, T ):

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8 (Figura in S.M.McMurry: Quantum Mechanics, Addison - Wesley, 1994). Problema del corpo nero = Calcolo teorico di u(ν, T ). Paradosso del corpo nero l equilibrio è IMPOSSIBILE! = nelle teorie classiche, Soluzione del paradosso: prima irruzione di aspetti quantistici nelle Teorie Fisiche. Ma prima di parlare di ciò, due parole sull esempio più notevole di radiazione del corpo nero: un Sistema Quantistico esteso quanto l Universo conosciuto.

9 È il CMB, fondo cosmico di microonde, radiazione onnipresente, con distribuzione pari alla radiazione del corpo nero a T = 2, 725 gradi Kelvin (circa 270 gradi sotto zero). Radiazione in equilibrio termico con la materia circa anni dopo la nascita dell universo, e raffreddatasi per l espansione dell Universo nei circa 13 miliardi di anni successivi. Coincidenza impressionante con la curva teorica, prevista dalla Meccanica Quantistica.

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11 (Figura in E. Persico: Fundamentals of Quantum Mechanics, Prentice - Hall, 1957). Il fatto stesso che la temperatura di equilibrio della CMB sia con ottima approssimazione la stessa in tutte le direzioni, pone un serio problema: come poteva stabilirsi l equilibrio in un universo in rapida espansione, senza che le interazioni si propagassero con velocità maggiore di quella della luce? INFLAZIONE. Ma anche altre spiegazioni, p.es. SPAZIOTEMPO QUAN- TISTICO (commenti alla fine).

12 Sono state misurate (Boomerang, COBE, WMAP, PLANCK) le fluttuazioni attorno alla temperatura di equilibrio (dell ordine di una parte su centomila) fino a minime frazioni di grado. Le fluttuazioni si estendono in macchie con estensione angolare apparente pari circa a quella della luna. Perfettamente in accordo con calcoli teorici. Questo accordo prova che nel viaggiare sino a noi la radiazione si è propagata in linea retta. Se l Universo fosse curvo come una sfera, l angolo apparente sarebbe maggiore; se fosse curvo come una sella, sarebbe minore.

13 Questi dati ci dicono che: l universo è in una fase di espansione accelerata; forniscono l età dell universo, 13,81 miliardi di anni, MA ANCHE una indicazione sconvolgente: energia/materia/radiazione che possiamo osservare = = solo 4 per cento circa dell energia totale; materia oscura = circa 23 per cento dell energia totale; energia oscura = circa 73 per cento dell energia totale.

14 La materia oscura indirettamente si vede ; un esempio, gli effetti di un suo accumulo (Abell 1689) a 2, 3 miliardi di anni luce da noi:

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16 Quindi la curva dell energia del corpo nero, che ci ha introdotto ai primi enigmi della Meccanica Quantistica con la Teoria di Planck dell anno 1900 di cui ora parleremo, ci porta ancora adesso sulla soglia dei più ardui enigmi della Fisica d oggi. Come si spiega questa curva? Poiché è universale, per calcolarla basta fare riferimento al modello più semplice di materia : oscillatore armonico unidimensionale (come un pendolo per piccole oscillazioni, o un punto materiale lungo una guida rettilinea, legato da una molla perfettamente elastica)

17 in numero enorme di copie (in equilibrio termodinamico a temperatura assoluta T ), ciascuna dotata della carica elettrica elementare e, quindi in interazione con i campi elettrici e magnetici della radiazione. Interazione implica cessione di energia agli oscillatori (i campi della radiazione forzano le oscillazioni) e viceversa emissione da parte loro di energia come radiazione elettromagnetica, come accade alle cariche accelerate. Devono bilanciarsi all equilibrio; ne segue la formula: u(ν, T ) = (8πν 2 /c 3 )E dove E indica l energia media di un oscillatore armonico unidimensionale in una assemblea in equilibrio termodinamico a temperatura assoluta T.

18 E qui arrivano i guai. E = kt. Secondo la Meccanica Classica Segue la formula di Raleigh - Jeans: u(ν, T ) = (8πν 2 /c 3 )kt dove k è una costante universale (costante di Boltzmann = costante dei gas / Numero di Avogadro). PARADOSSO. Via d uscita (Planck, 1900): energia di oscillatore di frequenza ν può assumere solo i valori:

19 0, hν, 2hν, 3hν,... Il calcolo dell energia media E cambia, e fornisce una nuova forma per la funzione di Kirchhoff: u(ν, T ) = 8πν2 c 3 hν e hν/kt 1 la DISTRIBUZIONE DI PLANCK, in accordo perfetto con l esperienza, e con la legge di Wien.

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21 (Figura in E. Persico: Fundamentals of Quantum Mechanics, Prentice - Hall, 1957). Planck calcolò, dai dati sperimentali sul corpo nero, il valore della nuova costante universale, la COSTANTE DI PLANCK : h ha dimensioni : massa x velocità x lunghezza = azione; h è pari a circa 6 miliardesimi di miliardesimo di miliardesimo di grammo x (centimetro / secondo) x centimetro.

22 Perché l energia di oscillatore armonico dovrebbe avere solo valori discreti? Sono occorsi circa 25 anni per sciogliere l enigma, dopo averne incontrati molti altri: - EFFETTO FOTOELETTRICO (Einstein, 1905); - ESPERIENZA DI RUTHERFORD (Bohr 1913); - CALORI SPECIFICI DEI SOLIDI; etc. Effetto fotoelettrico: estrazione da un metallo di elettroni di conduzione causata da luce incidente.

23 Si osserva: se la frequenza della radiazione è inferiore a una certa soglia (che dipende dal metallo) nessun elettrone viene estratto, indipendentemente dalla intensità della radiazione. Questo sarebbe incomprensibile senza una idea rivoluzionaria (Einstein, 1905): - l energia della radiazione di frequenza ν è portata da unità indivisibili (fotoni), ciascuno con energia hν. EFFETTO COMPTON (diffusione di raggi X, γ da elettroni) conferma. Radiazione del corpo nero: equilibrio tra emissione e assorbimento di fotoni; gas di fotoni (indistinguibili!)

24 in equilibrio termico: distribuzione di Planck (Albert Einstein 1917; Satyendra Nath Bose 1924). Dunque il fotone si comporta come una particella, ma la luce è un fenomeno ondulatorio (diffrazione, interferenza,... ottica e equazioni di Maxwell). Sembrava un incongruenza da superare; invece, come ora vedremo, era la prima spia d un fatto generale, e una finestra su un mondo nuovo. Per accorgersene è stato necessario imbattersi in altre difficoltà; forse la maggiore emergeva dall esperienza di Rutherford (1911): prova del modello planetario degli atomi.

25 PARADOSSI: Gli elettroni orbitanti avrebbero dovuto emettere radiazione cedendo tutta la loro energia e precipitando sul nucleo. Si avrebbe INSTABILITA della materia, SPETTRO CONTINUO di emissione. In realtà la materia è stabile e con uno spettro discreto, lo spettro di righe (e per questo vediamo dei colori; righe nello spettro solare, scomposta nelle frequenze da un prisma).

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27 (Figura in Alain Connes: Noncommutative Geometry, Academic Press) Come uscirne? PRIME RISPOSTE: (I) Come per l oscillatore armonico, i valori possibili per l energia dei sistemi atomici, e di ogni sistema legato,..., sono una serie discreta. (II) negli scambi con la radiazione, il salto da un livello all altro, di energia E, E, può avvenire solo per EMISSIONE O ASSORBIMENTO DI UN SINGOLO FOTONE, in modo che l energia si conservi: E E = hν.

28 Spettro di righe. Il livello per cui il valore dell energia è il più piccolo di tutti, è stabile. ESPERIENZA DI FRANCK E HERTZ: livelli discreti si manifestano anche nelle collisioni. MA: perchè i valori dell energia formano una serie discreta? Come si calcola? Alba della soluzione: come la luce è un fenomeno ondulatorio governato da un Equazione delle onde (equazioni di Maxwell), eppure composta da particelle (fotoni), così il moto di ogni particella è UN FENOMENO ONDULATORIO, governato da un EQUAZIONE DELLE ONDE (Louis De Broglie, 1924; Erwin Schroedinger, 1926).

29 Perché sarebbe un passo verso la soluzione? Analogia: una corda vibrante emette frequenze che sono multipli di una frequenza fondamentale. Ma: attraversano feritoia indistur- particelle che vediamo: bate; onde del mare: attraversano pertugio in una diga subendo DIFFRAZIONE; SOVRAPPOSIZIONE, INTERFERENZA. Diffrazione: Esperienza di Davisson e Germer. Microscopio elettronico.

30 Sovrapposizione e interferenza: doppia fenditura. Esperienza di Young, Funzione d onda: il suo modulo quadro fornisce la DEN- SITA DI PROBABILITA.

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32 (Figura in S.M.McMurry: Quantum Mechanics, Addison - Wesley, 1994). Heisenberg (1925): dobbiamo formulare la dinamica dei sistemi atomici SOLO IN TERMINI DI GRANDEZZE ACCESSIBILI ALL ESPERIENZA (LEZIONE DI EINSTEIN (1905)). Questo porta a CONDIZIONI DI QUANTIZZAZIONE in termini di ampiezze. Heisenberg (1927): se cerchiamo di misurare simultaneamente posizione e velocità di un elettrone (p.es. orbitante attorno al nucleo in un atomo), è impossibile farlo con accuratezza arbitraria:

33 più precisamente, se consideriamo l impulso p = mv, massa x velocità; le INDETERMINAZIONI nella misura della stessa componente (p.es. verticale) della posizione q e dell impulso p sono legate da REGOLE DI INDETERMINAZIONE : q p h dove h è la costante di Planck. ESATTAMENTE quanto descritto dalla DIFFRAZIONE delle onde attraverso pertugio di ampiezza q. Probabilità, indeterminazioni,... ; tutto diventa vago e impreciso? NO!

34 La più profonda connessione tra tutto ciò (chiave della Meccanica Quantistica) scoperta da Max Born, (Born e Jordan, 1925): Se associamo a posizione e impulso le matrici di ampiezze, munite del prodotto righe per colonne, le condizioni di quantizzazione di Heisenberg diventano: pq qp = h/2πi. Implica relazioni di indeterminazione (Pauli). La NON COMMUTATIVITÀ caratterizza la MQ. AB = BA solo se A e B si possono misurare simultaneamente (osservabili compatibili).

35 Osservabili: operatori lineari autoaggiunti su uno spazio di Hilbert ; spettro: numeri λ per cui Ax = λx ha soluzioni in quello spazio; tipicamente ha due componenti: spettro discreto (insieme dei numeri λ per i quali esistono soluzioni esatte nel medesimo spazio ) + spettro continuo (vi esistono solo soluzioni approssimate, accuratezza arbitraria). Operatore energia. Spettro discreto: Stati legati; Spettro continuo: stati di diffusione. Esempio raro di fatti fondamentali (altrimenti incomprensibili) che diventano d una chiarezza luminosa con una limpida spiegazione matematica.

36 Esistenza di osservabili non compatibili = Non Commutatività = ragione perchè, sui valori di molti osservabili, sono possibili solo previsioni probabilistiche (anche in stati puri ). Non Commutatività: estranea alla intuizione alla quale l evoluzione ci ha portato, quanto l idea stessa della evoluzione, in contrasto con l idea che la Natura proceda verso una finalità. Lezione filosofica : la NATURA ci ha imposto un modo di pensare ed uno schema matematico che ci siamo ostinati a lungo a non vedere, anche se i tre famosi lavori di Einstein (venticinquenne) del 1905 ne contenevano tutte le radici. Bisognava scontrarsi con paradossi e fatti sperimentali inspiegabili.

37 Le Leggi di Natura esistono nella Natura, noi le vediamo in forma sfuocata, e in versioni via via più precise con l avvento di nuove teorie. Ma ogni nuova versione non cancella la precedente, piuttosto precisa i limiti della sua validitá approssimata. In questo senso, le leggi della Natura, anche quelle della FISICA CLASSICA, sono verità definitive, come in pochi altri domini del sapere.

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39 Oggi, la MQ è uno schema irrinunciabile che spiega quello che vediamo, dalla forma della distribuzione del CMB a perché vedete il colore degli occhi della ragazza o del ragazzo di cui siete innamorati o innamorate.

40 Prospettive L idea rivoluzionaria e fondamentale di James Clerk Maxwell era stata che i campi Elettrico e Magnetico sono osservabili associati ai punti dello spazio ed ad un istante del tempo, e che le forze elettriche e magnetiche non sono azioni a distanza, ma l effetto dei campi in un punto sulle cariche in quel punto (ed a quell istante). Per la Meccanica Quantistica quegli osservabili devono essere operatori. TEORIA DEI CAMPI (Dirac, Fermi, Wigner, Jordan) (anni 30). Risultati numerici paradossali. Rinormalizzazione (Hans Bethe,1948; Feynman, Tomonaga, 2

41 Schwinger, Dyson, Bogoliubov, Zimmermann, Hepp,... sino ad oggi). Modello Standard: teoria dei campi rinormalizzabile che descrive le forze conosciute (deboli ed elettromagnetiche; nucleari) ad esclusione delle (debolissime!) forze gravitazionali tra particelle elementari. Successo enorme: Calcoli approssimati (terribilmente complessi) con il Modello Standard sono in accordo con le esperienze; previsione dell esistenza del Bosone di Higgs confermata al LHC (CERN, Ginevra, 2012). Progresso verso la comprensione perché l Universo è quel che ci appare.

42 Trionfo della Teoria dei Campi: fonde la Meccanica Quantistica e la Relatività speciale. Si incontrano nel Principio di Località: Se A e B sono osservabili che si misurano in regioni dello spazio e intervalli di tempo tali che nessun segnale che viaggi con velocità non superiore a quella della luce possa viaggiare dall una all altre regione nei tempi in cui le misure avvengono, allora A e B sono compatibili: AB = BA. Tuttavia non sono conosciute soluzioni esatte, né si può essere certi che ne esistano. Premio Clay: 1 Milione di Dollari US.

43 E LE FORZE GRAVITAZIONALI? In grande (scala astrofisica o cosmologica) descritte, praticamente alla perfezione, dalla Relatività Generale di Einstein (1917). (Nata da esigenza estetica e concettuale, ha poi ricevuto conferme sperimentali sorprendenti: dalle Pulsars binarie ai navigatori satellitari.) Per campi deboli, si riduce alla Legge di Newton: forza attrattiva F = GmM/R 2. Verificata in laboratorio per R non inferiore a circa un centimetro. E naturale supporre che valga anche a distanze piccolissime. Ma:

44 NON ESISTE UNA TEORIA QUANTISTICA DEI CAMPI CHE INCLUDA ANCHE LE FORZE GRAV- ITAZIONALI tra particelle elementari. La MQ e la RG sono compatibili? (Teoria delle Stringhe?) Spia delle difficoltà fondamentali: il concetto di spaziotempo va ripensato. Per dire che un evento accade in un punto dello spazio a un dato istante dobbiamo misurare la posizione. Misura con incertezza q richiede momento incontrollabile pari almeno a h/ q. Quindi energia almeno pari a hc/ q.

45 Relatività Generale: energia e massa sono la stessa cosa e generano un campo gravitazionale. Anche i fotoni pesano e attraggono. Se una massa M è distribuita con simmetria sferica all interno di una sfera di raggio R molto piccolo, l attrazione gravitazionale esercitata p.es. su un fotone può essere così intensa da impedirgli di sfuggire e raggiungere un osservatore lontano. Più esattamente, se R è minore del RAGGIO DI SCHWARZSHILD = 2GM/c 2, NESSUN SEGNALE PUO SCAPPARE (Buco nero).

46 Segue che se la localizzazione del nostro evento è a simmetria sferica, l incertezza q non può essere piú piccola del Raggio di Schwarzchild associato all energia trasmessa secondo il principio di Heisenberg, altrimenti L EVENTO CHE VOLEVAMO LOCALIZZARE SAREBBE CELATO IN UN BUCO NERO. per il valore comune delle in- Quindi c è un minimo certezze q λ P, λ P = ( ) Gh 1/2 2πc 3

47 Questa lunghezza, la LUNGHEZZA DI PLANCK, è abissalmente piccola: circa 1.6 milionesimi di miliardesimo di miliardesimo di miliardesimo di centimetro! (Se volete confrontare le dimensioni dell Universo conosciuto con quelle d un fiore, dovreste dilatare quel fiore di un fattore 10 per 28 volte ; per portare quel fiore alla lunghezza di Planck, dovreste invece rimpicciolirlo di un fattore 10 per 33 volte!). E se localizziamo un evento con incertezze nelle coordinate (latitudine, longitudine, quota, tempo) diverse tra loro? RELAZIONI DI INDETERMINAZIONE tra le coordinate.

48 Come le relazioni di indeterminazione di Heisenberg tra posizione e impulso, anche queste sono la spia di una struttura rigida e non commutativa. SPAZIOTEMPO QUANTISTICO. Propagazione istantanea di effetti fisici per distanze dell ordine della lunghezza di Planck (acausalità). Modelli di Spaziotempo quantistico prevedono che il raggio di propagazione acausale può essere maggiore, e crescere con la densità di energia. Questo spiegherebbe l equilibrio quasi esatto del CMB, senza ricorrere all ipotesi della Inflazione. La località è fatalmente perduta alla scala di Planck.

49 Sostituita da un Principio esatto oggi sconosciuto. Nuova Fisica. Oggi nessun accesso sperimentale (energie irraggiungibili con acceleratori). Torniamo all inizio. CMB: termalizzata quando l universo aveva circa anni. E prima? Possiamo avere informazioni precise? Altri tipi di radiazione di fondo (neutrini, Onde Gravitazionali? - per le quali c è solo evidenza indiretta: mai osservate finora) potrebbero dare informazioni sui primissimi istanti, che dovrebbero rivelare gli ASPETTI QUANTISTICI DELLA GRAVITAZIONE.

50 Tre massimi problemi per questo secolo (o per i prossimi secoli...): I. TEORIA QUANTISTICA DELLA GRAVITAZIONE E DI TUTTE LE FORZE FONDAMENTALI. II: QUALE MECCANISMO HA PORTATO ALLA FORMAZIONE DEL DNA, RNA a partire dagli dagli amminoacidi. III: SPIEGAZIONE DELLA COSCIENZA COME UN PROCESSO NEURALE.

51 Alcuni testi divulgativi: Heinz R. Pagels Il codice cosmico Bollati Boringhieri Heinz R. Pagels The Cosmic Code: Quantum Physics As the Language of Nature Dover Books on Physics Steven Weinberg I primi tre minuti Mondadori Richard P. Feynman La legge fisica Bollati Boringhieri Richard P. Feynman QED. La strana teoria della luce e della materia Adelphi Harald Fritzsch Galassie e particelle Bollati Boringhieri 3