Programma. I. Concetti base di teoria dei grafi e delle reti II. Modelli III. La rete come insieme di comunità

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1 Reti Complesse

2 Programma I. Concetti base di teoria dei grafi e delle reti II. Modelli III. La rete come insieme di comunità

3 Bibliografia Evolution of networks S.N. Dorogovtsev, J.F.F. Mendes, Adv. Phys. 51, 1079 (2002), cond-mat/ Statistical mechanics of complex networks Reka Albert, Albert-Laszlo Barabasi Reviews of Modern Physics 74, 47 (2002), cond-mat/ The structure and function of complex networks M. E. J. Newman, SIAM Review 45, (2003), cond-mat/ Complex networks: structure and dynamics S. Boccaletti, V. Latora, Y. Moreno, M. Chavez, D.-U. Hwang Physics Reports 424, (2006)

4 Definizione di Network Network=insieme di vertici (nodi) uniti da legami (links) Rappresentazione molto astratta molto generale Utile per descrivere sistemi molto diversi

5 Esempi Nodi Links Reti sociali Individui Relazioni sociali Internet Routers Cavi + coll. wireless AS Accordi commerciali WWW Webpages Hyperlinks Rete di interazione tra proteine Proteine Reazioni chimiche

6 Rete delle collaborazioni scientifiche Nodi: scienziati Links: articoli scritti in collaborazione Pesi dei link: possono dipendere da Numero degli articoli Numero degli autori di un dato articolo Numero delle citazioni

7 Internet Rappresentazione grafica Differenti livelli di risoluzione

8 Meta-population networks Nodi: struttura sociale (esempio: città) Links: vie di spostamento/traffico City a City i City j

9 GENOMA interazioni gene-proteina PROTEOMA Interazioni proteina-proteina METABOLISMO Reazioni biochimche Citrate Cycle

10 Piano della lezione 1) Breve introduzione ai concetti base di teoria dei grafi 2) Approccio statistico: Ensemble di grafi, distribuzioni di probabilità e correlazioni 3) Reti pesate.

11 Obiettivo Definire una serie di osservabili che permettano di caratterizzare un sistema complesso e che forniscano indicazioni per spiegare i meccanismi microscopici che hanno portato alla formazione del sistema

12 Universalità Reti di origine molto diversa Hanno qualcosa in comune? Esistono proprietà universali? La rappresentazione in termini di teoria dei grafi è lo strumento giusto per rispondere.

13 1) Introduzione alla teoria dei grafi - Definizioni di base - Matrice di adiacenza - Densità - Cammini e connettività - Alberi - Centralità - Clustering

14 Teoria dei grafi Grafo G=(V,E) V=insieme di vertici i=1,,n E=insieme di links (i,j) Link ordinario: i j Bidirezionale comunicazione/ interazione Link diretto : i j

15 Teoria dei grafi Numero massimo di links Non diretti: N(N-1)/2 Diretti: N(N-1) Grafo completo: (interazione tutti con tutti )

16 Matrice di adiacenza N nodi i=1,,n a ij = 1 if (i,j) E 0 if (i,j) E

17 Matrice di adiacenza N nodi i=1,,n a ij = 1 if (i,j) E 0 if (i,j) E Simmetrica se i link non sono diretti

18 Matrice di adiacenza N nodi i=1,,n a ij = 1 if (i,j) E 0 if (i,j) E Non simmetrica Se i links sono diretti 0 1 2

19 Densità di un grafo Densità di un grafo: D= E /(N(N-1)/2) D= Numero dei links Massimo num. di links possibile Grafo sparso : D <<1 Matrice di adiacenza con pochi 1 e molti 0 Rappresentazione: lista dei vicini di ogni nodo l(i, V(i)) V(i)= vicini di i

20 Cammini G=(V,E) Cammino di lunghezza n = lista ordinata di n+1 vertici i 0,i 1,,i n V n links (i 0,i 1 ), (i 1,i 2 ),(i n-1,i n ) E i 3 i 4 i 5 i 0 i 1 i 2 Ciclo/loop = cammino chiuso (i 0 =i n )

21 Alberi Un albero è un grafo senza cicli N nodi, N-1 links

22 Cammini e connettività G=(V,E) è connesso se e solo se esiste un cammino che connette ogni coppia di nodi di G. È connesso non è connesso è formato da due componenti

23 Cammini e connettività G=(V,E)=> distribuzione delle componenti connesse Componente gigante= componente la cui dimensione cresce in modo proporzionale al numero di vertici N Esistenza di una componente gigante Una frazione macroscopica dei nodi del grafo è connessa

24 Cammino minimo (shortest path) Cammino minimo tra i e j: numero minimo di links necessari a congiungere i e j j distanza l(i,j)= cammino minimo tra i and j i Diametro di un grafo= max(l(i,j)) Cammino minimo medio = ij l(i,j)/(n(n-1)/2) Grafo completo: l(i,j)=1 per tutte le coppie i,j. Piccolo mondo (Small-world): piccolo diametro

25 Effetto Small World L esperimento di Milgram Milgram, Psych Today 2, 60 (1967) Dodds et al., Science 301, 827 (2003) Sei gradi di separazione SMALL-WORLD

26 Esempio: Internet Internet: Distribuzione delle distanze tra due nodi

27 Esempio: Rete aereoportuale IATA database V = 3100 aereoporti E = link pesati w ij #passeggeri / (unità di tempo)

28 Centralità Come quantificare l importanza di un nodo? Grado (degree)=numero di vicini = j a ij k i =5 i (grafi diretti: k in, k out )

29 Betweenness centrality Per ogni coppia di nodi (l,m), definisco: s lm numero di cammini minimi tra l e m s lm i num. di cammini minimi che passano per i b i è la somma s lm i / s lm su tutte le coppie (l,m) Importante: è una quantità basata sui cammini j i b i è grande b j è piccola NB: quantità simile: load l i = s i lm NB: generalizzazione: link betweenness centrality

30 Clustering i k 2 3 Coefficiente di clustering di un nodo C(i) = # di links tra 1,2, n vicini k(k-1)/2 1 Clustering: c è un alta probabilità che i miei amici si conoscano! (esempio tipico: social networks)

31 Clustering Coefficiente di clustering medio di un grafo C= i C(i)/N

32 2) Approccio statistico - Distribuzione di probabilità dei gradi - Correlazioni a più punti - Rappresentazione spettrale - Assortatività e dissortatività

33 Distribuzione dei gradi Lista dei gradi k 1,k 2,,k N Non molto utile! Istogramma: N k = numero dei nodi di grado k Distribuzione: P(k)=N k /N=probabilità che un nodo scelto a caso abbia grado k Distribuzione cumulativa: P > (k)=probabilità che un nodo scelto a caso abbia grado almeno k

34 Distribuzione dei gradi P(k)=N k /N= probabilità che un nodo scelto a caso abbia grado k Media=< k > = i k i /N = k k P(k)=2 E /N Grafo sparso : < k > << N Fluttuazioni: < k 2 > - < k > 2 < k 2 > = i k 2 i/n = k k 2 P(k) < k n > = k k n P(k)

35 Correlazioni a più punti dei gradi P(k): non è sufficiente a descrive un network Reti assortative : Nodi di grado alto preferiscono connettersi con altri nodi di grado alto. Ex: social networks Reti dissortative : Nodi di grado alto preferiscono connettersi a nodi di grado basso. Ex: technological networks

36 Correlazioni a più punti dei gradi Misura della correlazione: P(k,k, k (n) k): probabilità condizionale che un nodo di grado k sia connesso a nodi di grado k, k, Caso più semplice: P(k k): probabilità condizionale che un nodo di grado k sia connesso ad un nodo di grado k

37 Correlazioni a più punti dei gradi misura pratica di correlazione : Grado medio dei primi vicini k=4 i k=4 k=7 k=3 k i =4 k nn,i =( )/4=4.5

38 Grado medio dei primi vicini Spettro di correlazione : Costruito mettendo assieme nodi con lo stesso grado Class di grado k

39 Esempio: rete casuale e scorrelata P(k k) indipendente da k (ricorda: P(k k) = prob. che un link di grado k punti ad un nodo di grado k ) numero di link uscenti da un nodo di grado k numero di link uscenti da un nodo qualsiasi P unc (k k)=k P(k )/< k > proporzionale a k stesso

40 Assortatività Comportamento Assortativo : k nn (k) è una funzione crescente di k Esempio: social networks Comportamento Dissortativo: k nn (k) è una funzione decresente di k Esempio: internet (struttura gerarchica)

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42 3) Reti pesate 1) Definizioni ed esempi 2) Coefficiente di clustering pesato 3) Assortatività pesata

43 Reti pesate Nelle reti reali i links: Portano traffico (reti di trasporti, Internet ) Hanno intensità diverse (social networks ) Descrizione generale: pesi i w ij j a ij : 0 or 1 W ij : variabile continua

44 Pesi: esempi - Collaborazioni scientifiche: numero di articoli in comune Internet, s: numero di s scambiati Aereoporti: numero di passeggeri Reti metaboliche: flussi Reti economiche: numero di azioni possedute In generale si pone: w ii =0 Ed il peso è simmetrico: w ij =w ji

45 Reti Pesate I pesi stanno sui link (weigths) Forza (Strength) di un nodo: s i = j V(i) w ij =>Generalizza in modo naturale la nozione di grado alle reti pesate =>Esempio: quantifica il traffico totale che passa per un nodo.

46 Coefficiente di clustering pesato i w ij =1 w ij =5 i s i =16 c iw =0.625 > c i k i =4 c i =0.5 s i =8 c iw =0.25 < c i

47 Coefficiente di clustering pesato k w ik i w ij (w jk ) j Coefficiente di clustering medio C= i C(i)/N C w = i C w (i)/n Se i pesi sono random: C = C w C < C w : piu pesi sui grafi completi (cliques) C > C w : meno pesi sui grafi completi (cliques) Rappresentazione spettrale del Clustering:

48 Assortatività pesata i k i =5; k nn,i =1.8

49 Assortatività pesata i k i =5; k nn,i =1.8

50 Assortatività pesata i k i =5; s i =21; k nn,i =1.8 ; k nn,iw =1.2: k nn,i > k nn,i w

51 Assortatività pesata i k i =5; s i =9; k nn,i =1.8 ; k nn,iw =3.2: k nn,i < k nn,i w

52 Participation ratio 1/k i se tutti i pesi sono uguali vicino a 1 se alcuni pesi dominano