Grafi aleatori e reti nel mondo reale

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1 Grafi aleatori e reti nel mondo reale Federico Bassetti Università degli Studi di Pavia Piacenza, 9-Novembre, 2011

2 Sommario 1 le reti nel modo reale 2 le reti in matematica: i grafi 3 reti aleatorie modello di Erdös-Rényi modello del preferential attachment

3 Sommario 1 le reti nel modo reale 2 le reti in matematica: i grafi 3 reti aleatorie modello di Erdös-Rényi modello del preferential attachment

4 Sommario 1 le reti nel modo reale 2 le reti in matematica: i grafi 3 reti aleatorie modello di Erdös-Rényi modello del preferential attachment

5 Sommario 1 le reti nel modo reale 2 le reti in matematica: i grafi 3 reti aleatorie modello di Erdös-Rényi modello del preferential attachment

6 Avvertenza: Nel corso della nostra chiacchierata ci imbatteremo in qualche formula matematica:... niente panico... le parti più tecniche saranno indicate con ; in ogni caso, tali espressioni non sono dannose per la salute;

7 Avvertenza: Nel corso della nostra chiacchierata ci imbatteremo in qualche formula matematica:... niente panico... le parti più tecniche saranno indicate con ; in ogni caso, tali espressioni non sono dannose per la salute;

8 Avvertenza: Nel corso della nostra chiacchierata ci imbatteremo in qualche formula matematica:... niente panico... le parti più tecniche saranno indicate con ; in ogni caso, tali espressioni non sono dannose per la salute;

9 Avvertenza: Nel corso della nostra chiacchierata ci imbatteremo in qualche formula matematica:... niente panico... le parti più tecniche saranno indicate con ; in ogni caso, tali espressioni non sono dannose per la salute;

10 1. Reti (Networks) nel mondo reale.

11 Esempi di reti nel mondo reale WWW = World Wide Web reti di comunicazione telematica o reale (reti telefoniche, reti stradali, reti ferroviarie, rotte aeree) reti che descrivono sistemi ecologici (food webs,...) reti biologiche (reti neurali, reti di trascrizione genetica, reti metaboliche, protein networks,...) reti di relazione (reti sociali, reti di collaborazione scientifica,...)

12 WWW = World Wide Web

13 Reti di relazione (reti di amicizia, reti sociali, reti di collaborazione scientifica,...)

14 Reti di comunicazione telematica o reale (reti telefoniche, reti stradali, reti ferroviarie, rotte aeree) Rete delle linee aeree in India

15 Reti che descrivono sistemi ecologici Food web (catena alimentare)

16 Reti biologiche (reti neurali, reti di trascrizione genetica, reti metaboliche...) Rete di interazione delle proteine in un fungo

17 2. Le reti in matematica: i grafi.

18 Cos è un grafo? In matematica una rete si chiama grafo. Un grafo è un insieme N di nodi e un insieme A di archi (link) che li collegano G = (N, A) Occorre però distinguere se gli archi sono diretti o non diretti, ossia se si sta considerando un grafo diretto o non diretto.

19 Grafo non diretto Ecco un grafo non diretto N = {1, 2, 3, 4, 5} A = {(1, 2); (3, 4); (2, 3); (4, 5); (2, 5); (3; 5)}

20 ed ecco un grafo diretto Grafo diretto N = {1, 2, 3, 4, 5} A = {(1, 2); (1, 4); (2, 3); (2, 5); (3, 1); (4; 3); (5; 3); (5; 4)}

21 la rete di amicizie è non diretta (... si spera...)

22 la catena alimentare è diretta

23 Alcune caratteristiche interessanti di un grafo: Cosa distingue un grafo da un altro? Cosa si studia in un grafo? grado di un nodo componenti connesse presenza/assenza nodi fortemente collegati: hub...

24 Alcune caratteristiche interessanti di un grafo: Cosa distingue un grafo da un altro? Cosa si studia in un grafo? grado di un nodo componenti connesse presenza/assenza nodi fortemente collegati: hub...

25 Alcune caratteristiche interessanti di un grafo: Cosa distingue un grafo da un altro? Cosa si studia in un grafo? grado di un nodo componenti connesse presenza/assenza nodi fortemente collegati: hub...

26 Alcune caratteristiche interessanti di un grafo: Cosa distingue un grafo da un altro? Cosa si studia in un grafo? grado di un nodo componenti connesse presenza/assenza nodi fortemente collegati: hub...

27 Grado di un nodo Dato un nodo in un grafo non diretto il suo grado è il numero di archi (link) che possiede. deg(1) = 1, deg(2) = 3, deg(3) = 3, deg(4) = 2, deg(5) = 3

28 Grado di un nodo Dato un nodo in un grafo diretto si distingue fra link entranti (in degree) e link uscenti (out degree). Out(1) = 2, In(1) = 1, Out(2) = 2, In(2) = 1, Out(3) = 1, In(3) = 3, Out(4) = 2, In(4) = 2, Out(5) = 2, In(5) = 1.

29 Componenti connesse In un grafo non diretto la componente connessa di un nodo v è il sottografo costituito dai nodi raggiungibili da v.

30 Hub In un grafo si dice hub (mozzo, elemento centrale) un nodo con molti più link degli altri... L aeroporto JFK di New York è un HUB!

31 Anche Paul Erdös è un hub... Hub Paul Erdös (Budapest, 26 marzo 1913 Varsavia, 20 settembre 1996)

32 rete di collaborazioni (vicino a Erdös)

33 3. Reti (grafi) aleatori.

34 Cos è un grafo aleatorio? Un grafo aleatorio non è altro che un grafo casuale. casuale, aleatorio = non deterministico = non completamente prevedible probabilità...e =evento (non certo)... P(E) = probabilità che si verifichi...

35 Cos è un grafo aleatorio? Un grafo aleatorio non è altro che un grafo casuale. casuale, aleatorio = non deterministico = non completamente prevedible probabilità...e =evento (non certo)... P(E) = probabilità che si verifichi...

36 Cos è un grafo aleatorio? Un grafo aleatorio non è altro che un grafo casuale. casuale, aleatorio = non deterministico = non completamente prevedible probabilità...e =evento (non certo)... P(E) = probabilità che si verifichi...

37 Cos è un grafo aleatorio? Un grafo aleatorio non è altro che un grafo casuale. casuale, aleatorio = non deterministico = non completamente prevedible probabilità...e =evento (non certo)... P(E) = probabilità che si verifichi...

38 Perché un grafo aleatorio? Molti grafi non nascono in modo deterministico. Vogliamo confrontarli con ipotetiche realizzazioni di grafi casuali per comprendere meglio con che dinamiche si formano, per prevederene (con una certa probabilità) il comportamento...

39 Perché un grafo aleatorio? Molti grafi non nascono in modo deterministico. Vogliamo confrontarli con ipotetiche realizzazioni di grafi casuali per comprendere meglio con che dinamiche si formano, per prevederene (con una certa probabilità) il comportamento...

40 Modelli di grafi aleatori Erdös-Rény (1959)... Molti modelli sono nati per descrivere caratteristiche specifiche osservate in grafi reali.... Watts and Strogatz (1998) (small word) Albert and Barabási (1999,2002) (preferential attachment)...

41 Modelli di grafi aleatori Erdös-Rény (1959)... Molti modelli sono nati per descrivere caratteristiche specifiche osservate in grafi reali.... Watts and Strogatz (1998) (small word) Albert and Barabási (1999,2002) (preferential attachment)...

42 Cos è un grafo aleatorio? Per descrivere una rete aleatoria è importante specificare come genero tale rete, ossia con quali regole probabilistiche la costruisco. In termini matematici quale sia la sua distribuzione di probabilità. Prob(γ) per ogni γ in Γ dove Γ è l universo dei grafi γ che voglio considerare.

43 Cos è un grafo aleatorio? Per descrivere una rete aleatoria è importante specificare come genero tale rete, ossia con quali regole probabilistiche la costruisco. In termini matematici quale sia la sua distribuzione di probabilità. Prob(γ) per ogni γ in Γ dove Γ è l universo dei grafi γ che voglio considerare.

44 Grafo alla Erdös-Rényi G(n, p) Ad esempio considero n = 5 nodi:

45 Grafo alla Erdös-Rényi G(n, p)

46 Grafo alla Erdös-Rényi G(n, p) G(n, p) Fisso un numero n nodi. Considero tutti gli archi possibili, li accendo (in modo indipendente) con probabilità p (ossia, tiro una moneta e se esce testa metto il link mentre se esce croce non lo metto). P{accenso} = P{Testa} = p P{spento} = P{Croce} = 1 p

47 Numero medio di link in un nodo. Il numero medio di link di un nodo è deg(g) = λ := p(n 1). Si noti che p = λ n 1

48 Cosa succede quando n è grande? Tipicamente i grafi reali hanno molti nodi, ossia n è molto grande. Si studia la rete aleatoria per n tendente all infinito (i.e., molto grande).

49 Cosa succede quando n è grande? Tipicamente i grafi reali hanno molti nodi, ossia n è molto grande. Si studia la rete aleatoria per n tendente all infinito (i.e., molto grande).

50 Cosa succede quando n è grande? Facciamo crescere n ma rendiamo piccolo p, mantenendo fisso il numero medio di link λ, p = λ n 1. Con questa scelta il numero medio di link di un nodo è costante deg(g) = λ.

51 Cosa succede quando n è grande? Facciamo crescere n ma rendiamo piccolo p, mantenendo fisso il numero medio di link λ, p = λ n 1. Con questa scelta il numero medio di link di un nodo è costante deg(g) = λ.

52 Transizione di fase nelle componenti connesse. Quando n diverge (diventa grande) osserviamo una transizione di fase dipendente dal parametro λ.

53 Transizione di fase nelle componenti connesse. Più formalmente, con probabilità uno, quando n + se λ < 1, allora ogni componente connnessa C contiene un numero di nodi log(n); se λ > 1, allora esiste un unica componente connessa (componente gigante) comprendente un numero di nodi n/d mentre tutte le altre componenti connesse contengono log(n); se λ = 1, la componente gigante ha dimensione n 2/3 ; per n grande log(n) << n 2/3 << n.

54 Transizione di fase nelle componenti connesse. Più formalmente, con probabilità uno, quando n + se λ < 1, allora ogni componente connnessa C contiene un numero di nodi log(n); se λ > 1, allora esiste un unica componente connessa (componente gigante) comprendente un numero di nodi n/d mentre tutte le altre componenti connesse contengono log(n); se λ = 1, la componente gigante ha dimensione n 2/3 ; per n grande log(n) << n 2/3 << n.

55 Transizione di fase nelle componenti connesse. Più formalmente, con probabilità uno, quando n + se λ < 1, allora ogni componente connnessa C contiene un numero di nodi log(n); se λ > 1, allora esiste un unica componente connessa (componente gigante) comprendente un numero di nodi n/d mentre tutte le altre componenti connesse contengono log(n); se λ = 1, la componente gigante ha dimensione n 2/3 ; per n grande log(n) << n 2/3 << n.

56 Transizione di fase nelle componenti connesse. Più formalmente, con probabilità uno, quando n + se λ < 1, allora ogni componente connnessa C contiene un numero di nodi log(n); se λ > 1, allora esiste un unica componente connessa (componente gigante) comprendente un numero di nodi n/d mentre tutte le altre componenti connesse contengono log(n); se λ = 1, la componente gigante ha dimensione n 2/3 ; per n grande log(n) << n 2/3 << n.

57 Distribuzione dei link in Erdös-Rényi Come calcolo la probabilità che deg(g) = k, ossia che un nodo g abbia k links? Guardo tutti i possibili archi che collegano g agli altri n 1 nodi, ossia in tutto n 1 archi. Ricordo che nel grafo aleatorio in questione un arco viene acceso con probabilità p e non viene acceso con probabilità 1 p. Dunque P{un nodo abbia k links} = P{ottenere k successi su n 1 tiri}

58 Distribuzione dei link in Erdös-Rényi Come calcolo la probabilità che deg(g) = k, ossia che un nodo g abbia k links? Guardo tutti i possibili archi che collegano g agli altri n 1 nodi, ossia in tutto n 1 archi. Ricordo che nel grafo aleatorio in questione un arco viene acceso con probabilità p e non viene acceso con probabilità 1 p. Dunque P{un nodo abbia k links} = P{ottenere k successi su n 1 tiri}

59 Distribuzione dei link in Erdös-Rényi Come calcolo la probabilità che deg(g) = k, ossia che un nodo g abbia k links? Guardo tutti i possibili archi che collegano g agli altri n 1 nodi, ossia in tutto n 1 archi. Ricordo che nel grafo aleatorio in questione un arco viene acceso con probabilità p e non viene acceso con probabilità 1 p. Dunque P{un nodo abbia k links} = P{ottenere k successi su n 1 tiri}

60 Distribuzione dei links in Erdös-Rényi In altri termini: Distribuzione binomiale dei links ( ) n 1 P{deg(g) = k} = p k (1 p) n 1 k k dove p = probabilità di successo = probabilità di accensione ( ) n 1 (n k)(n k + 1)... (n 1) = k k

61 Approsimazione di Poisson. Ricordando che p = λ/(n 1), ( n 1 P{un nodo abbia k links} = k Per n molto grande ) ( λ n 1 P{deg(g) = k} λk k! e λ dove k! = k. La distribuzione di probabilità è detta distribuzione di Poisson. λ k k! e λ k = 0, 1, 2,... ) k ( 1 λ ) n 1 k n 1

62 Approsimazione di Poisson. Ricordando che p = λ/(n 1), ( n 1 P{un nodo abbia k links} = k Per n molto grande ) ( λ n 1 P{deg(g) = k} λk k! e λ dove k! = k. La distribuzione di probabilità è detta distribuzione di Poisson. λ k k! e λ k = 0, 1, 2,... ) k ( 1 λ ) n 1 k n 1

63 Approsimazione di Poisson. Ricordando che p = λ/(n 1), ( n 1 P{un nodo abbia k links} = k Per n molto grande ) ( λ n 1 P{deg(g) = k} λk k! e λ dove k! = k. La distribuzione di probabilità è detta distribuzione di Poisson. λ k k! e λ k = 0, 1, 2,... ) k ( 1 λ ) n 1 k n 1

64 ... tornando alla distribuzione dei link: Come sono fatti i grafi reali? Che distribuzione di link hanno?

65 code pesanti vs. code leggere decresce velocemente= code leggere decresce lentamente= code pesanti

66 ... assenza/presenza di hub. Se ho code leggere è poco probabile che si formi un hub, la quasi totalità dei nodi ha un numero di link simile ed è molto imporbabile che nasca un nodo con distribuzione che devi significativamente dalla media. Se ho code pesanti è probabile si formi un hub, la maggior parte dei nodi avrà un numero relativamente basso di link, ma qualche nodo avrà molti link.

67 ... assenza/presenza di hub. Se ho code leggere è poco probabile che si formi un hub, la quasi totalità dei nodi ha un numero di link simile ed è molto imporbabile che nasca un nodo con distribuzione che devi significativamente dalla media. Se ho code pesanti è probabile si formi un hub, la maggior parte dei nodi avrà un numero relativamente basso di link, ma qualche nodo avrà molti link.

68 grafi reali In molti grafi reali si osserva la presenza di hub. Inoltre, studiando la distribuzione empirica (la frequenza) dei link dei vari nodi, si osserva tipicamente un comportamento di tipo code pesanti.

69 code pesanti vs. code leggere Più formalmente: code leggere: Prob(k links) e k ; code pesanti (legge di potenza di esponente γ): Prob(k links) 1 k γ

70 grafi reali Code pesanti: Ecco alcuni esempi Prob(k link) 1 k γ. rete reazioni metaboliche: n.nodi , n.link , γ = 2.2; rete chiamate telefoniche: n.nodi , n.link , γ in = 2.1; rete di collaborazione fra gli attori nel cinema: n.nodi 212, 000, n.link , γ = 2.3; rete di collaborazione fra matematici: n.nodi 70, 000, n.link 132, 000, γ = 2.1;...

71 Più γ è vicino a 1 più le code sono pesanti (decrescono lentamente).

72 nuovi modelli Molti grafi reali non sono dunque descritti bene dal modello alla Erdös-Rényi... preferentail attachment... in real networks linking is very often preferential... (Barabási-Albert)... nei grafi reali i collegamenti sono spesso di tipo preferenziale... idea: Se ho molti amici, in futuro ne avrò ancora di più...

73 nuovi modelli Molti grafi reali non sono dunque descritti bene dal modello alla Erdös-Rényi... preferentail attachment... in real networks linking is very often preferential... (Barabási-Albert)... nei grafi reali i collegamenti sono spesso di tipo preferenziale... idea: Se ho molti amici, in futuro ne avrò ancora di più...

74 nuovi modelli Molti grafi reali non sono dunque descritti bene dal modello alla Erdös-Rényi... preferentail attachment... in real networks linking is very often preferential... (Barabási-Albert)... nei grafi reali i collegamenti sono spesso di tipo preferenziale... idea: Se ho molti amici, in futuro ne avrò ancora di più...

75 Albert and Barabási (1999,2002)

76 Albert and Barabási (1999,2002) inizio con un grafo (connesso) con n 0 nodi e a 0 archi (ed esempio 2 nodi con un link che li collega) aggiungo un nodo alla volta, ogni nuovo nodo si collega ad m vecchi nodi (ad esempio m = 1), e la probabilità di collegarsi ad un nodo i = 1,..., n + n 0 al tempo n + 1 è p i (n + 1) = k i (n) n+n0 j=1 k j(n) dove k j (n) è il grado del nodo j-esimo al tempo n

77 code pensanti in Albert and Barabási code pesanti In questo modello si ha che P(un nodo v ha k link) 1 k 3.

78 ... altri problemi... connettività, sottoalberi, diametro massimo, distanza minima... diffusione su una rete (e.g., malattie) vulnerabilità di una rete previsione statistica

79 ... altri problemi... connettività, sottoalberi, diametro massimo, distanza minima... diffusione su una rete (e.g., malattie) vulnerabilità di una rete previsione statistica

80 ... altri problemi... connettività, sottoalberi, diametro massimo, distanza minima... diffusione su una rete (e.g., malattie) vulnerabilità di una rete previsione statistica

81 ... altri problemi... connettività, sottoalberi, diametro massimo, distanza minima... diffusione su una rete (e.g., malattie) vulnerabilità di una rete previsione statistica

82 ... altri problemi... connettività, sottoalberi, diametro massimo, distanza minima... diffusione su una rete (e.g., malattie) vulnerabilità di una rete previsione statistica

83 grazie per l attenzione!