Reti complesse modelli e proprietà

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1 Reti complesse Modelli e proprietà [email protected] Applicazioni di rete 2 A.A

2 Outline Modello di Erdös Rényi 1 Modello di Erdös Rényi Denizione Proprietà 2 Introduzione Modello Barabási Albert Altri modelli 3 Piccoli mondi Watts Strogatz Kleinberg

3 Denizione Proprietà I gra casuali di Erdös Rényi (reprise) Il modello G n,p n : numero di vertici 0 p 1 Per ogni coppia di nodi i e j, genera l'arco (i, j) con probabilità p in modo indipendente. Errata corrige Il grado medio è z = np, non n/p come scritto nell'ultima lezione.

4 Studio asintotico Modello di Erdös Rényi Denizione Proprietà n, p costante Al crescere di n il grado medio np va ad innito. Un'unica componente connessa per qualsiasi p 0. Diametro 2. Modello poco realistico. n, p(n) variabile in funzione di n Caratteristiche più interessanti, e meno facili da caratterizzare: vedremo principalmente questo modello.

5 Distribuzione del grado Denizione Proprietà Caratterizzazione p(k) : Somma di n variabili booleane con probabilità p di avere valore 1. Legge binomiale: p(k) = B(n, k, p) = ( n k) p k (1 p) n k. Distribuzione poissoniana Se si ssa il grado medio z = np, quando n la binomiale si approssima con la distribuzione poissoniana P(k, z) = z k k! e z. Coda esponenziale: questo modello non soddisfa la power law.

6 Distribuzione poissoniana Denizione Proprietà

7 Clustering Modello di Erdös Rényi Denizione Proprietà Esercizio Qual è il valore del clustering C (1) in un grafo casuale G(n, p)? Ricordiamo: C (1) (G) = Soluzione 3 numero di triangoli in G triple ordinate connesse in G C (1) (G) corrisponde alla probabilità che, data una tripla connessa a, b, c, a sia collegato a c. Per denizione, la probabilità che due vertici siano connessi è proprio p! Per z = np costante, il clustering è p = z, quindi tende a 0 n per n. In molte reti complesse, il clustering tende invece ad un valore maggiore di 0 per n.

8 Proprietà quasi certamente valide Denizione Proprietà Se 0 < p < 1, qualsiasi grafo con n vertici è una possibile realizzazione di grafo G(n, p). Abbiamo bisogno di una nozione per caratterizzare le proprietà che si ottengono quasi sicuramente al crescere di n. Denizione Dato un evento E ed una dimensione n, diciamo che l'evento E è asintoticamente quasi sicuro (asymptotically almost sure o valid with high probablility) se lim n P(E, n) = 1. Nel nostro caso, E sarà una proprietà a proposito di un grafo G, ed n sarà la dimensione di G.

9 Funzioni soglia Modello di Erdös Rényi Denizione Proprietà Richiamo matematico f O(g) se c R, N N per cui n N, f (n) c g(n). f Ω(g) se c R, N N per cui n N, f (n) c g(n). f Θ(g) se f O(g) e f Ω(g). Funzioni soglia Esistono proprietà caratterizzate da una funzione soglia f : sono asintoticamente quasi sicure se la probabilità p(n) / Ω(f ) (p cresce più velocemente di f ), è asintoticamente quasi sicura la negazione se p(n) / O(f ) (p cresce più lentamente di f ). Prendendo spunto dalla sica, si parla di transizione di fase: proprietà che appaiono all'improvviso.

10 Grafo connesso Modello di Erdös Rényi Denizione Proprietà Transizione di fase: f = log n è una funzione soglia per la n proprietà G è un grafo connesso. Intuizione: se p(n) / O(f ) abbiamo probabilità 1 di avere nodi isolati; se p(n) / Ω(f ) probabilità 0.

11 Comparsa di alberi Modello di Erdös Rényi Denizione Proprietà Proprietà La funzione soglia per la comparsa di alberi di dimensione k è p(n) = n k 1 k

12 Comparsa di alberi Modello di Erdös Rényi Denizione Proprietà Intuizione k = 2 (esistenza di archi): la probabilità che due vertici siano collegati è p, il numero dei possibili archi è n(n 1) Θ ( n 2). 2 Se p / O ( n 2) abbiamo quasi sicuramente degli archi, se p / Ω ( n 2) è vero il contrario. k qualsiasi: il numero di possibili n-ple di archi è Θ ( n k), la probabilità che esistano k 1 archi che li collegano è Θ ( p k 1). Se p k 1 / O ( n k) gli alberi esistono, se p k 1 / Ω ( n k) non esistono.

13 Componente gigante Modello di Erdös Rényi Denizione Proprietà Denizione Parliamo di componente gigante quando la dimensione della componente più grande di un grafo tende ad innito al crescere di n.

14 Componenti giganti Modello di Erdös Rényi Denizione Proprietà La presenza di componenti giganti garantisce che la rete ha un'alta connettività: alcuni nodi possono rimanere isolati, ma molti di essi sono collegati tra di loro. Transizione di fase: p(n) = 1 n. I cicli di qualsiasi dimensione cominciano ad apparire solo quando p(n) = 1 n.

15 Denizione Proprietà Ricapitolando: evoluzione di G(n, p)

16 Ricapitolando... Modello di Erdös Rényi Denizione Proprietà I gra casuali sono una teoria elegante, basata su un modello semplice. Studiati in maniera estremamente approfondita: esistono risultati che quanticano quasi ogni tipo di proprietà. Problemi Molte reti reali hanno caratteristiche che non sono rispecchiate dalle reti casuali. È necessario trovare modelli che spieghino le caratteristiche scale-free e small-world.

17 Power law (reprise) Modello di Erdös Rényi Introduzione Modello Barabási Albert Altri modelli La distribuzione dei gradi in molte reti reali segue la power law p(k) c k α. Osservazione Siamo abituati ad ottenere distribuzioni simili alla distribuzione normale (gaussiana). La power law è radicalmente diversa: Ha una frazione non trascurabile di nodi con grado molto alto (hubs) Non ha scala caratteristica (proprietà scale-free): il valor medio è poco informativo.

18 Power law ovunque... Introduzione Modello Barabási Albert Altri modelli

19 ... ma non tutto è power law! Introduzione Modello Barabási Albert Altri modelli Varie distribuzioni diuse su molti ordini di grandezza non sono power law.

20 Proprietà scale-free Modello di Erdös Rényi Introduzione Modello Barabási Albert Altri modelli La power law è l'unica distribuzione che resta uguale a prescindere dalla scala a cui la si osserva. Data una distribuzione di probabilità p(x), esiste g(b) per cui p(bx) = g(b)p(x) per ogni b ed x. Esempio Se i le grandi 2KB sono 4 volte più comuni di quelli grandi 1KB, allora i le di 2MB sono 4 volte più comuni di quelli grandi 1MB. Stesso comportamento cambiando scala da KB a MB.

21 Modello di Barabàsi Albert Introduzione Modello Barabási Albert Altri modelli Preferential attachment Modello in evoluzione: i ricchi diventano sempre più ricchi. Si parte con una rete semplice (es., due nodi ed un arco che li collega). Ogni volta che un nuovo nodo arriva, si collega a m nodi con probabilità proporzionale al loro grado: Π (k i ) = k i j V k j.

22 Modello Barabási Albert Introduzione Modello Barabási Albert Altri modelli Il modello di Barabàsi ed Albert prende in considerazione il fatto che le reti si evolvono. Il preferential attachment riette il fatto che l'essere ricco aumenta le possibilità di arricchirsi. Valido per il WWW e le reti sociali: i link fanno da pubblicità. Un modello molto simile è stato proposto da Simon (1955!) per spiegare la distribuzione power-law delle frequenze delle parole nella lingua inglese: Con probabilità α si scrive una nuova parola. Con probabilità 1 α si scrive una parola presa a caso da quelle già scritte.

23 Altri modelli power-law Introduzione Modello Barabási Albert Altri modelli Nodi disposti sullo spazio Reti power-law possono essere ottenuti come risultati di un ottimizzazione: Il nuovo nodo i si collega al nodo j che minimizza αd ij + h j d ij è la distanza euclidea tra i e j. h j è una misura di centralità (es., distanza media verso gli altri nodi) Spiega la power-law in reti tecnologiche (es., Internet, rete dei voli aerei)

24 Altri modelli power-law Introduzione Modello Barabási Albert Altri modelli Copia di nodi Un nuovo nodo quando entra nella rete: 1 Copia tutti i link di un altro nodo 2 Aggiunge un link al nodo copiato 3 Muta alcuni link Spiega la power law in reti biologiche

25 Sei gradi di separazione (reprise) Piccoli mondi Watts Strogatz Kleinberg Esperimento di Milgram (1967) Determinare la lunghezza media delle catene di conoscenti che collegano due persone (che non si conoscono) negli USA Risultato La lunghezza media di una catena di conoscenze che raggiunge la destinazione è circa sei.

26 Piccoli mondi (un passo) Piccoli mondi Watts Strogatz Kleinberg Molti dei miei amici si conoscono tra di loro...

27 Piccoli mondi (due passi) Piccoli mondi Watts Strogatz Kleinberg... ma in pochi passi riesco a raggiungere molti altri nodi.

28 Modello di Watts Strogatz Piccoli mondi Watts Strogatz Kleinberg Nodi disposti su un anello. Ogni nodio è connesso agli m nodi più vicini. Con probabilità p, un link ad un vicino è rimpiazzato da un salto casuale.

29 Watts Strogatz Modello di Erdös Rényi Piccoli mondi Watts Strogatz Kleinberg

30 Watts Strogatz cammini Piccoli mondi Watts Strogatz Kleinberg

31 Watts Strogatz cammini Piccoli mondi Watts Strogatz Kleinberg

32 Watts Strogatz cammini Piccoli mondi Watts Strogatz Kleinberg

33 Watts Strogatz cammini Piccoli mondi Watts Strogatz Kleinberg

34 Watts Strogatz risultati Piccoli mondi Watts Strogatz Kleinberg

35 Modello di Kleinberg Modello di Erdös Rényi Piccoli mondi Watts Strogatz Kleinberg Generalizzazione del modello di Watts e Strogatz. Ogni nodo ha r scorciatoie. P(uha una scorciatoia verso v) = c d(u, v) γ. Navigazione: conoscendo la posizione della destinazione, si segue il passo che porta più vicino ad essa.

36 Modello di Kleinberg (γ = 1) Piccoli mondi Watts Strogatz Kleinberg Con γ piccolo, i cammini brevi esistono, ma non si riescono a trovare.

37 Modello di Kleinberg (γ = 2) Piccoli mondi Watts Strogatz Kleinberg Con γ = 2, è possibile trovare cammini brevi dall'origine alla destinazione. Famiglia esponenziale di log d quadrati. Per passare da un quadrato al seguente sono sucienti log d passi. Cammini lunghi log 2 d passi.

38 Modello di Kleinberg (γ > 2) Piccoli mondi Watts Strogatz Kleinberg Navigazione ineciente quando γ > 2. Le scorciatoie sono troppo brevi. È dicile progredire abbastanza.