Appendice: Forme quadratiche

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1 Appendice: Forme quadratiche A A 2006/ Prodotto Scalare Definizione 11 Si definisce Spazio Euclideo uno spazio vettoriale con assegnato un prodotto scalare Definizione 12 Sia V uno spazio vettoriale Una applicazione <, >: V V R si dice Prodotto Scalare su R se v, v, w, w V e λ R verifica le seguenti proprietà: 1 (a) < v + v, w >=< v, w > + < v, w >, (b) < v, w + w >=< v, w > + < v, w >, (c) < λv, w >= λ < v, w >=< v, λw >; 2 < v, w >=< w, v >; 3 (a) < v, v >= 0 se e solo se v = 0 V, (b) < v, v > 0 Esempio: Prodotto scalare standard Se V è uno spazio vettoriale di dimensione n e v = (v 1,, v n ), w = (w 1,, w n ) V si definisce il prodotto scalare standard su R n nel modo seguente: <, >: V V R tale che < v, w >= v 1 w v n w n Osservazione: < v, w >= v 1 w 1 + +v n w n = ( v 1 v n ) w 1 = ( v 1 v n )Id n Osservazione: Se b : V V R è un prodotto scalare tale che per v = (v 1,, v n ) e w = (w 1,, w n ) si ha: b((v 1,, v n ), (w 1,, w n )) = a 1,1 v 1 w 1 + a 1,2 v 1 w 2 + a n,n v n w n allora la matrice A b tale che ( v 1 v n )A b w 1 w n w n = b((v 1,, v n ), (w 1,, w n )) w 1 w n 1

2 1 PRODOTTO SCALARE si chiama Matrice Associata a b e si scrive a 1,1 a 1,n A b = a n,1 a n,n Esercizio 13 Dimostrare che la seguente applicazione b : R 2 R 2 R è un prodotto scalare su R e scrivere la matrice ad essa associata: b((x 1, y 1 ), (x 2, y 2 )) = 4x 1 x 2 2x 1 y 2 2x 2 y 1 + 7y 1 y 2 Esercizio 14 (per casa) Dimostrare che la seguente applicazione b : R 3 R 3 R è un prodotto scalare su R e scrivere la matrice ad essa associata: b((x 1, y 1, z 1 ), (x 2, y 2 ), z 2 ) = x 1 x 2 x 1 y 2 x 2 y 1 +2y 1 y 2 +z 1 z 2 Metodo: Per dimostrare che le applicazioni b degli esercizi precedenti siano effettivamente dei prodotti scalari occorre ovviamente controllare che tutte le proprietà che compaiono nella definizione di prodotto scalare siano verificate 1 La verifica delle proprietà 1(a), 1(b) ed 1(c) è elementare 2 La verifica della proprietà 2 è elementare 3 Per verificare le proprietà 3(a) e 3(b) occorre innanzitutto scrivere la matrice A b associata a b (a) Se rg(a b ) è massimo allora la proprietà 3(a) è verificata (b) Per ferificare la proprietà 3(b) occorre scegliere un vettore v 1 V tale che < v 1, v 1 > 0 (osserviamo che se abbiamo già controllato che la proprietà 3(a) sia verificata allora è sufficiente scegliere un vettore non nullo); costruire una base ortogonale rispetto a b a partire dal vettore v 1 scelto (sia essa ad esempio B = {v 1, v n }) 1 ; scrivere la matrice diagonale i cui elementi non nulli siano rispettivamente b(v 1, v 1 ),, b(v n, v n ) ossia: B = b(v 1, v 1 ) 0 0 b(v n, v n ) ora se i termini sulla diagonale sono tutti positivi allora anche la proprietà 3(b) è soddisfatta Definizione 15 Due matrici quadrate A e B si dicono congruenti se esite una matrice M tale che A = M T BM Proposizione 16 Se B è una matrice costruita come nel metodo appena descritto a partire da una matrice A b associata ad un prodotto scalare allora A b e B sono congruenti 1 Si ricorda che per costruire una base ortogonale rispetto ad un prodotto scalare b a partire da un vettore dato v 1 occorre cercare quei vettori w tali che b(v, w) = 0; o equivalentemente trovare una base ortogonale di < v 1 > 2

3 2 FORME QUADRATICHE 2 Forme Quadratiche Definizione 21 Sia V uno spazio vettoriale n dimensionale reale Se b : V V R è una applicazione che verifica le proprietà 1(a), 1(b) 1(c) e 2 che compaiono nella definizione di prodotto scalare allora è possibile associare a b una applicazione q : V R tale che q(v) = b(v, v) per ogni v V Una applicazione q siffatta prende il nome di Forma Quadratica Esempio: Sia b : R 2 R 2 R tale che Allora la forma quadratica q associata a b sarà Osseviamo che la matrice A b associata a b è: b((x 1, y 1 ), (x 2, y 2 )) = 2x 1 x 2 + x 1 x 2 + x 2 y 1 3y 1 y 2 q((x, y)) = b((x, y), (x, y)) = 2x 2 + 2xy 3y 2 A b = ( Chiaramente essa sarà anche la medesima matrice da associare a q Osservazione: Se q : R 2 R è una forma quadratica q((x, y)) = ax 2 + bxy + cy 2 allora la matrice associata a q sarà: A q := ( a b/2 b/2 c Analogamente se q : R 3 R è una forma quadratica q((x, y, z)) = ax 2 + bxy + cxz + dy 2 + eyz + fz 2 allora la matrice associata a q sarà: a b/2 c/2 A q := b/2 d e/2 c/2 e/2 f (Dovrebbe a questo punto essere intuitivo come costruire la matrice associata ad una forma quadratica q : R n R) Proposizione 22 Se q è una forma quadratica, la matrice A q associata a q è congruente ad una matrice diagonale Il metodo per costruire tale matrice diagonale a partire da A q è il medesimo descritto nella sezione precedente CON PERÒ L AGGIUNTA DI UN ACCORTEZZA: occorre controllare che il vettore v 1 V con cui si inizia il procedimento sia tale che q(v 1 ) 0 (infatti per costruire una forma quadratica siamo partiti da una applicazione che non doveva necessariamente soddisfare la proprietà 3(a) del prodotto scalare e quindi non è ora più scontato che qualunque vettore non nullo v V sia tale che q(v) 0) ) ) 3

4 3 CONICHE 3 Coniche Proposizione 31 Una forma quadratica q : R 2 R è sempre descritta da un polinomio in due variabili quadratico omogeneo: q((x, y)) = ax 2 + bxy + cy 2 (1) La matrice ad essa associata è A q := ( a b/2 b/2 c La matrice A q è congruente ad una matrice diagonale B tale che rg(a q ) = rg(b) ) (2) Inoltre se B e B sono entrambe matrici diagonali congruenti ad A q allora B e B hanno lo stesso numero di elementi positivi, lo stesso numero di elementi negativi e lo stesso numero di elementi nulli (per lo studio che si farà in queste note sarà sufficiente sapere che se det(a q ) 0 allora il segno del determinante rimane invariante per congruenza) Proposizione 32 Il luogo geometrico C dei punti del piano (x, y) R 2 che soddisfano una equazione qudratica (NON NECESSARIAMENTE OMOGENEA) è una conica del piano Ad una conica C è possibile associare una matrice A C tale che x ( x y 1 )A C y 1 = 0 Chiaramente ax 2 + bxy + cy 2 + dx + ey + f = 0 (3) A C = a b/2 d/2 b/2 c e/2 d/2 e/2 f Osservazione: Osseviamo che la sottomatrice di A C ottenuta eliminando la terza riga e la terza colonna è esattamente la matrice A q definita in (2) e quindi corrisponde ad una matrice rappresentante una forma quadratica 31 Classificazione delle coniche Gli unici strumenti di cui ci avverremo per classificare una conica saranno il determinante di A C e la forma quadratica associata a C (ossia la parte omogenea di grado 2 dell equazione (3) che altro non è che la forma quadratica (1)) Se il determinate di A C 0 la conica si dice non degenere 4

5 4 QUADRICHE Se il determinate di A C = 0 la conica si dice degenere Inoltre Se rg(a C ) = 2 la conica è semplicemente degenere Se rg(a C ) = 1 la conica è doppiamente degenere Se (det(a q )) 0 allora C è una conica a centro In particolare Se det(a q ) > 0 allora C è un ellisse Se det(a q ) < 0 allora C è un iperbole Se det(a q ) = 0 allora C è una conica non a centro ossia una parabola Riassumendo una conica C può essere scritta tramite congruenza di matrici in una delle seguenti forme (forme canoniche): Coniche non a centro: parabola reale: x 2 y = 0, parabola degenere: x 2 ± 1 = 0, conica doppiamente degenere: x 2 = 0; coniche a centro: ellisse priva di punti reali: x 2 + y = 0, ellise a punti reali: x 2 + y 2 1 = 0, iperbole reale: x 2 y 2 1 = 0, ellisse degenere: x 2 + y 2 = 0, iperbole degenere: x 2 y 2 = 0 4 Quadriche Un argomento completamente analogo a quello appena trattato in R 2 per classificare le coniche può essere ripetuto in R 3, con ovviamente le opportune modifiche, per classificare le superficie quadriche Proposizione 41 Il luogo geometrico Q dei punti (x, y, z) R 3 che soddisfano una equazione di secondo grado: ax 2 + bxy + cxz + dy 2 + eyz + fz 2 + gx + hy + iz + l = 0 è chiamato superficie quadrica 5

6 41 Classificazione delle quadriche 4 QUADRICHE dove L equazione descrivente Q può essere scritta in forma matriciale: x ( x y z 1 )A Q y z 1 A Q = a b/2 c/2 g/2 b/2 d e/2 h/2 c/2 e/2 f i/2 g/2 h/2 i/2 l La sottomatrice A q che si ottiene eliminando da A Q la quarta riga e la quarta colonna è la matrice che descrive la forma quadratica q : R 3 R associata alla superficie quadrica Q 41 Classificazione delle quadriche Per classificare le quadriche terremo conto del determinante di A Q e del determinate di A q Se det(a Q ) 0 la quadrica sarà non degenere Se det(a q ) 0 la conica sarà a centro Se det(a q ) = 0 la conica sarà non a centro Se det(a Q ) = 0 la quadrica sarà degenere Forme canoniche delle quadriche (qui di seguito diamo un elenco delle non degeneri, per quelle degeneri la descrizione è ovviamente analoga): Quadriche non a centro: paraboloide ellittico: x 2 + y 2 z = 0, paraboloide iperbolico (a sella): x 2 y 2 z = 0; quadriche a centro: ellissoide: x 2 + y 2 + z 2 1 = 0, iperboloide ad una falda (iperbolico): x 2 + y 2 z 2 1 = 0, iperboloide a due falde (ellittico): x 2 y 2 z 2 1 = 0, ellissoide non reale: x 2 + y 2 + z = 0 6