Università degli Studi Roma Tre - Corso di Laurea in Matematica Tutorato di Geometria 2

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1 Università degli Studi Roma Tre - Corso di Laurea in Matematica Tutorato di Geometria A.A Docente: Prof. A. Verra Tutori: Dott.ssa Paola Stolfi e Annamaria Iezzi Soluzioni Tutorato numero 6 (1 Dicembre 9 Coniche e Proiettività I testi e le soluzioni dei tutorati sono disponibili al seguente indirizzo: 1. (a La matrice associata alla conica C λ è: λ A λ = λ λ 1 Risulta: C λ è una conica generale det(a λ λ λ. (b Poniamo λ. Per determinarne i valori λ R per i quali C λ è una conica generale a punti reali studiamo la segnatura di A λ al variare di λ R; infatti, in caso di segnatura (1, o (, 1 A λ sarà una conica a punti reali, altrimenti se la segnatura è (, o (, sarà una conica a punti non reali. Procediamo pertanto alla diagonalizzazione di A λ, applicando alla forma bilineare b (avente matrice A λ il metodo induttivo, in modo da ottenere una base b-diagonalizzante. e è un vettore non isotropo. Pertanto v 1 = e costituirà il primo vettore della base nostra diagonalizzante: Allora R = v 1 v 1, dove v1 = (x, y, z R ( 1 λ x λ y = = λ 1 z = { (x, y, z R λy + z = } v = (1,, v 1 e b( v, v = λ, cioè v è non isotropo. Pertanto v costituirà il secondo vettore della nostra base diagonalizzante e si avrà: R = v 1, v { v 1, v } A questo punto rimane da trovare v { v 1, v } = v 1 v. v = (x, y, z R ( 1 λ x λ y = = { (x, y, z R x = } λ 1 z 1

2 Pertanto { v 1, v } = { (x, y, z R λy + z = e x = }. v = (, 1, λ { v 1, v } e b( v, v = λ, cioè v è non isotropo. Pertanto { v 1, v, v } è una base diagonalizzante per b. Sia 1 P = 1 1 λ la matrice del cambiamento di base dalla base { v 1, v, v } alla base canonica; in base { v 1, v, v } la forma bilineare b ha matrice diagonale B λ (congruente ad A λ : B λ = t P A λ P = 1 λ λ Si osserva subito che B λ ha segnatura (1, oppure (, 1. Infatti gli elementi 1 e λ hanno sempre segno discorde. Conseguentemente anche A λ ha segnatura (1, oppure (, 1; pertanto per ogni λ, C λ è sempre una conica generale a punti reali.. (a C e D hanno rispettivamente matrici: A = 1 1 e B = 1 1 Risulta: rg(a = rg(b =, det(a = e det(b = 1 <. Pertanto C è una parabola semplicemente degenere, mentre D è un iperbole semplicemente degenere. Ne segue che le due coniche non sono affinemente equivalenti. C è unione delle due rette parallele: x 1 = e x + 1 = D è unione delle due rette incidenti: x y = e x + y = C ha un unico punto improprio: [,, 1]. D ha due punti impropri: [, 1, 1] e [, 1, 1].

3 (b Le chiusure proiettive C e D hanno rispettivamente equazione: x + x 1 = e x 1 x =. C e D sono entrambe coniche (proiettive semplicemente degeneri spezzate. Pertanto sono proiettivamente equivalenti. Per ottenere una proiettività f tale che f(c = D, basta determinare una matrice M GL (R tale che t MAM = αb (con α R\ {} Confrontando A con B, si osserva subito che scambiando la terza riga con la prima, A si trasforma in B. Si pone allora M = e si verifica subito che t MAM = B. La proiettività f richiesta ha quindi equazioni: x x 1 = αm x x = αx x 1, cioè x x 1 = αx 1 conα R\ {} x x = αx. (a Per prima cosa determiniamo le equazioni della riflessione ρ r rispetto alla retta r: Data l equazione generale di una riflessione: ( ( ( ( x a b x p y = + b a y q imponiamo la condizione che, presi due punti qualsiasi di r, essi siano fissati da ρ r. P (, 1 e Q(1, 1 r: ( ( ( ( { a b p = b + p = + 1 b a 1 ( ( ( 1 a b 1 = 1 b a 1 + q ( p q 1 = a + q { 1 = a + b + p 1 = b a + q I parametri a, b, p, q dell equazione generale sono pertanto determinati dal seguente sistema: = b + p 1 = a + q 1 = a + b + p 1 = b a + q b = p a = q 1 1 = q 1 + p + p 1 = p + q q b = p a = q 1 q = p = p + p

4 b = a = q = p = Pertanto l equazione della riflessione richiesta è: ( x y ( = ( x y + ( (b Per determinare l equazione di ρ r (C, basta trovare le espressioni di x, y in funzione delle nuove coordinate x, y e sostituirle nell equazione della conica C. Per far ciò dobbiamo trovare la trasformazione inversa di ρ r ; ma ricordando che ρ 1 r sono le stesse di ρ r, cioè: ( x y ( = ( x y +( = ρ r si ha che le equazioni di ρ 1 r { x = x + y + y = x + y Sostituendo queste espressioni nell equazione di C : x + y x + y = otteniamo l equazione della conica f(c affinemente equivalente a C tramite l affinità ρ r : = [ x + y + ] [ + x + y ] ( x + y + + x + y = = 9 (x + 16 (y + 16 x y x + y + 16 (x + 9 (y + + x y 16 x 1 y + 6 x 8 y 8 + x + y = = (x + (y + 1 x y 1. La matrice associata alla conica è: A = (, A = 1 1 det(a = 6 det(a = < Pertanto D è un iperbole non degenere. Ricordiamo che : - una conica ha gli assi paralleli agli assi coordinati se e solo se nella sua equazione non compare il termine misto a 1 xy; - una conica ha centro di simmetria nell origine se e solo se nella sua equazione non compaiono i termini a 1 x e a y. Nel nostro caso richiediamo un isometria che trasformi la conica data D

5 in una conica D che abbia assi di simmetria coincidenti con gli assi coordinati x e y, cioè che abbia gli assi paralleli agli assi coordinati e centro di simmetria nell orgine. Pertanto ciò che vogliamo fare è ridurre, mediante isometrie, la conica D a una conica D nella cui equazione non compaiano nè il termine a 1 xy, nè i termini a 1 x e a y. Il modo di procedere è pertanto identico a quello di riduzione della conica D alla forma canonica ad essa congruente ( x a y b = 1. Procediamo alla diagonalizzazione di A. Il polinomio caratteristico di A è P (λ = λ λ. Pertanto A ha autovalori: λ 1 = e λ = 8. Due autovettori corrispondenti sono: v1 = ( 1, e v = (, 1. Si ha v 1 = 1 e v = 1. Inoltre essendo λ 1 λ, tali vettori costituiscono una base ortonormale (diagonalizzante. Sia M la matrice del cambiamento di base dalla base {e 1, e } alla base {v 1, v } (M è ortogonale, poichè è la matrice del cambiamento di base tra due basi ortonormali: ( M = 1 1 se (x, y e (x, y sono le coordinate rispettivamente nella base {e 1, e } e nella base {v 1, v } si ha: ( ( x = y 1 1 (x ( ( x = y y ; 1 In questo modo è definita un affinità f di equazioni: { 1 (x y x = 1 x + y y = x + y Notiamo che f è la rotazione di angolo π (in senso orario e centro l origine. L isometria f trasforma D nella conica f(d di equazione: (x + (y x + 1 = Allo scopo di eliminare il termine a 1 x, applichiamo il metodo del raccoglimento dei quadrati: (x + (y x + 1 = [(x x + 1] + (y = (x 1 + (y + =. Quindi se applichiamo a f(d la traslazione t: { x = x 1 y = y si ottiene la conica D = t(f(d di equazione:

6 (x + (y + = avente assi coincidenti con gli assi di simmetria x e y. Pertanto l isometria richiesta è la composizione della rotazione f con la traslazione t ( t f, avente equazioni: { { x = x 1 x y = y = 1 x + y 1 y = x + y. (a La matrice associata al fascio di coniche è: t t 1 t ( A t = 1 + t con A = 1 t 1 1 det(a t = 9 + t t det(a = 1 > Dal momento che det(a > t R, Γ t è un ellisse t R. (b Γ t è una conica degenere det(a t = 9 + t t =. Questa equazione di secondo grado ha discriminante negativo, per cui non esistono t R tali che det(a t =. Di conseguenza Γ t è una conica non degenere t R. (c Per quanto visto nel punto (a, Γ : x + y xy x y + 1 = è un ellisse non degenere; stabiliamo se si tratta di un ellisse a punti reali o di un ellisse a punti non reali. La matrice associata Γ è: A = Notiamo che: D 1 = 1 >, ( D 1 = >, D 1 = 9 < 1 1 Ne segue che la matrice A non è nè definita positiva (poichè D <, nè definita negativa (poichè D >. Pertanto la segnatura di A sarà necessariamente (, 1 o (1,. Di consguenza Γ è un ellisse a punti reali; pertanto la forma canonica D ad essa affinemente equivalente è: x + y = 1 6

7 6. (a L equazione generale di una conica di P R è: a 11 x 1 + a 1 x 1 x + a x + a 1 x x 1 + a x x + a x = Ricaviamo l equazione della conica proiettiva C cercata, imponendo il passaggio per i punti P 1, P, P, P, P. Otteniamo, in questo modo, il seguente sistema nelle incognite a 11, a 1, a, a 1, a, a : a = a 11 = a + a + a = 9a a 1 + a = a 11 + a 1 + a + a 1 + a + a = a = a 11 = a = a a 1 = 1 6 a a 1 = 1 a La conica cercata ha pertano equazione: a = a 11 = a = a a 1 = 1 6 a 1 + a + a 1 a = 1 a x 1 x + a x + a x x 1 a x x = Ricordiamo che l equazione di una curva algebrica di P R è F (x, x 1, x = dove F è un polinomio omogeneo di secondo grado di R[x, x 1, x ] definito a meno di un fattore di proporzionalità di R\ {}. Pertanto nel nostro caso, attribuendo un valore arbitrario ad a, otteniamo un particolare rappresentante della classe di proporzionalità; quindi, posto ad esempio a = 6 otteniamo che l equazione della conica richiesta è: x 1 x + 6x + x x 1 6x x = (b La matrice associata alla conica è: A = Sappiamo che una conica proiettiva è degenere se det(a =, non degenere altrimenti; in particolare (nel caso in cui sia degenere sarà semplicemente degenere se r(a =, doppiamente degenere se r(a = 1. Poichè nel nostro caso det(a = 1 C è non degenere. Per determinarne la forma canonica rimane da stabilire se si tratta di una conica a punti reali o di una conica a punti non reali; per far ciò determiniamo la segnatura della matrice A: in caso di segnatura (1, o (, 1 sarà una conica a punti reali, altrimenti se la segnatura è (, o (, sarà una conica a punti non reali. 7

8 Troviamo la segnatura di A applicando alla forma bilineare b (avente matrice A il metodo induttivo, in modo da ottenere una base b- diagonalizzante. e è un vettore non isotropo. Pertanto v 1 = e costituirà il primo vettore della base nostra diagonalizzante: Allora R = v 1 v 1, dove v1 = (x, y, z R ( 1 x 1 y = = 1 6 z = { (x, y, z R x y + 6z = } v = (,, 1 v 1 e b( v, v = 6, cioè v è non isotropo. Pertanto v costituirà il secondo vettore della nostra base diagonalizzante e si avrà: R = v 1, v { v 1, v } A questo punto rimane da trovare v { v 1, v } = v 1 v. v = (x, y, z R ( 1 x 1 y = = { (x, y, z R x = y } 1 6 z Pertanto { v 1, v } = { (x, y, z R x y + 6z = e x = y }. v = (,, { v 1, v } e b( v, v = 1, cioè v è non isotropo. Pertanto { v 1, v, v } è una base diagonalizzante per A. Sia P = 1 1 la matrice del cambiamento di base dalla base { v 1, v, v } alla base canonica; in base { v 1, v, v } la forma bilineare b ha matrice diagonale B (congruente ad A: 6 B = t P AP = 6 1 che ha segnatura (, 1. Anche A avrà dunque segnatura (, 1. Pertanto la conica C è non degenere a punti reali ed è quindi proiettivamente equivalente alla forma canonica D : x + x 1 x = (c Ricordiamo che una proiettività di P R è un isomorfismo di P R in se 8

9 stesso, definita dalle equazioni: x x 1 x = αm x x 1 x, con M GL (R e α R\ {} Pertanto una proiettività che trasformi la conica C nella sua forma canonica D è quella associata a una matrice M tale che A = t MAM, dove 1 A = 1 1 Nel punto (b abbiamo visto che in base { v 1, v, v } la forma bilineare 6 b associata ad A ha matrice B = 6. 1 Allora, se d ii = b( v i, v i è l elemento i-esimo della diagonale, posto w i = vi, i = 1,,, in base { w 1, w, w } b ha matrice dii A = Pertanto definita M la matrice del cambiamento di base dalla base { w 1, w, w } alla base canonica: M = , se (x, x 1, x e (x, x 1, x sono le coordinate rispettivamente nella base canonica e nella base { w 1, w, w } si ha: si ha: x x 1 x = αm x x 1 x e di conseguenza le equazioni delle proiettività cercata sono: x x = α 1 M 1 x 1 x x 1 x 7. (i Le coniche cercate hanno due punti impropri distinti (cioè Q 1 e Q : dunque sono necessariamente iperboli. Poichè sono semplicemente degeneri, sono spezzate in due rette r 1, r, aventi direzione date dai punti impropri, cioè rispettivamente r 1 = (, 1 e r = (1, 1. 9

10 Poichè il vettore AB = (, non è parallelo né a r1 né a r, allora risulta: A r 1 e B r oppure A r e B r 1. In tal modo si ottengono esattamente due coniche: C 1 = S(A, r 1 S(B, r e C = S(A, r S(B, r 1 dove S(P, v indica la retta affine passante per P e avente giacitura v. (ii Le rette S(A, r 1 e S(B, r hanno rispettivamente equazioni: x y = e x + y = Le rette S(A, r e S(B, r 1 hanno rispettivamente equazioni: Pertanto C 1 ha equazione mentre C ha equazione x + y = 1 e x y = (x y (x + y =, (x + y + 1(x y =. (iii Trattandosi di coniche (a centro degeneri, esse hanno centro nell intersezione delle due rette componenti. Pertanto il centro P 1 della conica C 1 è dato dalla soluzione del seguente sistema: { x y = P x + y = 1 = ( 11,. Analogamente il centro P della conica C è ottenuto risolvendo il seguente sistema: { x + y = 1 P x y = = ( 1,. 1