Salvo avviso contrario V denota un k-spazio spazio vettoriale (di dimensione finita).

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1 a.a FORME BILINEARI Salvo avviso contrario V denota un k-spazio spazio vettoriale (di dimensione finita). Data una base F = {f 1,..., f n } di V = v, w V si ha v = n x i f i, w = n y i f i con x i, y i k univocamente determinati. Definizione 0.1. Un applicazione b : V V k è una forma bilineare (in breve f.b.) se è lineare rispetto a ciascuno degli argomenti ossia: v, w, v, w V, λ k b(v + v, w) = b(v, w) + b(v, w) b(v, w + w ) = b(v, w) + b(v, w ) b(λv, w) = λb(v, w) = b(v, λw). È una f.b. simmetrica se b(v, w) = b(w, v), f.b. antisimmetrica se b(v, w) = b(w, v) 1. Esempio 0.. Data A M n (k), definendo b A : k n k n k via b A (x, y) = t xay, si ottiene una f.b. per le proprietà del prodotto righe per colonne di matrici. Se A = I n b In (x, y) = t xi n y, è t x y = n x i y i è detta f.b. standard di k n. Definizione 0.3. Data una base F di V, se b : V V k è una f.b., la matrice di b rispetto a F è A = (a ij ) M n (k) definita da b(f i, f j ) := a ij, 1 i, j n. Viceversa, se A = (a ij M n (k) la f.b. associata ad A rispetto a F è b F A (v, w) := t xay. Osservazione ) Essendo b F A (w, v) = t yax ed essendo b(v, w) k, ossia t b(v, w) = b(v, w) per ogni f.b. b, e t b F A (v, w) = t y t Ax si ha b F A (v, w) = bf A (w, v) se e solo se A è simmetrica. Analogamente per il caso antisimmetrico. ) Complessivamente, abbiamo visto che, fissata la base F, associando a una f.b. b la sua matrice rispetto a F si ottiene una c.b.u. (dipendente da F ) tra l insieme Bil(V ) delle f.b. su V ed M n (k) che associa matrici simmetriche a f.b. simmetriche e matrici antisimmetriche a f.b. antisimmetriche. Proposizione 0.5. Siano F = {f 1,..., f n }, G = {g 1,..., g n } due basi di V e b : V V k una f.b., con A = (a ij ) = (b(f i, f j )) M n (k) B = (b ij ) = (b(g i, g j )). Se v = n x i f i = n x i g i e w = n y i f i = n y i g i si ha b(v, w) = t xay = t x By, posto M = MG F, si ha anche x = Mx, y = My = t xay = t (Mx )AMy = t x t MAMy = B = t MAM 1 b è antisimmetrica b(v, v) = 0k infatti se è antisimmetrica risulta b(v, v) = b(v, v) = 0 k se invece b(v, v) = 0 k si ha 0 k = b(v + w, v + w) = b(v, v) + b(v, w) + b(w, v) + b(w, w) ossia b(v, w) = b(w, v). np P Essendo v = x i f i, w = n y i f i si ha b(v, w) = P n x i y j b(f i, f j ) = t xay. i,j=1 1

2 FORME BILINEARI e quindi A = ( t M) 1 BM 1. Definizione 0.6. Due matrici A, B M n (k) sono congruenti se esiste M Gl n (k) tale che B = t MAM. La congruenza è una relazione di equivalenza in M n (k). Due matrici A, B M n (k) rappresentano la stessa f.b. su V se e solo se sono congruenti. Pertanto la caratteristica di una matrice che rappresenta una f.b. b non dipende dalla base scelta ed è detta rango di b. Definizione ) Una f.b. b di rango n = dim k V è detta non degenere. ) Dati una f.b.s. b su V e un vettore v V, un vettore w V è ortogonale a v (rispetto a b) se b(v, w) = 0 k. Osservazione 0.8. Dati una f.b.s. b su V e un sottinsieme S V (in particolare un sottospazio) S b S b := {w V : b(v, w) = 0, v S} è un sottospazio di V infatti w, w Sb, λ k si ha: b(v, w + w ) = b(v, w) + b(v, w ) = 0 k + 0 k = 0 k b(λv, w) = λb(v, w) = 0 k. Definizione ) S è detto spazio ortogonale a S (rispetto a b), se S = {v} si scrive semplicemente v. ) Due sottospazi U, W V sono ortogonali se U W (o per simmetria W U ). 3) V è detto radicale di V. Osservazione ) V = (0 V ) se e solo se b è non degenere. Siano F = {f 1,..., f n } una base di V e A M n (k) la matrice di b rispetto a F se ρ(a) = n e x 0 k n è il vettore delle coordinate di 0 V v V rispetto a F si ha t xa (0,..., 0) = y k n tale che t xay 0 k = il vettore w V di coordinate y rispetto a F è tale che b(v, w) 0 k ; viceversa se 0 k n x y k n tale che t xay 0 k necessariamente A ha rango n. Ossia, b è non degenere se e solo se per ogni 0 V v V esiste w V tale che b(v, w) 0 k o, equivalentemente, se e solo se per ogni 0 V w V esiste v V tale che b(v, w) 0 k e quindi la tesi. Definizione Un vettore v V è isotropo rispetto a una f.b.s. b se v v ossia b(v, v) = 0 k. Osservazione ) 0 V è isotropo per ogni f.b.s. ) Se v V è isotropo e λ k, essendo b(λv, λv) = λ b(v, v) = λ 0 k = 0 k, il sottospazio L(v) è costituito da vettori tutti isotropi. Definizione Uno spazio vettoriale U con dim k U =, h f.b.s. non degenere e 0 U u U vettore isotropo è detto piano iperbolico (e. h è detta forma iperbolica). Osservazione Un piano iperbolico (U, h) possiede una base F = {f 1, f } formata da vettori isotropi tali che h(f 1, f ) = 1 k. Per ipotesi esiste 0 U u U vettore isotropo, quindi possiamo scegliere f 1 = u, essendo h non degenere

3 FORME BILINEARI 3 esiste v U tale che h(f 1, v) 0 k = {f 1, v} è libero 3 ed f = 1 h(f v soddisfa 1,v) h(f 1, f ) = 1 k. Il vettore f := f h(f,f )f1 soddisfa h(f, f ) = h(f, f ) h(f,f ) h(f 1, f ) h(f,f ) h(f 1, f ) + h(f,f ) 4 h(f 1, f 1 ) = 0 k e quindi insieme a f 1 fornisce la base richiesta. Definizione Una base di un piano iperbolico (U, h) come in Osservazione 0.14 ( è detta ) iperbolica e la matrice associata ad h rispetto a una base iperbolica è Esempio )h(x, y) = x 1 y + x y 1 è una forma iperbolica e la base canonica è iperbolica. ) k(x, y) = 1 x 1y 1 1 x y ( è una forma iperbolica e la matrice associata ad k 1 ) rispetto alla base canonica è Trovare una base iperbolica per k. Se v V è non-isotropo (anisotropo) rispetto a una f.b.s. b, posto w V, a v (w) := b(v, w) b(v, v) k, si ha b(v, w a v (w)v) = 0 k, ossia w a v (w)v v. Inoltre, siccome w = a v (w)v + (w a v (w)v) si ha V = L(v) v (infatti poiché v è anisotropo si ha L(v) v = (0 V ). Definizione ) Il coefficiente di Fourier di w V rispetto a un dato v V 4 è a v (w). ) Una base ortogonale (o dualizzante) per (V, b) è una base F = {f 1,..., f n } costituita da vettori a due a due. Osservazione F = {f 1,..., f n } è una base ortogonale (ossia b(f i, f j ) = 0 k i j) se e solo se la matrice A = (b(f i, f j )) è diagonale, nel qual caso se v = n x i f i, w = n y i f i = b(v, w) = n a ii x i y i. n.b. se F = {f 1,..., f n } è b.o. per (V, b) anche F = {λ 1 f 1,..., λ n f n } è tale λ 1,..., λ n k, ossia se esiste b.o. essa non è unica. Definizione Data una f.b.s. b : V V k, ponendo q b (v) := b(v, v) si definisce un applicazione q b : V k detta forma quadratica associata a b. Esempio 0.0. Se b è la f.b.s.s. su k n, b(x, y) = n x i y i la f.q. associata, detta f.q. standard (f.q.s.), è q(x) = n x i. Proposizione 0.1. Data una f.b.s. b : V V k, la f.q. associata q soddisfa: 1) q(λv) = λ q(v) ) b(v, w) = q(v + w) q(v) q(w). 3 Se fosse v = λf1 per qualche λ k si avrebbe h(f 1, v) = λh(f 1, f 1 ) = λ0 k = 0 k. 4 Definito solo se v è anisotropo.

4 4 FORME BILINEARI Prova. Per definizione q(λv) = b(λv, λv) = λ b(v, v) = λ q(v); q(b + w) q(v) q(w) = b(v + w, v + w) b(v, v) b(w, w) = b(v, v) + b(v, w) + b(w, v) + b(w, w) b(v, v) b(w, w) = b(v, w) (essendo b simmetrica). Inoltre se F = {f 1,..., f n } è una base di V, v = n x i f i e A = (a ij ) = (b(f i, f j ))= t A M n (k) è la matrice di b rispetto a F si ha q(v) = t xax = n a ij x i x j = q(v) = Q(x) con Q(X) = n a ij X i X j forma quadratica nelle i,j=1 i,j=1 indeterminate X 1,..., X n e Q(X) = t XAX con A = (a ij ) M n (k) matrice simmetrica. Teorema 0.. Data una f.b.s. b qualsiasi esiste una base diagonalizzanate per b (o, equivalentemente, una qualsiasi A = (a ij ) M n (k) matrice simmetrica è congruente a una matrice diagonale). Prova. Per induzione su n = dim k V, se n = 1 non c è niente da dimostrare. Supponiamo allora n e di avere dimostrato che ogni f.b.s. su uno spazio di dimensione n 1 ammette base diagonalizzante. Se b è la forma nulla, essendo la matrice nulla diagonale, non c è nulla da dimostrare. Supponiamo dunque b 0 ossia che v, w V tali che b(v, w) 0. Proviamo innanzi tutto che almeno uno fra v, w, v + w è anisotropo, infatti, se v, w sono entrambi isotropi si dimostra che 0 b(v + w, v + w) = b(v, v) + b(v, w) + b(w, w). Sia f 1 V un vettore anisotropo (ossia tale che b(f 1, f 1 ) 0), cosicché V = L(f 1 ) f1, in particolare dim k f1 = n 1 e vale l ipotesi induttiva per la f.b.s. b indotta da b su f1 che quindi possiede base diagonalizzante {f,..., f n }. Allora F = {f 1, f,..., f n } è base per V per ipotesi {f,..., f n } è libero e, essendo f 1 anisotropo, f 1 / L({f,..., f n }) = f1. Vale inoltre b(f i, f j ) = δ ij giacché b(f 1, f i ) = 0, i n essendo f i f1, i n e anche b(f i, f j ) = b (f i, f j ) = δ ij, i, j n, ossia F è base diagonalizzante per b. Teorema 0.3. Se il campo base k è algebricamente chiuso 5, data ( una f.b.s. ) b Ir O qualsiasi esiste una G tale che la matrice di b rispetto a G sia D = O O con r= rango di b, O M r,n r (k), O M n r,r (k), O M n r (k),(o, equivalentemente, una qualsiasi A = (a ij ) M n (k) matrice simmetrica è congruente a una matrice diagonale come D). Prova. Chiaramente le due affermazioni sono equivalenti. Dal Teorema 0. sappiamo che esiste base F = {f 1, f,..., f n } diagonalizzante per b, sia essa A = a a Salvo riordinare F, possiamo supporre r a ii 0, a nn r n e 0 = a r+1r+1 = = a nn. Siano α 1,..., α r k tali che αi = a ii, 1 i r (questi esistono essendo k algebricamente chiuso), ponendo g i := α 1 i f i, 1 i r e g r+j := f r+j, 1 j n r, si ottiene una b.o. G per cui vale: b(g i, g i ) = b(α 1 i f i, α 1 i f i ) = α i b(f i, f i ) = α i a ii = 1, 1 i r. 5 In particolare se k = C.

5 FORME BILINEARI 5 Teorema 0.4 (Sylvester). Se k = R esiste p N, p r = rango di b 6 e una base G = {g 1, g,..., g n } di V tale che la matrice di b rispetto a G sia I p ( ) D = 0 I r p (o, equivalentemente, una qualsiasi A = (a ij ) M n (R) matrice simmetrica è congruente a una matrice diagonale ( ) come sopra con r e p dipendenti solo da A). Prova. Chiaramente le due affermazioni sono equivalenti. Dal Teorema 0. sappiamo che esiste base F = {f 1, f,..., f n } tale che per ogni v = risulti q(v) = n a ii x i n x i f i V (n.b. il numero dei coefficienti a ii 0 è uguale al rango r di b e quindi dipende solo da b). Salvo riordinare F possiamo supporre e che a 11,..., a pp > 0 per qualche p r e quindi α 1,..., α r R tali che α i = a ii, 1 i p, (α p+j ) = a p+jp+j, 1 j r p. r a ii 0 Come nel Teorema 0.3 si verifica che, rispetto alla base G : g i := fi α i, 1 i r, g r+j := f r+j 1 i n r, la matrice di b è della forma voluta, pertanto risulta n ( ) q(v) = x x p x p+1 + x r, v = x i g i V. Proviamo infine che p dipende solo da b e non dalla base G, supponiamo che rispetto a un altra base H = {h 1, h,..., h n } risulti n ( ) q(v) = z1 + + zt zp+1 + zr, v = z i h i V. Se t p (supponiamo per esempio t < p) siano U := L({g 1,..., g p }), W := L({h t+1,..., h n }) essendo dim R U + dim R W = p + n t > n per il lemma di Grassmann risulta U W (0 V ), ossia, 0 V v U W per cui vale p n t v = x i g i = z t+j h j. Essendo 0 V v, risulterebbe quindi sia q(v) > 0 che q(v) < 0 dunque deve essere necessariamente t = p. Definizione ) La ( ) é detta forma canonica della forma quadratica q, p è detto indice di positività di q ed r p è detto indice di negatività di q, infine la coppia (p, r p) è detta segnatura di q. ) Una f.q. definita su un R-spazio vettoriale V è: - definita positiva se q(v) > 0 v V \ {0 V }, - definita negativa se q(v) < 0 v V \ {0 V }, - semidefinita positiva se q(v) 0 v V, - semidefinita negativa se q(v) 0 v V, -indefinita se non è né semidefinita positiva né semidefinita negativa. 6 n.b. p dipende solo da b e non dalla base scelta. j=1

6 6 FORME BILINEARI Osservazione ) La forma canonica (risp. la segnatura) di una f.q. reale è: - x x n (risp. (n, 0)) se q è definita positiva, - x 1 x n (risp. (0, n)) se q è definita negativa, - x x r, 0 r n (risp. (r, 0)) se q è semidefinita positiva, - x 1 x r, 0 r n (risp. (0, r)) se q è semidefinita negativa, - x x p x p+1 x r, 0 r n (risp. (p, r p)) se q è indefinita. Per le matrici simmetriche reali si ha un risultato analogo. ) Il teoreme di Sylvester dice che in ogni classe di congruenza di matrici simmetriche reali è contenuta un unica matrice diagonale del tipo ( ) e che le matrici di questo tipo costituiscono un insieme completo di rappresentanti delle classi di congruenza di matrici simmetriche reale di ordine dato. Le f.b.s. definite positive sugli spazi vettoriali reali sono importanti nella geometria euclidea (permettono di introdurre tutte le nozioni di natura metrica). Altri tipi di f.b.s. sono importanti in geometria e fisica. Esempio ) Lo spazio euclideo n-dimensionale è (R n, f.q.s.). )In R 4 la forma quadratica λ(x 1, x, x 3, x 4 ) = x 1 + x + x 3 x 4 è detta forma di Minkowski (è non degenere, indefinita, di segnatura (3, 1)). La coppia (R 4, λ) è detta spazio di di Minkowski e interviene nella relatività ristretta.