Forme bilineari e prodotti scalari

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1 Forme bilineari e prodotti scalari Avvertenza: Gli argomenti che esponiamo brevemente in queste note sono tutti trattati in maggior dettaglio nel capitolo del libro di testo Abate De Fabritiis. Nel corso copriremo solo parte di quel materiale e con un ordine degli argomenti leggermente diverso. Per questo motivo forniamo queste note non esaustive, che vanno intese come una guida schematica alla lettura del testo. Forme bilineari Definizione. Consideriamo due vettori u = (u,..., u n ) t, v = (v,..., v n ) t R n. Definiamo il loro prodotto scalare standard u, v R n = v t u = u v u n v n () dove il prodotto dei due vettori è il prodotto riga per colonna. Spesso, se non ci sarà rischio di confusione indicheremo il prodotto scalare standard con. Il prodotto scalare standard di R n, scegliendo assi cartesiani ortogonali e identificando i versori di quegli assi con la base canonica di R n, coincide con il prodotto scalare geometrico definito come il prodotto delle lunghezze di due vettori per il coseno dell angolo compreso. In queste note generalizzeremo questa nozione. Definizione 2. Sia V uno spazio vettoriale. Una forma bilineare su V è un applicazione α : V V R che verifica le seguenti proprietà: dati u, v, w V, k R a) α(u + v, w) = α(u, w) + α(v, w) b) α(ku, v) = kα(u, v) c) α(u, v + w) = α(u, v) + α(u, w) d) α(u, kv) = kα(u, v) Le quattro proprietà si possono riassumere dicendo che α è lineare in entrambe le variabili. Se inoltre si ha u, v V α(u, v) = α(v, u) diciamo che α è una forma bilineare simmetrica. Si verifica facilmente che il prodotto scalare standard di R n è una forma bilineare simmetrica.

2 Esempio. Sia V = R n, A Mat(n) una matrice, possiamo definire una forma bilineare α A ponendo α A (u, v) = v t Au. La bilinearità segue dal fatto che il prodotto di matrici (a destra e a sinistra è lineare). Prendendo A = I, la matrice identità, abbiamo il prodotto scalare standard di R n. D altra parte, una volta scelta una base, possiamo rappresentare qualsiasi forma bilineare con una matrice, poichè, come nel caso delle applicazioni lineari, una forma è determinata in maniera unica dai valori che assume su una base di V, più precisamente sulle coppie di elementi di una base. Proposizione 3. Sia V uno spazio vettoriale, B = {u,..., u n } una base di V. a ij R, i =,..., n j =,..., n, allora esiste un unica forma bilineare α : V V R, tale che α(u j, u i ) = a ij. dim: Se v = x u +... x n u n, w = y u y n u n sono vettori di V, definiamo α(w, v) =x (a y a n y n ) x n (a n y a nn y n ) = =x y a + x y 2 a x y n a n +... x n y a n +... x n y n a nn = n = x i y j a ij = x t Ay i,j= L applicazione α è una forma bilineare poichè le coordinate sono lineari, dunque se v ha coordinate x rispetto a B α(v + v, w) = (x + x ) t Ay = x t Ay + (x ) t Ay e le altre proprietà si verificano in modo analogo. Inoltre poichè le coordinate dei vettori u i, u j rispetto alla base B sono date rispettivamente dai vettori della base canonica e i, e j abbiamo che α(u j, u i ) = e t i Ae j = a ij. Per mostrare l unicità supponiamo che β sia una forma bilineare tale che β(u j, u i ) = a ij per i, j =,... n. Allora applicando la linearità nella seconda variabile β(w, v) = β(w, x u +... x n, u n ) = x β(w, u ) +... x n β(w.u n ) e, applicando la linearità nella prima variabile a ciascun addendo, otteniamo β(w, v) = x β(y u +... y n u n, u ) +... x n β(y u +... y n u n.u n ) = x y β(u, u ) x y n β(u n, u ) x n y n β(u n, u n ) = x t Ay visto che β(u j, u i ) = a ij. Dunque β(w, v) = α(w, v). 2

3 Osservazione 4. La notazione usata in queste note, non è l unica possibile: in effetti si può anche usare la convenzione (nel caso di R n ) α(x, y) = x t Ay. La scelta è stata fatta per seguire il libro di testo. Comunque nel caso delle forme simmetriche, α(x, y) = α(y, x) e non c è differenza tra le due scelte. Definizione 5. Se α : V V R è una forma bilineare, B = {u,..., u n } una base di V la matrice associata ad α rispetto alla base B è la matrice con coefficienti a ij = β(u i, u j ). Esempio 2. La matrice del prodotto scalare standard di R n rispetto alla base canonica è l identità infatti { se i = j e t je i = δ ij := 0 se i j (δ ij così definita si chiama simbolo di Kronecker). Consideriamo ora una la base B di R 2 data dai vettori u = (2, ) t, u 2 = (, ) t. Abbiamo u, u = 5, u, u 2 = u 2, u = 3, u 2, u 2 = 2, dunque la matrice del prodotto standard rispetto a questa base è ( ) 5 3 A =. 3 2 Il vettore (x, y) t R 2 ha coordinate (x y, 2y x) rispetto a B, dunque il calcolo del prodotto standard dei vettori (a, b) t, (c, d) t usando la matrice A è ( ) a b (c d, 2d c)a = ac + bd 2b a Possiamo anche fare lo stesso calcolo usando la bilinearità: ( ( ( ( 2 2 (a b) + (2b a), (c d) + (2d c) = ) ) ) ) ( ( ( ( ( ( =(c d) (a b) + (2b a), + (2d c) (a b) + (2b a), = ) ) ) ) ) ) ( ( ( ( ( ( ( ( =(c d)(a b), + (c d)(2b a), + (2d c)(a b), + (2d c)(2b a), = ) ) ) ) ) ) ) ) =(a b)(c d)5 + ((c d)(2b a) + (2d c)(a b))3 + (2d c)(2b a)2 = ac + bd Proposizione 6. Data una forma bilineare α : V V R, sia A la sua matrice associata rispetto a una base B e sia B un altra base di V. Allora la matrice associata ad α rispetto a B è la matrice A = ( B M B ) t A B M B, dove B M B, qui per brevità M, è la matrice di passaggio da B a B dim: La dimostrazione è simile a quella vista per le applicazioni lineari: se v i, v j sono due vettori della base B, le loro coordinate rispetto a B sono i vettori e i, e j, mentre le loro cordinate rispetto a B sono i vettori Me i, Me j, le colonne i e j di M. Allora calcolando α(v i, v j ) nelle coordinate rispetto alla base B, detti m ij i coefficienti di M e a ij quelli abbiamo a ij = α(v i, v j) = (Me j ) t AMe i = e t jm t AMe i = e t j(m t AM)e i = (M t AM) ij. 3

4 Quindi il coefficiente i, j della matrice A è il coefficiente i, j della matrice M t AM. La relazione tra matrici che rappresentano la stessa forma bilineare rispetto a basi diverse si chiama congruenza. Definizione 7. Siano A, B Mat(n) due matrici quadrate. congruente ad A se esiste una matrice invertibile M tale che B si dice B = M t AM Esercizio. Dimostrare che a) La congruenza di matrici è una relazione di equivalenza. b) Matrici congruenti hanno lo stesso rango Esempio 3. Sia V lo spazio delle funzioni continue su un intervallo (a, b), o più semplicemente lo spazio dei polinomi R n [x] (dove però la forma dipende dalla scelta di un intervallo di integrazione; in queste note possiamo supporre a = 0, b = ) Possiamo definire una forma bilineare simmetrica f, g = b a f(x)g(x)dx. Per chi non ha visto gli integrali, si può definire sulla base canonica di R n [x] b a x k dx = k + (bk+ a k+ ) e poi estendere per linearità. In generale, per calcolare b a f(x)dx si trova una qualsiasi funzione F (x) tale che df dx = f(x) e si calcola F (b) F (a). Poichè due funzioni che hanno la stessa derivata differiscono per una funzione (localmente) costante, la differenza non dipende dalla particolare F scelta. La forma bilineare così definita si chiama prodotto scalare L 2 ed è molto importante in analisi. Se prendiamo V = R 3 [x] calcoliamo la matrice di questa forma:, = 0 dx =,, x = 0 xdx = 2,, x2 = 3, x, x = /3, x, x 2 = /4, x 2, x 2 = /5, quindi la matrice della forma bilineare rispetto alla base canonica di R 3 [x] è A = Se prendiamo come base B di V i polinomi, 2x, 6 x+x2 possiamo usare la matrice A per calcolare rapidamente tutti i prodotti scalari che servono

5 per calcolare la matrice di, rispetto a questa base e troviamo la matrice 0 0 B = Si può verificare per esercizio che se M è la matrice di passaggio dalla base canonica a B abbiamo M t AM = B. Prodotti scalari È chiaro che forme bilineari simmetriche hanno come matrice associata rispetto a una qualsiasi base una matrice simmetrica. D ora in poi ci limiteremo a considerare forme bilineari simmetriche. Queste hanno anche un altro nome: Definizione 8. Una forma bilineare simmetrica si dice anche prodotto scalare. Definizione 9. Sia α : V V R una forma bilineare simmetrica. la forma quadratica associata ad α, q α : V R si definisce come q α (v) = α(v, v) Il nome forma quadratica deriva dal fatto che una volta scelta una base B di V, possiamo rappresentare una forma bilineare α con una matrice A e allora q α (v) è un polinomio omogeneo di grado 2 nelle coordinate (x,..., x n ) t di v rispetto a B: p α (v) = α(v, v) = x t Ax = n n n x i ( a ij x j ) = a ij x i x j i= j= ij= Osservazione 0. Gli insiemi delle forme bilineari simmetriche e delle forme quadratiche su V sono due spazi vettoriali (esercizio) isomorfi in quanto isomorfi (sebbene in un modo che dipende dalla scelta di una base) allo spazio delle matrici simmetriche di ordine la dimensione di V (esercizio). L isomorfismo però non dipende dalla scelta di una base: come abbiamo visto alla forma bilineare α associamo la forma quadratica q α ; l inversa è data dalla formula di polarizzazione, che data una forma quadratica q definisce una forma bilineare α q α q (u, v) = (q(u + v) q(u) q(v)) 2 Definizione. Sia α : V V Diciamo che α è R un forma bilineare simmetrica. Degenere se u V v V α(u, v) = 0 5

6 Definita positiva (negativa) se u V u 0 α(u, u) > 0 (< 0) Semidefinita positiva (negativa) se u V α(u, u) 0 ( 0) Indefinita se esistono v, w V tali che α(v, v) > 0, α(w, w) < 0, ossia α non è definita positiva o negativa. La stessa terminologia si usa anche per le forme quadratiche. Definizione 2. Sia α : V V R un prodotto scalare. Il nucleo o radicale di α è V = {u V v V, α(u, v) = 0} Inoltre (anche se queste definizioni si usano soprattutto nel caso di prodotti scalari definiti positivi), diciamo che due vettori u, v V sono ortogonali se α(u, v) = 0, e se U V è un sottospazio il complemento ortogonale di U (rispetto ad α è U = {v V u U, α(u, v) = 0} Nell esempio (3) abbiamo calcolato una base ortogonale (per il prodotto scalare L 2 ) di R 3 [x] Teorema 3. Sia α : V V R un prodotto scalare. Allora α è degenere se e solo se la matrice di α rispetto a una base qualsiasi di V non ha rango massimo. dim: Sia A la matrice associata rispetto a una base B = {v,..., v n } di V. Supponiamo che il rango di A non sia massimo. Allora esiste un vettore di R n, c = (c,..., c n ) t 0 tale che Ac = 0, quindi per qualsiasi v V, posto u = c v + + c n v n, se b R n è il vettore delle coordinate di v rispetto a B, abbiamo α(u, v) = b t Ac = b t 0 = 0. Viceversa supponiamo che u = c v + + c n v n V, u 0. Allora α(u, v i ) = (e i ) t Ac = 0 i =,..., n. Dunque ogni componente del vettore Ac è zero, visto che se a = (a,..., a n ) t R n, allora (e i ) t a = a i. Dunque Ac = 0 e c 0, quindi A non ha rango massimo. 2 Esempio 4. La forma con matrice A = ( 2 ) rispetto alla base canonica di R 2 è definita negativa: il determinante è 3 (quindi n.b. il determinante è positivo, ma la forma è definita negativa), quindi la forma è non degenere. Calcolando ( ) ( ) ( ) 2 a 2a + b (a, b)( ) = (a, b)( ) = 2(a 2 +ab+b 2 ) = ((a+b) 2 +a 2 +b 2 ) 2 b a + 2b 6

7 che è sempre minore di zero se (a, b) non è il vettore nullo. Calcoliamo la matrice della stessa forma α rispetto alla base u = (, 0), u 2 = (, 2): abbiamo α(u, u 2 ) = α(u 2, u ) = 0 α(u, u ) = 2 α(u 2, u 2 ) = 6 dunque la matrice rispetto a questa base è la matrice A = ( ). Possiamo anche verificare che detta M la matrice di passaggio dalla base canonica alla base u, u 2 abbiamo A = M t AM. Esempio 5. Consideriamo ora la forma α con matrice rispetto alla base canonica A = ( 0 0 ). In questo caso per i vettori e i della base canonica α(e i, e i ) = 0 e il determinante non è zero, quindi la forma non è degenere. Come trovare una base con vettori su cui la forma quadratica associata non è nulla? Abbiamo α(e, e 2 ) =, dunque ( ) ( ) α(e +e 2, e +e 2 ) = (, )A = 2, α(e e 2, e e 2 ) = (, )A = 2 Se M è la matrice di passaggio abbiamo M t AM = ( ). Esercizio. Si dimostri che se α : V V R è indefinita, allora esiste un vettore v 0 tale che α(v, v) = 0. Esempio 6. Consideriamo la forma bilineare α con matrice rispetto alla base canonica 0 A = 0 2 La matrice ha rango 2, quindi la forma è degenere. Come si capisce dalla dimostrazione del teorema (3), il radicale V è il nucleo dell applicazione lineare con matrice canonica A, dunque in questo caso è generato dal vettore (,, ) t. Rispetto alla base (, 0, 0) t, (0,, 0) t, (,, ) t la forma ha come matrice 0 0 A = e come nell esempio precedente rispetto alla base (,, 0) t, (,, 0) t, (,, ) t la matrice è ancora diagonale A = In effetti abbiamo il seguente teorema 7

8 Teorema 4. Data una forma bilineare simmetrica α : V V R esiste una base B = {u,..., u n } di V tale che la matrice associata ad α rispetto a B sia diagonale con i primi p elementi della diagonale uguali a, i successivi q elementi della diagonale uguali a e gli ultimi n p q elementi nulli. Per il momento non dimostriamo il teorema che dimostreremo in seguito come conseguenza di un altro teorema, il teorema spettrale. D altra parte una dimostrazione diretta può essere data utilizzando il procedimento visto negli esempi precedenti per trovare una base rispetto alla quale la matrice associata alla forma sia diagonale. Essenzialmente si trova una base di V, u,..., u k e la si estende aggiungendo vettori u j, j = k +,..., n tali che si abbia α(u j, u j ) 0 e α(u i, u j ) = 0 per i < j (vedremo un procedimento simile nel caso di forme definite positive). Posto quindi { α(uj, u j ) se α(u j, u j ) > 0 a j = α(u j, u j ) se α(u j, u j ) < 0 il vettore v = aj u j avrà la proprietà che α(v j, v j ) = ±. Vediamo però che i numeri p, q non dipendono dalla base B Proposizione 5. Sia α : V V R una forma bilineare simmetrica, B una base rispetto alla quale la matrice di α è in forma di Sylvester. Allora p è la dimensione massima di un sottospazio di V sul quale la restrizione di α è definita positiva. Di conseguenza p, q non dipendono dalla base B. dim: Siano {v i }, i =,..., n i vettori di B. Allora per i p abbiamo che α(v i, v i ) =, per p + i p + q, α(v i, v i ) = e per p + q + i n, α(v i, v i ) = 0. Supponiamo che U sia un sottospazio sul quale la restrizione di α è definita positiva e supponiamo che dim U > p. Posto W = L[v p+,..., v n, abbiamo che la restrizione di α su W è semidefinita negativa. Per la formula di Grassmann n dim (U +W ) = dim U +dim W dim (U W ) > p+n p dim (U W ). Quindi, poichè la seconda diseuguaglianza è stretta dovremmo avere dim (U W ) > 0 quindi nell intersezione dovrebbe esserci un vettore non nullo. Però detto u questo vettore dovremmo avere α(u, u) > 0 visto che u U, ma anche α(u, u) 0 poichè u W. dunque p è la dimensione massima che può avere un sottospazio sul quale α sia definita positiva. Ora p + q non dipende dalla base B, poichè è il rango della matrice di α, o, in maniera equivalente, la codimensione di V, quindi q = p + q p non dipende dalla base. Definizione 6. La coppia di numeri (p, q) si dice segnatura della forma bilineare α e della forma quadratica associata. 8

9 Osserviamo che una forma è non degenere se e solo se p+q = n = dim V. Definizione 7. Un prodotto scalare definito positivo α : V V R si dice metrica. Spesso lo indicheremo con,. La radice della forma quadratica q α associata ad una metrica (dunque definita positiva) si dice norma associata alla metrica e si indica q α (v) = v 2 α Esempio 7. Vediamo una serie di esempi di metriche:. Il prodotto scalare standard di R n. Più in generale, una matrice A congruente alla matrice I definisce una metrica su R n con prodotto scalare v t Au. 2. Sia V lo spazio delle funzioni continue su un intervallo (a, b), o lo spazio dei polinomi R n [x], allora il prodotto scalare L 2 è una metrica. 3. V = R 3 [x] poniamo p, q = p( )q( ) + p(0)q(0) + p()q(). 4. Questo esempio non è una metrica, ma è importante nella teoria della relatività ristretta: in R 4 poniamo u, v = u v + u 2 v 2 + u 3 v 3 u 4 v 4 Proposizione 8. Sia, una metrica su V. i) (Disuguaglianza di Schwartz) u, v V, u, v u v ii) (Disuguaglianza triangolare) u, v V, u v u + v u + v Le dimostrazioni si trovano sul libro. Uno spazio vettoriale munito di una metrica si dice spazio metrico. In uno spazio metrico possiamo definire distanze e angoli: Definizione 9. Sia (V,, ) uno spazio metrico, u, v V. Definiamo la distanza di u, v e l angolo θ tra u e v: d(u, v) = u v cos θ = u, v u v La disuguaglianza di Schwartz implica che, come deve essere, il coseno è compreso tra e. Se identifichiamo il piano con R 2 il prodotto scalare standard induce le nozioni di distanza e angolo usuali: in effetti coincide con il prodotto scalare di vettori geometrici definito come u v = u v cos θ Le applicazioni lineari tra due spazi metrici che conservano le proprietà metriche si dicono isometrie (lineari) o trasformazioni ortogonali. Definizione 20. Siano (V,, V ), (W,, W ) spazi metrici, f : V W un applicazione lineare. Diciamo che f è una trasformazione ortogonale se u, v V, f(u), f(v) W = u, v V 9

10 Per l osservazione (0) f è un isometria se e solo se u V f(u) W = u V. Esempio 8. Se consideriamo R 2 con la metrica standard, vedremo che le trasformazioni ortogonali sono le rotazioni e le riflessioni. In generale le coordinate rispetto a una base non sono un isometria di uno spazio vettoriale V con R n con la metrica standard, ad esempio identificando la base canonica di R n [x] con la base canonica di R n abbiamo un isomorfismo ma non un isometria visto che, x L 2 0 = e, e 2. Definizione 2. Sia (V,, ) uno spazio metrico, una base ortonormale di V è una base B = {u,..., u n } tale che i, j =,..., n u i, u j = δ ij Quindi la matrice associata al una qualsiasi metrica rispetto ad una base ortonormale è la matrice identità, e le coordinate rispetto a una qualsiasi base ortonormale danno un isometria di (V,, ) con R n dotato della metrica standard. D altra parte se indichiamo con, A la forma bilineare di R n x, y A = y t Ax abbiamo visto che data una base B di uno spazio metrico (V,, ), se A è la matrice associata a, rispetto a B, x, y R n le coordinate dei vettori u, v sempre rispetto a B, abbiamo u, v = u, v A quindi le coordinate rispetto a B sono un isometria di (V,, ) con (R n,, A ). Di fatto, grazie a queste due osservazioni, possiamo lavorare in coordinate anche quando studiamo gli spazi metrici, o scegliendo una base ortonormale dello spazio V, o lavorando in R n con un opportuna metrica. Per questo motivo enunciamo queste propietà in una proposizione Proposizione 22. Sia (V,, ) uno spazio metrico. i) Se B è una base ortonormale di V, allora le coordinate rispetto a B sono un isomorfismo e un isometria di (V,, ) con R n dotato della metrica standard. ii) Se A è la matrice di, rispetto ad una qualsiasi base B di V, allora le coordinate rispetto a B sino un isomorfismo e un isometria di (V,, ) con (R n,, A ) 0