UNIVERSITÀ DEGLI STUDI DI LECCE

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1 UNIVERSITÀ DEGLI STUDI DI LECCE FACOLTÀ DI SCIENZE MM. FF. NN. Corso di Laurea in Fisica TESI DI LAUREA Studio della discriminazione γ/adroni nell esperimento ARGO-YBJ Relatore: Dott. Ivan DE MITRI Laureando: Francesco SALAMIDA Anno Accademico

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3 Sal, dobbiamo andare e non fermarci mai finché non arriviamo. Per andare dove, amico? Non lo so, ma dobbiamo andare. Jack Kerouac - Sulla Strada

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5 Indice Introduzione vii 1 Astronomia dei raggi γ di alta energia Principali fenomeni di produzione dei raggi γ di alta energia Pulsar Resti di Supernovae (SNR) Nubi Molecolari Nuclei Galattici Attivi (AGN) Gamma Ray Burst (GRB) Tecniche sperimentali della γ astronomia alle alte energie Rivelatori satellitari Rivelatori ground-based L esperimento ARGO-YBJ Obiettivi dell esperimento L apparato La struttura Le camere ad elettrodi piani resistivi (RPC) Sensibilitá di ARGO alla γ astronomia Osservazione della Crab SNR Nubi molecolari Sorgenti extragalattiche (AGN) GRB Studio degli sciami atmosferici ed analisi multiscala Sciami atmosferici Sciami elettromagnetici Sciami adronici Modelli analitici v

6 vi Indice Modello di Heitler Equazioni di trasporto Simulazioni Monte Carlo Analisi multiscala Analisi multifrattale standard Approccio differenziale all analisi multifrattale Analisi di wavelet Sistemi a piú dimensioni Skewness Simulazione degli eventi ed analisi multiscala Simulazione degli sciami Analisi multiscala Schematizzazione dell apparato Analisi del singolo evento Andamenti di τ(q) e β(q) Studio della simmetria dell immagine Discriminazione γ/h per mezzo di una rete neurale artificiale Le reti neurali Neuroni Topologia Addestramento Analisi degli eventi di ARGO tramite ANN SNNS (Stuttgart Neural Network Simulator) Topologia utilizzata Procedura di addestramento della rete Analisi dei risultati Aumento della sensibilitá del rivelatore Conclusioni 99 A Algoritmi di addestramento di una rete neurale 101 A.1 BackPropagation A.2 QuickProp A.3 RProp Bibliografia 105

7 Introduzione La fisica dei raggi cosmici si propone di studiare i fenomeni che avvengono nell Universo attraverso l esame delle proprietá delle particelle che arrivano sulla Terra. Un mezzo molto importante per studiare tali fenomeni é fornito dalla astronomia γ, ovvero dalla osservazione dei fotoni di energia superiore a 1 MeV. Infatti, i raggi γ, a differenza delle particelle cariche, non vengono deviati dai campi magnetici presenti nell Universo e, in quanto tali, forniscono chiare indicazioni sulla posizione dei siti di produzione dei raggi cosmici e sui meccanismi di accelerazione. Le prime osservazioni sono state effettuate con telescopi montati su satellite; se, peró, si vogliono rivelare fotoni con energia superiore ai 100 GeV, i satelliti non sono adatti in quanto con l aumentare dell energia diminuisce il flusso di fotoni associato. Sembra, dunque, necessario utilizzare dispositivi sperimentali molto estesi collocati al suolo; inoltre, se si vuole evitare un eccessivo assorbimento della radiazione da parte dell atmosfera ed abbassare la soglia energetica, tali apparati vanno collocati ad una quota superiore ai 4000 m. In questo tipo di ottica si pone l esperimento ARGO-YBJ nell ambito della cui collaborazione é stata svolta questa tesi. ARGO é frutto di un progetto italo-cinese ed é in fase di costruzione presso il laboratorio di raggi cosmici situato a Yanbajing (Lhasa, Tibet, Repubblica Popolare Cinese). Esso é un dispositivo a copertura totale d area posto ad una quota di 4300 m e sará formato da 1848 RPC con una superficie totale di 6000 m 2. Questa configurazione permetterá di essere sensibili a fotoni primari di energia compresa tra 100 GeV e 50 T ev. Il principale problema di un esperimento ground-based quale ARGO deriva dal fatto che le particelle primarie, interagendo con l atmosfera, producono sciami di particelle secondarie che si distribuiscono al suolo su aree dell ordine di alcuni km 2. Per fare astronomia γ é necessario distinguere tra gli sciami aventi come particella primaria un fotone e gli eventi di fondo (sciami atmosferici iniziati da adroni). Poiché il flusso dei raggi γ é φ γ φ C.R, il problema non risulta per nulla banale. A questo scopo

8 viii Introduzione é importante che l apparato sperimentale sia dotato di una sensibilitá molto grande, ossia che sia capace di distinguere tra segnale (raggi γ) e fondo (raggi cosmici) andando a cercare eccessi di eventi in una data porzione di cielo. Questa caratteristica dipende dalla risoluzione angolare dell apparato che viene direttamente influenzata dalla risoluzione temporale dei rivelatori utilizzati (vedi capitolo 1). La reiezione del fondo puó essere ulteriormente aumentata cercando di separare gli eventi generati da γ e quelli da protone classificandoli in base alle differenze intrinseche nelle immagini degli sciami viste da ARGO. Negli esperimenti che misurano la luce Čerenkov prodotta dagli sciami atmosferici, tale classificazione viene tipicamente fatta, con ottimi risultati, studiando la forma dell immagine dello sciame rivelato. In tal modo si ottiene, come si spiegherá in seguito, un aumento della sensibilitá e la conseguente riduzione del tempo di presa dati necessario a vedere una determinata sorgente. Poiché i rivelatori a copertura totale come ARGO sono di nuova generazione, non esiste una tecnica consolidata di classificazione degli sciami che permetta di discriminare il tipo di primario. L obiettivo di questa tesi é quello di supplire a questa mancanza studiando le caratteristiche dell immagine degli sciami attraverso delle simulazioni che riproducano la risposta di ARGO ai due differenti tipi di primario. A tale scopo si utilizzerá una tecnica mai usata per uno studio di questo tipo, cioé l analisi multifrattale e di wavelet. Il vantaggio di tali tecniche é di non richiedere alcuna ricostruzione dell evento; inoltre, questo tipo di analisi puó essere facilmente estendibile ad altri apparati a copertura totale d area. In particolare, nel capitolo 1 si fará una rassegna sui principali fenomeni legati alla produzione di raggi γ con uno sguardo alle tecniche sperimentali fino ad oggi impiegate per questo tipo di studi. Nel capitolo 2 si descriverá l esperimento ARGO-YBJ e si esploreranno le sue capacitá in relazione alla γ astronomia. Il capitolo 3 tratterá brevemente i modelli di sviluppo degli sciami nell atmosfera introducendo la necessitá di utilizzo delle simulazioni Monte Carlo come metodo di indagine privilegiata; inoltre, vi verranno introdotte le variabili utilizzate per l analisi multiscala. Il quarto capitolo sará interamente dedicato alla descrizione delle simulazioni effettuate ed al tentativo di caratterizzare il tipo di primario dei vari eventi attraverso lo studio degli andamenti dei momenti multifrattali, del momento di wavelet e di altri parametri. L ultimo capitolo riguarderá la descrizione della rete neurale utilizzata per aumentare il potere di separazione tra sciami da fotone e da protone; vi verrano, inoltre, descritte le implicazioni sull esperimento ARGO- YBJ dovute ai risultati trovati. Infine, nell appendice A sono brevemente descritti gli algoritmi di addestramento delle reti neurali artificiali da noi utilizzati.

9 Capitolo 1 Astronomia dei raggi γ di alta energia La radiazione cosmica incidente sull atmosfera é principalmente composta da protoni ( 90 %), particelle α ( 9 %) e altri nuclei pesanti ( 1 %), inoltre è presente una piccola frazione di elettroni (e/p 1%) e fotoni (γ/p 0.1 %). L abbondanza e la tipologia degli elementi presenti nei raggi cosmici varia, durante il cammino dalla sorgente alla Terra, a causa delle interazioni con il mezzo interstellare. Elementi quali idrogeno, elio, ferro e carbonio sono detti primari perchè prodotti in grande quantità direttamente nelle sorgenti, altri come ad esempio boro, potassio, titanio e vanadio sono detti secondari in quanto prodotti per spallazione da raggi cosmici primari. Anche se i meccanismi e i siti di produzione dei raggi cosmici sono ancora oggi questioni non completamente chiuse, è chiaro che la parte piú consistente di essi proviene da regioni della nostra Galassia lontane dal Sistema Solare e solo una piccola frazione dal Sole, mentre la componente di alta energia potrebbe avere un origine extragalattica. Lo spettro energetico differenziale osservato dei raggi cosmici può essere rappresentato in modo soddisfacente da una legge a potenza: N(E)dE = N 0 E γ de (1.1) dove E > 1 GeV per nucleone e 2.5 γ 3.0 e γ é detto indice spettrale. Al primo tratto dello spettro (vedi figura 1.1), fino a ev, corrisponde un γ 2.7, tra i ev e i ev si nota un cambiamento nella pendenza noto come il ginocchio con γ 3.0. Il ginocchio coincide con una forte riduzione del flusso che, a quelle energie, è dell ordine di una particella per

10 2 Astronomia dei raggi γ di alta energia Figura 1.1: Spettro energetico dei raggi cosmici per E > 1 GeV m 2 all anno. Questo fatto comporta difficoltà sperimentali quali i lunghi tempi di presa dati e le grandi dimensioni dei rilevatori necessari ad ottenere una statistica significativa. Nell ultima parte dello spettro a ev vi è la zona nota come caviglia caratterizzata da un flusso di 1 particella per km 2 all anno ed un valore di γ 2.5, anche se la scarsitá di dati non permette una chiara valutazione dell indice spettrale in questa regione. Il raggio di curvatura di una particella carica di carica Ze che si muove in un campo magnetico uniforme B é dato da ρ = ( pc ) 1. Data la presenza Ze Bc del campo magnetico galattico con B 3 µg si ha che la direzione di arrivo osservata per particelle cariche non puó essere un indicazione sincera della posizione di una sorgente. Al contrario, i raggi γ, essendo neutri, conservano l informazione sulla loro provenienza, quindi, sebbene i fotoni rappresentino una percentuale minima della radiazione cosmica, il loro studio fornisce informazioni su: Sorgenti dei raggi cosmici. Meccanismi di accelerazione. Effetti di propagazione nel mezzo interstellare ed intergalattico.

11 3 Dal punto di vista sperimentale, lo studio dei raggi γ richiede l uso di diversi tipi di apparati di rivelazione per problemi legati alla diminuzione del flusso con il crescere dell energia. Per questo convenzionalmente il range energetico viene suddiviso in intervalli (vedi tabella 1.1) associati alla particolare tecnica di rivelazione ivi utilizzata. Questa classificazione non ha nessuna attinenza con i meccanismi di produzione; infatti, la maggior parte delle sorgenti ha uno spettro di emissione molto esteso, per cui lo studio di un particolare oggetto richiede la combinazione di dati provenienti da apparati differenti. Al fine di avere una visione globale del problema che si vuole affrontare, nel resto di questo capitolo verranno trattati i principali fenomeni legati alla produzione dei raggi γ di alta energia e le tecniche utilizzate per la loro rivelazione. RANGE NOMENCLATURA TECNICA DI PIATTAFORMA DI ENERGETICO RIVELAZIONE OSSERVAZIONE MeV Low(LE) Scintillatori Satellite 10-30MeV Medium(ME) Telescopi Compton Satellite 30MeV-10GeV High(HE) Calorimetri Satellite 100GeV-100TeV VeryHigh(VHE) Čerenkov, Air Shower Arrays Superficie 100TeV-100PeV UltraHigh(UHE) Air Shower Arrays Superficie 100PeV-100EeV ExtremelyHigh (EHE) Air Shower Arrays Superficie Tabella 1.1: Suddivisione dei raggi γ sulla base del tipo di apparato usato per rivelarli.

12 4 Astronomia dei raggi γ di alta energia 1.1 Principali fenomeni di produzione dei raggi γ di alta energia Pulsar Le Pulsars sono stelle di neutroni magnetizzate che ruotano con un periodo che va da pochi millisecondi a qualche secondo generando un campo magnetico molto intenso ( G). Sono gli oggetti stabili piú densi dell Universo infatti la loro massa massima é 3 M con un raggio di 10 km[45]. L esperimento EGRET[48] (posto sul satellite Compton gamma Ray Observatory lanciato nel 1991) ha rivelato che solo 6 delle 550 RadioPulsar note sono sorgenti di raggi γ (vedi Tab.1.2). Le misure compiute finora mostrano che l emissione pulsata di gamma sia limitata a regioni al di sotto dei 10 2 GeV. Secondo gli attuali modelli teorici[19], il campo magnetico rotante genera un campo elettrico abbastanza forte da rimuovere gli elettroni dalla superficie della stella formando un plasma che circonda la stella. Al di sotto di un valore del raggio per cui la velocitá del plasma é inferiore a quella della luce vi é la regione nota come light cylinder ; oltre tale regione inizia quella detta di Pulsar wind. Questa regione termina con uno shock al cui esterno vi é una regione nebulare(il disegno schematico di una Pulsar é riportato in figura 1.2). All interno del light cylinder le linee di campo magnetico, a cui le particelle cariche sono legate, sono chiuse e quindi non vi émissione di particelle. Viceversa all esterno del light cylinder, dove le linee di campo sono aperte, le particelle possono essere accelerate ed espulse Pulsar B(G) D(kpc) L γ (erg s 1 ) γ Crab Vela PSR B PSR B Geminga PSR B Tabella 1.2: Le 6 Pulsar rivelate da EGRET come sorgenti di raggi γ. L γ é la luminositá nell emissione, B é il campo magnetico, D é la distanza delle Pulsar dalla Terra e γ l indice spettrale

13 1.1.1 Pulsar 5 Figura 1.2: Rappresentazione schematica di una Pulsar. Il light cylinder é il cerchio fuori dalla magnetosfera. Nella zona denominata Nebula vi é un plasma di coppie e + e dalla stella. Tali regioni si formano ai poli magnetici ed in prossimitá del light cylinder e sono le responsabili dell emissione pulsata di raggi γ. Per quanto riguarda l emissione continua di raggi γ, i risultati di EGRET mostrano che solo due delle sei Pulsar in esame sono responsabili di γ nella regione del TeV: Crab e PSR B che sono un particolare tipo di Pulsar, detta Plerion 1. Della Crab si sa con certezza che é una sorgente di VHE γ fino a 15 TeV, ma l intensitá assoluta e la pendenza dello spettro non sono ben definite; una misura di questi parametri é necessaria per la scelta definitiva di un modello che spieghi l emissione continua. Secondo il modello SSC (Synchrotron Self-Compton) di dejager e Harding [10] gli elettroni e i positroni vengono accelerati ad alte energie ed entrano nella regione nebulare dove, spiraleggiando attorno alle linee di campo magnetico, emettono radiazione di sincrotrone. In seguito, questi elettroni accelerano altri fotoni presenti nella regione circostante attraverso la diffusione Compton inversa fino ad energie dell ordine del T ev. 1 Una Plerion é un residuo di supernova con una stella di neutroni al suo interno.

14 6 Astronomia dei raggi γ di alta energia Resti di Supernovae (SNR) Una supernova é un oggetto che si forma in seguito all esplosione di una stella. La luminositá dell oggetto decresce esponenzialmente nel tempo ed esso puó collassare in una stella di neutroni. Il 90% dell energia rilasciata ( erg) viene dissipata in energia cinetica del guscio della stella che si espande ad una velocitá V 10 4 km s 1 nel mezzo interstellare; gli effetti di questa espansione restano visibili per circa anni dopo l esplosione e prendono il nome di resti di supernovae (SNR Supernova Renmants). Sebbene non vi siano prove certe, gli SNR sembrano essere una delle poche sorgenti galattiche in grado di accelerare i raggi cosmici fino a energie di 100 T ev. Il modello proposto é quello di accelerazione statistica di Fermi[14]. Un oggetto di questo tipo é composto da tre zone: una regione interna costituita da gas caldo di particelle accelerate, una regione a ridosso dell onda d urto su cui la materia espulsa preme, una regione antistante all onda in cui le particelle accelerate comprimono il mezzo interstellare. In seguito alla propagazione dell onda d urto dovuta all esplosione della stella, le particelle del mezzo interstellare, attraversando il fronte dello Figura 1.3: Spettro di emissione dei fotoni VHE della nebulosa Crab misurato da vari apparati sperimentali. La linea continua rappresente il flusso teorizzato dal modello di dejager e Harding

15 1.1.3 Nubi Molecolari 7 shock, possono essere accelerate secondo il meccanismo di Fermi al primo ordine[29]. La particella accelerata puó essere nuovamente raggiunta dallo shock attraversarlo e ripetere il processo[6, 42]. Ció che rende straordinario questo modello é la possibilitá di predire l andamento a potenza dello spettro dei raggi cosmici solo attraverso considerazioni sulle densitá delle tre regioni del SNR e del mezzo interstellare. L energia massima che le particelle possono raggiungere dipende dal tempo trascorso all interno della regione di accelerazione e, quindi, dalla probabilitá di fuga della particella che é direttamente correlata con la densitá dell oggetto. La riduzione della densitá del SNR dovuta alla sua espansione fa si che il meccanismo risulti efficiente per 1000 anni, fatto che si traduce in un energia massima delle particelle accelerate di 100 TeV[17]. I raggi γ vengono prodotti dai raggi cosmici attraverso due fenomeni: i) bremsstrahlung o diffusione Compton inversa degli elettroni sui fotoni del fondo della radiazione galattica e dei campi di radiazione della SNR stessa. ii) decadimento dei π 0 prodotti dalle interazioni dei nuclei con il gas della SNR. Due esempi di SNR nell emisfero Nord sono: γcigni e IC433. Questi due oggetti hanno permesso di misurare l indice spettrale dando un buon accordo con il modello teorico[18]. Recentemente, invece, CANGAROO ha rivelato un emissione gamma ad energie del TeV in SN1006 fatto che rappresenta una chiara conferma della possibilitá di accelerare particelle ad E TeV nelle SNR Nubi Molecolari Le nubi molecolari sono solitamente situate nelle vicinanze di regioni con una intensa attivitá stellare o formazione di stelle di massa elevata. L emissione γ da nubi molecolari é dovuta essenzialmente alle interazioni tra elettroni e protoni cosmici con la materia (bremsstralung ed interazioni nucleone-nucleone)ed in misura minore alle interazioni degli elettroni con fotoni di bassa energia. Di particolare importanza é l osservazione di raggi γ con energie superiori ai 100 GeV in quanto fornisce un evidenza della presenza di protoni di alta energia all interno delle nubi e, quindi, di sorgenti associate alla regione centrale delle stesse. La rivelazione di emissione gamma proveniente da nubi molecolari puó essere usata per lo studio della densitá dei raggi cosmici e delle proprietá del mezzo interstellare. Il flusso aspettato dei fotoni da una regione localizzata del cielo é: φ γ A N(H I ) + 2 A N(H 2 ) (1.2)

16 8 Astronomia dei raggi γ di alta energia Regioni M(10 5 M ) D(kpc) Regioni M(10 5 M ) D(kpc) Taurus ρ Ophiucus Lupus Aquila Rift Lindblad Ring Cloud B Vul Rif Cepheus Cloud A Cloud C Orion A Orion B Cygnus Rif Cygnus OB Tabella 1.3: Alcune nubi molecolari situate entro 1 kpc dalla Terra. M é la massa delle nubi molecolari espressa in unita di 10 5 masse solari M e D la distanza in kpc. dove A é l emissivitá dei raggi gamma attraverso l idrogeno atomico, N(H I ) e N(H 2 ) sono le densitá dell idrogeno atomico e molecolare. Quindi, nota la densitá della materia interstellare entro la nube da misure nell infrarosso e nel radio, si ricavano anche le densitá di H I e H 2 da cui si ottiene (vedi equazione 1.2) la densitá dei raggi cosmici nella nube Nuclei Galattici Attivi (AGN) Gli AGN non sono altro che regioni centrali di alcune galassie ( 1%) in cui hanno luogo fenomeni di straordinaria violenza a cui é associata l emissione di raggi cosmici e radiazione elettromagnetica. Dagli AGN rivelati sperimentalmente si é trovato che: i) Sono tutti oggetti appartenenti alla classe blazar 2 contenente oggetti quali BL Lacs e quasar altamente polarizzate. ii) Lo spettro dei fotoni fino a 10 TeV é ben rappresentato da una legge a potenza con un indice spettrale γ 2.5[34]. dn de = A E γ (1.3) iii) Molti AGN mostrano variabilitá nella banda γ su intervalli temporali di giorni o mesi indicando che le sorgenti sono poco estese. 2 Le blazar sono sorgenti radio extragalattiche la cui direzione di emissione é rivolta verso la Terra

17 1.1.4 Nuclei Galattici Attivi (AGN) 9 Figura 1.4: Riproduzione schematica di un AGN secondo il modello unificato di Begelman Un problema che si incontra spesso nello studio di questi oggetti é il proliferare di diversi tipi di AGN 3, cosí, nel 1984, é stata proposta teoria unificata[5]. In queso modello gli AGN sono costituiti principalmente da quattro regioni: a) la regione centrale contenente un buco nero supermassivo con massa M ( ) M e raggio di Schwarzschild r S 0.001pc. b) Un sottile disco di accrescimento circondato da uno spesso anello di materia che giace sul piano equatoriale. c) Due jets di particelle relativistiche posti in posizione perpendicolare al disco di accrescimento. d) Vi sono, poi, nuvole di materia[5, 39] che circondano la regione centrale, responsabili della presenza di linee di emissione nello spettro osservato. In questo modello il motore centrale é alimentato dal disco di accrescimento attraverso la variazione dell energia potenziale gravitazionale della materia che precipita nel buco nero. Il 10% circa della massa a riposo assorbita dal buco nero viene riemessa sotto forma di radiazione[16, 45]. Gli AGN emettono radiazione su tutto lo spettro elettromagnetico dalle onde 3 quasars, Seyfert galaxies, (tipo I e II), radio-quiet e radio-loud galaxies, Blazars, BL Lacs, etc.

18 10 Astronomia dei raggi γ di alta energia radio ai raggi γ nel range del TeV. Dal disco di accrescimento viene emessa radiazione infrarossa e raggi X, mentre dai jets provengono raggi γ e onde radio. Una menzione particolare spetta agli AGN di tipo BL Lacs 4 : essi si distinguono grazie all assenza di linee di emissione. A tale fatto, peró, non si é ancora data una spiegazione. In generale, si é d accordo nell affermare, invece, che i fotoni nel range del T ev, provenienti dagli AGN, siano prodotti nei jets, mentre non si é ancora certi sui meccanismi responsabili delle emissioni. I due tipi di modelli che cercano di dare una spiegazione sono: Modelli basati sulla diffusione Compton inversa[28] detti leptonici. Modelli PIC ( proton-initiated cascade )[41, 32] detti adronici. Nel modello base di tipo leptonico, gli elettroni sono accelerati nei jets e, attraverso la diffusione Compton inversa, portano i fotoni ad alte energie. Si possono comunque avere diverse varianti del modello a seconda del punto del jet in cui é posta la sorgente dei fotoni e quello in cui avviene l accelerazione. Nel modello Synchroton Self-Compton [33] gli elettroni emettono radiazione di sincrotrone e sono essi stessi la sorgente dei fotoni; nel modello external Compton i fotoni non vengono prodotti per radiazione di sincrotone e la sorgente é posta fuori dal jet[11][46]. Infine, nei modelli non omogenei l emissione a diverse energie é localizzata in diverse regioni del jet. In tutti questi modelli le perdite di energia limitano l energia massima dei raggi γ a 10 TeV[41, 30] Nei modelli adronici, i protoni vengono bruscamente accelerati fino ad energie GeV e, quindi, interagiscono con i fotoni del fondo circostante producendo pioni neutri o carichi (vedi eq.1.4), dando inizio ad una cascata elettromagnetica. p + γ + p + π 0 o n + π + π 0 γγ π + µ + ν µ (1.4) É chiaro dunque che, se il modello di produzione fosse prevalentemente di tipo adronico, quello che dovrebbe potersi osservare sarebbe un flusso di neutrini[21] di alta energia associato al flusso di raggi γ. Come nei modelli leptonici, i fotoni possono provenire da una fonte esterna (E-PIC) o dalla radiazione di sincrotone degli elettroni generati dalla cascata (S-PIC). Poiché gli elettroni sono piú leggeri dei protoni, vengono accelerati e raffredati 4 oggetti appartenenti a questa classe di AGN sono ad esempio Mrk421 e Mrk501 identificate dall esperimento WHIPPLE

19 1.1.5 Gamma Ray Burst (GRB) 11 in modo repentino, quindi un attivitá caratterizzata da flares rapidi (tempi inferiori ai minuti) favorisce il modello a elettroni[23], ma il rapido raffreddamento rende difficile accelerare gli elettroni ad energie molto alte. L energia massima raggiungibile dipende dal campo magnetico anche se in questo schema i raggi γ di energie superiori ai TeV sembrano favorire il modello a protoni. Maggiori informazioni e verifiche potrebbero venire da osservazioni continue su lunghi periodi di tempo. Ció che si sa, infatti, viene prevalentemente dal telescopio WHIPPLE il cui tempo di presa dati copre intervalli temporali di circa tre ore ciascuno Gamma Ray Burst (GRB) Ulteriori possibile fonte di fotoni di alta energia sono i cosiddetti bursts di raggi γ: essi sono emissioni di radiazione γ di breve durata ( )s e di energia compresa tra qualche KeV e poche decine di M ev e flusso associato di erg cm 2. A circa 25 anni dalla scoperta, la loro origine é ancora misteriosa; inoltre, non essendo nota la loro distanza, si ha una incertezza nella determinazione della luminositá intrinseca di 10 ordini di grandezza. Le caratteristiche sperimentali note vengono dalle indagini dell esperimento BATSE e sono: i GRB con energia compresa tra 20 kev e 2 MeV sono stati rivelati al ritmo di circa uno al giorno; per ognuno dei burst non é stata trovata una controparte nel campo ottico, infrarosso o radio; la distribuzione dei GRB é isotropa; i profili temporali non mostrano caratteristiche comuni nei diversi GRB; lo spettro energetico é altamente variabile nel tempo e presenta dei picchi ad energie 100 KeV. Ad energie di poche centinaia di kev lo spettro dei fotoni puó essere approssimato con una legge a potenza troncata da un esponenziale E α exp( E/E 0 ), mentre ad energie maggiori (fino ad 1 M ev ) lo spettro é descritto da una legge a potenza con un indice spettrale che varia tra 1.6 e 2.8 ed un flusso di 1 10 fotoni(e > 1 MeV )/cm 2 s. Tra i tanti modelli che tentano di descrivere il comportamento fisico di questi oggetti, soltanto due sono in accordo con il vincolo che la luminositá sia copresa tra e erg e che il burst di fotoni si esaurisca in un tempo

20 12 Astronomia dei raggi γ di alta energia consistente con la durata osservata( )s. Il primo pone le sorgenti di GRB nell alone galattico presupponendo il verificarsi di esplosioni sulla superficie di stelle di neutroni. Tale ipotesi, peró, é stata scartata grazie ai cataloghi di eventi compilati da BATSE[12] che hanno permesso di stabilire l isotropia delle emissioni dovute ai GRB. Il secondo, invece, ipotizza l esistenza di sorgenti a distanze cosmologiche e, per spiegare l enorme luminositá, considera eventi catrastofici come collisioni tra stelle di neutroni. Una distribuzione su scala cosmologica dei GRB spiegherebbe anche l isotropia osservata. Tale meccanismo, dunque, sembra quello piú probabile. Poiché l energia rilasciata in questo processo é erg, l energia convertita in fotoni é circa volte di quella totale. Il numero di galassie a spirale all interno del volume campionato da BATSE é dell ordine di 10 9, la frequenza rivelata di 10 3 GRB per anno implica un evento per galassia ogni 10 6 anni che risulta in accordo con la stima di collisioni in sistemi binari di pulsar. 1.2 Tecniche sperimentali della γ astronomia alle alte energie Le tecniche utilizzate nella γ astronomia alle alte energie sono dettate da tre importanti questioni. I) L atmosfera terrestre é opaca ai fotoni di alta energia; al livello del mare, il suo spessore é di 1030 g/cm 2 corrispondente a 28 lunghezze di radiazione 5. Ne consegue che la probabilitá per un fotone verticale di alta energia di raggiungere il suolo senza interagire é praticamente nulla. La situazione resta simile anche spostandoci a quote piú alte. Se vogliamo rivelare i primari, dobbiamo, dunque, andare direttamente al disopra dell atmosfera utilizzando satelliti o palloni sonda. II) Il flusso di raggi γ di alta energia é molto basso e decresce rapidamente con l energia; ad esempio, se consideriamo Vela, che é la sorgente di raggi γ piú intensa del cielo, essa ha un flusso al di sopra dei 100 MeV di fotoni/cm 2 /s ed un flusso differenziale dn de E 1.89 [26]. Questo significa che, al disopra di certe energie, avremmo bisogno di 5 La lunghezza di radiazione X 0 é definita come la distanza dopo la quale l energia di un elettrone si riduce di un fattore 1 e per bremsstralung.

21 1.2.1 Rivelatori satellitari 13 mandare in orbita apparati molto estesi 6, fatto improponibile dal punto di vista tecnologico ed economico. Ció rende fondamentale l utilizzo di rivelatori al suolo con una soglia energetica E γ GeV. III) Il flusso dei raggi cosmici carichi é molto piú grande di quello dei raggi γ, inoltre essi vengono deviati dai campi magnetici presenti nel mezzo interstellare cosí devono essere considerati come un fondo isotropo. Il flusso differenziale di raggi cosmici da protoni misurato tra 100 GeV e 400 T ev é: dn de = (9.2 ± 2.4) 10 2 E 2.76 m 2 s 1 sr 1 T ev 1 (1.5) con E in T ev [7]. Se si considera che il flusso φ γ ( )φ C.R, si capisce come la reiezione del fondo isotropo sia fondamentale per fare astronomia gamma Rivelatori satellitari I rivelatori satellitari utilizzano camere traccianti per determinare la direzione di arrivo dei fotoni dopo che essi sono stati convertiti in coppie e + e, mentre l energia viene misurata da un calorimetro. Un contatore di particelle cariche viene solitamente posto in anti coincidenza con l apparato per reiettare il fondo. La risoluzione angolare dell apparato é molto importante ai fini dell identificazione delle sorgenti di fotoni ed alla riduzione degli effetti dovuti al fondo. Essa deve essere almeno migliore dell angolo tra il fotone entrante nel rivelatore e la coppia e + e uscente. Questo angolo é il risultato di due contributi, il primo viene dalla differenza angolare intrinseca nella produzione della coppia e il secondo é l angolo di scattering multiplo nel materiale convertitore. Tipicamente nella produzione di coppie si ha che: ( ) ) me c 2 θ pp rms E ln ( E m e c 2 (1.6) dove E é l energia tra il fotone uscente e l elettrone (o positrone) della coppia prodotta. Mentre nello scattering multiplo: ( ) ( ) 1/2 20 L θrms (1.7) pβ L R 6 Ad esempio un rivelatore di 1000cm 2 posto su satellite rivelerebbe, da Vela, circa un fotone al minuto sopra i 100 MeV ed un fotone ogni due ore soopra i 10 GeV.

22 14 Astronomia dei raggi γ di alta energia dove p é il momento dell elettrone (o positrone) in MeV/c 2, β é la velocitá della particella in unitá c, L é il cammino della particella nel materiale convertitore e L R é la lunghezza di radiazione del materiale convertitore. Solitamente θrms > θpp rms : ció significa che la risoluzione puó essere ridotta utilizzando uno strato convertitore piú sottile, o meglio, usando tanti strati sottili per tenere alta l efficienza preservando una buona risoluzione angolare. Un fotone produce una cascata elettromagnetica che si sviluppa nel calorimetro permettendo una misura della lunghezza totale della traccia della cascata che é proporzionale all energia del primario. La risoluzione energetica aumenta con l energia stessa fino a che la percentuale di particelle della cascata emesse fuori dal calorimetro non diventa grande. Un ulteriore importante parametro del detector é l area efficace, definita come l area fisica del rivelatore convoluta con l efficienza di rivelazione dei raggi γ. Se un rivelatore é esposto ad un flusso di fotoni φ(e)fotoni/m 2 /s da una sorgente puntiforme per un tempo T rivelando N eventi, l area efficace é definita come: A eff (E) = N φ(e)t (1.8) Il piú sensibile telescopio per la γ astronomia HE é stato EGRET (per le prestazioni vedi tabella 1.4) montato sul CGRO (Compton Gamma-Ray Observatory)[48]. EGRET era costituito da una spark chamber con strati di tantalio per convertire i fotoni seguita da un altra camera con piani maggiormente spaziati per misurare la direzione della coppia e + e. L energia del fotone veniva misurata in un calorimetro a base di NaI(T l) spesso 8 lunghezze di radiazione. Un contatore a scintillazione veniva utilizzato come time of flight system per assicurare che le particelle stessero attraversando il calorimetro verso il basso ed un contatore posto in anticoincidenza aveva il compito di eliminare gli eventi da particella carica. Poiché il gas utilizzato ENERGIA DEI FOTONI RISOLUZIONE ENERGETICA (FWHM) RISOLUZIONE ANGOLARE (FWHM) AREA EFFICACE 100 MeV 26% cm MeV 20% cm 2 1 GeV 19% cm 2 10 GeV 26% cm 2 Tabella 1.4: Prestazioni del telescopio satellitare EGRET

23 1.2.1 Rivelatori satellitari 15 nelle camere a scintilla va consumandosi, EGRET aveva un tempo di misura limitato. Per ovviare a ció sono in fase di sviluppo nuovi rivelatori su satellite che avranno la possibilitá di fare osservazioni a lungo termine con una risoluzione angolare elevata e un area efficace piú ampia dei precedenti. Un esempio é GLAST (Gamma-ray Large-Area Space Telescope) che si spera possa essere messo in orbita entro il Esso é composto da uno schermo per le particelle cariche, un tracciatore/convertitore di gamma fatto da sottili fogli di materiale ad alto Z spaziati da rivelatori a strip di silicio, e da un calorimetro a base di CsI (vedi figura 1.5). Il suo campo di vista sará di 2πsr, permettendogli quindi di monitorare una larga porzione di cielo alla volta, e la sua sensibilitá alle sorgenti 100 volte migliore di EGRET. I Figura 1.5: Telescope). Disegno schematico di GLAST (Gamma-ray Large-Area Space miglioramenti con GLAST saranno: Un rivelatore a guscio per ridurre la diminuzione dell area efficace alle alte energie dovuta alla fuoriuscita delle particelle dal calorimetro. L utilizzo di rivelatori strip di silicio, aumentará di un fattore 10 la risoluzione sulla posizione rispetto alle camere a scintilla, inoltre, non darà tempi morti e non richiederá l impiego di gas. L eliminazione del time of flight system in quanto l utilizzo delle strip di silicio insieme a sofisticati algoritmi di pattern-recognition determinará la direzione del momento della coppia e + e. Ció

24 16 Astronomia dei raggi γ di alta energia comporterá un aumento del campo di vista ed un miglioramento nella risposta dello strumento alle basse energie 7. Il calorimetro rivelatori a base di CsI(T l) spessi 10 lunghezze di radiazione con in uscita rivelatori a stato solido. Questa struttura garantirá una migliore risoluzione energetica e di posizione e migliorerá la discriminazione del fondo Rivelatori ground-based L abbassamento della soglia energetica dei fotoni rivelati fino a valori di E γ 10 GeV, in modo da sovrapporsi alle zone in cui operano i rivelatori satellitari, necessita dell utilizzo di rivelatori di grandi dimensioni. I raggi γ attraversando l atmosfera interagiscono con le molecole d aria dando origine a cascate elettromagnetiche, le caratteristiche del primario vengono rivelate a partire dalle proprietá di questi sciami. I rivelatori utilizzati sono di due tipi: 1) Rivelatori Čerenkov. 2) Rivelatori di particelle secondarie ( EAS arrays ). Questi apparati misurano gli eccessi nel numero di eventi provenienti da una data direzione. In questo genere di misure un eccesso di eventi viene associato ad una sorgente di raggi γ se é maggiore delle fluttuazioni statistiche del fondo isotropo dei raggi cosmici. Cosí definiamo come sensibilitá di un apparato ground-based alle sorgenti γ: S = N γ NB (1.9) dove N γ ed N B sono rispettivamente il numero di sciami da fotone e il numero degli eventi di fondo rivelati dall apparato in una data direzione. Rivelatori Čerenkov L emissione di luce Čerenkov avviene quando una particella carica si muove in un mezzo con un β 1 (dove n = n(λ) é l indice di rifrazione del mezzo n attraversato) ad un angolo θ Č = arccos ( 1 n). La luce viene emessa durante tutto lo sviluppo dello sciame da parte di quasi tutte le particelle cariche secondo: dn dλ 1 (1.10) λ 7 Le particelle di bassa energia non attraversano tutto il rivelatore e non fanno scattare il sistema di time of flight che funziona da trigger.

25 1.2.2 Rivelatori ground-based 17 con λ lunghezza d onda della luce emessa. I telescopi Čerenkov, nelle versioni piú semplificate comprendono un collettore di luce (solitamente uno specchio parabolico) con un rivelatore di luce posto sul piano focale. La luce Čerenkov prodotta dalle particelle cariche nello sciame incide sulla Terra concentrata in un disco il cui raggio é legato all angolo di emissione della luce, e la cui intensitá é proporzionale in prima approssimazione all energia del primario. Le tecniche utilizzate per la rivelazione di luce Čerenkov sono principalmente di due tipi: I) IACT(Imaging Atmospheric Čerenkov Telescope). Questa tecnica é quella piú largamente utilizzata oggi e consiste nell ottenere un immagine bidimensionale della luce Čerenkov utilizzando una camera a pixel posta sul piano focale del riflettore. La camera registra una immagine dello sciame le cui caratteristiche sono direttamente legate allo sviluppo longitudinale e trasversale dello stesso. Se uno sciame si sviluppa lungo l asse ottico del telescopio la sua immagine sará concentrata nel centro della camera, mentre se l asse dello sciame é parallelo all asse ottico, ma traslato, l immagine sará ellittica con l asse maggiore rivolto verso il centro della camera. Se l asse dello sciame non é parallelo all asse ottico del telescopio l immagine é ellittica, ma il prolungamento dell asse maggiore dell ellisse non interseca il centro della camera. Le immagini inoltre differiscono a seconda delle caratteristiche del primario (vedi figura 1.6), infatti gli sciami da gamma producono una immagine ellittica e compatta, mentre quelli adronici una irregolare e orientata casualmente nel piano focale. Attraverso algoritmi di processamento delle immagini e ricostruzione della direzione, si ottiene una reiezione del fondo che si aggiunge a quella ottenuta grazie ad una buona risoluzione angolare. Un esempio di ció é l esperimento Apparato N riflettori N PMT Campo ( ) σ θ ( ) E min (GeV ) CANGAROO CAT HEGRA-CT TACTIC WHIPPLE Tabella 1.5: Caratteristiche principali di alcuni apparati Imaging Čerenkov (IACT).

26 18 Astronomia dei raggi γ di alta energia Apparato Area (m 2 ) N elementi Campo ( ) E min (GeV) ASGAT THEMISTOCLE ( 7 PMT) Tabella 1.6: Caratteristiche principali di due apparati fast timing. WHIPPLE in cui l utilizzo di numerosi fotomoltiplicatori (vedi tabella 1.5) ha permesso di raggiungere una notevole risoluzione angolare ( ) e di sfruttare le piccole differenze di natura topologica presenti nelle immagini raggiungendo una percentuale di reiezione del fondo del 99.7%. II) ACT(Atmospheric Čerenkov Telescope). In questo tipo di apparato singoli fototubi sono distribuiti a decine di metri l uno dall altro fino a coprire superfici dell ordine di m m 2. Generalmente questi apparati sono accoppiati ad array di rivelatori di particelle cariche che servono a ricostruire il core 8 dello sciame e l angolo di incidenza rispetto alla verticale. Questo tipo di apparati é stato il primo ad essere utilizzato, due esempi sono gli esperimenti ASGAT e THEMISTOCLE che peró ricostruiscono la direzione di arrivo dello sciame eseguendo un fit temporale del fronte della radiazione Čerenkov incidente. Con un array di fototubi siamo in grado di misurare distribuzione laterale della luce Čerenkov e l andamento temporale dell impulso informazioni dalle quali é possibile ricavare rispettivamente l energia del primario e lo sviluppo longitudinale dello sciame. É importante notare che tali apparati non permettono l utilizzo di nessun criterio di discriminazione tra gamma e adroni basato sullo studio dell immagine. In conclusione, i rivelatori Čerenkov pur avendo un elevata risoluzione angolare, e nel caso degli IACT anche un ottimo fattore di reiezione del fondo, hanno dei limiti: Il basso duty cycle 9 : apparati di questo tipo possono eseguire misure solo in notti serene e prive di Luna, questo riduce il tempo di utilizzo effettivo a circa il 10% del tempo di vita del telescopio. Se poi si pensa che le sorgenti da osservare devono trovarsi ad un certo angolo sopra l orizzonte, tale tempo si riduce ulteriormente. 8 Il core é definito come il punto di intersezione tra l asse dello sciame ed il piano dell apparato 9 É la percentuale di tempo effettivo in cui l apparato puó effettuare misure.

27 1.2.2 Rivelatori ground-based 19 Figura 1.6: Sviluppo di uno sciame verticale da 1 TeV iniziato da protone (a destra) e da γ a sinistra. Le parti superiori visualizzano gli sviluppi degli sciami nell atmosfera, mentre quelle inferiori le immagini viste dal telescopio Čerenkov. La scarsa accettanza angolare: il field of view di questi rivelatori é 3 e quindi l osservazione é limitata ad una sola sorgente alla volta. Questo fatto esclude la possibilitá di monitorare ampie porzioni di cielo e riduce quindi la capacitá di scoperta di nuove sorgenti e di misurare flussi diffusi o flussi provenienti da sorgenti estese. EAS arrays Questa tecnica consiste nel distribuire molti rivelatori su superfici di circa m 2, in grado di rivelare il passaggio del fronte dello sciame prodotto da un primario che interagisce nella parte superiore dell atmosfera. Il costo di un rivelatore a copertura totale d area di dimensioni cosí estese sarebbe proibitivo, quindi si utilizzano un certo numero di rivelatori di particelle cariche (tra 50 e 1000) distribuiti ad intervalli sulla superficie da coprire.

28 20 Astronomia dei raggi γ di alta energia Tipicamente ogni scintillatore ha un area di 1 m 2 e le prestazioni possono essere migliorate ponendo, su ogni scintillatore, uno strato di piombo spesso una lunghezza di radiazione per convertire i fotoni ed aumentare cosí il numero di particelle cariche rivelate[27, 2]. La direzione del primario viene ricostruita misurando i tempi relativi in cui ogni contatore dell array viene attraversato dal fronte dello sciame. La risoluzione angolare dipende sia dalle proprietá dell apparato che da quelle degli sciami in esame, una buona risoluzione angolare puó essere ottenuta facendo un fit del fronte dello sciame tenendo conto che tale fronte é curvato in base alla posizione del core[2]. Le risoluzioni angolari tipiche per un dato sciame sono approssimativamente date da: ( ) σt σ θ (1.11) ρ dove σ θ é la risoluzione angolare prevista, ρ é la densitá di rivelatori indipendenti nell apparato e σ t é l ampiezza temporale del segnale misurata da ogni rivelatore. La risoluzione angolare di tali apparati puó essere misurata in diversi modi, il piú efficace é quello di misurare la forma dell ombra della Luna o del Sole[9]. L energia di soglia dell apparato dipende dalla quota a cui il rivelatore é posto e dal numero minimo di contatori che devono essere accesi per ricostruire uno sciame. Questo puó essere fatto in principio anche con tre rivelatori, ma se vogliamo ottenere una misura molto accurata dobbiamo richiedere che ve ne siano accesi almeno 10, comunque, poiché il numero di particelle che arrivano al suolo fluttua molto anche se consideriamo sciami aventi stesso primario, l energia di soglia non risulta mai ben definita. Come conseguenza un EAS array puó riuscire a rivelare eventi di bassa energia iniziati a bassa quota e non riuscire a rivelare sciami di alta energia iniziati ad alta quota. Inoltre, assegnata l energia del primario, la dimensione dello sciame al suolo diminuisce all aumentare dell angolo di arrivo rispetto allo zenit e varia seconda del tipo di primario. La risposta in energia di un EAS array é ben descritta dall area efficace, che in questo tipo di apparati dipende dalla probabilitá che uno sciame di energia E accenda l apparato, essa é inoltre funzione dell angolo di arrivo dello sciame e del tipo di primario. Una buona sensibilitá dell apparato puó essere raggiunta rigettando il fondo utilizzando la risoluzione angolare dell apparato, o con tecniche basate sulla misura del diverso contenuto di muoni nello sciame 10. In definitiva peró, i vantaggi derivanti dall utilizzo di questi apparati sono: 10 In uno sciame fotonico il contenuto di muoni risulta di molto inferiore a quello di uno sciame adronico, infatti, per energie dello sciame di 100 T ev, N µ (γ)/n µ (h) 5% e decresce notevolmente ad energie minori.

29 1.2.2 Rivelatori ground-based 21 Gruppo Soglia Quota N stazioni µ Det. Area Area (TeV) (g cm 2 ) area (m 2 ) (10 4 m 2 ) (10 4 m 2 ) CASA-MIA CYGNUS-I EAS-TOP HEGRA SPASE Tabella 1.7: Caratteristiche dei principali apparati di sciame Grande accettanza angolare, sono cioé in grado di osservare tutto il cielo sovrastante. Hanno un tempo di presa dati che é in pratica uguale al tempo di vita dell apparato. In tabella 1.7 vengono riportate le caratteristiche dei principali esperimenti che utilizzano apparati di sciame. Allo scopo di diminuire la soglia energetica in modo da fare misure nel range di lavoro dei satelliti, si stanno sviluppando apparati detti full-coverage la cui peculiaritá stá nel fatto di avere l area su cui si estendono coperta da rivelatori per piú del 50% del totale. I due soli progetti al mondo che sviluppano questa tecnica sono ARGO-YBJ (di cui si parlerá ampiamente in seguito) e MILAGRO. MILAGRO é posto a 2500m sul livello del mare e si occuperá di studiare sciami indotti da primari nel range energetico 100 GeV 100 T ev mediante l utilizzo di rivelatori di luce Čerenkov, prodotta in acqua dallo sciame. L apparato é costituito da 790 fotomoltiplicatori posti in una piscina coperta di 5000m 2 e sono disposti su tre strati diversi. Il primo strato é composto da 450 fototubi rivolti verso l alto e spaziati tra loro di 3 m. Osservano i primi 2m d acqua e misurano il tempo di arrivo del fronte dello sciame con una risoluzione angolare di 1.5. Il secondo strato consta di 170 fototubi, rivolti verso l alto e spaziati come i precedenti ad una profonditá di 6.5m usato per fare misure di tipo calorimetrico. Al terzo ed ultimo strato appartengono i restanti 170 fototubi rivolti verso il basso a 7m di profonditá, questo strato é otticamente isolato dai precedenti e dovrebbe studiare la componente muonica degli sciami permettendo una certa discriminazione tra gamma e adroni.

30 22 Astronomia dei raggi γ di alta energia In definitiva, la scelta verso cui si propende é quella di un dispositivo a copertura totale d area posto ad alta quota. In questo tipo di ottica la discriminazione tra gamma e adroni, dovuta al puntamento, non é sufficiente. Bisogna ricorrere dunque a metodi alternativi come lo studio delle caratteristiche intrinseche degli sciami al fine di caratterizzare i diversi tipi di primario ed estrarre il segnale (raggi gamma) dal fondo.

31 Capitolo 2 L esperimento ARGO-YBJ Lo studio dei raggi γ VHE (ossia tra 100 GeV e 100 T ev ) necessita di un osservazione continua del cielo, in modo da poter studiare sorgenti la cui posizione non é nota. Si se considera come esempio la nebulosa Crab, il flusso misurato dei fotoni VHE da essa provenienti é dato da φ E 2.5 cm 2 s 1 T ev 1 (vedi figura 1.3). É quindi importante utilizzare un apparato con un area attiva molto grande (almeno 10 3 m 2 ) per poter acquisire un campione di dati statisticamente significativo in un tempo di misura ragionevolmente basso. I raggi γ che entrano nell atmosfera interagiscono con le molecole d aria generando coppie e + e che, a loro volta, danno origine a fotoni attraverso processi di bremsstrahlung e diffusione Compton. I fotoni prodotti si convertono nuovamente in coppie elettrone-positrone ed il processo si ripete dando origine ad uno sciame elettromagnetico. Le dimensioni dello sciame aumentano fino a che l energia media delle particelle prodotte non é pari all energia critica (E c 80 MeV ). A questo valore dell energia il processo di perdita di energia per ionizzazione diventa dominante su quello di produzione delle particelle, per cui il processo di moltiplicazione si arresta e la grandezza dello sciame comincia a diminuire. Per individuare i parametri importanti nella costruzione di un apparato viene utilizzata una figura di merito, detta rapporto segnale-rumore e puó essere scritta come : ( ) signal R γq A eff T (2.1) noise σ θ i cui vari parametri sono definiti in Tabella 2.1.