Università degli Studi della Calabria Facoltà di Scienze Matematiche, Fisiche e Naturali Corso di Laurea in Fisica

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1 Università degli Studi della Calabria Facoltà di Scienze Matematiche, Fisiche e Naturali Corso di Laurea in Fisica Tesi di Laurea Magistrale Inclusione all ordine dominante della Z 0 nel Monte Carlo DISENT Relatori: Prof. Alessandro Papa Prof. Enrico Tassi Candidato: Gaetana Anamiati Anno Accademico 2011/2012 Arcavacata di Rende, Cosenza

2 Alla sua ambizione che è anche la mia, alla sua serietà che è anche la mia, alla sua caparbietà che è anche la mia. A papà una volta ancora... A papà sempre.

3 Indice Introduzione 1 1 Interazioni fondamentali e sviluppo della QCD Il modello dei quark Il modello partonico dei quark QCD Diffusione profondamente anelastica DIS al livello partonico DIS all ordine dominante Fattorizzazione DIS all ordine sottodominante L evoluzione delle funzioni di densità partonica Produzione di 1 jet in DIS Calcolo delle ampiezze di transizione includendo il solo scambio fotonico Meccanismo di cancellazione delle divergenze infrarosse Calcolo delle ampiezze di transizione includendo il bosone Z Il Monte Carlo DISENT 61 i

4 4.1 Generazione dello spazio delle fasi Sistema di riferimento di Breit Subroutine DISENT Subroutine user Generazione degli stati con due e tre partoni e i relativi elementi di matrice Inclusione della Z 0 nel programma DISENT Risultati numerici Conclusioni 76 Bibliografia 77

5 Introduzione Lo studio degli urti tra leptoni e nucleoni ad alta energia, il Deep Inelastic Scattering, ha consentito di scoprire che le particelle sensibili alle interazioni forti, gli adroni, hanno una sottostruttura costituita da quark e gluoni. La teoria delle interazioni forti che è nata da queste scoperte, la Cromodinamica Quantistica (QCD)[1], è oggi uno degli ingredienti del Modello Standard delle interazioni fondamentali. L esigenza di accedere sperimentalmente alla struttura del protone con sempre maggiore risoluzione ha condotto alla costruzione di HERA, un anello di collisioni elettrone-protone ad Amburgo. L avvio del collider HERA nel 1992 con un energia del centro di massa s 300 GeV (27.5 GeV per positroni e 820 GeV per il protone) segnò l inizio di una nuova era di esperimenti [2] che esploravano la diffusione profondamente anelastica. Com è noto, la sezione d urto del DIS dipende dalle funzioni di struttura del protone in cui sono presenti le funzioni di distribuzione partoniche che danno la probabilità di trovare un partone nel protone, con frazione del suo momento (x) e risoluzione data dal quadrimpulso del bosone scambiato (Q 2 ). Uno degli scopi principali di questi esperimenti è la misura della costante di accoppiamento forte (α s ) attraverso le misure di sezioni d urto (la sezione d urto dipende da α s ) al variare di Q 2. La costante di accoppiamento forte è un parametro variabile con il quadrimpulso trasferito nell interazione e una previsione della QCD è che α s diminuisca al crescere di Q 2, sia cioè tanto più piccola quanto minore è la distanza d interazione. 1

6 2 Il nostro lavoro è stato quello di studiare la diffusione leptone-nucleone profondamente anelastica, all ordine O(α s ), considerando, oltre lo scambio del fotone, lo scambio del bosone Z 0 al fine d includere quest ultimo contributo nel programma Monte Carlo DISENT, tra i più usati per l analisi di dati di HERA. Questo programma, che nella presente versione contiene solo lo scambio del fotone, permette di analizzare l andamento della sezione d urto al variare del quadrimpulso del bosone scambiato. La tesi può essere quindi suddivisa in due parti: la prima parte, costituita dai capitoli 2 e 3, tratta da un punto di vista teorico il calcolo della sezione d urto inclusiva e di produzione di jet adronici fino al ordine O(α s ). Viene in questa parte così illustrata l insorgenza delle divergenze ultraviolette ed infrarosse ed i metodi utilizzati per la loro cancellazione. Nella seconda parte (capitolo 4), viene descritto il programma Monte Carlo DISENT e le modifiche apportate allo stesso, allo scopo d includere lo scambio del bosone Z 0 e vengono presentati i risultati numerici ottenuti.

7 Capitolo 1 Interazioni fondamentali e sviluppo della QCD La fisica delle particelle elementari è la ricerca dei costituenti fondamentali della materia e la conoscenza delle loro interazioni. Già intorno al 400 a.c. il concetto di base era stato postulato dal filosofo Greco Democrito secondo cui ogni cosa è costituita da entità indivisibili, ciò che noi oggi chiamiamo atomi. Con il progredire della scienza sono stati identificati diversi tipi d interazioni, come la gravità o le forze elettromagnetiche e sono state costruite delle teorie consistenti che hanno dato una descrizione matematica di molti fenomeni, ma fu soltanto con la scoperta della radioattività che si realizzò che gli atomi non erano quantità fondamentali della materia, essi sono costituiti infatti da un nucleo pesante intorno a cui orbitano gli elettroni. Studi più approfonditi sul nucleo atomico rivelarono che, oltre le ben note interazioni elettromagnetiche, erano presenti nuove forze a corto range: una forza forte che tiene insieme i nucleoni e una forza debole che media il decadimento radioattivo beta. La teoria di campo delle interazioni forti è conosciuta col nome di Cromodinamica Quantistica ed appartiene a quella classe di teorie conosciute come teorie di gauge. In una teoria di gauge i campi sono descritti da rappresentazioni di un gruppo di simmetria e, l interazione tra i campi, mediata dai bosoni di gauge, è indotta 3

8 CAPITOLO 1. INTERAZIONI FONDAMENTALI E SVILUPPO DELLA QCD 4 dalla richiesta che la Lagrangiana sia invariante rispetto a trasformazioni locali arbitrarie dei campi. Nel linguaggio delle teorie di gauge l interazione elettrodebole è caratterizzata dalla simmetria di gauge U(1) SU(3). A questo punto, prese due particelle qualsiasi, ci si potrebbe chiedere a che tipo d interazioni potrebbero andare incontro; la risposta non è immediata, poichè ci sono una serie di fattori da considerare, come il tipo di particelle e la distanza a cui esse sono sottoposte. I campi fondamentali conosciuti oggi sono i leptoni e i quark che sono entrambi fermioni di spin 1 2 e i bosoni di gauge di spin 1 come il gluone (g), il fotone (γ) e i bosoni W ± e Z 0 che mediano l interazione forte, elettromagnetica e debole rispettivamente. Quark liberi isolati non sono mai stati trovati sperimentalmente. Stati legati di tre quark formano i così detti barioni, come il protone o il neutrone; combinazioni di un quark e un antiquark formano i mesoni come il pione. Barioni e mesoni sono chiamati adroni, particelle pesanti soggette a interazioni forti. Rispetto ai quark, i leptoni, come l elettrone e il suo neutrino, sono particelle più leggere, esistono come campi liberi e non sono soggetti a interazioni forti. I quark portano carica di colore, carica elettrica e isospin debole e quindi si accoppiano ai gluoni, i fotoni e i bosoni W ± e Z 0. Tutti i leptoni portano isospin debole e quindi sono soggetti alle interazioni deboli, ma solo i leptoni carichi hanno carica elettrica e sono soggetti a interazioni elettromagnetiche. Nel contesto del Modello Standard[3, 4, 5], tutte le particelle massive acquistano la loro massa dall accoppiamento al campo scalare Higgs. Infine, tutte le particelle si accoppiano al campo gravitone (G) di spin 2 che in una teoria quantistica della gravità è responsabile dell interazione gravitazionale. Ad ogni modo non esiste una teoria quantistica della gravità universalmente accettata. La teoria su cui vogliamo concentrarci adesso è la QCD. Storicamente, è stato lungo il percorso per arrivare, dalla realizzazione che l energia che lega il nucleo atomico è dovuta a una nuova interazione, alla formulazione della QCD, dato che i campi di base della teoria

9 CAPITOLO 1. INTERAZIONI FONDAMENTALI E SVILUPPO DELLA QCD 5 non sono mai stati osservati come particelle libere. Schematicamente, la strada dalla fisica nucleare alla QCD può essere separata in tre fasi; la prima può essere caratterizzata come l era della spettroscopia adronica che culminò con la formulazione del modello dei quark. Dopodiché venne una serie di esperimenti sullo scattering profondamente anelastico che hanno permesso di sviluppare il modello partonico dei quark e infine una serie di misure provarono le interazioni tra i quark e permisero i primi test quantitativi sulla QCD. 1.1 Il modello dei quark Quando si realizzò che l energia che lega i nucleoni era dovuta a un nuovo tipo d interazione tra protone e neutrone, vennero effettuati degli esperimenti di scattering che mostrarono non solo che l interazione era forte e che agiva solo su distanze molto piccole, ma anche una certa simmetria tra protoni e neutroni che furono incapsulati nel formalismo di isospin introdotto da Heisenberg. Fu Yukawa che intuì che una forza a corto range poteva essere plausibile assumendo che l interazione fosse mediata da un bosone pesante, il pione che venne poi scoperto nel Furono poi scoperte altre nuove particelle prodotte nelle interazioni tra la materia nucleare; alcune di queste decadevano velocemente, altre avevano vita media più lunga. Poiché le prime erano collegate all interazione forte, si suppose che le seconde decadevano attraverso l interazione debole. Lo strano comportamento di queste particelle che venivano prodotte nell interazione forte e poi decadevano debolmente, fu spiegato formalmente da Pais e Gell-Mann che introdussero un nuovo numero quantico, la stranezza che è conservata nelle interazioni forti e può essere violata dalla forza debole. Nel 1960 si era già arrivati a conoscere un gran numero di specie diverse di particelle elementari, furono Gell-Mann e Ne eman a classificarle in multipletti del gruppo di Lie unitario speciale SU(3), usando l isospin I e l ipercarica Y = B +S, la somma del numero barionico e la stranezza,

10 CAPITOLO 1. INTERAZIONI FONDAMENTALI E SVILUPPO DELLA QCD 6 come numeri quantici rilevanti. In accordo al gruppo SU(3), i quark 1 dovevano portare carica elettrica ± 1 3 e ±2 3 della carica dell elettrone, cosa che non era mai stata osservata. Quindi, la fisica delle particelle elementari ai tempi aveva iniziato a prendere piede sulla base di alcune particelle ipotetiche con nessuna evidenza sperimentale che potesse confermare la loro esistenza. Le proprietà dei quark e delle loro antiparticelle, sono date nella tabella 1.1. Quark Spin Parità e f I I 3 S B u 1/2 1 2/3 1/2 1/2 0 1/3 d 1/2 1 1/3 1/2 1/2 0 1/3 s 1/2 1 1/ /3 u 1/2 1 2/3 1/2 1/2 0 1/3 d 1/2 1 1/3 1/2 1/2 0 1/3 s 1/2 1 1/ /3 Tabella 1.1: Numeri quantici dei quark. 1.2 Il modello partonico dei quark Con il passare del tempo la costruzione degli acceleratori divenne sempre più sofisticata e a mano a mano che la loro struttura migliorava, la risoluzione con cui la materia poteva essere esplorata aumentava e fu possibile eseguire l esperimento di Rutherford per un nucleone piuttosto che per un atomo. La cinematica dell esperimento di scattering leptone-nucleone profondamente anelastico, è mostrata nella figura 1.1. Ad alta energia, un elettrone con energia iniziale E e quadrimpulso l, attraverso lo scambio di un fotonevirtuale è scatterato lontano da un nucleone di massa M e quadrimpulso p che è fermo nel sistema del laboratorio. L angolo di scattering dell elettrone 1 Il primo a dare il nome a queste particelle fu Gell-Mann [6]

11 CAPITOLO 1. INTERAZIONI FONDAMENTALI E SVILUPPO DELLA QCD 7 è θ. Lo stato finale è caratterizzato dal quadrimpulso l dell elettrone diffuso e p del sistema adronico con una massa invariante W.q l 0 l p n. p 3 p 2 p 0 = P p 1 P f a (; F ) p r Figura 1.1: DIS nel modello partonico. Partendo da questo semplice diagramma, mostreremo che tipo di fenomenologia ci si aspetta se il protone è uno stato legato di oggetti carichi puntiformi. Come primo passo è conveniente introdurre due nuove quantità, l energia trasferita ν dall elettrone al sistema adronico nel sistema di riposo dell adrone ν = E E = q P M h, e il quadrato del quadrimomento trasferito, portato dal fotone virtuale Q 2 = (l l ) 2. Si trova: Q 2 = 2M h (EM h E ) M 2 h W2 = 2M h ν +M 2 h W2 2M h ν

12 CAPITOLO 1. INTERAZIONI FONDAMENTALI E SVILUPPO DELLA QCD 8 dove l ultima uguaglianza per l ultimo termine è stata ottenuta nel caso limite M 2 h = W2, cioè nel caso dello scattering elastico. A questo punto possiamo introdurre la variabile di Bjorken x B : x B = Q2 2M h ν, 0 x B 1. Per procedere, dobbiamo conoscere la sezione d urto per lo scattering elastico di un elettrone con un fermione di spin 1 2, massa M h e carica e f. Si ottiene: dσ dq = 4πα2 em e2 f E 2 θ2 Q2 {cos + sin 2 θ }. 2 Q 4 E 2Mh 2 2 Da questa, possiamo derivare la sezione d urto doppiamente differenziale rispetto a Q 2 e ν, continuando con il caso dello scattering elastico: d 2 σ dq 2 dν = 4πα2 em e2 f E 2 θ2 Q2 {cos + sin 2 θ } ) δ (ν Q2. (1.1) Q 4 E 2Mh 2 2 2M h Nel caso di particelle non puntiformi, introducendo le funzioni di struttura W 1 (Q 2,ν) e W 2 (Q 2,ν), la sezione d urto doppiamente differenziale può essere scritta come: d 2 σ dq 2 dν = 4πα2 eme {W Q 4 2 (Q 2,ν)cos 2 θ2 E +2W 1(Q 2,ν) Q2 sin 2 θ } ) δ (ν Q2. (1.2) 2Mh 2 2 2M h Dall ultima equazione, le funzioni di struttura per lo scattering elastico di particelle puntiformi con carica e f sono: W el 1 (Q2,ν) = e 2 f Q 2 4M 2 h δ (ν Q2 2M h W el 2 (Q2,ν) = e 2 f δ ( ν Q2 2M h ) ). (1.3)

13 CAPITOLO 1. INTERAZIONI FONDAMENTALI E SVILUPPO DELLA QCD 9 Molto più interessante è il caso del modello partonico, dove le interazioni anelastiche elettronenucleone vengono studiate in termini di processi di scattering elastici incoerenti tra l elettrone e i costituenti puntiformi di un nucleone. In altre parole stiamo dicendo che, una singola interazione non accade con il nucleone intero, ma con uno dei suoi costituenti. Per descrivere questa situazione si deve dividere il quadrimpulso del nucleone tra i suoi costituenti. Ogni costituente i si porta dietro la frazione x i con una densità di probabilità f i (x i ), le cosiddette funzioni di densità partoniche (p.d.f.), che sta a indicare che la probabilità per x i di cadere nel range infinitesimale [x,x+dx] è data da f i (x)dx. Detto ciò, le funzioni di struttura W 1 e W 2 possono essere calcolate come sovrapposizioni delle equazioni delle funzioni di struttura elastiche (1.3) con pesi f i (x). Trattando i costituenti come oggetti puntiformi di massa M i data da M i = x i M h e integrando le funzioni δ, otteniamo: W 1 (Q 2,ν) = i = i W 2 (Q 2,ν) = i = i 0 dx i f i (x i )e 2 i e 2 i f 1 i(x) 2M h 0 Q 2 4x 2 i M2 h dx i f i (x i )e 2 i δ ( ν Q2 2M h x i ) δ (ν Q2 2M h x i e 2 i f i(x B ) x B ν. (1.4) ) Ne segue che, nel modello partonico, la variabile x B può essere identificata con la frazione di quadrimpulso x portata dal partone. Infine, possiamo scrivere in modo più compatto le funzioni di struttura facendole dipendere soltanto dalla ripartizione del quadrimpulso del nucleone tra i suoi costituenti: F 1 (x) M h W 1 = 1 e 2 2 if i (x) i F 2 (x) νw 2 = e 2 i xf i(x). (1.5) i

14 CAPITOLO 1. INTERAZIONI FONDAMENTALI E SVILUPPO DELLA QCD 10 La funzione di struttura F 1 misura la densità partonica come funzione di x, mentre F 2 descrive la densità del momento. Per concludere questa sezione facciamo una breve discussione sulle violazioni di scala. L uso di una scala nella diffusione profondamente anelastico deriva dall assunzione che all interno del nucleone ci sono centri di scattering puntiformi non interagenti. Sebbene questo quadro abbia, fenomenologicamente, gran successo, è ovvio che esso può essere valido soltanto approssimativamente. Dato che i partoni sono particelle cariche, devono essere prese in considerazione le interazioni elettromagnetiche tra i costituenti del nucleone. Con l aumentare del Q 2, la risoluzione spaziale e temporale aumenterà anche e sarà in grado di determinare le fluttuazioni del vuoto. Ciò significa che un quark a basso Q 2, viene visto come una particella puntiforme, ad alto momento trasferito invece, sarà risolto in più partoni. Come conseguenza, il quadri-momento totale del nucleone viene distribuito su tutti i costituenti e ciò implica uno smussamento della funzione di struttura. Con l aumentare del momento trasferito, il valore medio della frazione di momento x per partone diminuirà. La variazione nelle funzioni di struttura sarà proporzionale alla forza α dell interazione tra i partoni, cioè, potremmo aspettarci un comportamento qualitativo della forma df F α dq2 Q 2. (1.6) Dovute alle interazioni elettromagnetiche, noi così ci aspettiamo le violazioni di scala dlnf dlnq 2 α em (1.7) Le violazioni di scala sono state trovate sperimentalmente. Prendendo per esempio misure di F 2 dalla diffusione anelastica elettrone-nucleone, si trova F 2 (x = 0.5,Q 2 = 10GeV 2 ) 0.1

15 CAPITOLO 1. INTERAZIONI FONDAMENTALI E SVILUPPO DELLA QCD 11 e F 2 (x = 0.5,Q 2 = 100GeV 2 ) 0.07, che da dlnf dlnq Apparentemente, c è una forza forte che agisce tra i quark, molto più forte delle interazioni elettromagnetiche, che dev essere spiegata teoreticamente. 1.3 QCD Nel 1970 alcune osservazioni sperimentali hanno mostrato una chiara evidenza della sottostruttura partonica del nucleone dando supporto al concetto dei quark e hanno determinato alcune loro proprietà: gli adroni sono costituiti da quark carichi; i quark sono fermioni di spin 1 2 ; esistono tre tipi di colori per i quark; il colore esibisce una simmetria SU(3); i quark sono soggetti a un interazione forte. La simmetria SU(3) del colore è diversa e non dev essere confusa con quella del sapore; si potrebbe definire in modo molto elegante che il colore è un numero quantico di tipo carica, concettualmente simile alla carica elettrica o all isospin debole. Esso viene visto come la sorgente di un campo di colore che apparentemente tiene insieme i quark per formare gli adroni osservati, motivando il nome gluoni per il quanto del campo di colore.

16 CAPITOLO 1. INTERAZIONI FONDAMENTALI E SVILUPPO DELLA QCD 12 Ci sono buoni argomenti per pensare a una teoria di campo dell interazione forte basata sulla carica di colore dei quark. La richiesta che questa teoria fosse rinormalizzabile suggerì una teoria di gauge di Yang-Mills[7]. Assumendo una rottura della simmetria di gauge, la forma generale della Lagrangiana è: L QCD = 1 4 Fa µνf aµν + q q i (iγ µ D µ m q ) ij q j. (1.8) Il tensore di campo forte F a µν e la derivata covariante D µ sono dati dalle seguenti espressioni: F a µν = µ A a ν νa a µ gfabc A b µ Ac ν, (D µ ) ij = δ ij µ +ig s T a ija a µ, (m q ) ij = m q δ ij, dove glia a µ sono i campi dei gluoni, g s gliaccoppiamenti di gauge, f abc lecostanti distruttura e T a ij i generatori del gruppo di Lie che definisce la simmetria di gauge. Notiamo che la massa di un quark è indipendente dal suo colore. I parametri liberi della teoria sono i termini di massa e la costante di accoppiamento g s. Per la teoria SU(3) ci sono 8 generatori T a = λ a /2, con λ a matrici di Gell-Mann 2. Le costanti di struttura del gruppo, f abc = f abc, definite attraverso le relazioni [T a,t b ] = if abc T c, sono totalmente antisimmetrici nei loro indici. La parte gluonica derivata dal tensore di campo forte consiste di un termine di campo libero e due termini d interazioni dove i gluoni si accoppiano ai gluoni. Quest accoppiamento tra bosoni di gauge ècaratteristico di una teoria di gaugebasata su ungruppo nonabeliano dove i bosoni di gauge portano la carica dell interazione, colore nel caso della QCD, e riescono ad accoppiarsi direttamente con sé stessi. La parte fermionica della Lagrangiana è una somma su tutti i sapori dei quark, con un termine di campo libero e un termine per l accoppiamento quark-gluone. L accoppiamento tra tre gluoni e quello tra gluone e quark, sono proporzionali a g s, l accoppiamento tra quattro gluoni è proporzionale a gs 2. I colori dei quark sono 2 per maggiori dettagli[8]

17 CAPITOLO 1. INTERAZIONI FONDAMENTALI E SVILUPPO DELLA QCD 13 indicati da i,j = 1,2,3, i colori dei gluoni da a,b,c = 1,...,8. L accoppiamento tra tre gluoni di stati di colore a,b,c è proporzionale alla costante di struttura f abc e l accoppiamento tra due quark di colori i e j a un gluone di tipo a è proporzionale all elemento di matrice T a ij. Inoltre, si può dimostrare che la probabilità per l emissione di un gluone è la stessa per tutti i colori dei quark, che la probabilità che un gluone si dirami in una coppia di quark è la stessa per tutti gli stati di gluone com è la probabilità che un gluone si divida in altri due gluoni secondari. Indicando le relative forze delle probabilità di splitting con C F, C A e T F per la radiazione di un gluone da un quark, lo splitting di un gluone in altri due gluoni secondari e lo splitting di un gluone in due quark, rispettivamente, la QCD prevede C F = 4/3, C A = 3 e T F = 1/2. Dato che questi numeri sono proporzionali alla normalizzazione dei generatori del gruppo, solo i loro rapporti hanno un significato fisico: C A /C F = 9/4 e T F /C F = 3/8. Il primo rapporto può essere interpretato come il rapporto delle cariche di colore tra gluoni e quark, ciò significa che il gluone ha una carica di colore più di due volte più grande di quella dei quark. In generale, usare la QCD per descrivere una reazione, significa usare la QCD perturbativa (pqcd). L applicazione della teoria perturbativa si basa sul fatto che l accoppiamento forte è molto piccolo. Una proprietà molto importante della QCD è che la misura dell accoppiamento forte varia con la misura del momento caratteristico trasferito in un processo; essi sono inversamente proporzionali. All ordine dominante si trova α s g2 s (Q2 ) 4π = 1 β 0 ln(q 2 /Λ 2 QCD con β 0 = 11C A 4T F n f 12π (1.9) Qui Λ QCD è una scala di energia a cui gli effetti non perturbativi diventano importanti. Concentrando la nostra attenzione sui processi ad alto momento trasferito, Q 2 Λ QCD con Λ QCD R 1 0, implica, in virtù del principio d indeterminazione, che noi vediamo la natura

18 CAPITOLO 1. INTERAZIONI FONDAMENTALI E SVILUPPO DELLA QCD 14 su una piccola scala sub-nucleare. A questa scala gli adroni appaiono essere composti da quark, anti-quark e gluoni che appaiono nella Lagrangiana della QCD. Ciò permette agli adroni di essere caratterizzati da funzioni di densità partonica (p.d.f.) che descrivono le distribuzioni dei partoni come una funzione della frazione del momento dell adrone genitore che essi si portano dietro. Nel modello partonico, le sezioni d urto per i processi duri sono calcolate in termini dello scattering al livello ad albero o dell annichilazione di quark e gluoni convoluti con le appropriate p.d.f., che sono indipendenti dal processo duro. L approccio che noi useremo è la teoria perturbativa ad ordine fissato. Per descrivere un determinato tipo di evento usando la teoria perturbativa ad ordine fissato, vengono identificate le sue caratteristiche dominanti, tipicamente gli spray di adroni noti con il nome di jet, e questi vengono associati ai partoni primari ben separati. In questo modo l evento è paragonato all ampiezza di scattering che contiene i partoni primari come stati esterni. Quest ampiezza è descritta da una sequenza di diagrammi di Feynman che possono essere raggruppati in insiemi secondo alla potenza degli accoppiamenti di gauge g s = 4πα s. Il più semplice insieme di diagrammi (ad albero) contribuisce alla sezione d urto, che è proporzionale all ampiezza al quadrato, all ordine O(α n s) dove la potenza n è caratteristica del processo; questa è l approssimazione all ordine dominante. Il successivo insieme di diagrammi (a un loop) contribuisce all ordine O(αs n+1 ); questa è l approssimazione all ordine sottodominante. Tramite quest approccio nasce una complicazione perché i diagrammi divergono ogni volta che i partoni esterni diventano soffici o collineari, o quando si considerano correzioni virtuali. In seguito discuteremo i modi di trattare le divergenze ultraviolette e quelle infrarosse.

19 Capitolo 2 Diffusione profondamente anelastica Il modello partonico ingenuo è indipendente dalla QCD, esso infatti è stato inventato prima che la QCD venisse formulata[9, 10] e all inizio ha preso piede come un modello quasiclassico per spiegare lo scattering profondamente anelastico (DIS); tale modello era basato sull idea che un adrone può essere descritto da un insieme di partoni indipendenti, con momento trasverso piccolo, da cui un leptone può essere diffuso attraverso lo scambio di un bosone. Il modello dei quark costituenti fornisce numeri quantici a questi partoni e suggerisce relazioni tra le varie funzioni di struttura[11]. Il modello partonico prende vita quando aggiungiamo le correzioni pqcd[12]. Un essenziale caratteristica del modello partonico è la separazione di una sezione d urto in funzioni che descrivono gli scattering partonici e le p.d.f., indipendenti dal tipo di scattering, che caratterizzano gli adroni. Per mantenere questa separazione, in presenza delle correzioni dovute alla QCD, siamo obbligati a trattare le p.d.f. come dipendenti dalla scala, ovvero, funzioni di x e Q 2. Ciò introduce l idea che un partone possa generare partoni figli e che questi vengono rivelati quando il Q 2 del bosone vettore viene aumentato. Questa dipendenza dalla scala è governata dalle famose equazioni DGLAP[13, 14, 15]. Quello che faremo adesso è trattare lo scattering profondamente anelastico al livello ad 15

20 CAPITOLO 2. DIFFUSIONE PROFONDAMENTE ANELASTICA 16 albero e dare lo sviluppo delle correzioni pqcd all ordine sottodominante in DIS e della fattorizzazione. Dopodichè presteremo attenzione all evoluzione delle equazioni DGLAP. 2.1 DIS al livello partonico La descrizione formale dello scattering leptone-partone segue da quella dovuta allo scattering leptone-adrone, dato che gli adroni vengono pensati come composti da particelle con costituenti partonici, quark, anti-quark e gluone. Consideriamo la diffusione leptone-adrone del tipo lh l X, dove h rappresenta un adrone qualsiasi; la sezione d urto inclusiva per questo processo, ha una struttura della forma: dσ lh = 1 (g lv g hv ) 2 4l p(q 2 V +M2 V )2L µνh µν d 3 l (4π) 2E l (2π) 3, (2.1) dovel µν eh µν sonorispettivamenteiltensoreleptonicoeiltensoreadronico(nonciinteressa dare una forma esplicita a questi due tensori, ci interessa vedere in generale qual è la struttura della sezione d urto adronica per poter comprendere meglio lo scattering leptone-partone) e, inoltre, usiamo la notazione q µ V per indicare il momento di un qualsiasi bosone scambiato. La sezione d urto partonica che indichiamo con dˆσ lf, è data da quella scritta sopra con una particolare modifica: il momento dell adrone p µ è sostituito dal momento del partone yp µ. Allora, la sezione d urto partonica non è altro che la sezione d urto adronica pesata dalle p.d.f. degli adroni: dσ (lh) = f=q,q,g e in particolare il tensore adronico prende la forma: H (Vh) µν (p,q V ) = 0 f=q,q,g dyf h (y)dˆσ (lf) ( x y 0 ), (2.2) dy y f h(y)ĥ(vf) µν (yp,q V ). (2.3)

21 CAPITOLO 2. DIFFUSIONE PROFONDAMENTE ANELASTICA 17 Lavorare con il tensore adronico è utile per far risaltare due combinazioni delle funzioni di struttura 1, H (Vh) Σ H (Vh) L η µν H (Vh) µν = (D 2) F 2 2x p µ p ν H (Vh) µν = Q2 (2x) 2 [ F2 2x (1+ (2xM ) h) 2 Q 2 [ F2 (D 1) 2x (1+ (2xM h) ) F 2 1 ](1+ (2xM h) 2 Q 2 (1+ (2xM h) 2 Q 2 Q 2 ) F 1 ], (2.4) ). (2.5) Esse semplificheranno le espressioni con cui andremo a lavorare. Qui, abbiamo scelto di lavorare in D = 4 2ǫ dimensioni. Allo stesso modo, queste due proiezioni possono essere definite a livello partonico, otteniamo: H (Vh) Σ H (Vh) L = f=q,q,g 0 = f=q,q,g 0 dy y fh(y)ĥ(vf) Σ (yp,q V ) = q,q,g dy y 3fh(y)Ĥ(Vf) L (yp,q V ) = q,q,g dz x h( z f z x 1 x 2 x )Ĥ(Vf) Σ (z) (2.6) dz x h( )Ĥ(Vf) z f L (z). (2.7) z Ricordiamo che l uso di uno scala implica che le Ĥ(Vf) i sono funzioni di Q 2 /(y2p q V ) = x/y. Il vantaggio della funzione di struttura totale, Ĥ (Vf) Σ, è che essa è essenzialmente l elemento di matrice al quadrato per il sotto-processo bosone-partone. La funzione di struttura - longitudinale, Ĥ (Vf) L, è particolarmente utile in quanto molti diagrammi danno contributi nulli e quelli che non scompaiono a O(α s ), sono liberi da singolarità infrarosse. Una volta calcolate H Σ e H L, possiamo invertire le equazioni (2.4) e (2.5) per ottenere le funzioni di struttura F 2 e F 1, F 2 (x) x = 1 (1 ǫ) H(Vh) Σ = f=q,q,g x dz z f + (3 2ǫ) (1 ǫ) ( )[ dz z 4x 2 Q 2 H(Vh) L (1 ǫ)ĥ(vf) 1 Σ (z)+ (3 2ǫ) ] 4z 2 (1 ǫ) Q 2Ĥ(Vf) L (2.8) 1 Queste funzioni di struttura sono funzioni di yp µ e q µ V nella combinazione qv 2 /(y2p q V) che, grazie alla scala di Bjorken[16] si presentano

22 CAPITOLO 2. DIFFUSIONE PROFONDAMENTE ANELASTICA 18 F 1 F 2(x) 2x = 4x2 = Q 2 H(Vh) L f=q,q,g x dz ( x ) 4z 2 z f z Q 2Ĥ(Vf) L (z). (2.9) Qui, per semplificare, abbiamo assunto che i termini 2xM h /Q siano trascurabili e nella discussione seguente trascureremo tutte le masse dei quark. 2.2 DIS all ordine dominante Calcoliamo i contributi all ordine dominante in DIS nel modello partonico; al momento ci concentreremo solo sullo scambio elettromagnetico in cui un fotone si accoppia elettricamente ai partoni carichi: quark e anti-quark. La simmetria della coniugazione di carica della QED e della QCD ci assicura che quark e anti-quark danno lo stesso contributo; così abbiamo bisogno di considerare soltanto il sotto-processo ad albero γq q. Per calcolare Ĥ(γq) Σ, consideriamo prima l elemento di matrice al quadrato che viene facilmente valutato in D dimensioni, M(γq q ) 2 = e 2 e 2 q N c(1 ǫ)tr{1}q 2. (2.10) Qui Q 2 = (q q) 2 = 2q q > 0, e è la carica dell elettrone, e q è la carica del quark in unità della carica dell elettrone. Successivamente, facciamo la media sulle polarizzazioni di spin e colore del quark entrante, 2N c, e includiamo l integrale sullo spazio delle fasi a un corpo[8] per ottenere dφ M(γq q ) 2 = 2e 2 e 2 q (1 ǫ)q2 2πδ(q 2 ), (2.11) dove abbiamo usato Tr{1} = 4. Dato che il quark porta una frazione y del momento dell adrone genitore, q µ = yp µ, la

23 CAPITOLO 2. DIFFUSIONE PROFONDAMENTE ANELASTICA 19 funzione δ può essere riscritta come q 2 = (yp+q γ ) 2 = y2p q γ Q 2 = 2p q γ (y x)1 δ(q 2 ) = 1 2p q γ δ(y x). (2.12) Qui x è la solita variabile di Bjorken. A questo punto, osserviamo che l origine di questo fattore δ(y x) è puramente cinematico e perciò possiamo anticipare che tutte le correzioni a un loop, al vertice γq q, saranno proporzionali a δ(y x). Infine, dividendo per un fattore 4πe 2, otteniamo Ĥ (γq) Σ 1 4πe 2 dφ M(γq q ) 2 = e 2 q (1 ǫ) Q 2 2p qγδ(y x) = e 2 q (1 ǫ)xδ(y x). (2.13) L effetto della funzione δ, è quello di selezionare solo i quark con frazione di momento x. Il calcolo di Ĥ (γq L è più semplice, in quanto esso scompare a causa del fatto che, considerando quark senza massa, q/u(q) = 0, il che implica q µ M µ (γq q ) u(q )q/u(q) = 0. (2.14) Possiamo adesso ottenere le funzioni di struttura elettromagnetiche, all ordine più basso 2xF (γh) 1 (x) = F (γh) 2 (x) = x f=q,q Questo conferma la relazione di Callan-Gross tra F 1 e F 2. e 2 f f h(x). (2.15) 2.3 Fattorizzazione Un numero di processi contribuiscono allefunzioni di struttura all ordine O(α s ); se il partone è un quark, abbiamo lo scattering al livello ad albero γq q g, il cosiddetto processo Compton in QCD. A questo dev essere aggiunto il contributo dovuto all interferenza tra

24 CAPITOLO 2. DIFFUSIONE PROFONDAMENTE ANELASTICA 20 il livello ad albero e la correzione a un loop per lo scattering di base γq q. Questi contributi comportano delle divergenze infrarosse quando i gluoni reali vengono emessi o con energia molto bassa o collinearmente alla particella emittente[17]. A queste si aggiungono le divergenze ultraviolette che hanno origine nei diagrammi a un loop. Concentriamoci sul processo ad albero, all ordine O(α s ), γq q g e in particolare sulla funzione di struttura Ĥ(γq) Σ, dato che contiene esempi di tutte le singolarità che dovremmo andare a trattare. Come abbiamo visto, Ĥ (γq) σ è proporzionale all elemento di matrice al quadrato per il sotto-processo duro. Tale elemento di matrice al quadrato, è dato da g q M(γq q g) 2 = 8e 2 e 2 q g2 s Tr{Ta T }[ a g q + g q ] g q + Q2 (q q ). (2.16) (g q)(g q ) I tre termini corrispondono all emissione del gluone da parte del quark uscente, da parte del quark entrante e l interferenza tra i due contributi rispettivamente. per ottenere Ĥ(γq) Σ, abbiamo bisogno di mediare sugli spin e i colori, 2N c, dei quark entranti, dividere per il fattore convenzionale 4πe 2 e integrare sullo spazio delle fasi delle particelle nello stato finale, Ĥ (γq) 1 Σ = 4πe 2 = 4e 2 q α sc F dφ 2 M(γq q g) 2 [ g q dφ 2 g q + g q ] g q + Q2 (q q ). (2.17) (g q)(g q ) Abbiamo usato Tr{T a T a } = C F N c. Soffermiamoci sui propagatori che sono proporzianali a [E g (1 cosθ)] 1, vediamo che quest espressione ha un certo numero di regioni singolari; ci sono singolarità collineari quando il gluone viene emesso parallelo al quark entrante, g q 0, o al quark uscente g q 0. C è anche una singolarità soffice quando l energia del gluone si annulla. Le singolarità collineari sono associate alla scomparsa dei propagatori relativi ai quark appena prima o subito dopo l interazione col fotone, possiamo quindi anticipare che la singolarità collineare nello stato iniziale può essere naturalmente associata all adrone entrante e può essere assorbita all interno di esso. Le singolarità, collineare e soffice, del

25 CAPITOLO 2. DIFFUSIONE PROFONDAMENTE ANELASTICA 21 gluone nello stato finale, implicano entrambe una particella senza massa nello stato finale, ŝ = (g +q ) 2 = 2g q = (q+q γ ) 2 = y2p q γ Q 2 = Q 2 ( y x 1 ) = Q 2(1 z). (2.18) z Nella seconda linea, abbiamo considerato che il quark entrante porta una frazione di momento y, cioè, q µ = yp µ e abbiamo introdotto z = x/y. Così, ŝ = 2g q 0 è equivalente a Q 2 (y/x 1) 0 cosicché queste sngolarità coinvolgono la cinematica dello scattering duro all ordine più basso a cui esse devono essere conseguentemente associate. Esse costruiscono anche lo spettro delle sezioni d urto singolari infrarosse. Per valutare g q e q q, è conveniente lavorare nel sistema del centro di massa. Qui, i momenti delle particelle senza massa, q,q,g, possono essere scritti come Esse ci permettono di dedurre che q µ = ˆp in (1,0,0,1) con ˆp in = (ŝ+q2 ) 2 ŝ q µ = ˆp out (1, sinθ,0, cosθ) g µ = ˆp out (1,sinθ,0,cosθ) con ˆp out = ŝ (ŝ+q 2 ) 2g q = (1 cosθ) ŝ ŝ 2. (2.19) = Q2 (1 cosθ), (2.20) 2z ŝ 2g q = 2 (ŝ+q2 ) 2 ŝ 2 (1+cosθ) = Q2 (1+cosθ). (2.21) 2z In termini di queste variabili nel centro di massa, l equazione (2.17) diventa Ĥ (γq) Σ = 4e 2 q α 1 sc F 8π ˆp out ŝ 1 dcosθ [ 2(1 z) (1 cosθ) + (1 cosθ) + 2z(1+cosθ) 2(1 z) (1 z)(1 cosθ) ]. (2.22)

26 CAPITOLO 2. DIFFUSIONE PROFONDAMENTE ANELASTICA 22 Vediamo che la singolarità cos θ 1 nell equazione (2.22) nasce quando la direzione del gluone si avvicina a quella del quark entrante. Il gluone soffice e le singolarità nello stato finale si manifestano come la singolarità z 1, vedere l equazione (2.18). Ora, piuttosto che lavorare con il cos θ, scegliamo di usare il momento trasverso del gluone misurato rispetto alla direzione del quark entrante, k 2 T = ˆp out sin 2 θ = Q4 4 (1 z) (1 cosθ) dk2 T z kt 2 = 2cosθ dcosθ (1+cosθ)(1 cosθ). (2.23) Il limite cosθ 1, ora diventa k 2 T 0. Facendo questo cambio di variabili nell equazione (2.22) otteniamo Ĥ (γq) Σ α s = e 2 q 2π C F Q 2 (1 z) 4z dkt 2 k 2 k 2 T [ 2cosθ (1 z) 2 +(1+cosθ)z + 1 cosθ ],(2.24) (1+cosθ) (1 z) 4(1 z) dove cosθ è ora implicitamente dato in termini di k T. Notiamo che abbiamo introdotto un cut-off, k 2, sul momento trasverso per regolare la singolarità collineare. A piccoli angoli, cos θ 1, la virtualità del quark intermedio, 2g q nell equazione (2.20), e il momento trasverso del gluone, equazione (2.23), sono collegati da 2(g q) = kt 2/(1 z). Così, k 2 rappresenta anche un limite più basso sulla virtualità minima del quark intermedio, equivalente a un limite più alto sulla distanza in cui esso viaggia. Questa descrizione viene sostituita dalla regolarizzazione dimensionale (vedere il paragrafo successivo). Concentrandoci sulla regione collineare (cos θ 1) otteniamo Ĥ (γq) Σ α s = e 2 q 2π C F { Q 2 1 z z k 2 dk 2 T k 2 T ( 1+z 2 1 z } )+R (z)+o( k 2 Q 2). (2.25) Lo stato finale, presenta ancora la singolarità z 1 in questo risultato. Invocando la correzione al vertice γq q che è proporzionale a δ(1 z), questa singolarità viene rimossa. Una trattazione più appropriata dovrebbe dimostrarci che il coefficiente è in realtà una

27 CAPITOLO 2. DIFFUSIONE PROFONDAMENTE ANELASTICA 23 distribuzione, Ĥ (γq) Σ α s = e 2 q 2π C F α s e 2 q 2π { Q 2 1 z z k 2 dkt 2 kt 2 { P (0) qq (z)ln ( Q 2 k 2 [ ] } 1+z 2 +C qq δ(1 z) +R (z) (1 z) + ) } +R(z), dove P (0) qq = C F 1+z 2 (1 z) + (2.26) Qui abbiamo introdotto 1/(1 z) +, dove questa prescrizione viene definita da F(z) + = F(z) δ(1 z) 0 dyf(y). (2.27) Detto questo, il calcolo completo dell equazione ci avrebbe dato la forma specifica di C qq e tramite questo avremmo trovato la forma regolarizzata, all ordine più basso, della funzione di splitting di Altarelli-Parisi P (0) qq (z). Infine, una volta trovato un simile risultato per Ĥ(γq) L, che ènon-singolare, possiamousareleequazioni (2.8)e(2.9)perderivareF 2 ef 1. Includendo i contributi all ordine più basso, e, per semplicità, omettendo la somma su tutti i sapori dei quark, l equazione (2.15) dà F 2 (x,q 2,k ) xe 2 q = x = q(x)+ dz ( x ) { z q δ(1 z)+ α s z 2π x [ P (0) qq (z)ln dz ( x ) [ ( z q αs Q P qq (0) 2 z 2π (z)ln k 2 ( ) Q 2 k 2 ]} +R qq (z) ) ] +R qq (z). (2.28) In quest espressione, non mostriamo esplicitamente alcuna dipendenza dalla scala di rinormalizzazione µ R che non compare all ordine O(α s ). Ora, avendo identificato e isolato la singolarità dello stato iniziale in F 2, dobbiamo decidere come trattarla. Nell equazione (2.28) troviamo un logaritmo che viene fuori dalla singolarità collineare che noi abbiamo identificato con la fisica a grandi distanze. Quello che ci piacerebbe fare è fattorizzare l equazione (2.28) in modo tale che la fisica a grandi distanze sia tutta contenuta dentro la p.d.f. specifica dell adrone e la fisica a piccole distanze, dentro una funzione specifica del sotto-processo duro. Per facilitare la separazione di questi due contributi, introduciamo una nuova scala di fattorizzazione µ F all interno dell equazione (2.28). Il nostro

28 CAPITOLO 2. DIFFUSIONE PROFONDAMENTE ANELASTICA 24 scopo è quello di spostare la singolarità logaritmica in q(x), ma siamo anche liberi di spostare una parte o tutto il termine finito R qq in q(x), di conseguenza introduciamo un arbitraria funzione finita R F q (z) nell equazione (2.28). L introduzione di µ F e di R F q, costituisce uno schema di fattorizzazione; otteniamo F 2 (x,q 2 ;k ) xe 2 q = q(x)+ + q(x)+ x x dz ( x z q z dz z q ( x z ) αs 2π ) αs 2π [ P (0) qq (z)ln ( µ 2 F k 2 [ P (0) qq (z)ln ( µ 2 F k 2 )+R Fq (z) ] )+R qq (z) R Fq (z) ] (2.29) Questa forma suggerisce la definizione di una scala di fattorizzazione e uno schema dipendente dalla p.d.f. che assorbe l intera singolarità collineare q F (x,µ F,R F q ;k ) = q(x)+ x dz ( x ) [ ( ] z q αs µ P qq (0) 2 z 2π (z)ln F )+R Fq k (z). (2.30) 2 Il secondo termine sulla destra dell equazione (2.30) è logaritmicamente divergente con k 2 0, ma ci aspettiamo che la p.d.f. sulla sinistra, sia finita. Allora, richiediamo che la p.d.f. nuda q(x), contenga una divergenza logaritmica in k 2 che compensa quella che compare nel secondo termine sulla destra, in modo tale che la loro somma sia finita e indipendente da k 2 nel limite in cui k 2 0, q F (x,µ F,R F q ;k ) = q(x;k )+ x dz ( x ) [ ( ] z q αs µ z ;k P qq (0) 2 2π (z)ln F )+R Fq k (z).(2.31) 2 Questa p.d.f. adesso è finita e tramite essa, possiamo riscrivere la (2.28) come F 2 (x,q 2 ) xe 2 q = q F (x,µ 2 F,RF q ) + = x { x dz ( x ) z qf z,µ F,Rq F αs 2π ) dz ( x z qf z,µ F,Rq F δ(1 z)+ α s 2π [ P (0) qq (z)ln [ P (0) qq (z)ln ( ) Q 2 µ 2 F ( ) Q 2 µ 2 F ] +R qq (z) Rq F (z) ]} +R qq (z) Rq F (z). (2.32) Il significato di µ F è che esso delimita il confine tra piccole Q > µ F e grandi Q < µ F distanze fisiche. Nell equazione (2.32), la scelta di µ F e di R F q è arbitraria. Per la scala, la scelta di

29 CAPITOLO 2. DIFFUSIONE PROFONDAMENTE ANELASTICA 25 µ F = Q è chiaramente vantaggioso: F 2 (x,q 2 ) xe 2 q = x dz ( x ){ z qf z,q2,rq F δ(1 z)+ α } s 2π [R qq(z) Rq F (z)]. (2.33) La scelta dei termini finiti R qq nell equazione (2.28) per assorbire R F q, definisce lo schema di fattorizzazione. Ci sono vari tipi di schemi che vengono usati, il più popolare è lo schema di sottrazione minimale; in esso, soltanto il termine singolare viene assorbito nella funzione di distribuzione partonica, ovvero, R MS q = DIS all ordine sottodominante Nella sezione precedente, abbiamo discusso sulla fattorizzazione evitando dettagli tecnici. Adesso, utilizzeremo quanto detto per il caso del DIS e utilizzeremo il metodo di regolarizzazione dimensionale[18] per trattare tutte le singolarità; tale metodo consiste nel sostituire l integrale in 4 dimensioni, con un integrale in D dimensioni: 1. l indice spazio-temporale µ andrà da 0 a D 1, cosicchè:; p µ (p 0,p 1,p 2,...,p D 1 ); g µ µ g µνg µν = D; 2. in 4 dimensioni {γ µ,γ ν } = 2g µν ; questa viene soddisfatta anche in D dimensioni:; γ µ γ µ = D; γ µ γ ν γ µ = (2 D)γ ν ; 3. l integrale di misura ha la forma:

30 CAPITOLO 2. DIFFUSIONE PROFONDAMENTE ANELASTICA 26 d D p 2 (2π) D ; si trovano inoltre i seguenti risultati: d D p 2 Γ(n 1 = iπ D) D (p s)n Γ(n) 1 s n D 2 (2.34) d D p µ 2 p 2 = 0 (p 2 2 +s) n (2.35) d D p µ p 2p ν 2 Γ(n 1 2 = iπ D (p 2 2 +s) n 2 2 g µν 2Γ(n) 1. (2.36) s n D 2 Tornando al nostro processo di diffusione, ci sono due contributi al processo γq q che devono essere considerati all ordine O(α s ). Lo scattering reale al livello ad albero γq q g e la correzione virtuale a un loop al processo γq q. L ampiezza d-dimensionale al quadrato per lo scattering reale, è data da M(γq q g) 2 = e 2 e 2 q (g sµ ǫ ) 2 C F N c 2Tr{1}(1 ǫ) { [ g q (1 ǫ) g q + g ] } q + Q2 (q q ) g q (g q)(g q ) +2ǫ, (2.37) dove Tr{T a T a } = C F N c. Come prima, scegliamo di usare le variabili nel centro di massa: 2g q = Q2 Q2 (1 z), 2g q = z z ν e 2q q = Q2 (1 ν), (2.38) z dove, abbiamo sostituito il cosθ con ν = (1 + cosθ)/2. In termini di queste variabili, otteniamo M(γq q g) 2 = e 2 e 2 q(g s µ ǫ ) 2 C F N c 2Tr{1}(1 ǫ) { [ ν (1 ǫ) (1 z) + (1 z) ] ν + 2z } (1 ν) +2ǫ.(2.39) (1 z) ν A quest espressione, dovremmo aggiungere una media sugli spin e il colore del quark entrante, 2N c, dividendo per il fattore convenzionale 4πe 2 e includendo l integrale sullo spazio delle

31 CAPITOLO 2. DIFFUSIONE PROFONDAMENTE ANELASTICA 27 fasi a due corpi[8]. Abbiamo Ĥ (γq) Σ,R = 1 M(γq gq ) 2 4πe 2 = e 2 q α sc F 4 1 ( ) ˆp ŝ out πµ 2 ǫ (1 ǫ) 4π ˆp 2 out Γ(1 ǫ) [ dνν ǫ (1 ν) {(1 ǫ) ǫ 0 ν (1 z) + (1 z) ν L integrale su ν è l usuale funzione di Eulero ed è valutato per dare ] + 2z } (1 ν) +2ǫ(2.40). (1 z) ν dνν ǫ (1 ν) ǫ {...} 0 [ 1 Γ(2 ǫ)γ(1 ǫ) = (1 ǫ) +(1 z) Γ( ǫ)γ(1 ǫ) ] (1 z) Γ(3 2ǫ) Γ(1 2ǫ) 2z Γ( ǫ)γ(2 ǫ) + +2ǫ Γ2 (1 ǫ) (1 z) Γ(2 2ǫ) Γ(2 2ǫ) { = Γ2 (1 ǫ) (1 ǫ) [ ] } 1 2z 1 (1 ǫ) (1 z)+ + Γ(1 2ǫ) ǫ (1 2ǫ)(1 z) 2(1 z) (1 2ǫ) + 2ǫ (1 2ǫ) { = Γ2 (1 ǫ) 1 1+z 2 Γ(1 2ǫ) ǫ(1 z) 3 ( ) } 1 2(1 z) +3 z ǫ+o(ǫ 2 ). (2.41) 2(1 z) Sostituendo quest espressione nella (2.40), otteniamo Ĥ (γq) Σ,R = α s e2 q ( ) 4πµ 2 ǫ 2π C z F (1 ǫ) Γ(1 ǫ) Q 2 (1 z) Γ(1 2ǫ) { 1 1+z 2 ǫ(1 z) 3 ( 1 2(1 z) +3 z (1 z) ) } ǫ+o(ǫ 2 ). (2.42) Prendere il limite ǫ 0, è un pò complicato, ma usando l identità otteniamo z ǫ = 1 ( ) (1 z) 1+ǫ ǫ δ(1 z)+ 1 ln(1 z) ǫ (1 z) + 1 z + +ǫ lnz 1 z, (2.43) Ĥ (γq) Σ,R ( ) = α s 4πµ 2 ǫ e2 q 2π C F (1 ǫ) Γ(1 ǫ) Q 2 Γ(1 2ǫ) ( 2 { ǫ ǫ + 7 ) δ(1 z) 1 ( ) 1+z 2 ln(1 z) +(1+z 2 ) 2 ǫ(1 z) + 1 z 1+z2 (1 z) lnz z +O(ǫ)}. (2.44) 2(1 z) + +

32 CAPITOLO 2. DIFFUSIONE PROFONDAMENTE ANELASTICA 28 Il doppio polo, 1/ǫ 2 è dovuto alla singolarità soffice del gluone. Un secondo contributo alla funzione di struttura totale all ordine O(α s ), viene dall interferenza tra il processo γq 0 con correzione a un loop e il livello ad albero. Le strutture del vertice a un loop e del diagramma ad albero sono le stesse, cosicché possiamo combinarle in un vertice effettivo [ iγ µ = iee q γ µ 1 α s 4π C F [ = iee q γ µ 1 α s 4π C F ( ) 4πµ 2 ǫ γ(1+ǫ)γ 2 (1 ǫ) Q 2 ( 4πµ 2 Q 2 Γ(1 2ǫ) ) ǫ Γ(1 ǫ) Γ(1 2ǫ) ( 2 ǫ + 3 )] 2 ǫ +8 ( 2 ǫ + 3 π ǫ 3 +O(ǫ) )]. (2.45) Nella seconda linea, abbiamo usato Γ(1 + ǫ)γ(1 ǫ) = 1 + (π 2 /6)ǫ 2 + O(ǫ 4 ). L equazione (2.45) possiede singolarità infrarosse ma non ultraviolette. Il calcolo di questo contributo addizionale a Ĥ(γq) Σ è immediato e ci dà Ĥ (γq) Σ,V = e 2 q (1 ǫ)δ(1 z) { 1 2 α ( ) s 4πµ 2 ǫ ( 2π C Γ(1 ǫ) 2 F Q 2 Γ(1 2ǫ) ǫ + 3 )} π ǫ 3 +O(ǫ). (2.46) Sommando membro a membro l equazione (2.44) e l equazione (2.45) vediamo che i termini 1/ǫ 2 si cancellano: Ĥ (γq) Σ = e 2 α { [ s 1+z 2 q 2π C F(1 ǫ) + 3 ] ( 1 (1 z) + 2 δ(1 z) Γ(1 ǫ) 4πµ 2 ǫγ(1 2ǫ) Q ( ) 2 ln(1 z) + (1+z 2 ) 1+z2 1 z 1 z lnz z 2(1 z) + + ) ǫ ( π2 3 ) } δ(1 z). (2.47) Il polo rimanente 1/ǫ è associato alla singolarità collineare per l emissione del gluone da parte del quark entrante, il suo coefficiente è la funzioni di splitting di Altarelli-Parisi a un loop regolarizzata [ 1+z P qq (0) 2 = C F + 3 ] ( ) 1+z 2 (1 z) + 2 δ(1 z) = C F 1 z +. (2.48) Abbiamo anche bisogno di calcolare la parte longitudinale del tensore adronico; ciò è particolarmente facile all ordine O(α s ) dato che molti contributi scompaiono nel limite di quark

33 CAPITOLO 2. DIFFUSIONE PROFONDAMENTE ANELASTICA 29 senza massa. Abbiamo visto tramite l equazione (2.14) che il diagramma ad albero e quello dovuto alla correzione virtuale non danno contributo, ciò implica che la funzione di struttura longitudinale, F L H L, è dell ordine O(α s ). Considerando il contributo al livello ad albero all ordine O(α s ) e di nuovo assumendo quark senza massa, in modo che q/u(q) = 0, abbiamo ] q µ M(γq q g) u(q (q/+g/) ) [γ (q/ g/) σ (q +g) 2q/+q/ (q g) 2γ σ u(q)ǫ σ (g) u(q q/g/ ) 2q g γ σu(q)ǫ σ (g). (2.49) Così, il diagramma che descrive la radiazione del gluone da parte del quark diffuso non dà contributo, lasciando solo il diagramma che descrive la radiazione del gluone da parte del quark entrante. Quadrando questo diagramma e sommando sugli spin, dove noi possiamo usare g σσ per il tensore di polarizzazione del gluone, otteniamo M(γq q g) 2 = e 2 e 2 q(g s µ ǫ ) 2 1 C F N c (2q g) Tr[q /q/g/γ σ q/γ σ g/q/] = e 2 e 2 q (g sµ ǫ 1 )C F N c /q/g/q/g/q/] (2q g) 22(1 ǫ)tr[q = e 2 e 2 q (g sµ ǫ 1 )C F N c /q/g/q/] (2q g) 22(1 ǫ)tr[q = e 2 e 2 q(g s µ ǫ 1 )C F N c /q/] (2q g) 22(1 ǫ)tr[q = e 2 e 2 q (g sµ ǫ 1 )C F N c (2q g) 22(1 ǫ)tr(1). (2.50) Il calcolo esplicito di tracce di questo tipo e le varie proprietà utilizzate verranno spiegate più avanti in dettaglio. Il risultato è diverso da zero ed è libero da singolarità, per cui non abbiamo bisogno di usare un regolatore. Successivamente, mediamo sulle polarizzazioni di spin e colore del quark entrante, 2N c, usiamo Tr{1} = 4, scegliamo le variabili delle equazioni (2.20) e (2.21) e includiamo l integrale dello spazio delle fasi a due corpi, per ottenere Ĥ (γq) L = 1 4πe 2 dφ q µ M(γq q g) 2

34 CAPITOLO 2. DIFFUSIONE PROFONDAMENTE ANELASTICA 30 = 1 2π e2 q (g sµ ǫ ) 2 Q 2 C F z (1 ǫ) 1 4π ( 4πµ 2 = 1 2π e2 q(g s µ ǫ ) 2 Q 2 C F z Q 2 ˆp out ŝ z 1 z ( π ˆp out ) ǫ 1 Γ(1 ǫ) ) ǫ Γ(2 ǫ) Γ(2 2ǫ) 0 dνν ǫ (1 ν) ǫ = 1 2π e2 q(g s µ ǫ ) 2 Q 2 C F +O(ǫ). (2.51) z Date le equazioni (2.47) e (2.51) possiamo ottenere F γq 2 (x) xe 2 q F γq = α s dz ( x ) 2π x z q z ( ) { P qq (0) (z)1 Γ(1 ǫ) 4πµ 2 ǫ ( ) ln(1 z) +C ǫγ(1 2ǫ) Q 2 F [(1+z 2 ) 1 z 1+z2 (1 z) lnz 3 ( ) z 2(1 z) π2 δ(1 z)]} 2 = α s dz ( x ) 2π x z q z { [ ( )] 1 Q P qq (0) 2 (z) ǫ γ E +ln(4π) ln µ [ ( ( ) 2 1+z 2 1 z + C F ln 3 ) ] 5z +9 } + 1 z z (x) = Fγq 2 (x) 2x e 2 α 1 s q 2π x dz z q ( x z + ) C F z. (2.52) Nell espressione di F 2, abbiamo espanso il coefficiente della funzione di splitting e introdotto una forma più compatta per il termine rimanente. Ci mancaadesso daanalizzareilprocesso γg qq. Ilcalcolodei termini g µν Ĥ µν eg µ gνĥµν per questo processo segue la stessa linea di quello per il processo γq q g, ma è un pò più semplice grazie alla mancanza delle singolarità soffici. Si ottiene + Ĥ (γg) Σ Ĥ (γg) L α s g µν Ĥ µν = 2e 2 q 2π T F[z 2 +(1 z) 2 ] { 1 ( ) ( ) 4πµ 2 Γ(1 ǫ) 1 z ǫ Q 2 Γ(1 2ǫ) +ln z α s } +O(ǫ) g µ g ν Ĥ µν = 2e 2 q 2π T FQ 2(1 z) +O(ǫ) (2.53) z Abbiamo tutto ciò che ci serve per ottenere F 2 e F 1 : F γg 2 x = α s 2π T F q e 2 q x dz ( x ) z g z

35 CAPITOLO 2. DIFFUSIONE PROFONDAMENTE ANELASTICA 31 { [ [z 2 +(1 z) 2 ] 1 ( ) 4πµ 2 ǫ ( )] Γ(1 ǫ) (1 z) (1 ǫ) ǫ Q 2 Γ(1 2ǫ) +ln z = α s 2π T F e 2 dz ( x ) [ ( )] Q q q x z g { P qg (0) 2 (z) δ ǫ ln z µ 2 ( ) ] 1 z + T F [[z 2 +(1 z) 2 ]ln 1+8z(1 z) } z 2 2x α s 2π T F e 2 dz ( x q z g z F γg 1 = Fγg q x } +6z(1 z) ) 4z(1 z). (2.54) I risultati appena trovati possono essere combinati per dare la formula all ordine sottodominante di F (γh) 1 e F (γh) 2. Nello schema di sottrazione minimale, MS, abbiamo F (Vh) 1,2 1 2,x (x,q2 ) = F (Vh) 3 (x,q 2 ) = x dz z f=q,q + g MS ( x z,µ2 F g 2 Vf ( x ) [ {f MS z,µ F δ(1 z)+ α s 2π ) ( αs P qg (0) (z)lnq2 x x z f=q,q g 2 Vf 2π { f MS ( x z,µ2 F µ 2 F ( )] P qq (0) (z)lnq2 +C (Vq) µ 2 1,2 (z) F +C (Vg) 1,2 (z) )} ) [ δ(1 z)+ α s 2π ( )]} P qq (0) (z)lnq2 +C (Vq) µ 2 3 (z) F dove abbiamo anche incluso l espressione MS per F (Vh) 3. Nell ultima equazione, g Vf dà l accoppiamento normalizzato del bosone di gauge scambiato al quark, per esempio g γq = e q, mentre le funzioni coefficienti, sono date da (V q) C 1 = 1 2 C(Vq) (V q) 1 C 2 = C F 2 2 C F z [ 1+z 2 1 z ( ln (V q) C 3 = C (Vq) 2 C F (1+z) (V g) C 1 = 1 2 C(Vg) (V q) C 2 = T F z ( ) 1 z 3 ) z z ] T F 4z(1 z) [ [z 2 +(1 z) 2 ]ln 1 z 1+8z(1 z) z C (V g) 3 = 0. (2.55) ]