Istituzioni di Fisica Nucleare e Subnucleare Prof. A. Andreazza. Lezione 14. Il Modello Standard

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1 Istituzioni di Fisica Nucleare e Subnucleare Prof. A. Andreazza Lezione 14 Il Modello Standard

2 Simmetria di gauge Abbiamo visto diversi tipi di simmetrie: Simmetrie per traslazione (anche temporale), rotazione Simmetrie discrete C, P, T Simmetrie nello spazio interno delle variabili (Isospin, SU(3)) Simmetrie di gauge Compaiono in maniera naturale nell elettromagnetismo classico Acquistano un significato più profondo in meccanica quantistica relativistica: Estensione delle simmetrie nello spazio interno delle particelle Introducono in maniera univoca interazioni collegate con queste simmetrie interne Modello Standard 3 gruppi di simmetria: U(1) Y, SU(2) L, SU(3) C Con rottura spontanea della simmetria di gauge U(1) Y, SU(2) L interazioni elettrodeboli elettromagnetiche + deboli 2

3 Simmetria di gauge: elettromagnetismo I campi elettrico e magnetico possono venire generati da un potenziale scalare ed un potenziale vettore: E = φ(t, x) A(t, x) t B = A(t, x) In forma covariante: A µ = φ(t, x) c A(t, x) F µν = µ A ν ν A µ = 0 1 c t ( A x ) φ x c 0 1 c t ( A y) φ y c x ( A y ) y ( A x ) 0 1 c t ( A z) φ z c x ( A z ) z ( A x ) y ( A z) z ( A y) 0 = 0 E x E y E z c c c 0 B z B y 0 B x 0 3

4 Simmetria di gauge: elettromagnetismo I campi elettrico e magnetico non cambiano se il potenziale viene modificato: φ(t, x) φ ʹ(t, x) = φ(t, x) α(t, x) t A(t, x) A ʹ(t, x) = A(t, x) + α(t, x) È evidente nella forma covariante: A µ F µν ʹ = µ Aʹ ν ν A ʹ µ = A µ µ α(t, x) ʹ A µ = µ A ν µ ν α ν A µ + ν µ α = F µν Siccome le equazioni di Maxwell sono espresse in termini dei campi: E = ρ ε 0 B 1 c 2 E t = µ 0 j B = 0 E + B t = 0 j µ = ( cρ j ) µ F µν = µ 0 j ν 1 2 ε µνρσ ν F ρσ = 0 le osservabili fisiche non possono cambiare per questa variazione di gauge del potenziale. 4

5 Simmetrie dell equazione di Klein-Gordon Consideriamo una funzione d onda che soddisfi l equazione di Klein-Gordon: È soluzione anche la trasformata α = numero reale 1 c 2 2 t 2 φ 2 φ + m 2 φ = 0 µ µ φ + m 2 φ = 0 φ ʹ = exp( ieα )φ e = carica elementare (adimensionale in unità naturali) La stessa cosa vale se φ ha dei gradi di libertà interni: Esempio: spin isotopico: g=costante di accoppiamento α j =numeri reali σ j =matrici di Pauli φ = a u u + a d d, u = φ ʹ = exp ig α j 2 σ j φ j=1,2,3 ( ), d = ( 0 ) Esempio: colore: φ = a r r + a g g + a b b, r = 0 g S =costante di accoppiamento 0, g = 1 0 α j =numeri reali 1 φ ʹ = exp ig S α j λ j =generatori di SU(3) 2 λ j φ j=1,2,3 0, b = 0 1 5

6 Simmetrie locali Consideriamo una trasformazione che vari da punto a punto: α = funzione del tetravettore x e = carica elementare (adimensionale in unità naturali) Trasformazione di simmetria locale φ ʹ = exp( ieα(x) )φ µ µ φ ʹ + m 2 φʹ = µ ( µ ( e ieα (x) φ )) + m 2 e ieα (x) φ = µ ( e ieα (x) ie µ α(x)φ + e ieα (x) µ φ ) + m 2 e ieα (x) φ = µ ( e ieα (x) [ ie µ α(x)φ + µ φ ]) + m 2 e ieα (x) φ = e ieα (x) ( ie µ α(x) [ ie µ α(x)φ + µ φ ] + ie µ µ α(x)φ + ie µ α(x) µ φ + µ µ φ ) + m 2 e ieα (x) φ = e ieα (x) ( e 2 µ α(x) µ α(x) + ie µ µ α(x) )φ + ie µ α(x) µ φ + µ α(x) µ φ [ ( ) + µ µ φ + m 2 φ ] OK: φ non è soluzione dell equazione! Si può però recuperare una simmetria introducendo: un interazione con il campo elettromagnetico estendendo il concetto di trasformazione di gauge: è una trasformazione congiunta del campo elettromagnetico e delle particelle cariche. 6

7 Simmetrie locali Introduciamo un interazione con il campo elettromagnetico facendo la sostituzione: µ µ iea µ Applicando l operatore a φ ( ) ʹ µ iea µ φ = ( µ iea µ )e ieα (x) φ = e ieα (x) ( µ iea µ + ie µ α(x) )φ Si può recuperare un invarianza se combiniamo la trasformazione della funzione d onda con una trasformazione di gauge del campo e.m.: Con questa trasformazione: ( µ iea ʹ µ ) φ ʹ = ( µ iea µ ie µ α(x) )e ieα (x) φ = e ieα (x) µ iea µ ie µ α(x) + ie µ α(x) Se φ è soluzione di φ è soluzione di φ φ ʹ = exp( ieα(x) )φ A µ A ʹ µ = A µ + µ α(x) ( µ iea ʹ µ ) φ ʹ = e ieα (x) ( µ iea µ )φ ( µ iea µ )( µ iea µ )φ + m 2 φ = 0 µ iea ʹ µ φ + m 2 φ ʹ = 0 ( ) µ ie ʹ ( A µ ) ʹ i campi elettrici e magnetici sono identici in entrambi i casi: ( )φ ʹ F µν = F µν 7

8 Simmetrie locali Questo procedimento è del tutto generalizzabile. Se ho una simmetria interna, la cui trasformazione generica è data da: g=costante di accoppiamento α j =numeri reali T j =generatori delle trasformazioni Si può trasformare in una simmetria locale: introducendo interazione con N campi: (uno per ogni generatore) definendo una trasformazione congiunta di campi di interazione e gradi di libertà interni. L elettromagnetismo corrisponde ad una simmetria di tipo U(1): rotazione di fase Per gruppi più complessi è solo tecnicamente leggermente più complicato: cambia l espressione di F µν e delle equazioni dei campi i campi diventano carichi e possono interagire tra di loro ad esempio gli 8 gluoni di SU(3) hanno hanno carica di colore: U = exp ig N µ µ ig φ e N j=1 α j T j N j=1 A µ j T j ig α j T j j=1 φ, Aµ j A µ j + µ α j rg, gr, rb, br, gb, bg, 1 (rr gg), (rr + gg 2bb) 8

9 Masse dei bosoni vettori Il campo elettromagnetico soddisfa l equazione di una particella che si propaga con massa nulla. Dalle equazioni di Maxwell nel vuoto: E = 0 si ottiene: B 1 c 2 E t = 0 E + B t = 0 B = 0 E + B t = 0 B 1 E c 2 t = 0 ( E) 2 E + ( B) = 0 t 2 E + t 1 E c 2 t 1 c 2 2 t 2 2 = 0 E = 0 ( B) 2 B 1 ( E) = 0 c 2 t 2 B 1 c 2 t 1 c 2 2 t 2 2 B t = 0 B = 0 O in forma covariante, calcolando: ( ε µαβγ α ) 1 2 ε µνρσ ν F ρσ = 0 α α F βγ = 0 9

10 Masse dei bosoni vettori Questo fenomeno è strettamente legato all invarianza di gauge. Per esempio si potrebbe introdurre un termine di massa: Modificando le equazioni di Maxwell: si ottiene: 1 2 c 2 t m2 c 2! 2 E = c 2 t m2 c 2! 2 E = m2 c 2! 2 φ B 1 c 2 E t = m2 c 2! 2 A B = 0 B = 0 E + B t = 0 E E + B t = 0 ( ) 2 E + t ( B) = 0 m2 c 2 φ 2 E + 1 E! 2 t c 2 t m2 c 2 A! E c 2 t 2 2 E + m2 c 2 φ +! 2 t A 1 2 E c 2 t 2 2 E + m2 c 2 E = 0! 2 = 0 = 0 B 1 E c 2 t = m2 c 2 A! 2 ( B) 2 B 1 ( E) = m2 c 2 ( A ) c 2 t! 2 2 B 1 c 2 t B t = m2 c 2 B! 2 1 c 2 2 B t 2 2 B + m2 c 2! 2 B = 0 10

11 Masse dei bosoni vettori Le equazioni modificate per introdurre un termine di massa: 1 2 c 2 t m2 c 2! 2 E = 0 Contengono esplicitamente i potenziali: E = m2 c 2! 2 φ B 1 c 2 E t = m2 c 2! 2 A 1 2 c 2 t m2 c 2! 2 B = 0 E + B t = 0 L applicazione di una trasformazione di gauge modifica le equazioni dei campi: E = m2 c 2 φ(t, x) α(t, x)! 2 t, B = 0 B 1 c 2 E t = m2 c 2! 2 A(t, x) + α(t, x) [ ] Anche questa proprietà è del tutto generale: In presenza di una simmetria di gauge i campi hanno equazioni di propagazione con massa nulla 11

12 Il Modello Standard Il Modello Standard è costruito su tre simmetrie di gauge. m=0 Interazioni forti: gruppo SU(3) di colore grado di libertà interno dei quark 8 generatori 8 gluoni particelle senza massa confinati in adroni: mesoni ( qq) e barioni ( qqq) Interazioni elettrodeboli prodotto di due gruppi: U(1) di ipercarica: 1 generatore SU(2) di isospin: 3 generatori particelle organizzate in doppietti di SU(2) quark: ipercarica Y=1/3 leptoni: ipercarica Y=-1 Relazione di Gell-Mann Nishijima: Q = Y 2 + T 3 Q=2/3 Q=-1/3 Q=0 Q=-1 m=91 GeV m=80 GeV Simmetria di gauge violata nelle interazioni deboli: rottura spontanea della simmetria meccanismo di Higgs 12

13 Rottura spontanea di simmetria La rottura spontanea di simmetria è un fenomeno in cui: le equazioni che descrivono un sistema mostrano una certa simmetria lo stato fondamentale però la viola Esempio: materiali ferromagnetici Hamiltoniana data dai prodotti scalari dei momenti magnetici: È esplicitamente invariante per rotazioni Però ad un certo istante i momenti magnetici si allineeranno in una direzione comune Il sistema assume una direzione privilegiata, rompendo l invarianza per rotazione. La risposta dipende anche dalla temperatura. H = k i j! µ i! µ j 13

14 Rottura spontanea di simmetria Se scriviamo un equazione del tipo: con λ e v parametri positivi è palesemente invariante per trasformazioni di fase ammette soluzioni statiche E=p=0 per φ =v qualunque soluzione del tipo φ=ve iα soddisfa la richiesta scegliamone una, per comodità φ =v e consideriamo piccoli spostamenti attorno a questo valore: φ = υ + ρ(x) + iη(x) dove abbiamo esplicitato la reale ed immaginaria Tenendo solo i termini al primo ordine in ρ,η, l equazione diventa: Considerando perturbazioni attorno alle soluzioni statiche: Abbiamo perso l evidenza della simmetria vediamo che la componente η si comporta come se avessa massa nulla mentre la componente ρ ha una massa m 2 =2λv 2. Se aggiungiamo le interazioni, i termini costanti v finiscono a dare massa ai campi delle interazioni. 14 µ µ ( υ + ρ + iη ) + λ (υ + ρ) 2 + η 2 υ 2 µ µ φ + λ ( φ 2 υ 2 )φ = 0 ( ) υ + ρ + iη ( ) υ + ρ + iη µ µ ( ρ + iη ) + λ 2υρ + ρ 2 + η 2 φ e iα φ ( ) = 0 ( ) = 0 µ µ ( ρ + iη ) + 2υ 2 λρ = 0

15 Il bosone di Higgs Quando descritto in maniera estremamente semplificata è il concetto alla base del meccanismo di Higgs. v=246 GeV m H =125 GeV Fornisce massa a W e Z mentre il fotone rimane senza massa Fornisce anche massa ai fermioni: può mescolare stati con gli stessi numeri quantici anche se provengono da diverse famiglie: matrice CKM 15