Simmetrie e leggi di conservazione

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1 Istituzioni di Fisica Nucleare e Subnucleare Prof. A. Andreazza Lezione 5 Simmetrie e leggi di conservazione

2 Simmetrie in meccanica classica Un sistema classico è descritto dal suo insieme di coordinate: formalismo lagrangiano Simmetrie sono trasformazioni di coordinate che lasciano invariata la lagrangiana (o l hamiltoniana) del sistema. Trasformazioni continue Traslazioni Rotazioni L(q,!q) = T U d dt L!q L q = 0 x x + x 0 x Rx formalismo hamiltoniano H(q, p) = T +U!q = H p,!p = H q In forma differenziale x x +δx x x +δω x Traslazione temporale Trasformazioni discrete Parità: t t + t 0 x x Inversione temporale t t +δt t t 2

3 Simmetrie in meccanica classica Esempi: T ed U indipendenti dal tempo: simmetria per traslazione ed invarianza temporale Moto di una particella in un campo centrale: L(x,!x) = 1 2 m!x 2 U( x ) simmetria per rotazioni e parità Sistema di due particelle interagenti tra loro L(r a, r b,!r a,!r b ) = 1 2 m a! r a m b! r b 2 U(r a r b ) simmetria per traslazioni e per rotazioni e parità se U dipende solo da r a -r b 3

4 Teorema di Noether Introduciamo le parentesi di Poisson: { F,G} = F q G p F p La derivata rispetto al tempo di una quantità g(p,q) è Se per una data trasformazione definiamo un g in modo tale che per una simmetria abbiamo che: δh = { g, H} = 0 Se per trasformazioni infinitesimali possiamo scrivere g=εg, G è detto generatore della trasformazione e: Alla simmetria posso associare una quantità conservata. G q { g, H} = g H q p g H p q = g q q! + g p p! =!g!g = { G, H} = 0 Teorema di Noether (più noto nel formalismo lagrangiano) δh = { g, H} 4

5 Simmetrie formalismo hamiltoniano Esempi: Traslazione Rotazioni δh = H x δx = (δx p) p δh = H ( x δω x ) + H ( p δω p ) = ( δω (x p) ) H p x = { δω (x p), H} H x = = (δx p) p G = p H x ( p (δω x) ) H p x ( δω (p x) ) H + x p G = x p =0 (δx p) x H p ( x (δω p) ) H + x p ( δω (x p) ) H = p x = { δx p, H} ( δω (x p) ) H x p 5

6 Simmetrie in meccanica quantistica In meccanica quantistica le considerazioni sono analoghe al caso classico, sostituendo le parentesi di Poisson con il commutatore. L evoluzione temporale del valore di aspettazione di una variabile Q è data dal suo commutatore con l Hamiltoniana: d dt Q = 1 i! Q, H [ ] In particolare Q è una quantità conservata se e soltanto se: [ Q, H ] = 0 L applicazione di una trasformazione U, lascia invariata l Hamiltoniana se: UHU 1 = H UH = HU [ U, H ] = 0 In generale se una trasformazione infinitesima si può scrivere: U = exp( iεg ) 6 G è una quantità conservata.

7 Trasformazioni e generatori Consideriamo una traslazione: ψ ( x ) ψ ( x ε ) = ψ ( x ) ε d dx ψ ( x ) ε 2 d 2 dx ψ ( x ) 1 d ε3 dx ψ ( x ) ε 4 d 4 dx ψ ( x ) + 4 = ψ ( x ) ε i p x! ψ x ( ) ε 2 i p x! 2 ψ x ( ) 1 6 ε3 i p x! 3 ψ x ( ) ε 4 i p x! 4 ψ ( x ) + dove abbiamo usato l operatore di momento La serie è quella di un esponenziale: ψ ( x ε ) = Uψ ( x ) = exp iε p x! ψ ( x ) p x = i! d dx Si può quindi definire il generatore delle traslazioni: e se l Hamiltoniana è invariante per traslazioni G = p x! [ p x, H ] = 0 7

8 Simmetrie e autovalori Dalla relazione di commutazione segue che se ψ è autostato di H, anche Gψ lo è: H(Gψ) = (HG)ψ = (GH )ψ = E ψ Gψ Se ψ è unico, allora necessariamente deve anche essere autostato di G: Se un certo livello energetico ha n autostati degeneri, ψ 1, ψ 2,... ψ n, Il trasformato di un autostato deve potersi esprimere come sovrapposizione lineare degli altri: Gψ i = G m,i ψ m G m,i = ψ m G ψ i Diagonalizzando la matrice G m,i, si può creare una base di autostati sia di G che di H. Gli autovalori di G possono venire usati per classificare gli autostati di H Esempio: m=1, n Particella in potenziale a simmetria sferica: sono conservati L 2 e L x, L y, L z, (generatori delle rotazioni). Gli autovalori di H, E n,l dipendono da L 2, con degenerazione n=2l+1 Gψ = η G ψ Tipicamente si scelgono come base autofunzioni: che sono i 2l+1 autostati di L z con autovalore mħ ψ n,l,m = u (r) n,l Y l,m (θ,ϕ) r 8

9 Simmetrie discrete Oltre alle trasformazioni continue, in meccanica quantistica hanno particolare importanze le trasformazioni discrete: Parità P Inversione temporale T T t t Coniugazione di carica C r P r scambio di particelle con antiparticelle non ha un analogo classico Tutte hanno la proprietà: P 2 =T 2 =C 2 =1 I possibili autovalori sono solo 1 e -1 9

10 Parità Grandezze vettoriali possono comportarsi diversamente per trasformazioni i parità: Vettori polari: cambiano segno per parità il vettore di coordinate cambia segno per definizione di trasformazione di parità; allo stesso modo la velocità ed il vettore di momento Vettori assiali: non cambiano segno per parità il momento angolare lo spin. Analogamente esistono: grandezze scalari: non cambiano segno per parità r 2, p 2 /2m, L 2, L S grandezze pseudoscalari: cambiano segno per parità p S 10

11 Parità e momento angolare Nel caso di una particella in un campo centrale: ψ n,l,m = u (r) n,l Y l,m (θ,ϕ) r Le funzioni Y lm (θ,φ) sono tali che: P u (r) n,l Y l,m (θ,ϕ) = u (r) n,l u Y l,m (π θ,ϕ + π ) = ( 1) l n,l (r) Y r r l,m (θ,ϕ) r In aggiunta possiamo assumere che una particella abbia una parità intrinseca, così come ha un momento angolare intrinseco. Per cui Pψ n,l,m = η ψ ( 1) l ψ n,l,m Nel caso di due particelle ed interazione a simmetria sferica, il problemà è esattamente analogo a quello di particella singola, a patto di prendere la massa ridotta: Pψ n,l,m = η 1 η 2 ( 1) l ψ n,l,m Una volta definita la parità di una particella si possono ricavare le altre parità relative a partire da questa. 11

12 Parità del campo elettromagnetico Il campo elettrico E è un vettore polare: Il campo magnetico B è un vettore assiale: P(B) = B Le equazioni di Maxwell sono invarianti per trasformazioni di parità: E = ρ ε 0 B = 0 E + B t = 0 B µ E 0ε 0 t = µ 0J Le interazioni elettromagnetiche conservano la parità. L interazione del campo elettromagnetico è di natura polare: Forza elettromagnetica: F = q( E + v B) Densità di quantità di moto (vettore di Poynting): P(E) = E Il fotone ha parità negativa. S = 1 µ 0 E B 12

13 Violazione della parità Abbiamo appena detta che le interazioni elettromagnetiche conservano la parità. È sperimentalmente osservato che questo vale anche per le interazioni forti. Non è così per le interazioni deboli L osservazione sperimentale si basa sulla misura del valore di aspettazione di un osservabile pseudoscalare S: S S Se P è una simmetria, il valore di aspettazione prima e dopo l applicazione della trasformazione deve coincidere: P S P S = S quindi se P è una simmetria: S = S = 0 13

14 Esperimento di Wu et al. Lo spin dei nuclei del 60 Co è allineato al campo magnetico esterno B. Critico raggiungere basse temperature (10-3 K): polarizzazione = tanh( B µ / kt ) Violazione di parità tramite osservazione di una correlazione on B degli elettroni emessi: rivelatore fotoni rivelatore elettroni B non dipende dal segno di B dipende dal segno di B ˆB ˆp e 0 rivelatore fotoni 60 Co β 60 Ni* γ 14

15 Elicità del neutrino (Goldhaber 1958) Successivamente fu osservata l elicità degli elettroni: ˆp e Ŝe = β Diventa importante poter verificare anche Catena di decadimento: Eu 152m (0 - ) cattura elettronica Q=840 kev ê Sm 152* (1 - ) emissione γ E γ* =960 kev ê Sm 152 (0 + ) Fotoni emessi lungo la direzione di volo del nucleo: Hanno la stessa elicità del neutrino Sono più energetici ˆp ν Ŝν h γ =h ν ν Eu Sm 152m 152* Sm 152 γ γ Sm 152 h ν m z (Sm)=0,-h ν h γ =-h ν 15

16 Apparato sperimentale Riassorbimento dei gamma soppresso: Righe di emissione ed assorbimento leggermente spostate Emissione: parte dell energia portata dal nucleo di rinculo: E γ = E * γ ( 1 E * γ / 2M(Sm)c 2 ) Assorbimeno: parte dell energia va al nucleo per conservare il momento E γ = E * γ ( 1+ E * γ / 2M(Sm)c 2 ) L effetto doppler del nucleo in movimento può compensare la distanza tra le righe. Solo i fotoni emessi nella direzione di volo del Sm interagiscono con lo scatterer Polarimetro Il ferro magnetizzato trasmette meglio fotoni con spin parallelo a quello degli elettroni 16

17 Elicità del neutrino: risultati Invertendo il campo magnetico: Canali A e C non mostrano cambiamento di rate Variazione osservata in B: δ = N N + = 0.017± ( N + N + ) (dopo aver sottratto il fondo non risonante) Atteso per elicità 100%: δ = <h ν >=-(68±14)% Tenuto conto di effetti depolarizzanti, compatibile con 100% nel decadimento 17

18 Violazione della parità Il fatto che i neutrini abbiano un elicità definita presenta una violazione massimale della parità: P(ν h= 1 ) = ν h=+1 che non esiste. Analogamente, le antiparticelle tendono ad avere elicità positiva: ˆp e + Ŝe = +β + ˆp ν Ŝν = +1 P(ν h=+1 ) = ν h= 1 18

19 Coniugazione di carica L operatore di coniugazione di carica C scambia particelle con le rispettive antiparticelle. Es.: C(e ) = e + C(e + ) = e Tutti i numeri quantici vengono invertiti Es.: Come per la Parità si ha che: n : numero barionico = +1, µ = 1.91µ N C(n) = n : numero barionico = 1, µ = +1.91µ N C 2 =1 autovalori possibili η C =±1 Solo gli stati completamente neutri possono essere autostati di C C del fotone: C inverte le cariche del sistema: tutti i campi E e B cambiano di segno. C(γ) = γ 19

20 Positronio Stato legato elettrone-positrone Equazione di Schrödinger identica a quella dell atomo di idrogeno unica differenza la massa ridotta: Ci sono quattro possibili configurazioni di spin Si combinano in: Parità: un tripletto con S=1, S z =+1,0,-1 un singoletto con S=0 scambio della posizione relativa delle particelle parità intrinseca µ = m e m e m e + m e = m e 2 η P = η e η e + ( 1) l η C = η P ( 1) S+1 Coniugazione di carica lo scambio di particelle corrisponde alla trasformazione di parità in aggiunta scambio anche degli spin: -1 per S=0, +1 per S=

21 Positronio Lo stato fondamentale ha l=0 Stato di singoletto: para-positronio 1 s 0 Stato di tripletto: orto-positronio 3 s 1 I due stati hanno la stessa parità anche se i livelli differiscono di ev non si può transire elettromagneticamente: emissione di un γ cambia parità η γ =-1 Ma opposta coniugazione di carica η P = η e η e + η C = η P ( 1) S+1 Il para-positronio decade in 125 ns in uno stato con 2γ: η C =+1 L orto-positronio decade in 140 µs in uno stato con 3γ: η C =-1 η P =η e+ η e- =-1: parità di fermione ed antifermione sono opposte Risultato, al pari di g=2, predetto dalla meccanica quantistica relativistica Verificato direttamente dallo studio della correlazione tra le polarizzazioni ε 1 e ε 2 dei fotoni uscenti dal decadimento del parapositronio, discrimando i casi: ψ(2γ) ε 1 ε 2 η 2γ = +1 ψ(2γ) ( ε 1 ε 2 ) k η 2γ = 1 Termine scalare Termine pseudo-scalare momento del fotone 21

22 Violazione della coniugazione di carica Nelle interazioni deboli viene anche violata C Sempre nel caso del neutrino: che non esiste. C(ν h= 1 ) = ν h= 1 Tuttavia funziona la trasformazione composta: CP(ν h= 1 ) = C(ν h=+1 ) = ν h=+1 CP risulta una simmetria più fondamentale di C e P separatamente vedremo che anch essa sarà violata dalle interazioni deboli, ma ad un livello molto minore. 22

23 Inversione temporale Classicamente l operatore di inversione temporale T: t -t La versione quantistica è tale che: Partendo dall equazione di Schrödinger: Facendone il coniugato: E poi l inversione t -t ψ * (r,-t) è solutione dell equazione di Schrödinger con la stessa energia di ψ(r,t) se THT -1 =H Sotto T cambiano segno v, p=mv, L=r p, S Es.: particella libera: Es.: momento angolare: Tψ ( r,t ) = ψ * ( r, t ) i i! i! ψ* ψ ( r,t ) t ( r,t ) t i! ψ* ( r, t ) t = Hψ ( r,t ) = Hψ * ( r,t ) = Hψ * ( r, t ) ψ(p) = e! (p r Et) ψ * (p) = e i! (p r Et) Tψ(p) = e! ( p r Et) = ψ( p) Y l,m (θ,ϕ) e imϕ T e imϕ = Y l, m (θ,ϕ) i 23

24 Principio del bilancio dettagliato Una conseguenza significativa dell invarianza temporale è l invarianza dell elemento di matrice: f U i = drψ * f ( r )U ( r )ψ i r ( ) nelle probabilità di transizione: T drψ f ( r )U ( r )ψ * i r P(i f ) = 2π! ( ) f U i = i U f 2 ρ ( E f ) P( f i) = 2π! i U f 2 ρ ( E i ) Se vale l invarianze per inversione temporale: <f U i> = <i U f> la differenza di probabilità è dovuta solamente ai termini di densità di stati. In una situazione di equilibrio: dn f dt = N i P(i f ) N f P( f i) = 0 N i N f = Principio del bilancio dettagliato. P( f i) P(i f ) = ρ(e i) ρ(e f ) 24

25 Invarianza di crossing Il principio del bilancio dettagliato viene spesso applicato insieme all invarianza di crossing: reazioni derivate spostando una particella da stato iniziale a stato finale (o viceversa) e trasformandola in antiparticella. Se A + B C + D ha elemento di matrice: M(p A, p B, p C, p D ) funzione dei momenti delle particelle. Allora: A B + C + D A + D B + C A + C B + D M(p A, p B, p C, p D ) M(p A, p B, p C, p D ) M(p A, p B, p C, p D ) B + C A + D M( p A, p B, p C, p D )... e tutte le altre permutazioni Il tasso delle reazioni è poi determinato dal termine di densità di stati. 25

26 Decadimento β inverso (anti)neutrini vengono prodotti dai decadimenti β ± Z A X Z 1A X ʹ + e + + ν Z A X Z+1A X ʹ + e + ν dove il Q-valore della reazione è Q=M(A,Z)-M(A,Z±1)-m e Masse nucleari! I processi di interazione si ottengono applicando: inversione temporale: crossing: Z 1 A X ʹ + ν A Z X + e Z+1 A X ʹ + ν A Z X + e + L elemento di matrice del decadimento β: f H W i = G F (!c) 3 drψ V A,Z+1 (r) * ( O X )ψ A,Z (r) = GF (!c ) 3 M V fi V si applica anche al decadimento β inverso dall espressione della larghezza di decadimento: f H W i Z 1 A 2 = Γ (!c)6 V 2 2π 3 (m e c 2 ) 5 f (Z,Q) X ʹ + e + + ν A Z X Z+1 A X ʹ + e + ν A Z X f Z,Q Γ=! τ = G 2 2 F M fi ( me c 2 ) 5 2π 3 ( ) = d Q/m e c 2 0! T e $ # & p! e " m e c 2 % m e c 1+ T $! e # & Q T $ e # & " m e c 2 %" m e c 2 % f ( Z,Q) 2 F ( Z,T e ) 26

27 Decadimento β inverso Calcoliamo la sezione d urto del decadimento β inverso. L espressione per il tasso di transizione: λ = 2π! f H W i 2 ρ ( E f ) Il termine di densità di stati, se trascuriamo la piccola quantità di energia portata via dal nucleo: ρ(e f ) = dn de f = V 4π p 2 e (2π!) 3 dp e de f ( pc)d( pc)=ede V 4π p ee e de e (2π!) 3 c 2 de f dove: E e =E ν -Q-m e dalla condizione E e m e, abbiamo l energia di soglia del neutrino: E ν >Q+2m e Esercizio: dimostrare che la relazione relativistica corretta è: =1 Q + 2m E ν ( Q + 2m e ) 1+ e 2M(A, Z ±1) = V 4πβ E 2 e e (2π!c) 3 Tasso di transizione: λ = 2π! (!c) 6 2π 3! 2 V 4πβ e E e V 2 (m e c 2 ) 5 τ f (Z,Q) (2π!c) 3 = 2π 2 (!c) 3 V β e E e 2 (m e c 2 ) 5 τ f (Z,Q) Confrontando con la relazione per la sezione d urto: Fascio di una particella: dn/dt = λ Rapporto delle densità di stati. dn dt = I on T dσ =0 alla soglia Un (anti)neutrino percorre lo spessore d con velocità c: I 0 =c/d Un bersaglio nel volume V: n T =1/V σ = 2π 2 2 β e E e! (m e c 2 ) 5 f (Z,Q) τ (!c)2 27

28 Teorema CPT Abbiamo visto che C e P sono violate dalle interazioni deboli. tali simmetrie non sono simmetrie fondamentali della natura Si può invece dimostrare che: Una teoria quantistica: invariante per trasformazioni di Lorenz locale con Hamiltoniana hermitiana deve essere invariante rispetto al prodotto delle tre trasformazioni C, P, T Conseguenze della simmetria CPT: particelle ed antiparticelle devono avere la stessa massa particelle ed anti-particelle devono avere la stessa vita media totale Verifiche di tale simmetria si effettuano: nelle proprietà di particelle nella ricerca di violazioni all invarianza per trasformazioni di Lorentz arxiv:0801:0287 per una rassegna dello stato sperimentale 28

29 Appendice FORMULE PER SCATTERING COMPTON POLARIZZATO

30 Scattering Compton polarizzato Nel sistema di riferimento in cui l elettrone è in quiete: dσ dω = 1 2 r e " 2 E $ # E 0 % ' & 2 ( Φ 0 + Φ 1 + Φ 2 ) ( E 0, k ) = ( E 0,0,0,E 0 ) γ e ( m e, 0 ) dove r e è il raggio classico dell elettrone: 2 e 1 r = e 2.8 fm 2 4πε mc = e l energia E del fotone uscente è collegata all angolo di emissione θ dalla relazione: E 1 = E 1 + E / m 1 cosθ è la sezione d urto non polarizzata 2 Φ 1 = sin θ cos 2φ Polarizzazione lineare: φ angolo azimutale tra direzione di scattering e polarizzazione del fotone e E E 0 Φ 0 = + E0 E 0 0 sin 2 θ ( )( ) e e ( E, k!) = ( E,Esinθ cosφ,esinθ sinφ,e cosθ) γ 1 cosθ Φ 2 = ξ ζ k cosθ + k! m e ( ) Polarizzazione longitudinale ξ=±1 elicità del fotone ( E 0 + m e E, k k!) ζ=vettore di spin dell elettrone (ζ 2 =1)