Teoria cinetica di un sistema di particelle

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1 Teoria cinetica di un sistema di particelle La meccanica dei fluidi modellati come sistemi continui, sviluppata dal XII e XIII secolo e in grado di descrivere fenomeni dinamici macroscopici con buona approssimazione ma prescinde dalla conoscenza della dinamica delle singole componenti del fluido e, soprattutto, delle forze che si esercitano tra le singole particelle. Nella II metà del XIX secolo, in seguito allo sviluppo della conoscenza della struttura della materia e delle tecniche matematiche della statistica si è sviluppato un approccio diverso, (teoria cinetica) basato su una descrizione di tipo probabilistico del moto delle singole componenti del fluido, che permette di utilizzare le proprietà dei parametri dinamici di ogni singola particella, e una definizione corretta delle loro forze di interazione a livello microscopico. Le proprietà dinamiche macroscopiche del fluido si ottengono, in questo caso, eseguendo operazioni di media sulle distribuzioni di probabilità. Questa teoria permette di ottenere, come casi particolari, i risultati della teoria del continuo, ma si basa su una analisi più dettagliata della dinamica microscopica, spesso rimuovendo la necessità di ipotesi ad hoc, e soprattutto, estendendone la validità alla dinamica a fluidi di particelle cariche e plasmi. Nella descrizione cinetica, un oggetto fisico è considerato come formato da un grande numero di singole unità. dette molecole (o anche particelle, componenti o specie), per intendere atomi, ioni, elettroni.

2 Ciascuna molecola si muove sotto l influenza di forze esercitate dalle altre molecole del sistema e da campi esterni al sistema (come campi gravitazionali, elettrici o magnetici) o semplicemente di condizioni al contorno (come le pareti che contengono il sistema). In linea di principio, lo studio del sistema, richiederebbe una trattazione anche di effetti quantistici, ma dato che il nostro obiettivo è quello di derivare proprietà macroscopiche, è possibile verificare che gli effetti quantistici e relativistici sono, nella maggior parte dei casi trascurabili. Un sistema di N particelle ha nn gradi di libertà e il suo stato dinamico (anche noto come microstato) può essere specificato in un modo univoco ad ogni istante, da 2nN variabili: per esempio da N vettori posizioni, x i, con i = 1, 2,..,N e le loro derivate, ossia le N vettori velocità v i = dxi/dt con i = 1, 2,..,N. Lo stato dinamico può essere descritto in modo completo nello spazio delle configurazioniγattraverso la funzione di stato D (x i,v i,t) dove le variabili sono in numero pari alle equazioni necessarie per definire lo stato del sistema, (3N coordinate spaziali e ai 3N momenti coniugati = 6N), oltre al tempo. Uno stato è rappresentato da un punto nello spazio a 6N dimensioni, e l evoluzione dinamica del sistema descrive una traiettoria nello spazio Γ. Alternativamente, la dinamica dell insieme di N può venire descritta in uno spazio a 6 dimensioni, corrispondenti alla posizione x e alla velocità v(x, v) di una particella. per descrivere il sistema dinamico può essere considerato. Lo spazio a sei dimensioni delle coordinate x e v è chiamato spazio delle fasi. Ogni particella è rappresentata da un punto nello spazio e il moto delle N particelle è rappresentato da N curve (Figura 1) che non si intersecano mai.

3 Per definire in un modo univoco la dinamica di un sistema meccanico di N particelle, ossia calcolare posizione e velocità x e v di ogni particella a un tempo t, nota quella x 0, v 0 al tempo t 0, sono necessarie 6N equazioni. x& i P 1 (x, x& i ) Pertanto la definizione dello stato dinamico del sistema di particelle avviene attraverso le coordinate generalizzate di posizione e momento, e l evoluzione è data dalle equazioni classiche di Hamilton per le coordinate generalizzate in funzione del tempo: (8.1) P 2 (x, x& i ) Figura 8.1 x Dove H è l Hamiltoniana del sistema, scritta nel caso di particelle che non interagiscono e soggette a soli campi esterni conservativi con potenziale Φ(x)..

4 Il sistema di equazioni (8.1) è di 2N equazioni vettoriali in 2N variabili e ossia e un sistema chiuso, ossia in grado di fornire una soluzione dello stato dinamico di tutte le particelle, quando siano specificati i potenziali di interazione e le condizioni iniziali. Questa proprietà è nota come determinismo o causalità della meccanica classica. Essa si riflette sul fatto che nello spazio delle fasi una unica traiettoria passa per un punto. Se due traiettorie si intersecano, vuol dire che ad un certo istante i due sistemi hanno le stesse x i e x& i che, usate come dati iniziali per la continuazione del moto portano e portano necessariamente alla stessa evoluzione. La descrizione cinetica richiede la definizione delle forze di interazione sia a breve che a lungo raggio d azione fra le particelle, e pertanto,in linea di principio, vale sia per fluidi neutri sia per elettricamente carichi. In pratica, tuttavia, la risoluzione del problema è resa impossibile dal numero di equazioni (N ) che devono essere risolte simultaneamente, e non sarebbe in ogni caso verificabile, in quanto il moto delle singole particelle non è di fatto misurabile Inoltre lo stato macroscopico non determina in modo univoco lo stato microscopico; ossia, se due oggetti macroscopici si trovano nello stesso stato non è detto che abbiano le stesso microstato. Quindi esistono un numero molto grande di microstati che corrispondono ad un unico macrostato.

5 x& i Gibbs che introdusse l idea di insieme statistico per descrivere un sistema macroscopico di molte particelle. Poichè più stati dinamici possono corrispondere ad un unico stato macroscopico; si può considerare un numero elevato, M, di sistemi macroscopicamente equivalenti; M repliche del sistema macroscopico originale, ciascuno caratterizzato da un diverso stato dinamico. A questa grande collezione di sistemi (chiamata ensemble), corrisponde un punto nello spazio delle fasi. Se il numero di questi sistemi tende all infinito, questi punti formeranno una nuvola abbastanza densa nello spazio delle fasi e sarà possibile descrivere la loro distribuzione attraverso una funzione densità ρ ins che, nel limite in cui M sarà una funzione continua di x i e x& i e del tempo e, normalizzando la densità col numero totale è possibile definire una funzione di distribuzione di tipo probabilistico f N (x i x& i,t). rappresenta la probabilità nello spazio delle fasi che una particella abbia parametri dinamici x i e x& i. v x x Dato che le particelle sono assunte identiche, la funzione f N è invariante per lo scambio di particelle. Nota la funzione densità di probabilità e considerata una generica variabile microscopica O = O(x, x&,t) la grandezza macroscopica associata potrà essere calcolata come O( t) = O( x, x&, t) f x x& t dxdx& N (,, ) (8.2) dove l integrale è esteso a tutto lo spazio delle fasi

6 La dipendenza temporale della media di insieme proviene dalla dipendenza temporale della funzione di distribuzione. In alcune condizioni la media di ensemble corrisponde proprio alla media temporale che si farebbe per calcolare un valore vero di una grandezza microscopica. In questo caso il sistema si dice ergodico.. L ensemble, rappresentato dalla nuvola di punti anch esso evolverà nello spazio delle fasi in funzione del tempo in modo deterministico. L equazione che regola questa evoluzione è nota come equazione di Liouville. Lo studio dell evoluzione del sistema richiede anche la definizione auto consistente delle forze di interazione sia a breve che a lungo raggio d azione fra le particelle Questo vale sia per fluidi neutri sia per elettricamente carichi. Tuttavia, nel caso di un fluido di particelle neutro, le forze di interazione tra particelle sono a breve range e possono essere descritte come collisioni, mentre il moto tra due collisioni e essenzialmente inerziale. Il sistema delle equazioni di conservazione (continuità, moto ed energia) e in generale un sistema chiuso Nel caso si particelle cariche, le interazioni sono sia a breve e a lungo range e il moto delle particelle risente dell effetto di campi elettrici e magnetici applicati Il loro moto contribuisce alla generazione del campo elettromagnetico e questo contributo e in molti casi dominante. Per questo motivo le equazioni di conservazione non sono sufficienti a risolvere il problema del moto, come nel caso di un fluido neutro, ma è necessario accoppiare al sistema di equazioni (e risolvere in un modo auto consistente), le equazioni di evoluzione del campo EM (equazioni di Maxwell)

7 Teorema di Liouville Il teorema di Liouville definisce l evoluzione della densita degli stati di un insieme statistico generico, N = lim (8.3) V 0 V nell intorno di uno stato indicato in modo conciso come, con la sola ipotesi che la dinamica dell insieme soddisfi alle equazioni di Hamilton (non dissipative) e all equazione di continuità, e dimostra che la derivata rispetto al tempo di ρ e invariante lungo la traiettoria, ossia: ovvero l insieme statistico non si disperde Se si indicano due stati successivi lungo la traiettoria rispettivamente ai tempi t e t + δt, per definizione: e (8.4) Con uno sviluppo in serie di Taylor si ottiene:

8 Sostituendo si ottiene: (8.5) Applicando ora il teorema di continuità alla densità di stati ρ ins nello spazio delle configurazioni considerando che le traiettorie sono continue e percorse a velocità Dato che le variabili sono tutte indipendenti: Sostituendo nella (8.5) Utilizzando le equazioni di Hamilton:

9 Si ottiene Si ottiene pertanto l equazione di Liouville (8.6) In conclusione, se le forze agenti sulle particelle possono essere trattate con una Hamiltoniana, l insieme statistico, evolve come un sistema incompressibile. Stati inizialmente vicini nello spazio delle configurazioni rimangono vicini anche nel seguito dell evoluzione. Il significato del teorema può essere ancora illustrato nel modo seguente. L evoluzione di un volumetto d N q i d N p i di punti dell insieme statistico di stati al tempo t si porterà nel volumetto d N q i d N p i al tempo t. Poichè il numero di stati si conserva e poiché il teorema di Liouville implica che cioè gli stati occupano volumi sempre eguali, anche se eventualmente modificati a seguito delle diverse traiettorie seguite dai singoli stati.

10 Equazione di Boltzmann non collisionale Consideriamo un sistema di N particelle identiche non relativistiche; la generalizzazione al caso di più tipi di particelle comporta complicazioni tecniche e di principio, come vedremo in particolare nel caso dei plasmi. Il sistema e un sistema meccanico e, come già notato, il suo stato può essere rappresentato in due diversi spazi: 1) Da un punto nello spazio dello configurazioni, o spazio Γ, a 6N dimensioni corrispondenti alle coordinate generalizzate coniugate di ciascuna delle particelle; la sua evoluzione dinamica corrisponde ad una traiettoria in questo spazio 2) Da una traiettoria nello spazio lo spazio delle fasiµ, a 6 dimensioni corrispondenti alla posizione x e alla velocità v(x, v) di una particella. L evoluzione dinamica e definita da N traiettorie. Definiamo ora la funzione di distribuzione f (x, v, t) come la densità di particelle nello spazio delle fasi µ. Se dn è il numero di punti in un volume elementare δv dello spazio a 6 dimensioni: (8.7) dove δv deve comunque contenere un numero sufficientemente grande di punti da dar senso al passaggio dalla descrizione microscopica a quella macroscopica.

11 Il teorema di Liouville discusso nella lezione precedente si riferisce alla densitàρ ins di stati nello spazio Γ: ma ovviamente è possibile derivare un analogo risultato per la funzione f nello spazio µ. Per far questo basta scrivere le equazioni del moto per le particelle nella forma: (8.8) (8.9) dove v e x rappresentano i gradienti nello spazio delle velocità e delle posizioni; Nel caso di particelle non interagenti e soggette a soli campi esterni con potenziale Φ(x), l Hamiltoniana, ha la forma: (8.10) Non è possibile in generale includere in questo schema le collisioni, perchè per esse la forma del potenziale non è locale ma dipende dalle posizioni relative delle particelle interagenti; il problema può essere risolto con buona approssimazione, come vedremo, per fluidi neutri in cui le interazioni sono solo del tipo a corto raggio, mentre una trattazione più elaborata si applica a fluidi di particelle cariche e plasmi. Nelle suddette condizioni il teorema di Liouville può venire trasferito direttamente dallo spazio delle configurazioni a 6N dimensioni più il tempo allo spazio delle fasi a 6 dimensioni più il tempo:. (8.11)

12 L equazione di Liouville per sistemi non-collisionali prende il nome di equazione di Boltzmann non-collisionale e si scrive nelle forme: o (8.12) Dove il termine di accelerazione puo essere espresso come v & = F m dove m e la massa e F la forza applicata ad una particella dell insieme Questa equazione è solo applicabile al caso di sistemi in cui gli effetti delle collisioni tra particelle sono trascurabili. In questo caso, infatti l Hamiltoniana dipende dalle coordinate di tutte le particelle; il teorema di Liouville in quel caso vale solo nello spazio a 6N + 1 dimensioni. Per trattare il caso dei sistemi collisionali debbono essere usate opportune tecniche che permettono di ridurre il numero di variabili. Un caso noto è quello dell equazione di Fokker-Planck che vedremo più avanti.