Ingegneria del software

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1 Ingegneria del software Reti di Petri Rosario Culmone 10/5/2010 UNICAM - p. 1/28

2 Presentazione Le reti di Petri furono inventate nel 1962 da Carl Adam Petri durante la sua tesi di dottorato. Sono uno strumento matematico per descrivere in modo semplice ma puntuale un sistema distribuito. A noi in questo contesto interessa come linguaggio per la modellazione di sistemi dinamici. Le reti di Petri sono anche conosciute come rete posto/transizione (Place/Transition) o rete P/T. Le reti di Petri sono usati per modellare: protocolli di comunicazione sistemi fault-tolerance architetture multiprocessore date flow sistemi di controllo catene di montaggio macchine a stati specifica di programmi 10/5/2010 UNICAM - p. 2/28

3 Descrizione Le reti di Petri possono essere visti come estensione di automi a stati finiti con una nuova visione di stato e transizione di stato. Lo stato di un sistema e la transizione che porta il sistema da uno stato originario a un nuovo stato sono concetti distribuiti: ogni stato è l unione di più stati parziali e indipendenti e una transizione in generale non riguarda lo stato globale del sistema, ma si limita a variarne solo una parte. Due eventi che in un determinato stato possano verificarsi l uno indipendentemente dall altro sono rappresentati da due transizioni della rete che possono avere luogo concorrentemente. Negli automi a stati finiti, il verificarsi di una transizione impedisce alle altre di avere luogo. 10/5/2010 UNICAM - p. 3/28

4 Contesto Permette di modellare sistemi asincroni ovvero in cui gli eventi non sono forzati ad accadere in una sequenza definita. Nella versione originaria, si astrae completamente da ogni nozione di tempo è si definisce soltanto un ordinamento parziale tra gli eventi, ovvero un evento e i o e k deve avvenire prima di e j. In particolare: terminazione sincrona ovvero l istante di occorrenza di tali eventi non presenta caratteristiche di regolarità; concorrenza ovvero più attività possono essere eseguite simultanemente; sincronizzazione ovvero più attività concorrenti devono essere completate prima di poter procedere; conflitto alcune attività possono richiedere l utilizzo di risorse comuni. 10/5/2010 UNICAM - p. 4/28

5 Definizione di rete Una rete N è una tripla N = S, T, F dove: S è l insieme finito dei posti T è l insieme finito delle transizioni F è l insieme finito di archi noto anche come relazione di flusso F (P T) (T P). Valgono le seguenti restrizioni: P T = ovvero l insieme dei posti e delle transizioni sono disgiunti P T ovvero deve esservi almeno un posto o una transizione la relazione di flusso F lega posti a transizioni [F : P T ] e transizioni a posti [F : T P ] ma non [F : T T ] o [F : S S] Graficamente risulta un particolare tipo di grafo ovvero una rete ove vi sono due tipi diversi di nodi e regole (quelle sopra) che li legano. 10/5/2010 UNICAM - p. 5/28

6 Rappresentazione grafica s 1 posto flusso t 1 transizione Le etichette t 1 e s 1 servono per identificare i nodi mentre i flussi sono identificati dalla coppia stato-transizione o transizione-stato. In genere l etichetta associato allo stato descrive una azione o configurazione mentre l etichetta associata alla transizione descrive un evento. 10/5/2010 UNICAM - p. 6/28

7 Grafo bipartito p 1 p 2 t 1 p 3 t 2 p 4 p 5 Una rete è un grafo bipartito, ovvero i nodi sono di tue tipi distinti (stati e transizioni) e sono collegati da archi orientati (flussi) che vanno dagli stati alle transizioni e dalle transizioni agli stati. Sono vietate le seguenti configurazioni p 1 t 1 t 3 p 6 p 2 t 2 10/5/2010 UNICAM - p. 7/28

8 Rete Possiamo assegnare una semantica al concetto di stato, transizione e flusso. gli stati rappresentano gli stati parziali della rete le transizioni rappresentano gli eventi che alterano lo stato parziale della rete La rete evidenzia una struttura che indica l ordine parziale di quali eventi e in che ordine possono avvenire. In alternativa al flusso F è possibile definire due funzioni Pre : P T N ovvero la funzione di ingresso o di pre-incidenza e la funzione Post : T P N ovvero la funzione di uscita o post-incidenza. Esiste un arco dal posto p i alla transizione t j se e solo se Pre(p i, t j ) 0. Similmente esiste un arco che va dalla transizione t j al posto p i se e solo se Post(t j, p i ) 0. Una PN si dice ordinaria se il peso di ciascun arco è pari a uno. Una descrizione pratica di una rete PN è definire le matrici W + = Pre e W = inv(post). 10/5/2010 UNICAM - p. 8/28

9 Matrici W +, W e W La matrice W [Posto Transizione] indica i token presi da ogni transizione. La matrice W + [Posto Transizione] indica i token posti in uscita. La matrice W = W + W o matrice di incidenza indica il bilancio tra ingresso e uscita per ogni posto. p 1 t 1 p 2 p 3 W + = t 2 p W = W = /5/2010 UNICAM - p. 9/28

10 Marcatura Ad ogni PN è associato il vettore delle marcature di dimensione S ovvero una funzione m : S N che indica il numero di token associati ad uno posto. Possiamo definire gli insiemi: p = {t T Post(t, s) > 0} l insieme delle transizioni in ingresso a p p = {t T Pre(s, t) > 0} l insieme delle transizioni in uscita da p t = {s S Pre(s, t) > 0} l insieme dei posti in ingresso a t t = {s S Post(t, s) > 0} l insieme dei posti in uscita da t Una transizione t è abilitata alla marcatura m se e solo se s t, m(s) Pre(s, t) m (s) Pre(s, t) La nuova marcatura è così definita: m(p) Pre(s, t) se p t m = m(p) + Post(t, s) se p t m altrimenti 10/5/2010 UNICAM - p. 10/28

11 Regola di scatto Sinteticamente la regola che abilita una transizione è la seguente: Se tutti i posti di ingresso di una transizione hanno un numero di token maggiore o uguale al peso dei rispettivi archi in ingresso, la transizione si dice abilitata allo scatto. Se una transizione è abilitata allo scatto, l?esecuzione dello scatto toglierà dai posti in ingresso un numero di token pari al peso dell?arco in ingresso ed aggiungerà ad ogni posto in uscita tante marche quanto è il peso dell?arco in uscita. p 1 p 2 p 1 p t t p 3 p 4 p 3 p 4 10/5/2010 UNICAM - p. 11/28

12 Effetti della marcatura In sostanza una transizione è abilitata se il numero dei token presenti in ingresso coprono almeno i pesi dei flussi in ingresso. m (p) = m(p) + Post(p, t) Pre(p, t) per ogni t abilitata e per ogni p in ingresso a t. Naturalmente non tutti i token possono essere "consumati" dalla nuova marcatura. 10/5/2010 UNICAM - p. 12/28

13 Marcatura raggiungibile La notazione m[t > m indica il cambio di marcatura da m a m a seguito dello scatto della transizione t. Da una marcatura iniziale m 0 si può così ottenere m k se m 0 [t 1 > m 1 [t 2 >...m k 1 [t k > m k. Ovvero la sequenza σ = t 1, t 2,...,t k di scatti permette di ottenere la nuova marcatura, più semplicemente m 0 [σ > m k Possono esservi più tracce che conducono alla stessa marcatura (anzi generalmente è normale che vi siano) e possono esservi marcature "impossibili" ovvero che non sono il frutto di nessuna possibile sequenza σ di scatti. 10/5/2010 UNICAM - p. 13/28

14 Esempio di macchia stampatrice Si definisca la rete di Petri relativa ad una macchina che stampa su etichette di carta. Si hanno quattro eventi: e 1 arriva una etichetta; e 2 inizia la stampa; e 3 termina la stampa; e 4 è prodotta l etichetta. La macchina può essere nelle condizioni: m 1 bloccata in attesa di una etichetta; m 2 in corso di stampa dell etichetta. Una etichetta può essere in una delle tre condizioni: o 1 bloccata in attesa di essere stampata; o 2 in fase di stampa; o 3 stampata. 10/5/2010 UNICAM - p. 14/28

15 Formalizzazione Le condizioni significative (stati) sono quindi quattro: c 1 la macchina è bloccata in attesa dell arrivo di una etichetta; c 2 etichetta bloccata in attesa di essere stampata; c 3 etichetta in fase di stampa; c 4 etichetta stampata. 10/5/2010 UNICAM - p. 15/28

16 Rete di Petri e 1 c 2 Evento Pre Post e 2 c 3 c 1 e 1 c 2 e 2 c 1, c 2 c 3 e 3 c 3 c 4, c 1 e 4 c 4 e 3 c 4 e 4 10/5/2010 UNICAM - p. 16/28

17 Definizione di rete P/T Per definire anche lo "stato iniziale" e il peso dei flussi di una rete di Petri bisogna aggiungere alla tripla che definisce una PN altre due informazioni. La definizione completa diventa quindi: Una rete P/T M è una quintupla M = P, T, F, W, M 0 dove: P è l insieme finito dei posti T è l insieme finito delle transizioni F è l insieme finito di flussi W è una funzione W : F N {0} M 0 e una funzione M 0 : P N La funzione W associa ad ogni elemento della relazione di flusso un numero intero positivo detto molteplicità o peso. La funzione M 0 è detta marcatura iniziale è associa ad ogni posto un intero positivo. Sostanzialmente la marcatura iniziale indica lo stato iniziale globale della rete all inizio. Questa definizione è generale, definizioni semplificate non hanno W. Lo stato della rete può essere rappresentato da un vettore M i cui elementi sono il numero di token dell i-esimo posto. 10/5/2010 UNICAM - p. 17/28

18 Rappresentazione grafica della rete P/T p t 1 marcatura con 3 token flusso con peso 4 transizione flusso con peso 2 p 2 Le etichette t 1 e p 1 servono per identificare i nodi mentre i flussi sono univocamenti dalla coppia posto-transizione o transizione-posto 10/5/2010 UNICAM - p. 18/28

19 Produttore/consumatore p 1 c 1 produce scrive legge consuma p 2 c 2 I posti possono essere considerati stati mentre le transizioni sono eventi. Ad esempio il flusso che lega produce a p 1 si può tradurre inizia la produzione e il flusso che lega P 1 a scrive si può tradurre fine produzione. 10/5/2010 UNICAM - p. 19/28

20 Buffer di due posizioni libero scrittura occupato lettura I token in questa rete permettono di gestire due slot. Se i due token sono nel posto libero vi sono due slot liberi. Se i due token sono nel posto occupato ambedue gli slot sono occupati da messaggi. 10/5/2010 UNICAM - p. 20/28

21 Produttore/consumatore con buffer p 1 libero c 1 produce scrive legge consuma p 2 occupato c 2 10/5/2010 UNICAM - p. 21/28

22 Elaborazione macchina stampatrice e 1 c 2 e 2 Tre etichette da stampare, una etichetta in fase di stampa e due etichette stampate c 3 c 1 e 3 c 4 e 4 10/5/2010 UNICAM - p. 22/28

23 Rete in attività L evoluzione di un sistema modellato con una rete P/T avviene in modalità discreta, ovvero tramite il verificarsi di eventi. Affinché la rete si evolva sono necessarie due condizioni: la presenza di token in posti che sono collegati mediante flussi a transizioni il soddisfacimento della regola di scatto La regola di scatto permette di far transitare dei token da un posto ad un altro mediate una transizione se il numero di token sono in numero almeno uguale a peso del flusso che collega posto a transizione. Precisamente: Una transizione t è abilitata nella marcatura m se e solo se: p Pre(t), m(p) W(p, t) dove W(p, t) è il preso del flusso che collega il posto p alla transizione t, m(p) è il numero i token del posto p e Pre(t) sono i posti che hanno un flusso con t 10/5/2010 UNICAM - p. 23/28

24 Esempi di scatto p p 2 la transizione t 1 è abilitata da uno dei due token in p 1. I token sono anonimi; I token in p 1 abilitano sia t 1 che t 2 t 1 t 2 p p 2 Solo una delle due transizioni è abilita quindi esistono due marcature differenti t 1 t 2 10/5/2010 UNICAM - p. 24/28

25 Contatore 1 2 c 1 e 1 1 Inserito come un componente accumula in c 1 quanti token passano Realizza un contatore inizializzato a 0. Se si vuole partire da un valore diverso da 0 basta marcare c 1 con un valore qualsiasi. c 2 1 e /5/2010 UNICAM - p. 25/28

26 Contatore alla rovescia 1 1 c 1 2 e 1 e Inserito come un componente blocca i passaggio di token dopo determinato valore. Il conto alla rovescia parte dal numero di token posti in c 1. Dopo che si sono presentati un numero pari a numero di token presenti in c 1 c 2 il componente blocca. 10/5/2010 UNICAM - p. 26/28

27 Contatore alla rovescia 1 1 c 1 2 e 1 e Inserito come un componente blocca i passaggio di token dopo determinato valore. Il conto alla rovescia parte dal numero di token posti in c 1. Dopo che si sono presentati un numero pari a numero di token presenti in c 1 c 2 il componente blocca. 10/5/2010 UNICAM - p. 27/28

28 Proprietà Proprietà Raggiungibilità. Ovvero una rete ha questa proprietà se nessuno stato è inutile Safeness (binarietà). Ogni stato ha un solo token. Condizione sufficiente è che la marcatura iniziale e tutte le marcature raggiungibili siano binarie Boundedness (limitatezza). Il numero totale dei token è limitato. Se ogni posto ha un limite allora si dice che la rete è limitato Liveness (vitalità). E sempre possibile avere una nuova mappatura. 10/5/2010 UNICAM - p. 28/28