Somma 3-bit. somma 3-bit con I/O sequenziale. somma 3-bit con I/O sequenziale. Osservazione

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1 RETI COMBINATORIE In una rete combinatoria l uscita è funzione dei soli ingressi u = f () ADDIZIONATORE PARALLELO Addizionatore parallelo (a propagazione di riporto - ripple carry) per numeri binari di 4 bit, ottenuto dalla connessione di 4 moduli X Y BIT FULLADDER Z X Y BIT FULLADDER Z X2 Y2 BIT FULLADDER Z2 X3 Y3 BIT FULLADDER Z3 Z4 Osservazione Somma 3-bit Nell addizionatore a propagazione di riporto il tempo di assestamento del risultato cresce linearmente al crescere del numero di bit addendi Il tempo di assestamento per la cifra più significativa sarà n volte più grande di quello per la cifra meno significativa Proviamo a calcolare la somma di 2 numeri rappresentati su 3 bit utilizzando un solo X = Y = (,, ) + (y 2, y, y ) = (,, z, z ) + = y 2 y y z r X+Y = y 2 y y z z r X+Y =

2 y 2 y y z z r X+Y = y 2 y y z z r X+Y = X+Y = (,, z, z ) = y 2 y y z z r corretto sbagliato X+Y = Somme sequenziali Questo problema non può essere risolto da una Rete Combinatoria Occorre una rete capace di dare risposte non solo in funzione dell'ingresso corrente, ma anche del suo (della sua memoria interna),,, y 2,y,y, RC,z,z, y 2,y,y, Occorre la memorizzazione del riporto! Occorre la memorizzazione del riporto! Occorre introdurre un ciclo! y 2 y y z z r X+Y = y 2 y y z z r X+Y = 2

3 Addizionatore Seriale Rete Sequenziale ingresso presente y Rete Combinatoria Full Adder y futuro uscita Reti sequenziali: Le uscite dipendono oltre che dall'ingresso all'istante t anche dalla sequenza di ingressi precedentemente applicati L addizione è ottenuta mandando in ingresso al Full Adder il riporto calcolato al passo precedente Un modello di Rete Sequenziale Rete Sequenziale ingresso n presente y y k Rete Combinatoria y k y z z m futuro uscita Per lo studio delle reti sequenziali è necessario introdurre il concetto di Stato del Sistema Gli stati diversi in cui può trovarsi un sistema reale sono in numero finito (Automa a stati finiti) Rete Sequenziale Dette: le variabili di ingresso z le variabili di uscita y le variabili che rappresentano lo attuale, y le variabili che rappresentano lo successivo le relazioni che rappresentano la rete sono: y = G(,y) z = F(,y) L output z prodotto dal sistema dipende dal valore dei segnali in ingresso () e dallo (y) in cui si trova il sistema Il nuovo y dipende dal valore dei segnali in ingresso () e dal precedente (y) y = G (, y) z = F (, y) funzione di transizione di funzione di uscita Le funzioni F e G sono dette funzioni di transizione 3

4 Nel caso più generale un sistema sequenziale è caratterizzato da n linee di ingresso, m linee di uscita e k elementi di memoria Strumenti utilizzati per l analisi e la sintesi delle Poiché il valore di K dipende dal numero dei diversi stati in cui potrà trovarsi il sistema, nel caso binario (un elemento di memo ria memorizza bit) con k =n è possibile rappresentare 2 n stati distinti Reti Combinatorie - Algebra di Boole - Mappe di Karnaugh Macchina sequenziale: le uscite in ogni istante dipendono non solo dai valori ingressi nello stesso istante, ma anche dalla "storia" del sistema, specificata dagli elementi di memoria Reti Sequenziali - Automi a Stati Finiti Automi a stati finiti Automa : dispositivo che, sulla base di stimoli od ordini ricevuti, esegue in modo autonomo un particolare compito Automa a Stati Finiti Punto di vista puramente matematico: un automa rappresenta il modello astratto di un sistema con input ed output discreti, che può trovarsi in uno fra n stati distinti Stato: condizione in cui il si trova il sistema, determinata dagli input precedentemente ricevuti Esempi di automi: lavatrice, distributore automatico di bibite, Un automa stabilisce il suo comportamento, passando in un nuovo ed eventualmente fornendo un output, in funzione dello in cui si trova e dell input che riceve Quando si descrive un automa si compie un procedimento di astrazione preoccupandosi del solo comportamento logico funzionale dell'automa e non della sua realizzazione pratica (fisica) Descrivere un automa significa dare una descrizione delle modalità di funzionamento dell automa (cosa fa l'automa) Il comportamento di un automa A a stati finiti (ASF) è descritto dalla quintupla A = < I, O, Q,???? >?I finito di simboli di input?o finito di simboli di output?q finito di stati interni (q? Q è lo iniziale)?????funzioni di transizione che specificano il comportamento dell automa?? : I? Q? Q funzione di transizione di che ha per dominio I? Q e per codominio Q, specifica il nuovo raggiunto dall automa;?? : I? Q? O funzione di uscita, specifica il simbolo di uscita prodotto dall automa 4

5 Poiché esistono automi dove l uscita è funzione del solo (la funzione di uscita? dipende solo da Q e non da QI), gli automi si distinguono in: Automi di Mealy (funzione di uscita? ) Automi di Moore (funzione di uscita? ) Automa proprio o di Moore : l output al tempo t dipende esclusivamente dai valori assunti dallo : z t =? (q t ) Automa improprio o di Mealy: l output al tempo t, oltre che dallo, dipende anche dagli ingressi nello stesso istante: z t =? ( t, q t ) E sempre possibile trasformare un automa di Mealy nel corrispondente automa di Moore e viceversa Reti Sequenziali -Esempi di Automi di Mealy Rete sequenziale: y = G(,y) z = F(,y) Automa a strati finiti: A = <I, O, Q,???? > I?, (variabili di ingresso) O? z (variabili di uscita) Q? y, y ( attuale, successivo)?? G y = G (, y)?? F z = F (, y) Rappresentazioni per ASF Rappresentazioni equivalenti di un ASF: Grafo o diagramma stati: i nodi rappresentano gli stati possibili dell automa; gli archi rappresentano i passaggi di che vengono effettuati in funzione dei particolari input Matrice o tabella di flusso : le righe rappresentano gli stati mentre le colonne rappresentano le configurazioni di ingresso Nelle celle corrispondenti all incrocio riga colonna viene indicato futuro / simbolo d'uscita Diagramma stati nell ASF di MEALY Nel diagramma stati dell Automa di Mealy ogni nodo rappresenta uno Ad ogni arco che collega due nodi (stati) q q 2 è associata una coppia /z, dove è l ingresso che provoca il cambiamento dallo q allo q 2 e z è l uscita che ne deriva Diagramma stati nell ASF di MEALY Il generico arco che collega la coppia di nodi (stati) q, q 2 è etichettato da una coppia di valori,z tali che q 2 =??(, q ) z =??(, q ) / z q q 2 /??, q? q? (, q ) Stato q Stato q 2 5

6 Diagramma stati nell ASF di MOORE Nell Automa di Moore ogni nodo rappresenta uno, ad ogni arco (che collega due nodi generici q e q 2 ) è associato l ingresso che provoca il cambiamento dallo q allo q 2 Ogni è rappresentato da una coppia q/z, ove q denota il particolare e z è l uscita ad esso associata q /z q 2 / Diagramma stati nell ASF di MOORE Il generico arco che collega la coppia di nodi (q, q 2 ) è etichettato da q 2 =??(, q ) q /??q?? (, q ) Stato q Stato q 2 Tabella di flusso di un ASF di MEALY Tabella di flusso di un ASF di MEALY stati i i 2 i n- i n ingressi s s 2 stati s s 2 ingresso i i 2 i i i n- i n ingressi s k presente s j s k s p/ z p futuro/ uscita Tabella di flusso di un ASF di MOORE Tabella di flusso di un ASF di MOORE stati i i 2 i n z s s 2 ingressi uscite stati s s 2 ingresso i i 2 u i i i n s k presente s j s k s p u j uscita futuro 6

7 Tabella di flusso di un ASF di MOORE Ogni riga della tabella rappresenta uno dell'automa Ogni colonna rappresenta una configurazione in ingresso L ultima colonna rappresenta l output corrispondente a ciascuna riga () In ogni incrocio riga colonna è rappresentato solo lo futuro, in quanto il simbolo d'uscita è sull ultima colonna Un Automa di Mealy è un ASF A =<I, O, Q,?,??>?I finito di simboli di input?o di valori di output?q finito di stati interni di cui si assume q? Q di partenza?? : I?Q? Q funzione di transizione che ha per dominio I?Q ( il prodotto cartesiano, ovvero l' delle coppie,q ) e per codominio Q, serve a specificare il nuovo raggiunto dall automa;?? : I?Q? O funzione di uscita, serve a specificare il simbolo di uscita prodotto dall automa dove l uscita al tempo t, oltre che dallo, dipende anche dagli ingressi nello stesso istante: z t =? ( t,q t ) Un Automa di Moore è un ASF A 2 =<I, O, Q,?,? >?I finito di simboli di input?o di valori di output?q finito di stati interni di cui si assume q? Q di partenza?? : I?Q? Q funzione di transizione che ha per dominio I?Q ( il prodotto cartesiano, ovvero l' delle coppie,q ) e per codominio Q, serve a specificare il nuovo raggiunto dall automa;?? : Q? O funzione di uscita, serve a specificare il simbolo di uscita prodotto dall automa dove le uscite al tempo t dipendono esclusivamente dai valori assunti dallo : z t =? (q t ) Automa di MOORE: L'uscita della rete dipende dallo interno: z=? (q) Il nodo ha due etichette (q/? (q)) che rappresentano rispettivamente il nome dello ed il simbolo d'uscita corrispondente Sugli archi vi è solo un etichetta ( ) la configurazione di ingresso che determina il passaggio da uno all'altro Automa di MEALY: L'uscita della rete dipende dagli ingressi e dagli stati interni : z=? (,q) Il nodo contiene solo il nome dello (q) Sugli archi ci sono 2 etichette (/? (X,q) che rappresentano la configurazione di ingresso che determina il passaggio da uno all'altro e il simbolo d'uscita Riassumendo: Diagrammi stati Mealy /??, q? Mealy Riassumendo: Tabella di Flusso q? (,q) /? (,q) Moore q? (, q)? (, q) q/??q? Moore q? (,q)? (q) 7

8 Esercizio Dato il diagramma stati del seguente Automa di che tipo di Automa si tratta? B/ A/ q q B/ A/ Soluzione Dal momento che ciascun nodo contiene solo il nome dello (q) e sugli archi ci sono 2 etichette (/z) che rappresentano la configurazione di ingresso che determina il passaggio da uno all'altro e il valore dell'uscita per tale configurazione si tratta di un Automa di MEALY? L'uscita della rete dipende dagli ingressi e dagli stati interni : z=w(,q) B/ A/ q q B/ A/ Esercizio Dato il diagramma stati del seguente Automa determinare la corrispondente Tabella di Flusso B/ Soluzione Si tratta di un automa di Mealy a 2 stati (q,q) e a ingresso (che assume i 2 valori A,B) B/ A/ q q B/ A/ A/ q q B/ A/ Soluzione Si tratta di un automa di Mealy a 2 stati (q,q) e a ingresso (che assume i 2 valori A,B) B/ A/ q q B/ Homework Dato il diagramma stati del seguente Automa determinare la corrispondente Tabella di Flusso Quindi la Tabella di flusso è A/ A B q q / q / q q / q / / / / q / / q / / / 8

9 Homework Dato il diagramma stati del seguente Automa determinare la corrispondente Tabella di Flusso Homework Data la seguente Tabella di Flusso determinare il corrispondente diagramma stati q / q / q q/ q/ q q/ q/ 9