a.a ESAME DI GEOMETRIA PER INFORMATICA il sottospazio di R 4 costituito dalle soluzioni del x 1 +2x 2 x 4 =0 x + y 2x V = {

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1 a.a ESAME DI GEOMETRIA PER INFORMATICA Per ogni quesito dare adeguate spiegazioni. () Sia V λ, al variare di λ R il sottospazio di R 4 costituito dalle soluzioni del x +2x 2 x 4 =0 sistema lineare omogeneo 2x +4x 2 + x 3 x 4 =0. Determinare x +2x 2 + λx 4 =0 La dimensione e una base di V λ, al variare di λ R; Una base del sottospaziov. (2) Provare che ( ) x + y 2x V = { : x, y, z R} z 2y + z è un sottospazio vettoriale di M 2 (R) e determinarne una base. x = t 2 + t (3) Sia L : y = t 3 + t 2, z = t 3 t dire se L è piana ed eventualmente determinare il piano che la contiene, scrivere una rappresentazione del cono con vertice in (,, 0) che si appoggia a L, trovare la proiezione ortogonale di L sul piano x z =0. (4) Dati i punti di P 3 (R), P =[0,,, ],P 2 =[0,,, 0],P 3 =[, 0,, ],P 4 = [0, 0, 2, ], siano rispettivamente r ed s le rette congiungenti P con P 2 e P 3 con P 4, determinare le equazioni di r ed s, determinare r s, determinare un piano contenente sia r che s, determinare un piano π contenente s ma non r e calcolare π r determinare un riferimento proiettivo di P 3 (R) contenente P,P 2,P 3.

2 a.a ESAME DI GEOMETRIA PER INFORMATICA Per ogni quesito dare adeguate spiegazioni. x = u 2 + v 2 x = t 2 t () Date σ : y = u v e γ : y = t + : z = uv z = t 2 + t dire se γ è piana. dire se γ σ, dire se σ è un cilindro o un cono, determinare { una curva C σ. { λx y z = λ λx +(λ +2)y =0 (2) Siano r λ : ed s λ : x + λy =0 (λ +2)x + λz =0 dire per quali valori di λ R i sistemi r λ,s λ, rappresentano rette, determinare gli eventuali valori per cui r λ s λ =, determinare r λ s λ, al variare di λ R. (3) Siano P 0 [,, ],P [2, 0, ],P 2 [0, 2, ],,P 3 [0,, ] P 2 (R), provare che P 0,P,P 2 sono allineati e che P 0,P,P 3 non lo sono, determinare un punto Q P 2 (R) tale che P 0,P,P 3,Q non siano in posizione generale, determinare un punto P 4 sulla retta per P 0 e P tale che β(p 0,P,P 2,P 4 )= 2.

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6 Esame di Geometria per Informatica a.a , Per ogni esercizio dare adeguate spiegazioni. Dato il polinomio X 8 C[X], determinare le soluzioni dell equazione X 8 =0. Identificando il piano di Argand-Gauss con R 2, scrivere le equazioni delle diagonali di lunghezza 2 dell ottagono regolare O di vertici i numeri complessi determinati precedentemente. 2. Sia γ : {(t 2,t 2 2t, t +): t R}. Provare che γ è una curva piana. Determinare proiezione ortogonale di γ su π : x y 2z =0. 3. Determinare il piano π passante per i punti A[0, 0, 0, ],B[,,, 0],C[, 2, 2, ] P 3 (R). Scrivere una rappresentazione parametrica della retta impropria di π. Dire se i punti A,B,C,D[,,, ],E[0,,, 0] individuano un riferimento proiettivo di P 3 (R). 4. Data la matrice A = ( 0 0 ) M 2,3 (R). Dire se: B M 3,2 (R) tale che AB = I 2, C M 3,2 (R) tale che CA = I 3, in caso affermativo esibire un esempio, specificando se ne in numero finito o infinito. Detti rispettivamente φ A : R 3 R 2 l omomorfismo associato ad A M 2,3 (R), φ Da : R 2 R 3 l omomorfismo associato a D a = M 3,2 (R) a rispetto alle basi canoniche, determinare dim k ker (φ Da φ A ) al variare di a R.

7 Esame di Geometria per Informatica a.a , Per ogni esercizio dare adeguate spiegazioni. n.o. es,2,3,4; v.o. es,2,4,5.. Dato il polinomio X n C[X], dire per quali n Z il numero complesso z = i è radice dell equazione X n =0. 2. Sia γ : {(t 2, 2t 2,t+): t R}. Provare che γ è una curva piana. Determinare proiezione ortogonale di γ su π : x y 2z =0. Trovare una superficie S non piana contenente γ. 3. Data la proiettività f(x 0,x,x 2 )=(x 0 +x x 2, 3x 0 +2x +x 2, 3x +3x 2 ) di P 2 (R). Provare che f ha 3 punti fissi P,P 2,P 3 distinti e determinarli. Dire se rette di punti fissi per f. Dire se un riferimento proiettivo di P 2 (R) che abbia i tre punti P,P 2,P 3 come punti fondamentali ed eventualmente determinarlo. 4. Sia φ : R 4 R 3 l omomorfismo associato alla matrice M E3 φ(e = ) Determinare una base di ker φ e una base di im φ. Determinare un vettore u R 3 tale che φ (u) =. Determinare, se esitono, tre vettori l. i. v,v 2,v 3 R 4 tali che φ(v )=φ(v 2 )=φ(v 3 ). Determinare un vettore v R 4 tale che φ(v) =(2, 4, 2). 5. Dato U = L{(,, 0, 0), (0, 0,,, )}. Trovare due sottospazi V W R 4 tali che U + V = U + W = R 4 e U V = U W =0 R 4. Determinare φ : R 4 R 4 tale che φ U = id U e φ(u) =W. Dire se φ è necessariamente surgettiva, iniettiva.

8 Esame di Geometria per Informatica a.a , Per ogni esercizio dare adeguate spiegazioni. Recupero I compitino esercizi, 2. Recupero II compitino esercizi 3, 4.. Verificare se la curva γ : {(t 2 2t, 2t 2 + t, t 2 ) : t R} è piana. Scrivere la proiezione ortogonale di γ sul piano π : x y + z =0. 2. Dati il piano π : x +2y z = 0 e la retta r : {(t, t, 3t) : t R} Provare che ogni piano del fascio di piani per r non parallelo a π sega π in una retta s con r//s. Trovare (se ) una retta su π a r. 3. Sia φ λ : R 3 R 3 l omomorfismo definito da φ λ (x, y, z) =(x y, λx + yλz, x + λy +2z) Determinare la dimensione di im φ λ al variare di λ R. Determinare una base di ker φ 2 e ker φ Data la proiettività f(x 0,x,x 2 )=(x 0 + x x 2, 2x + x 2, 3x 2 )dip 2 (R). Provare che f ha 3 punti fissi distinti e determinarli. Provare che 3 rette distinte r,r 2,r 3 tali che f(r i )=r i, i =, 2, 3. Provare che per nessun i =, 2, 3 vale f(p )=P, P r i.

9 2 Compitino di Geometria per Informatica a.a , Per ogni esercizio dare adeguate spiegazioni { { x = t x =. Siano r : z =0 ed s : y = t t R. z = t Provare che r ed s sono sghembe. Determinare la comune perpendicolare ad r ed s. Determinare l equazione della superficie F ottenute ruotando s intorno ad r. Determinare su F la circonferenza di raggio minimo. 2. In P 2 (R) siano r : x 0 + x =0, s : x + x 2 =0, t : x 0 + x 2 =0, Determinare {P } = r s, {Q} = r t, {R} = s t. Provare che P,Q,R,X = P +2Q +3R formano un riferimento proiettivo E con P,Q,R punti fondamentali e X punto unità. Determinare le coordinate di A[,, ] in E. 3. Sia φ : R 4 R 3 l omomorfismo associato alla matrice M E3 φ(e = ) Determinare una base di ker φ e una base di im φ. Determinare un vettore u R 3 tale che φ (u) =. Determinare, se esitono, tre vettori l. i. v,v 2,v 3 R 4 tali che φ(v )=φ(v 2 )=φ(v 3 ). Determinare un vettore v R 4 tale che φ(v) =(3, 6, 3).

10 Esame di Geometria per Informatica a.a , Per ogni esercizio dare adeguate spiegazioni. Sia f λ : R 3 R 4 di coniche passanti per i punti A[, 0, 0], B[, 0, ] e tangenti alla retta r : X + X 2 2X 0 =0inC[,, ]. Dire se esiste una γ Φ tale che γ U 0 sia un ellisse. 2. Data γ :(X 2 0 2X 0X +2X 0 X 2 + X 2 + X2 2 )(X2 + X2 2 2X 0X 2 )=0. Determinare i punti all infinito di γ. Dire se γ é proiettivamente equivalente a δ :(X0 2 + X2 + X2 2 )2 =0. Dire se ogni curva proiettivamente equivalente a γ si spezza nell unione di due coniche non degeneri. 3. a) Date tre rette r,r 2,r 3 di P 4 a due a due sghembe e non contenute in un iperpiano, provare che esiste un unica retta s che si appoggia a tutte e tre. b) Dati A[,, 0, 0, 0],B[0, 0,,, 0] sia r = L(A, B), sia inoltre r la retta di equazioni X X 2 =0 X 3 =0 X 4 =0 Determinare lo spazio congiungente L(r, r ) (mediante equazioni). Determinare una retta r tale che diml(r, r,r ) > 3. Determinare la retta s che interseca r, r,r.

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