PROVA SCRITTA IGS2 B

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1 PROVA SCRITTA IGS2 B 28 FEBBRAIO 2013 (1) Sia d 1. Si dimostri che il sottoinsieme Z P(C[x 0,...,x n ] d ) delle classi di polinomi omogenei riducibili è un chiuso proprio; si determinino le componenti irriducibili di Z e le loro dimensioni. (2) In P 1 C P2 C con coordinate ((s 0 : s 1 ), (x 0 : x 1 : x 2 )) si considerino i chiusi e le proiezioni ristrette Z 1 = V (s 0 x 2 0 s 1 x 2 1), Z 2 = V (s 2 0x 0 s 2 1x 1 ), f = p 1 Z1 : Z 1 P 1, g = p 1 Z2 : Z 2 P 1. Si determinino le fibre di f e g, le eventuali fibre singolari e gli eventuali punti singolari di Z 1 e Z 2. (3) Si dimostri che A 1 C \{punto} e P1 C \{punto} non sono isomorfi a una varierà proiettiva. Prova scritta di IGS2 -B 26 giugno 2014 (1) Sia X P n C una varietà proiettiva, e F C[x 0,...,x n ] un polinomio omogeneo di grado d 1. Si dimostri che X F := X \ V P (F ) è isomorfo a una varietà affine; si dimostri che se X non è un punto, allora X V P (F ) =. (2) Nel prodotto P 2 P 2 con coordinate (s 0 : s 1 : s 2 ), (x 0 : x 1 : x 2 ), si consideri il chiuso Z (la rete di coniche) definito da: s 0 x s 1 (x 2 0 x 2 1)+s 2 x 2 2 =0. Si determinino gli eventuali punti singolari di Z. Si consideri la prima proiezione p 1 : Z P 2 ; si determinino i seguenti luoghi: W 1 := {P P 2 p 1 1 (P ) e unione di due rette distinte} P 2, W 2 := {P P 2 p 1 1 (P ) e una retta doppia} P 2. (3) Sia Y P 2 C una curva piana nonsingolare di grado d>1, definita dall equazione f(u 0,u 1,u 2 )= 0. Sia X = C(Y ) A 3 il cono affine di Y, definito dalla stessa equazione Mathematics Subject Classification. Primary 14D22, 14H51; Secondary 14H10. Key words and phrases. moduli of curves, fibration, gonality. 1

2 2 28 FEBBRAIO 2013 Si dimostri che l origine (0, 0, 0) è il solo punto singolare di X. Si consideri lo scoppiamento Â3 di A 3 nell origine (0, 0, 0), definito da  3 x y z := {((x, y, z), (u 0 : u 1 : u 2 )) rk =1} A u 0 u 1 u 3 P 2. 2 Se p 1 : Â3 A 3 denota la restrizione della prima proiezione, si consideri X lo scoppiamento di X nel vertice (0, 0, 0) definito dalla chiusura: X := p 1 1 (X \ (0, 0, 0)) Â3. Si dimostri che X 1 è non singolare, e che (facoltativo) p 1 (0, 0, 0) è isomorfo a Y, con X p 1 X : X X restrizione della prima proiezione. 17 febbraio 2015 (1) Si determini la trasformata stretta dello scoppiamento nell origine della curva piane affine e si dica se è liscia oppure singolare. V (x 2 y + xy 2 x 4 y 4 ) A 2 C, (2) In P 1 C P2 C con coordinate ((s 0 : s 1 ), (x 0 : x 1 : x 2 )) si considerino i chiusi e le proiezioni ristrette Z 1 = V (s 0 x 3 0 s 1 x 3 1), Z 2 = V (s 3 0x 0 s 3 1x 1 ), f = p 1 Z1 : Z 1 P 1, g = p 1 Z2 : Z 2 P 1. Si determinino le fibre di f e g, le eventuali fibre singolari e gli eventuali punti singolari di Z 1 e Z 2. (3) Si dimostri che A 1 C \{punto} e P1 C \{punto} non sono isomorfi a una varierà proiettiva (1) Sia f : X Y un morfismo finito suriettivo tra varietà proiettive su un campo algebricamente chiuso. Si dimostri che per ogni chiuso proprio Z X si ha f(z) = Y. (2) Si dimostri che il sottoinsieme di Z P(C[x 0,x 1,x 2 ] 3 ) costituito dalle classi di polinomi omogenei riducibili di grado 3 è un chiuso proprio e si determinino le sue componenti irriducibili con le relative dimensioni. (3) Si consideri il chiuso X di P 2 C P2 C determinato dall equazione s 0 x s 1 x 2 (x 2 x 0 )+s 2 x 2 0 =0. Si dimostri che esiste un aperto U P 2 tale che le fibre di p 1 : X P 2 sui punti di U siano coniche irriducibili piane;

3 PROVA SCRITTA IGS2 B 3 si determini e si descriva il sottoinsieme X P 2 per cui p 1 1 (q) èriducibile; (1) Sia X P n con n 2 un ipersuperficie riducibile. Si dimostri che dim X sing n 2. Sia 0 <m n e si consideri Q m = V P (x x2 m) P n. riducibile se e solo se m = 1. Si dimostri che Q m è (2) Curve piane singolari: sia P N = P(C[x 0,x 1,x 2 ] d ) con d 2 e si consideri X := {(p, [F ]) p V (F ) sing P 2 } P 2 P N. Si dimostri che X è u n c h i u s o d i P 2 P N ; si consideri la proiezione p 1 : X P 2 e si dimostri che dim X = N 1; si considerino le fibre della proiezione p 2 : X P N e si dimostri che il sottoinsieme di P N corrispondente alle curve singolari è un ipersuperficie. (3) Si consideri il chiuso X di P 1 P 2 determinato dall equazione s 0 x s 1 x 2 (x 2 x 0 )=0. Si dimostri che esiste un aperto U P 1 tale che le fibre di p 1 : X P 1 sui punti di U siano coniche irriducibili piane; si determinino i punti q di P 1 per cui p 1 1 (q) èriducibile; (1) Si dimostri che lo scoppiamento A 2 di A 2 C nell origine non è isomorfo a una varietà affine. (2) Sia n 1, N = d e siano M0,...,M N i monomi di grado d in x 0,x 1,x 2. Denotiamo con y 0,...,y N le coordinate omogenee di P N.Sia N Z = V ( M i (x 0,x 1,x 2 )y i ) P 2 P N. i=0 esiap 2 : Z P N la restrizione della seconda proiezione. Si dimostri che Z è u n c h i u s o i r r i d u c i b i l e d i P 2 P N echep 2 è un morfismo. Inoltre a =(a 0 : : a N ) P N,sia N C a = Z M i (x, y, z)a i. Si dimostri che p 1 2 (a) =C a {a}. i=0

4 4 28 FEBBRAIO 2013 (3) Sia C = {s 0 Q 0 (x 0,x 1,x 2 )+s 1 Q 1 (x 0,x 1,x 2 )} un fascio di coniche proiettive piane su C con Q 0 e Q 1 equazioni di coniche irriducibile fissate. Sia Q una conica singolare del fascio. Si dimostri che un punto singolare p di Q è singolare per il chiuso Z = V (s 0 Q 0 (x 0,x 1,x 2 )+s 1 Q 1 (x 0,x 1,x 2 )) P 1 C P2 C se e solo se p è un punto base del fascio C (cioè p Q Q C). Suggerimento: si consideri per semplicità solo il caso p =((1:t), (1 : x : y)) (1) Sia X P n con n 2 un ipersuperficie riducibile. Si dimostri che dim X sing n 2. Sia 0 <m n e si consideri Q m = V P (x x2 m) P n. riducibile se e solo se m = 1. Si dimostri che Q m è (2) Sia (p, q) P 1 C A1 C. Si dimostri che P1 C A1 C \{(p, q)} non è isomorfo a una varietà proiettiva. (3) Si dimostri che il sottoinsieme di Z P(C[x 0,x 1,x 2 ] 4 ) costituito dalle classi di polinomi omogenei riducibili di grado 4 è un chiuso proprio e si determinino le sue componenti irriducibili con le relative dimensioni (1) Si consideri la cubica nodata C = V P (x 0 x 2 2 x2 1 (x 1 + x 0 )) P 2. Si dimostri che la proiezione π (1:0:0) : C V P (x 0 ) è una mappa birazionale. (2) Sia ϕ : X Y un morfismo suriettivo di varietà quasi-proiettive. Sia Z Y un chiuso. Si dimostri che se ϕ 1 (Z) è irriducibile, allora Z è i r r i d u c i b i l e. (3) Si consideri il chiuso X di P 1 P 2 determinato dall equazione s 0 x s 1 x 2 2 =0, dove ((s 0 : s 1 ), (x 0 : x 1 : x 2 )) P 1 P 2 indicano le coordinate. Si determinino i punti di P 1 per cui le fibre della prima proiezione p 1 : X P 1 sono coniche piane riducibili; 14 ottobre 2013 (1) Sia ϕ : X Y un morfismo tra X varietà proiettiva e Y quasiproiettiva su un campo algebricamente chiuso. Si dimostri che f(x) è chiuso in Y. Si caratterizzino le varietà che sono sia affini che proiettive.

5 PROVA SCRITTA IGS2 B 5 (2) Si dimostri che P n P m e lo scoppiamento Â2 di A 2 in un punto sono varietà razionali. (3) Si consideri la varietà grassmanniana G(1, 3) P 5 C delle rette di P3. Si dimostri che i seguenti insiemi sono chiusi e si determinino le rispettive dimensioni: fissato P P 3,Γ P := {l G(1, 3) L P }; Ω:={(l, l ) l l = } G(1, 3) G(1, 3) (1) Sia f : X Y un morfismo finito suriettivo tra varietà proiettive su un campo algebricamente chiuso. Si dimostri che per ogni chiuso proprio Z X si ha f(z) = Y. (2) Sia X P n C con n 4 un ipersuperficie di grado d 2. Si dimostri che se X contiene un sottospazio proiettivo di dimensione r n/2, allora X ha punti singolari. (3) Si dimostri che il sottoinsieme W = {(l 1,l 2 ) G(1, 3) G(1, 3) l 1 l 2 = } G(1, 3) G(1, 3) è chiuso. Calcolare la dimensione di W. Si consideri P 19 = P(C[x 0,x 1,x 2,x 3 ] 3 )esiau = G(1, 3) G(1, 3) \ W.Sia Z = {(l 1,l 2, [F ]) U P 19 l 1 l 2 V (F ) P 3 } U P 19. Calcolare la dimensione di Z ededurnechep 2 : Z P 19 è dominante.