n+1 i=1 Sia D la superficie di Riemann della curva algebrica piana:

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1 ESERCIZI 1) Sia C una superficie di Riemann di genere 1. Sia p C. a) Dimostrare che l(2p) = 2 e l(3p) = 3. b) Siano {1, f} e {1, f, g} basi per L(2p) e L(3p), rispettivamente. Dimostrare che esistono costanti c e d non nulle tali che cf 3 dg 2 L(5p). c) Dimostrare che esiste un polinomio di terzo grado P (x, y) C[X, Y ], tale che P (f, g) = 0. d) Dimostrare che P (x, y) è irriducibile. e) Sia C la chiusura in P 2 della curva Γ = {(x, y) C 2 P (x, y) = 0} Dimostrare che l applicazione F : C Γ definita da F (p) = [1, f(p), g(p)] è unisomorfismo analitico. f) Dimostrare che Γ è non singolare. 2) Sia S la superficie di Riemann della curva algebrica piana {Y 4 X 3 Z = 0} P 2. Calcolare il genere di C e il campo delle funzioni meromorfe di C. 3) Sia C P 2 una quartica non singolare. Sia r una retta e D = r C il divisore ottenuto intersecando questa retta con C. Dimostrare che ogni divisore D D è della forma D = r C per qualche retta r. 4) Sia C P 3 la superficie di Riemann dfinita dalle equazioni X 2 Y T = 0, Y 2 ZX = 0, XY ZT = 0. a) Calcolare il genere di C. b) Sia D il divisore degli zeri della funzione meromorfa T/Z su C. Sia W il C-vettoriale dei polinomi omogenei di secondo grado in X, Y, Z, T. Mostrare che l omomorfismo ϕ : W L(2D) Q Q T 2 C 5) Sia C la superficie di Riemann della curva piana XY Z 3 + X 5 + Y 5 = 0 a) Mostrare che C può realizzarsi come rivestimento triplo di P 1 e calcolare il genere di C. b) Costruire una base del C-vettoriale dei differenziale olomorfi su C. d) Mostrare che C non è iperellittica. 6) Sia C = {X 5 Y 4 Z Z 5 = 0}. Siano f = X/Z M(C) e h = Y/Z M(C) Trovare il genere di C usando la formula di Hurwitz per f e g. Dimostrare che C non è iperellittica. 7) Sia V = {[X, Y, Z] P 3 C X 3 +Y 3 +Z 3 +W 3 = XW Z 2 = 0}. Mostrare che V ha, in modo naturale, una struttura di varietà complessa compatta di dimensione 1 8) a) Sia D un divisore di grado zero su di una superficie di Riemann compatta. Dimostrare che l(d) è uguale a 0 o a 1. Descrivere gli elmenti di L(D). 1

2 2 b) Sia C = {[X, Y, Z] Y 4 Z = X 5 XZ 4 }, siano Q = [0, 1, 0] e P = [0, 0, 1]. Calcolare l(4q 4P ), e l(3q 3P ). 9) Sia C la superficie di Riemann associata alla curva algebrica Calcolare il genere di C. C = {(x, y) C 2 x 4 + x y(x 5 x 2 x) = 0}. 10) Si consideri l immersione di Veronese: v n 3 : P 2 P (n ) 1 = P (n 1)(n 2) 2 1 [X, Y, Z] [..., X i Y j Z n 3 i j,... ] dove 0 i + j n 3. Sia C P 2 una curva piana non singolare di grado n. Dimostrare che l applicazione canonica di C è la restrizione a C di v n 3. Dedurne che C non è iperellittica. 11) Sia C la superficie di Riemann della curva algebrica piana: n+1 y n = (x a i ), a i a j. i=1 Sia D la superficie di Riemann della curva algebrica piana: y 2 = N (x b h ), N = n 2 n + 2, b h b k. h=1 a) Calcolare il genere di C e quello di D. b) Dimostrare che C e D sono analiticamente distinte. c) Scrivere esplicitamente un generatore di HdR 2 (D, R). 12) Sia C la superficie di Riemann della curva algebrica piana: C 0 = {x 3 + y 2 + y + 1 = 0}. Sia D la superficie di Riemann della curva algebrica piana: D 0 = {x 3 + y 4 + y = 0} a) Calcolare il genere di C e quello di D. b) Sia f 0 : D 0 C 0, definita da f 0 (x, y) = (x, y 2 ). c) Dimostrare che f 0 si estende a una applicazione analitica f : D C. Calcolare grado e punti di ramificazione di f. d) Verificare che dy x è un differenziale olomorfo su C. Esibire una base di I 2 D che contenga l elemento f dy x 2. 13) Sia C una superficie di Riemann di genere 2. Sia γ : C P 1 = P g 1 l applicazione canonica. a) Dimostrare che γ è un rivestimento doppio (e dunque ogni curva di genere 2 è iperellittica). b) Sia p C tale che l(2p) = 2, e sia {1, f} una base di L(2p). Determinare l(np), n 0. c) Mostrare che esiste una funzione meromorfa g L(5p) che ha in p un polo di ordine 5, e scrivere, in funzione di f e g, una base di L(np), per 0 n 10.

3 3 d) Mostrare che esistono un polinomio Q(x) monico e di grado 5, e un polinomio P (x) di grado minore o uguale a 4, tali che Q(f) + gp (f) + g 2 = 0. e) Dimostrare che il polinomio Q(x) + yp (x) + y 2 è irriducibile e che C è la superficie di Riemann della curva algebrica piana Q(x) + yp (x) + y 2 = 0. 14) Si consideri la curva algebrica piana proiettiva: C = {[X, Y, Z] PC 2 X 3 Z 2Y 4 + XZ 3 = 0}. a) Calcolare il genere di C. b) Sia τ : C C l automorfismo definito da τ([x, Y, Z]) = [Z, Y, X]. Mostrare che τ 2 = 1 C e trovare i punti fissi di τ. c) Si consideri il sottogruppo G = {1 C, τ} Aut (C). Trovare il genere della superficie di Riemann C/G. 15) Si consideri ancora la curva C dell esercizio 16). a) Si studi la funzione meromorfa x = X/Z M(C), ( calcolare i divisori (x) 0, (x) e i punti di ramificazione di x, vista come rivestimento ramificato di PC 1, con i relativi indici di ramificazione. b) Sia P = [0, 0, 1] C. Calcolare l(np ) per ogni intero n Z. 16) Si consideri la superficie di Riemann C = {[X, Y, Z] P 2 C X n + Y n + Z n = 0}, e la funzione meromorfa f = X Z. a) Calcolare zeri e poli di f con relative molteplicità. b) Calcolare zeri e poli di df con relative molteplicità. c) Calcolare il genere di C applicando la formula di Hurwitz alla funzione f. d) Sia C 0 = {(x, y) C 2 x n + y n + 1 = 0}. Calcolare H i (C 0, Z), per i 0. 17) Sia T = C/Z 2. Sia π : C T la proiezione naturale. Sia ω E 1 (T ) la 1-forma tale che π (ω) = dz, (ω = dz ). a) Dimostrare che ω Ω 1 (T ). b) Dimostrare che ω è chiusa e non esatta. c) Dimostrare che ω ω = 2. S d) Dimostrare che, se n > 3, le uniche applicazioni analitiche di T in sono le costanti. 18) Sia C = {[X, Y, Z] P 2 C X n + Y n + Z n = 0} C = {[X, Y, Z] P 2 C X 4 + XY 3 + Z 4 = 0}. a) Mostrare che C è una varietà complessa di dimensione 1. b) Mostrare che l applicazione f : C P 1, definita da f([x, Y, Z]) = [X 2, Z 2 ] è ben definita e analitica. (Suggerimento: accorgersi che l unico problema sorge nel

4 4 punto p = [0, 1, 0]. Scrivere f, in opportune coordinate locali intorno a p, come una funzione razionale. Sfruttare l equazione di C in queste coordinate per riscrivere questa funzione razionale in modo che essa appaia analitica in p). c) Mostrare che ogni applicazione analitica di C in C = {(x, y) C 2 x 2 + y 2 = 1} è costante. 19) Si consideri la curva algebrica piana proiettiva: C = {[X, Y, Z] PC 2 X 6 + Y 6 + 2Z 6 = 0}. a) Calcolare il genere di C. b) Sia τ : C C l automorfismo definito da τ([x, Y, Z]) = [Y, X, Z]. Mostrare che τ 2 = 1 C e trovare i punti fissi di τ. c) Si consideri il sottogruppo G = {1 C, τ} Aut (C). Trovare il genere della superficie di Riemann C/G. 20) Si consideri ancora la curva C = {[X, Y, Z] PC 2 XY 4 + ZX 4 + Y Z 4 }. a) Si studi la funzione meromorfa x = X/Z M(C), ( calcolare i divisori (x) 0, (x) e i punti di ramificazione di x, vista come rivestimento ramificato di PC 1, con i relativi indici di ramificazione. b) Sia P = [0, 0, 1] C. Calcolare l(np ) per ogni intero n Z. 21) Siano n e m due interi positivi tali che m < n. Sia X = {(x 1,..., x n ) R n x m+1 = = x n = 0}. Si calcoli H i (R n \ X; Z), per i 0. 22) Sia S n S m lo spazio topologico ottenuto attaccando un punto di S n a un punto di S m. Sia p S n S m il punto di attaccamento di queste due sfere. Sia B n = {x R n x 1}. Si fissi una applicazione continua f n : B n S n che sia un omeomorfismo tra l interno di B n e S n \ {p}, e tale che f n ( B n ) = p, (questa applicazione è quella che serve per esibire S n come il risultato dell attaccamento di una n cella a un punto). Si definisca in modo analogo f m. Si consideri il bordo: e l applicazione continua: (B n B m ) = S n 1 B m B n S m 1, f n f m : (B n B m ) S n S m. Si osservi che S n S m = B n B m fn f m S n S m, e si calcoli H i (S n S m ; R), per i 0. 23) Si consideri la curva algebrica piana riducibile: Si calcoli H i (C, Z), per i 0. C = {[X, Y, Z] PC 2 Y 2 Z 2 Y X 3 = 0}. 24) Si consideri la curva algebrica piana non-singolare: C = {[X, Y, Z] PC 2 Y Z 4 Y 4 Z = X 5 }. a) Si calcoli il genere di C usando la formula di Hurwitz, a partire dalla funzione meromorfa y = Y/Z.

5 5 b) Sia p = [0, 0, 1]. Si calcoli la dimensione di L(5p) e se ne trovi una base. 25) Sia F (X, Y, Z) = XY Z 4 + X 6 + Y 6. Sia S F la superficie di Riemann della curva algebrica C = {[X, Y, Z] PC 2 F (X, Y, Z) = 0}. Siano P e Q i punti di S F che corrispondono al nodo O = [0, 0, 1] di C. Sia σ : C C, l automorfismo definito da σ([x, Y, Z]) = [Y, X, Z]). Sia σ l automorfismo di S F indotto da σ. a) Determinare σ(p ) e σ(q) e i punti fissi di σ. b) Calcolare il genere di S F / σ. 26) Sia S la superficie di Riemann della curva algebrica C = {[X, Y, Z] PC 2 Y 5 Z 2 = 2X 6 Z X 7 }. a) Calcolare il genere di S. b) Quanti punti si devono aggiungere a C \ {[0, 0, 1]} per ottenere S? c) Si calcoli H i (C, Z), per i 0. d) Descrivere come si ottiene S da C con una serie di scoppiamenti successivi e calcolare il genere di S usando la formula generalizzata per il genere delle curve piane. 27) Sia Γ n = {(x, y) C 2 x n + y n = 1}. Calcolare H i (Γ n, Z), i 0. 28) Siano C e C due superfici di Riemann compatte di genere g 2 analiticamente distinte. a) Dimostrare che ogni applicazione analitica di C in C è costante. b) Dimostrare con esempi che ciò non è vero se g 1. 29) Sia C la superficie di Riemann della curva algebrica piana C 0 = {(x, y) x n + y n + x n 1 + y n 1 = 0}. Trovare un esplicito isomorfismo tra C e CP 1. 30) Sia C la superficie di Riemann della curva algebrica piana C 0 = {(x, y) x 5 + y 4 + y = 0}. a) Trovare una base per lo spazio vettoriale dei differenziali olomorfi su C. Sia P = (0, 0) C 0 C. Sia D = 5P. b) Dimostrare che i(d) = 3. c) Dedurne che l(d) = i(d) = 3. d) Trovare una base per L(D). 31)

6 6 Si consideri nel piano proiettivo complesso, con coordinate omogenee X, Y, Z, la curva C n di equazione X n Y + Y n+1 + Z n+1 = 0, n 0. a) Determinare i valori di n per i quali C n può essere espressa come rivestimento doppio ramificato della sfera di Riemann, e quelli per cui ciò non è possibile. b) Studiare la funzione meromorfa Y/Z su C n. 36) Calcolare i gruppi di omologia dello spazio topologico 33) Si consideri la curva piana X = R 3 \ {(x, y, z) x 2 = y, xy = z}. C = {[X, Y, Z] PC 2 X n + XY n 1 + X n 1 Y + Y n 4Z n = 0}. Si consideri l automorfismo di C definito da τ([x, Y, Z]) = [Y, X, Z]. Si consideri il sottogruppo G = {1 C, τ} Aut (C). a) Trovare il genere di C/G. b) Sia V il sottospazio dello spazio dei differenziali olomorfi su C definito da Si trovi una base per V. 34) Si consideri la curva piana V = {ω I(0) τ ω = ω}. C = {[X, Y, Z] PC 2 X 4 + X 2 Y 2 + Z 4 = 0}. a) Trovare i punti singolari di C. b) Facendo uso di successivi scoppiamenti, determinare il genere della superficie di Riemann associata a C.