è olomorfa in p, per ogni 0 i n;

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1 1. CURVE PROIETTIVE LISCIE. (Note per il corso di Geometria Algebrica a.a. 2011/2012.) Questi appunti riguardano la definizione ed alcune proprietà delle curve proiettive liscie. In particolare, si vuole mettere in evidenza che le diverse nozioni di curva che abbiamo incontrato durante il corso sono un caso particolare di curva proiettiva liscia o di una sua parte affine e che, per il Teorema di Riemann-Roch e per il Teorema di algebricità delle superfici di Riemann compatte, ogni superficie di Riemann compatta è isomorfa ad una curva proiettiva liscia. Faremo sempre riferimento al libro di testo [1]. Prima di introdurre la nozione di curva proiettiva liscia ricordiamo che, se g 1,...,g n 1 sono n 1 funzioni olomorfe su un aperto V C, allora il loro grafo Γ = {(z, g 1 (z),..., g n 1 (z)), z V } C n è una superficie di Riemann dotata di un unica coordinata olomorfa, data dalla proiezione sulla prima variabile (vedi pag. 10 di [1]). Definizione 1.1 ([1], Definizione 2.10). Sia X una superficie di Riemann contenuta nello spazio proiettivo P n e siano [ :... : x n ] le coordinate omogenee di P n. Allora diciamo che X è olomorficamente immersa in P n se, per ogni punto p = [p 0 : : p n ] X esiste j tale che p j 0 e tale che: la funzione xi x j è olomorfa in p, per ogni 0 i n; esiste i 0 tale che la funzione xi 0 x j è una coordinata locale in p. Una superficie di Riemann che è olomorficamente immersa in P n si dice anche una curva proiettiva liscia. Analogamente a quanto sopra, definiamo una curva affine liscia Y C n come una superficie di Riemann tale che: la funzione x i è olomorfa in p, per ogni 1 i n; esiste i 0 tale che la funzione x i0 è una coordinata locale in p. La parte affine X i = X {[x] x i 0} P n è una curva affine liscia. Lemma 1.2. Sia X P n una curva proiettiva liscia. Allora, per ogni l e m, la funzione x l x m è una funzione meromorfa su tutta X. In particolare, se G(,..., x n ) polinomio omogeneo di grado d che non si annulla identicamente su X, allora per ogni polinomio omogeneo F (,..., x n ) dello stesso grado d si ha che la funzione è una funzione meromorfa su X. F (,...,x n) G(,...,x n) Proof. Sia p = [p 0 : : p n ] X. Allora, per definizione di curva proiettiva liscia, esiste j tale che p j 0 e tale che la funzione xi x j è olomorfa in p per ogni i. Ne deduciamo che x l = x l x j = x l 1 x x m x j x m x m j xj è meromorfa in p. In particolare, per ogni coppia di polinomi omogenei F (,..., x n ) e G(,..., x n ) dello stesso grado d, tali che G(,..., x n ) non si annulla identicamente su X, si ha che la funzione F (,..., x n ) G(,..., x n ) = F (,..., x n ) G(,..., x n ) è una funzione meromorfa su X perchè somma, prodotto e rapporto di funzioni meromorfe su X. Lemma 1.3. Sia X P n una superficie di Riemann. Allora X è una curva proiettiva liscia se e solo se X è localmente il grafo di n 1 funzioni olomorfe, cioè per ogni p X esistono un intorno aperto U di p in X, un aperto 1 x d j x d j

2 2 V C e funzioni olomorfe g 1,..., g n 1 su V tali che, a meno di riordinare le coordinate (cioè a meno di comporre con un opportuno automorfismo di P n ), si ha U = {[1 : z : g 1 (z) : : g n 1 (z)], z V }. Proof. Supponiamo che per ogni p = [p 0 : : p n ] X esistono un intorno aperto U di p in X, un aperto V C e funzioni olomorfe g 1,..., g n 1 su V tali che, a meno di riordinare le coordinate, si ha U = {[1 : z : g 1 (z) : : g n 1 (z)], z V }. Allora p 0 0, la funzione x1 è una coordinata olomorfa in p e xi = g i olomorfa in p per ogni i. Perciò X è olomorficamente immersa in P n. Viceversa supponiamo X olomorficamente immersa in P n e sia p = [p 0 : : p n ] X. Allora, a meno di riordinare le coordinate, possiamo supporre che p 0 0, che (U, φ p = x1 ) sia una coordinata olomorfa in p e che la funzione xi sia olomorfa in p per ogni i 2. Ne deduciamo che, se φ p (U) = V C, allora la funzione (composizione) g i = xi φ 1 p è olomorfa su V, per ogni i 2, e U è il grafo delle funzioni g 2,..., g n. Teorema 1.4 (Teorema della Funzione Implicita). Siano F 1,..., F n 1 polinomi in n variabili (risp. polinomi omogenei in n+1 variabili) e sia C = Z(F 1,..., F n 1 ) C n (risp. C = Z(F 1,..., F n 1 ) P n ) il luogo degli zeri comuni. Sia p C un punto tale che la matrice (1) ( F i x j p ) abbia rango massimale pari a n 1. Allora esiste un intorno U C di p, tale che C U è localmente il grafo di n 1 funzioni olomorfe g 1,..., g n 1 funzioni meromorfe su un aperto V C, cioè, a meno di riordinare le coordinate, si ha che C U = {(z, g 1 (z),..., g n 1 (z)], z V C} (risp. C U = {[1 : z : g 1 (z) :... : g n 1 (z)], z V C}.) Il Teorema della Funzione Implicita è stato solo enunciato in classe. Il libro di testo [1, Teorema I.2.1] enuncia il teorema solo per curve piane. Per una dimostrazione del teorema in due variabili si rimanda a [Appendice B del testo Complex algebriac curves, di F. Kirwan, Cambridge University Press]. Per una dimostrazione del teorema in più variabili si rimanda a [ Principles of Algebraic Geometry, di P. Griffiths and J. Harris, Wiley Classics Library] Definizione 1.5 (Curva liscia intersezione completa). Siano F 1,..., F n 1 polinomi come nel precedente teorema. Supponiamo che la condizione (1) sia verificata per ogni p C = Z(F 1,..., F n 1 ). Allora, C si dice una curva liscia intersezione completa. Definizione 1.6. Sia C P n una varietà proiettiva (=chiuso di Zariski). Diciamo che C è una curva liscia locale intersezione completa se per ogni p C esiste un aperto affine U i = {[x] x i 0} tale che C U i è una curva liscia intersezione completa. Per il Teorema della Funzione Implicita, le curve liscie locale intersezione completa sono esempi di curve proiettive liscie. In particolare, come abbiamo visto all inizio del corso, le curve proiettive piane liscie, definite come luogo degli zeri di polimomi omogenei in tre variabili in P 2, sono superfici di Riemann compatte olomorficamente immerse in P 2. In realta, si dimostra che ogni curva proiettiva liscia è una curva liscia locale intersezione completa. Infine, a lezione abbiamo visto che esistono curve liscie locale intersezione completa che non sono intersezione completa, come la cubica gobba in P 3. Se X P n curva proiettiva liscia e G(,..., x n ) polinomio omogeneo in n + 1 variabili, si definisce il divisore intersezione div(g) associato a G tramite div(g)(p) = ord p G(,..., x n ) H(,..., x n ),

3 3 dove H polinomio omogeneo dello stesso grado di G e tale che H(p) 0. Si verifica che questa è una buona definizione. L intero div(g)(p) si chiama molteplicità di intersezione fra X e l ipersuperficie Z(G) in p. Per calcolare div(g)(p) si sceglie di solito H = x deg(g) j, dove x j coordinata non nulla in p. Si verifica facilmente che, per ogni coppia di polinomi in n + 1 variabili G 1 e G 2, si ha (2) (3) div(g 1 ) div(g 2 ), se G 1 e G 2 dello stesso grado div(g 1 G 2 ) = div(g 1 ) + div(g 2 ). Se Y C n curva affine liscia e G(x 1,..., x n ) polinomio in n variabili, deomogenizzando la definizione sopra, si definisce il divisore intersezione div(g) associato a G tramite div(g)(p) = ord 1,...,x n) G(x p H(x 1,...,x n), dove H polinomio di grado deg(g) che non si annulla in p. Più semplicememnte in questo caso si ha div(g)(p) = ord p G(x 1,..., x n ). Valgono anche nel caso affine le proprietà di cui sopra ed osserviamo, infine, che la molteplicità di intersezione in un punto è una proprietà locale. Cioè, se X P n curva proiettiva liscia e Z(G) P n ipersuperficie, allora la molteplicità di intersezione fra X e Z(G) in un punto p coincide con la molteplicità di intersezione di una loro parte affine contenente il punto p. Definizione 1.7. Se G(,..., x n ) polinomio di grado 1 e X P n curva proiettiva liscia, allora il divisore div(g) su X si dice un divisore iperpiano. Si definisce il grado di X, denotato con deg(x), come il grado di un divisore iperpiano su X. La definizione sopra è ben data perchè divisori linearmente equivalenti su una superficie di Riemann compatta hanno lo stesso grado. Dalle proprietà (2) e (3) dei divisori intersezione discende direttamente il Teorema di Bezout. Teorema 1.8 (Teorema di Bezout). Sia X P n curva proiettiva liscia e G(,..., x n ) polinomio omogeneo di grado d in n + 1 variabili. Allora il divisore div(g) su X ha grado deg(div(g)) = d deg(x). In particolare, se n = 2 e X : F (, x 1, x 2 ) = 0 curva piana liscia definita da un polinomio di grado e, allora e = deg(x). Dal teorema di Bezout si deduce la Formula di Plucker per il genere di una curva proiettiva piana liscia. (Entrambi i risultati sono stati dimostrati in classe e potrebbero essere argomento d esame!) Teorema 1.9 (Formula di Plucker). Sia X P 2 curva piana liscia di grado d. Allora il genere geometrico g(x) di X è dato da (d 1)(d 2) g(x) =. 2 Vogliamo ora mostrare che ogni superficie di Riemann compatta è isomorfa ad una curva proiettiva liscia Definizione Un embedding olomorfo di una superficie di Riemann compatta X in P n è una mappa olomorfa iniettiva φ : X P n (crf [1, Definizione V.4.1]) tale che φ(x) olomorficamente immersa in P n. Più in generale, data una mappa olomorfa φ : X P n su una superficie compatta X e un punto p X, diciamo che φ è un embedding olomorfo in p se esiste un intorno aperto U di p tale che φ U : U φ U (U) è iniettivo e φ U (U) olomorficamente immerso in P n. Osservazione Se φ : X P n embedding olomorfo allora φ : X φ(x) è un isomorfismo fra superfici si Riemann (crf [1, Definizione II.3.1] e [1, Proposizione II.3.9]).

4 4 Il seguente lemma fornisce condizioni necessarie e sufficienti affinchè una mappa olomorfa iniettiva sia un embedding olomorfo. Lemma Sia X superficie di Riemann compatta e sia D sistema lineare libero da punti base e tale che la mappa olomorfa associata φ D : X P n è inettiva. Fissiamo un punto p X. Allora abbiamo che φ D è un embedding olomorfo in un intorno aperto U di p e, dunque, φ D U è un isorfismo di superfici di Riemann sull immagine se e soltanto se dim(l(d 2p)) = dim(l(d)) 2. Proof. Osserviamo che, poichè D non ha punti base si ha dim(l(d p)) = dim(l(d)) 1. Assumiano che dim(l(d 2p)) = dim(l(d)) 2. Allora otteniamo una catena di sottospazi di codimensione 1 L(D 2p) L(D p) L(D). Possiamo perciò scegliere una base, f 1,..., f n di L(D) tale che L(D) \ L(D p), f 1 L(D p) \ L(D 2p) e {f 2,..., f n } base di L(D 2p). A meno di comporre con un automorfismo proiettivo di P n abbiamo che φ D = φ (f0,...,f n) = φ (1, f 1,..., fn ). Ora osserviamo che, per costruzione, ord p ( f1 ) = D(p) + 1 ( D(p)) = 1 mentre ord p ( fi ) D(p) + 2 ( D(p)) = 2, per ogni i 2. In particolare, possiamo trovare un intorno abbastanza piccolo U di p tale che la funzione fi U per ogni 1 ed, inoltre f1 II.4.2]). Posto φ p = f1 e g i = fiφ 1 p φ 1 p è olomorfa su : U V C coordinate olomorfa (vedi [1, Esercizio ne deduciamo che φ D (U) = {[1 : z : g 2 (z) :... : g n (z)], z V C} è il grafo delle funzioni olomorfe g 2,..., g n 1. In particolare, per il Lemma 1.3, φ D (U) P n superficie di Riemann olomorficamente immersa in P n e x1 coordinata olomorfa su φ D (U), dove [ :... : x n ] coordinate omogenee di P n. Viceversa, supponiamo D libero da pt base, φ D mappa iniettiva e supponiamo esista un intorno aperto U di p in X tale che φ D (U) superficie di Riemann olomorficamente immersa in P n. Allora φ D U : U φ D (U) è un isomorfismo di superfici algebriche. Inoltre, a meno di trasformazioni proiettive, possiamo assumere p = [1 : 0 :... : 0] e e, per il Lemma 1.3, φ D (U) = {[1 : z : g 2 (z) :... : g n (z)], z V C} è il grafo di n 1 funzioni olomorfe g 2,.., g n su un aperto V C. In particolare la funzione φ p = x1 è una coordinata olomorfa su φ D (U) e la funzione ψ p = φ p φ D è una coordinata olomorfa su U. Ora, siano,..., f n L(D) tali che φ D = φ (f0,...,f n) = φ f (1, 1 f,..., fn 0 f ). Dall uguaglianza 0 [1 : z : g 2 (z) :... : g n (z)] = (1, f 1 (ψ 1 (z)),..., f n (ψ 1 (z))), per ogni z V f otteniamo che ord 1 f p = ord 0 z = 1 e ord i p = ord 0 g i 1 per ogni i. In particolare ord p f i ord p + 1 D(p) + 1. Poichè,..., f n base di L(D) e D libero da punti base, deve essere ord p = D(p). Ne deduciamo che ord p f 1 = D(p) + 1, cioè f 1 L(D p) \ L(D 2p). In particolare otteniamo L(D 2p) L(D p) L(D) e perciò dim(l(d 2p)) = dim(l(d)) 2.

5 5 Per il precedente Lemma, ricordando che una mappa olomorfa φ D associata ad un sistema lineare D è iniettiva sse dim(l(d p q)) = dim(l(d)) 2 per ogni coppia di punti distinti p, q X, otteniamo la seguente proposizione. Propositione Sia X superficie di Riemann compatta e sia D sistema lineare libero da punti base. Allora la mappa olomorfa associata φ D : X P n è un embedding olomorfo se e soltanto se per ogni coppia di punti (p, q) X X. dim(l(d p q)) = dim(l(d)) 2, Definizione Un divisore D su una superficie di Riemann si dice molto ampio se D libero da punti base e la mappa olomorfa φ D : X P n associata a D è un embedding olomorfo. Equivalentemente D è molto ampio sse (1) dim(l(d p)) = dim(l(d)) 1, per ogni p X; (2) dim(l(d p q)) = dim(l(d)) 2, per ogni coppia di punti (p, q) X X. La condizione (1) della precedente definizione equivale a richiedere che il sistema lineare D sia libero da pt base, mentre la condizione (2) equivale a richiedere che la mappa φ D associata a D sia un embedding olomorfo. In tal caso, si dice anche che φ D separa i punti e le tangenti di X, Sebbene la nozione di differenziale di una mappa olomorfa non sia stata trattata durante il corso, osserviamo che questa terminologia deriva dal fatto che la condizione (2) equivale a richiedere che la mappa φ D sia iniettiva con differenziale iniettivo. Osservazione Se φ D : X P n embedding olomorfo su una superficie di Riemann compatta X di genere g, associata ad un divisore molto ampio D su X, allora φ D (X) curva proiettiva liscia di grado pari a deg(d). (Vedi [1, Proposizione V.4.23] dimostrata in classe). Vogliamo ora introdurre il Teorema di Riemann-Roch. Definizione Sia f una funzione meromorfa su una superficie di Riemann X e sia p X. Diciamo che f ha molteplicità 1 in p se ord p (f f(p)) = 1. Definizione Sia X una superficie di Riemann compatta e sia S M(X) un sottoinsieme del campo delle funzioni meromorfe su X. Diciamo che: S separa i punti di X se per ogni coppia di punti distinti p e q di X esiste f S tale che f(p) f(q); S separa le tangenti di X se per ogni p X esiste f S tale che f ha molteplicità 1 in p. Definizione Una superficie di Riemann compatta X si dice una curva algebrica se il campo delle funzioni meromorfe M(X) separa i punti e le tangenti di X. Teorema 1.19 (Riemann). Ogni superficie di Riemann compatta X è una curva algebrica. In particolare, esistono su X funzioni meromorfe non costanti. Il precedente teorema è un profondo risultato di natura analitica. Chi volesse approfondire può trovare le giuste referenze nell Appendice B di [ Algebriac Geometry, di R. Hartshone ]. Dal precedente teorema deduciamo che il campo delle funzioni meromorfe di una curva algebrica X contiene propriamente C. In realtà è vero quanto segue.

6 6 Teorema Sia X una curva algebrica. Allora il campo M(X) delle funzioni meromorfe su X è un estensione finitamente generata di C di grado di trascendenza 1. Più precisamente, se f funzione meromorfa non costante su X, allora M(X) estensione algebrica di C(f) di grado [M(X) : C(f)] = deg(div f). In particolare, M(P 1 ) C(z). (Il precedente teorema è stato dimostrato solo in parte in classe. Abbiamo cioè dimostrato che M(X) ha grado di trascendenza 1 su C. Anche questa potrebbe essere una domandina d esame (come tutto quello che abbiamo dimostrato durante il corso)! Per gli assenti, fate riferimento al cap. 6 di [1]) Teorema 1.21 (Teorema di Riemann-Roch). Sia X una curva algebrica di genere geometrico g e sia D divisore su X. Allora abbiamo che dim(l(d)) = dim(l(k X D)) + deg(d) dim(l(k X )) + 1 dove K X è la classe di lineare equivalenza di un divisore cananico su X. Corollario Sia X una curva algebrica di genere g e sia K X lineare equivalenza di un divisore cananico su X. Allora dim(l(k X )) = g. la classe di Proof. Per il Teorema di Riemann-Roch si ha che dim(l(k X )) = dim(l(0)) + 2g 2 dim(l(k X )) + 1, da cui la tesi. Corollario Sia X una curva algebrica di genere g e sia D divisore su X di grado d 2g 1. Allora abbiamo che dim(l(d)) = deg(d) g + 1. Proof. Poichè deg(d) = d 2g 1 abbiamo che deg(k X D) 1 e dunque dim(l(k X D)) = 0. Si conclude per il Teorema di Riemann-Roch. Corollario Sia X una curva algebrica di genere g e sia D divisore su X di grado d 2g + 1. Allora D è molto ampio. Proof. Dall ipotesi d = deg(d) 2g + 1, usando il teorema di Riemann-Roch si trova che D verifica le condizioni (1) e (2) della definizione Il precedente corollario ci permette di dimostare che ogni curva algebrica di genere 1 è isomorfa ad una cubica piana. Definizione Le curve algebriche di genere 1 si dicono anche curve ellittiche Lemma Sia X una curva ellittica. Allora X è isomorfa ad una cubica piana. Proof. Sia D una divisore di grado 3 su X. Allora, per i Corollari 1.23 e 1.24 abbiamo che, se φ D : X P n mappa olomorfa associata a D, allora n = dim(l(d)) 1 = 2 e φ D è un embedding olomorfo. Per l Osservazione 1.15, ne deduciamo che φ D (X) curva proiettiva liscia di grado 3 = deg(d) in P 2. Ragionando come a pag del libro di testo [1], si vede che ogni curva proiettiva liscia di grado d in P 2 è il luogo degli zeri di un polinomio omoneneo non singolare F (X 0, X 1, X 2 ) di grado d.

7 7 Definizione Siano w 1 e w 2 numeri complessi linearmente indipendenti su R. L insieme Γ = {n 1 w 1 + n 2 w 2 n 1, n 2 Z} si chiama reticolo generato da w 1 e w 2 ed è un sottogruppo discreto di C. Lo spazio topologico quoziente T = C/Γ è perciò un gruppo dotato di una naturale struttura di superficie di Riemann (vedi [1, Cap. 1]). Si dice che T è un toro complesso. Si verifica facilmente che ogni toro complesso ha genere topologico 1, essendo omeomorfo a S 1 S 1. Perciò i tori complessi sono curve ellittiche. Viceversa di dimostra che ogni curva ellittica è isomorfa ad un toro complesso. Il risultato è conseguenza del Teorema di Abel-Jacobi, per il quale rimandiamo a [1, Capitolo 8] Qualche esercizio risolto. Esercizio Sia C P 3 la cubica gobba definita da xw = yz, xz = y 2 e yw = z 2. Dimostrare che C ha grado 3 calcolando il grado del divisore iperpiano div(x). Calcolare, infine, il divisore div(y). Proof. Siano [x, y, z, w] le coordinate omogenee in P 3. Ponendo x = 0 nelle equazioni di C si trova che il divisore div(x) ha supporto Supp(div(x)) = {[0 : 0 : 0 : 1]}. Perciò x deg(c) = deg(div(x)) = div(x)([0 : 0 : 0 : 1]) = ord [0:0:0:1] w. Ora, dalle equazioni di C, troviamo che C w = C {[x, y, z, w] w 0} ha equazioni parametriche x w = ( z w )3 = t 3, w = ( z w )2 = t 2 z, w funzione z w y z w = t, t C. In particolare, la è una coordinata locale su C nel punto [0 : 0 : 0 : 1] e risulta x deg(c) = ord [0:0:0:1] w = ord [0:0:0:1]( z w )3 = 3ord [0:0:0:1] ( z w ) = 3. Calcoliamo ora div(y). Ponendo y = 0 nelle equazioni di C si trova che Supp(div(y)) = {[0 : 0 : 0 : 1], [1 : 0 : 0 : 0]}. y Ora, da quanto sopra abbiamo div(y)([0 : 0 : 0 : 1]) = ord [0:0:0:1] w = 2 mentre y div(y)([1 : 0 : 0 : 0]) = ord [1:0:0:0] x = 1 poichè, come si evince dalle equazioni di C, la funzione y x è una coordinata locale di C in [1 : 0 : 0 : 0]. Riassumento div(y) = 2[0 : 0 : 0 : 1] + [1 : 0 : 0 : 0]. Esercizio Sia C C 2 la curva piana affine liscia di equazione y = x 4. Calcolare il divisore div(q) su C dove Q è il polinomio Q(x, y) = xy. Proof. Osserviamo che il divisore div(g) ha supporto Supp(div(G)) = {(0, 0)}. Ora div(g)((0, 0)) = ord (0,0) (xy) = ord (0,0) (x)+ord (0,0) (y) Applicando il Teorema della Funzione Implicita, abbiamo che x è una coordinata locale su C in (0, 0) e perciò div(g)((0, 0)) = ord (0,0) (xy) = ord (0,0) (x) + ord (0,0) (y) = 1 + ord (0,0) (x 4 ) = 5. Osservate, infine, che C è il grafo di una funzione olomorfa, per cui non sarebbe nemmeno necessario invocare il Teorema della funzione implicita. Esercizio Sia F (, x 1, x 2 ) polinomio omogeneo non singolare di grado d in 3 variabili. Sia C C 2 la curva piana affine liscia C : f(u, v) = F (u, v, 1) = 0 ed X : F (, x 1, x 2 ) = 0 P 2 la sua proiettificazione. Mostrare che le forme locali du e dv si estendono a 1-forme olomorfe su C ed a 1-forme meromorfe su X. Mostrare, infine, che se p(u, v) polinomio di grado d 3, allora la 1-forma locale p(u,v)du f si v estende ad una forma olomorfa su X.

8 8 Proof. Sia p = (u 0, v 0 ) C un punto. Supponiamo che f v p 0. Allora, per il Teorema della funzione implicita, la funzione (u, v) u è una coordinata locale di C in p. Definiamo la 1-forma du in un intorno di p esattamente come 1du. Se invece f v p = 0 allora, poichè f polinomio è non singolare, deve essere f u p 0. Per il Teorema della Funzione Implicita, la funzione (u, v) v è una coordinata locale in p ed esiste una funzione olomorfa g(v) definita in un intorno V di v 0 di cui C è localemente il grafo, cioè tale che f(g(v), v) = 0 per ogni v V. Dall uguaglianza g(v) = u, differenziando troviamo f (4) du = g v (v)dv = dv. f u Definiamo allora du in un intorno di p tramite la precendete uguaglianza. Abbiamo così ottenuto una collezione di 1-forme olomorfe locali su C che verificano, per costruzione, le leggi di incollamento di una 1-forma olomorfa su C. Dunque du è una 1-forma olomorfa su C. L analogo risultato si dimostra per dv. Mostriamo ora che du si estende ad una 1-forma meromorfa su X P 2. Sia U i l aperto affine U i = {[x] x i 0} Ricordiamo le uguaglianze u = x0 x 2 e v = x1 x 2, con x 2 0. Per quanto sopra du è una 1-forma olomorfa su X U 2 C. Sia p = [p 0 : p 1 : 0] X. Supponiamo p 0 0. Se p 0 = 0 si ragiona in modo analogo, lavorando nell aperto U 1 invece che U 0. Ora, poichè X non singolare, per le identità di Eulero, deve essere F p 0 oppure F x 2 p 0. Supponiamo dapprima F p 0. Allora, per il Teorema della Funzione Implicita possiamo scegliere come coordinata locale in p la funzione [x] x2. Inoltre, posto η = x2, esiste una funzione olomorfa k(η), definita in un intorno T di 0, tale che F (1, k(η), η) = 0 per ogni η T. Dall uguaglianza u = ( x2 ) 1 = η 1, differenziando troviamo (5) du = 1 η 2 dη. Definiamo du in un intorno di p tramite la precedente uguaglianza. Notiamo che la 1- forma locale appena definita è meromorfa con un polo di ordine 2 in p. Supponiamo ora F p = 0. Allora, da F x 2 p 0, segue, per il Teorema delle Funzione implicita, che la funzione [x] x1 è una coordinata locale di X in p. Inoltre, posto x1 = β, esiste una funzione olomorfa h(β), definita in un intorno W di p1 p 0 tale che F (1 : β : h(β)) = 0 per ogni β V. Dall uguaglianza h(β) 1 = x0 x 2 = u, differenziando troviamo (6) du = h (β) h(β) 2 dβ. Definendo du in p tramite la precedente uguaglianza, abbiamo definito du su X tramite una collezione di 1-forme locali meromorfe che verificano, per costruzione, le leggi di incollamento di una 1-forma meromorfa. Consideriamo ora la forma locale p(u,v)du f. Da quanto sopra p(u,v)du f si estende ad v v una 1-forma meromorfa ω su X. Vogliamo dimostrare che ω è olomorfa. Osserviamo innanzitutto che ω è una 1-forma olomorfa sull aperto {(u, v) f v (u,v) 0} C. Usando il cambio di variabile g(v) = u e (4), possiamo verificare che ω è olomorfa anche sull aperto {(u, v) f u (u,v) 0} C, dove vale p(u,v)dv f. Perciò ω è olomorfa u su C. Sia ora p = [p 0 : p 1 : 0] X. Come sopra possiamo assumere p 0 0. Supponiamo dapprima F p 0. Allora, usando le uguaglianze u = η 1, v = uk(η) = k(η) η, (5) e f v = F (u,v,1), troviamo che ω è definita in un intorno U p di p

9 9 tramite ω Up = p( 1 η, k(η) η )( 1 η )dη 2 F ( 1 η, k(η) η, 1) = ηd 3 p( 1 η, k(η) η )dη F (1, k(η), η). Ora, dall ipotesi F p 0, a meno di restringere U p, abbiamo che F (1, k(η), η) 0 per ogni η mentre la funzione razionale p( 1 η, k(η) η ) ha un unico polo in η = 0 di ordine pari al grado deg p del polinomio p(u, v). Dall ipotesi deg p d 3 concludiamo che ω Up è olomorfa. Lasciamo al lettore di verificare che ω è olomorfa anche nell intorno di un punto p = [p 0 : p 1 : 0] tale che F p = 0, concludendo che ω è olomorfa su X Esercizi sulle curve razionali normali. Esercizio Si mostri che ogni divisore D di grado positivo su P 1 è molto ampio. Esercizio Sia φ n : P 1 P n la funzione definita da φ n ([t, u]) = [t n : t n 1 u :... : u n ]. Mostrare che φ n è un embedding olomorfo. In particolare, se [ : : x n ] sono le coordinate olomorfe su P n, mostrare che φ n (P 1 ) è una curva liscia locale intersezione completa verificando che φ n (P 1 ) coincide il luogo degli zeri dei polinomi x i x j x i 1 x j+i = 0, per ogni 1 i, j n 1. Verificare che φ n (P 1 ) ha grado n. Ogni curva proiettiva che sia proiettivamente equivalente a φ n (P 1 ) si dice una curva razionale normale di grado n o anche cubica gobba per n = 3. Definizione Siano dati r punti [v 1 ],..., [v r ] in P n. Si dice che tali punti sono in posizione generica se: dim(< v 1,..., v r >) = r in C n+1, nel caso in cui r n + 1; comunque si scelgano n + 1 punti fra [v 1 ],..., [v r ] questi sono in posizione generica, nel caso in cui r > n + 1. Definizione Sia r n + 1. Dimostrare che r punti distinti su una curva razionale normale C P n sono in posizione generica. (Suggerimento: usare le proprietà del determinante di Van der Monde). Esercizio Dimostrare che per n + 3 punti in posizione generica in P n passa un unica curva razionale normale di grado n. Esercizio Si indentifichi P n = P(C[, x 1 ] n ) con la proiettificazione dello spazio vettoriale C[, x 1 ] n dei polinomi omogenei di grado n in due variabili. Mostrare che il luogo in P n dei polinomi che sono potenza n-esima di un polinomio omogeneo di grado 1 è una curva razionale normale di grado n. References [1] R. Miranda: Algebraic curves and Riemann Surfaces, Graduate Studies in Mathematics, AMS.