SUPERFICI DI RIEMANN (terza parte) anno acc. 2008/2009

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1 (terza parte) anno acc. 2008/2009

2 Sia C = V(F) P 2 una curva algebrica piana non singolare, con F(z 0, z 1, z 2 ) polinomio omogeneo di grado d. Supponiamo che il sistema di riferimento sia stato scelto in modo che (0 : 0 : 1) non appartenga a C e che la retta z 0 = 0 non sia tangente a C. Passando in coordinate affini z = z 1 /z 0 e w = z 2 /z 0, le ipotesi fatte dicono che C non passa per W e che la retta impropria non è tangente a C. Consideriamo la proiezione di C da W sull asse z, π : C P 1, definita da π(z 0 : z 1 : z 2 ) = (z 0 : z 1 ), ovvero per i punti al finito π(z, w) = z, mentre tutti i punti impropri vengono mandati in. π è un applicazione olomorfa non costante di grado d, infatti la fibra generica contiene d punti nessuno dei quali è improprio, perchè W non appartiene a C. Abbiamo visto che al finito la ramificazione di π si ha in corrispondenza dei punti con tangente parallela all asse w. Tali rette possono essere tangenti solo al finito perchè W non appartiene a C. Inoltre non è di diramazione perchè la retta impropria non è tangente a C.

3 Ne segue che R π è tutto al finito. Abbiamo visto che p R π se e solo se, indicata con f la f (z,w) deomogenizzazione di F, w (p) = 0. Quindi r π = d(d 1). La formula di Riemann Hurwitz in questo caso diviene 2 2g(C) = 2d d(d 1), da cui si ricava la formula di Clebsch g = (d 1)(d 2). 2

4 Applicazioni olomorfe tra tori complessi Abbiamo visto che un toro complesso è un quoziente C/Λ con Λ C reticolo e che la struttura complessa su C/Λ è data dalle carte ϕ = π 1 inverse locali della proiezione naturale π : C C/Λ. Siano ora X = C/Λ, e Y = C/Λ, due tori complessi. OSSERVAZIONE - Se f : X Y è olomorfa e non costante, allora f è un rivestimento non ramificato, infatti g(x) = g(y) = 1 r f = 0. Sia dunque f olomorfa e non costante. La composizione f π è un rivestimento topologico (f e π lo sono). Lo stesso vale per π.

5 Sia f π : C Y che π : C Y sono rivestimenti universali di Y. Per la proprietà dei rivestimeni universali f π : C Y e π : C Y sono isomorfi come rivestimenti, cioè esiste F : C C che fa commutare il diagramma. Inoltre F è olomorfa (anzi biolomorfa) perchè lo è f infatti il fatto che f sia olomorfa vuol dire che lo è ψ f ϕ 1, ove ψ e ϕ sono inverse locali di π e π rispettivamente. E, a meno di traslazioni, si ha F = ψ f ϕ 1 (segue da π F = f π).

6 Il fatto che F passi ai quozienti dice che, se Λ =< w 1, w 2 > e Λ =< w 1, w 2 >, si ha ( )F(z+w 1 ) = F(z)+α 1,1 w 1+α 1,2 w 2, F(z+w 2 ) = F(z)+α 2,1 w 1+α 2,2 w 2 con α i,j Z. Derivando si ottiene F (z + w 1 ) = F (z) F (z + w 2 ) = F (z). Pertanto F : C C passa al quoziente modulo Λ e definisce un applicazione olomorfa F : C/Λ C. Ma O(C/Λ) = C (C/Λ è compatto). Quindi F è costante e pertanto anche F lo è. Sia F = a. Si ha F(z) = az + b.

7 Sostituendo z = 0 nelle ( ) si ottiene F(w 1 ) = F(0)+α 1,1 w 1 +α 1,2 w 2, F(w 2 ) = F(0)+α 2,1 w 1 +α 2,2 w 2. Ricordando che F(z) = az + b, si ricava aw 1 = α 1,1 w 1 + α 1,2 w 2, aw 2 = α 2,1 w 1 + α 2,2 w 2. Pertanto aw 1, aw 2 Λ, e quindi aλ Λ. Riassumendo, si ha TEOREMA - Ogni applicazione olomorfa f : C/Λ C/Λ tra tori complessi è indotta da un applicazione : C C del tipo z az + b, con a tale che aλ Λ, con a, b C. OSSERVAZIONE - In particolare, se Λ e Λ sono reticoli tali che non esiste a C con aλ Λ, allora non esiste alcuna applicazione olomorfa non costante f : C/Λ C/Λ. Pertanto esistono infiniti tori complessi non biolomorfi tra loro, cioè sul toro esistono infinite strutture complesse non equivalenti.

8 Divisori e gruppi di Picard D ora in poi X denoterà sempre una superficie di Riemann compatta. Un divisore su X è un elemento D del gruppo abeliano libero Div(X) generato dai punti di X, ovvero D è una somma formale D = p X n pp, ove n p Z, n p = 0 salvo che per un numero finito di punti p. L operazione di somma in Div(X) è definita così p X n pp + p X m pp = p X (n p + m p )p. Sia f M(X) = M(X) \ {0} una funzione meromorfa non identicamente nulla. Avevamo associato ad f in p X un intero ν p (f ) e precisamente ν p (f ) = h > 0, se f ha uno zero di ordine h in p, ν p (f ) = k < 0, se f ha uno polo di ordine k in p, ν p (f ) = 0, altrimenti. Associamo ora ad f un divisore, il divisore della funzione meromorfa f, ovvero (f ) = p X ν p(f )p Div(X). Si noti che la definizione di (f ) ha senso dal momento che f ha solo un numero finito di zeri e poli.

9 Si ottiene così un omomorfismo di gruppi δ : (M(X), ) (Div(X), +), f (f ). Infatti, per f, g M(X) si ha δ(fg) = p X ν p(fg)p = p X (ν p(f ) + ν p (g))p = δ(f ) + δ(g). OSSERVAZIONE - Si ha ker(δ) = C. Infatti se f ker(δ) allora δ(f ) = 0, cioè f non ha zeri e nemmeno poli, quindi f O(X) = C. Viceversa, ovviamente δ(cost) = 0. ESEMPI (di funzioni meromorfe su P 1 e relativi divisori) 1) f (z) = z, z = z 1 /z 0, δ(f ) = 1[0] 1[ ] (con [ ] si denota il punto di P 1.) 2) f (z) = i=1,...,k (z a i) n i C[z], con n i = d. (z1 a i z 0 ) n i f (z) = δ(f ) = n z d 0, i [a i ] d[ ] (per un polinomio di grado d è un polo di ordine d.)

10 3) f (z) = i=1,...,k(z a i) (z bj). Posto n = n i, j=1,...,h δ(f ) = n i [a i ] m j [b j ] + (m n)[ ] m = m j, si ha Il divisore di una funzione meromorfa viene detto divisore principale. L insieme dei divisori principali è P(X) = δ(m(x) ) M(X) /C. Due divisori D 1 e D 2 si dicono linearmente equivalenti se D 1 D 2 P(X), ovvero se differiscono per una funzione meromorfa. Il gruppo quoziente Pic(X) = Div(X)/P(X) viene detto gruppo di Picard di X. Dato un divisore D = n p p, si dice grado di D l intero deg(d) = n p. L applicazione deg : Div(X) Z è un omomorfismo suriettivo. Il nucleo di deg, ker(deg) = {D Div(X) deg(d) = 0} viene denotato con Div 0 (X).

11 Si ha P(X) Div 0 (X), infatti il divisore di una funzione meromorfa f ha grado zero, poichè p X ν p(f ) = 0. Allora si può considerare Pic 0 (X) = Div 0 (X)/P(X), gruppo delle classi di equivalenza lineare di divisori di grado 0. TEOREMA - Pic 0 (X) = {0} se e solo se X = P 1. dimostrazione - Se Pic 0 (X) = {0}, allora Div 0 (X) = P(X). Pertanto, presi p, q X, esiste una funzione meromorfa il cui divisore è 1p 1q Div 0 (X). In particolare su X esiste una funzione meromorfa con un solo polo. Quindi X è biolomorfa a P 1. Viceversa, dato D Div 0 (X), dobbiamo mostrare che D P(X). Sia D = n i [a i ] + n [ ], con n i + n = 0. Definiamo f (z) = (z a i ) n i e F(z 0 : z 1 ) = (z 1 a i z 0 ) n i z 0 d d = n i = n.

12 Si ha δ(f ) = n i [a i ] d[ ] = n i [a i ] + n [ ] = D. Div(X) è un insieme parzialmente ordinato con la seguente relazione d ordine. Se D = n p p, D = m p p, si pone D D se e solo se p, n p m p. Un divisore D tale che D 0 = 0p si dice effettivo. Un divisore D non effettivo viene detto virtuale.

13 Gli spazi di Riemann Roch Sia D = n p p Div(X). Si definisce spazio di Riemann Roch associato al divisore D, l insieme L(D) = {f M(X) (f ) + D 0} {0} Oltre alla funzione identicamente nulla, L(D) contiene le funzioni f tali che p X, ν p (f ) n p. OSSERVAZIONE - La richiesta ν p (f ) n p per f in p equivale a f è olomorfa in p, se n p = 0; f ha al più un polo di ordine n p in p, se n p > 0; f ha almeno uno zero di ordine n p in p, se n p < 0. Ad esempio, per X = P 1, e D = 1[ ], si ha z L(D), infatti δ(z) = 1[0] 1[ ].

14 OSSERVAZIONE - ν p n p se e solo se, in una carta centrata in p, si ha f = 1 z np h(z) con h olomorfa. Infatti ν p (f ) = ν 0 ( 1 z np h(z)) = ν 0( 1 z np ) + ν 0(h) = n p + v 0 (h) n p. OSSERVAZIONE - L(D) è uno spazio vettoriale complesso. dimostrazione Sia D = n p p. Se f, g L(D), λ, µ C, f = 1 z np h(z), g = 1 z np k(z), con h e k olomorfe, si ha λf + µg = 1 z np (λh(z) + µk(z)). In generale: OSSERVAZIONE - L(0) = C. Infatti L(0) = O(X) = C. ν p (λf + µg) min{ν p (f ), ν p (g)}.

15 Si pone l(d) = diml(d). Problema di Riemann Roch: determinare l(d). Se l(d) 2, allora esiste una funzione meromorfa non costante con (f ) D. Ad esempio, quando D = np, n > 0, se l(d) 2, allora esiste una funzione meromorfa non costante avente come unica singolarità, al più, un polo di ordine n in p. OSSERVAZIONE - Siano D 1, D 2 Div(X). Se D 1 D 2, allora L(D 1 ) L(D 2 ), in particolare l(d 1 ) = l(d 2 ). dimostrazione - Se D 1 D 2, allora esiste g M(X) tale che (g) = D 1 D 2. Si può definire un applicazione L(D 1 ) L(D 2 ), così: f fg. Tale applicazione è ben definita: infatti f L(D 1 ) se e solo se fg L(D 2 ), in quanto (fg) + D 2 = (f ) + (g) + D 2 = (f ) + D 1. Inoltre è lineare, ed è anche un isomorfismo il cui inverso è dato dalla moltiplicazione per g 1.

16 LEMMA - Sia X una superficie di Riemann compatta e D un divisore su X. i) se deg(d) < 0, allora l(d) = 0 (cioè L(D) = {0}); ii) se deg(d) = 0, allora o D P(X), nel qual caso l(d) = 1 (cioè L(D) = C), oppure D Div(X) \ P(X), nel qual caso l(d) = 0 (cioè L(D) = {0}). dimostrazione - i) Sia deg(d) < 0 e supponiamo per assurdo che esista una funzione f non identicamente nulla con f L(D), ossia con (f ) + D 0. In tal caso ovviamente si avrebbe deg((f ) + D) 0 (tutti i coefficienti del divisore sono 0) e quindi (dal momento che deg è un omomorfismo) sarebbe deg((f )) + deg(d) 0, ma questo è assurdo perchè deg((f )) = 0 e deg(d) < 0. ii) Sia deg(d) = 0. Se D è principale allora D 0 e pertanto L(D) L(0) = C. Sia allora D non principale. Se per assurdo esistesse una funzione f non identicamente nulla con f L(D), ossia con (f ) + D 0, si avrebbe necessariamente (f ) + D = 0. Infatti diversamente sarebbe def ((f ) + D) > 0

17 e questo è assurdo in quanto deg((f )) = deg(d) = 0. Pertanto D = (f ) = (f 1 ) P(X), assurdo. TEOREMA (di Riemann Roch nel caso di P 1. Se X = P 1, e D è un divisore su X, allora si ha a) l(d) = 0, se deg(d) < 0; b) l(d) = deg(d) + 1, se deg(d) 0. dimostrazione - I casi deg(d) 0 seguono dal Lemma precedente. Possiamo allora supporre deg(d) = n > 0. Osserviamo che si ha D n[ ], infatti D n[ ] ha grado zero e Div 0 (P 1 ) = P(P ). Basta allora dimostrare che su P 1 si ha l(n[ ]) = n + 1. Ma L(n[ ]) = {f C[z] deg(f ) n}. Infatti una funzione f M(P ) non identicamente nulla appartiene a L(n[ ]) se ha un polo di ordine al più n in.