GEOMETRIA COMPLESSA (Superfici di Riemann - terza parte) anno acc. 2010/2011

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1 (Superfici di Riemann - terza parte) anno acc. 2010/2011

2 Divisori effettivi e sistemi lineari Sia D un divisore su una superficie di Riemann X. Si dice sistema lineare completo D associato a D, l insieme di tutti i divisori effettivi linearmente equivalenti a D. OSSERVAZIONE - C è una corrispondenza biunivoca tra D e il proiettivizzato P(L(D)) dello spazio di Riemann Roch del divisore D. Infatti, se D 0, D D, allora D D = (g), con g funzione meromorfa (definita a meno di costanti moltiplicative non nulle) tale che (g) + D 0, ovvero tale che g L(D). Il viceversa è analogo. Un sottospazio di dimensione r di P(L(D)) corrisponde a un sottoinsieme di D che viene detto sistema lineare di dimensione r. Un sistema lineare di dimensione r = 1 viene detto fascio (pencil). Un sistema lineare di dimensione r viene anche denotato con g r d, ove d = deg(d).

3 Un punto p X viene detto punto base per un sistema lineare L D se tutti i divisori D L contengono p, ovvero se ogni D L verifica D p. Un sistema lineare si dice libero (free) se è privo di punti base. OSSERVAZIONE - Se X P N è una curva algebrica non singolare e non iperpiana (e quindi in particolare una superficie di Riemann compatta), si può considerare il divisore ottenuto intersecando X con un generico iperpiano H di equazione a i z i = 0, divisore che chiameremo divisore iperpiano e che denoteremo ancora con H. H individua un sistema lineare a cui appartengono anche tutti i divisori tagliati da altri iperpiani, in quanto, se b i z i = 0 è l equazione di un altro iperpiano H, allora H H = (g), ove g è la funzione meromorfa definita da ai z i bi z i. Discorso analogo vale per i divisori che si ottengono intersecando X con generiche ipersuperfici di un fissato grado r.

4 Ad esempio, se X è una cubica piana non singolare, il divisore iperpiano H ha grado 3. Fissato un punto p X si può considerare il pencil L individuato dai divisori di H che sono tagliati dalle rette per p. Il sistema L ha p come punto base. OSSERVAZIONE - Il punto p è punto base per il sistema lineare completo D se e solo se si ha L(D p) = L(D). Per provarlo, ricordiamo anzitutto che, in generale, si ha L(D p) L(D). Inoltre osserviamo che i divisori D D, sono tutti e soli quelli della forma D = D + (g), con g L(D). Poniamo D = n q q e D = n qq. Se D = D + (g), allora ν p (g) = n p n p, Allora p è punto base per D se e solo se ogni D D ha n p > 0, cioè ν p (g) > n p, ossia ν p (g) n p + 1, e questo significa proprio che ogni g L(D) appartiene anche a L(D p). PROPOSIZIONE - Sia D un divisore su una superficie di Riemann compatta X. Il sistema lineare D è libero se e solo se x X si ha l(d x) = l(d) 1.

5 Divisori effettivi e applicazioni associate Sia D un divisore su una superficie di Riemann compatta X. OSSERVAZIONE - Per quanto visto in precedenza, se L(D) {0}, allora D e cioè D 0 linearmente equivalente a D. D altra parte sappiamo che, se D e D sono linearmente equivalenti allora gli spazi di Riemann Roch L(D) ed L(D ) sono isomorfi, e l isomorfismo è dato dalla moltiplicazione per una funzione meromorfa g. In tale isomorfismo una base {f 0,..., f N } di L(D) corrisponde a una base {gf 0,..., gf N } di L(D ) e quindi Φ D = Φ D. Pertanto per studiare le applicazioni associate ai divisori, ci si può limitare a considerare divisori effettivi.

6 TEOREMA - Sia D = i=1,...,k n i p i n i > 0, i = 1,..., k un divisore effettivo su una superficie di Riemann X e si supponga che D sia libero. Allora esiste almeno una funzione meromorfa f L(D) tale che i = 1,..., k si abbia ν pi (f ) = n i. In altri termini, esiste una funzione meromorfa che ha esattamente i poli assegnati dal divisore D. Tale funzione avrà quindi n i = deg(d) poli e deg(d) zeri. dimostrazione - Anzitutto mostriamo che i = 1,..., k, f i L(D) tale che ν pi (f i ) = n i. Infatti se così non fosse, esisterebbe un j {1,..., k}, tale che, g L(D), ν pj (g) > n j. Ma in tal caso si avrebbe L(D) = L(D p j ).

7 Siano allora f i, con i = 1,..., k, funzioni di L(D) tali che f i abbia un polo di ordine n i in p i. La generica combinazione lineare α 1 f 1 + α 2 f α k f k, ha un polo di ordine n 1 in p 1, un polo di ordine n 2 in p 2,... un polo di ordine n k in p k. OSSERVAZIONE - Dalla dimostrazione si deduce che, nelle ipotesi del teorema, la generica funzione di L(D) ha esattamente deg(d) zeri e deg(d) poli.

8 Modelli proiettivi di superfici di Riemann compatte TEOREMA - Sia D un divisore effettivo su una superficie di Riemann X, e si supponga che p, q X si abbia l(d p q) = l(d) 2. Si consideri l applicazione Φ : X P N, associata a D, con N = l(d) 1. Si ha i) Φ(X) è una curva algebrica non singolare ii) Φ(X) non è iperpiana iii) Φ(X) ha grado deg(d). dimostrazione i) - Per ipotesi D è molto ampio, quindi Φ è un embedding. Allora Φ(X) è una sottovarietà liscia di P N e, per il lemma di Chow, una curva algebrica. ii) - Φ(X) non è iperpiana. Infatti, indicate con f 0,..., f N le funzioni di L(D) tramite cui si definisce Φ, se esistesse un iperpiano di equazione ai z i = 0 contenente Φ(X), si avrebbe anche a i f i = 0, e ciò non è possibile in quanto f 0,..., f N costituiscono una base di L(D).

9 iii) - Il grado di Φ(X) è il numero di intersezioni che Φ(X) ha con il generico iperpiano a i z i = 0 di P N, ovvero il numero degli zeri della funzione meromorfa a i f i. L ipotesi l(d p q) = l(d) 2 implica in particolare che, x X si abbia l(d x) = l(d) 1. Pertanto siamo nelle condizioni di applicare il teorema precedente, ed ottenere deg(φ(x)) = deg(d). OSSERVAZIONE - Una superficie di Riemann compatta di genere g ha un modello proiettivo di grado 2g + 1 in P g+1. OSSERVAZIONE - Nel caso delle superfici di Riemann di genere 1, utilizzando un divisore unipuntuale di grado tre abbiamo ottenuto come modello proiettivo una cubica piana con un unico punto improprio. Analogamente, dato p X, utilizzando l immersione chiusa Φ associata a (2g + 1)p, si costruisce un modello proiettivo tale che Φ(X \ {p}) sia affine.

10 Proiezioni Siano P h P N e P k P N due sottospazi sghembi che generano P N, quindi con h + k = N 1. Scegliamo coordinate omogenee (x 0 : x 1 : : x N ) in P N in modo tale le equazioni di P h siano x h+1 = x h+2 = = x N = 0 e quelle di P k siano x 0 = x 1 = = x h = 0. Ricordiamo che la proiezione da P N a P k con centro P h è l applicazione pr (P h,p k ) : P N \ P h P k che associa ad un punto A P N \ P h il punto di intersezione dello spazio < A, P h > con P k. Con la scelta di coordinate fatta sopra, e identificando (0 : : 0 : x h+1,..., x N ) con (x h+1 : : x N ) risulta pr (P h,p k )(a 0 : : a N ) = (a h+1 : : a N ).

11 OSSERVAZIONE - Sia X P N è una curva algebrica non singolare e non iperpiana (e quindi in particolare una superficie di Riemann compatta), e indichiamo con H il divisore iperpiano tagliato su X dall iperpiano di equazione a i z i = 0. Come abbiamo visto, lo spazio di Riemann Roch L(H) contiene le N + 1 funzioni meromorfe f i che si ottengono restringendo a X le funzioni razionali z i ai z i, i = 0,..., N, quindi l(h) N + 1. Come base di L(H) si può quindi considerare quella costituita da f 0,..., f N e da ulteriori l(h) N 1 funzioni g N+1,..., g l(h). Se l(h) = N + 1, si dice che X P N è linearmente normale (il sistema lineare tagliato dagli iperpiani è un sistema completo). In tal caso si ha Φ H (z 0,..., z N ) = ( z ai z i,..., N ai z i ) = (z 0,..., z N ), e quindi Φ H = id. Se invece l(h) N + 1, l applicazione Φ H : X P l(h) 1 immerge X in uno spazio di dimensione più alta (e X risulta essere una proiezione da P l(h) 1 a P N di Φ H (X)) z 0

12 Ipersuperfici che contengono una curva proietttiva Sia D = n p p un divisore molto ampio (ed effettivo) su X e Φ D = (f 0,... f N ) : X P N l immersione chiusa associata a D. Vogliamo studiare le ipersuperfici di P N che contengono Φ D (X). Possiamo supporre che sia (f 0, f 1,..., f N ) = (1, f 1,..., f N ). Indichiamo con F(N, r) lo spazio vettoriale (di dimensione ( ) N+r r dei polinomi omogenei di grado r nelle N + 1 variabili z 0,..., z N. Nel caso r = 1, h = N i=0 α iz i F(N, 1) si dirà forma lineare. In generale, s = i 0 +i 1 + +i N =r α i 0,...,i N z i 0 0 z i N N F(N, r) viene detta r -forma. Ad ogni forma lineare h = N i=0 α iz i, si può associare la funzione N i=0 meromorfa su Φ D (X) definita da χ(z 0 : z 1 : : z N ) = α iz i z 0 (ovvero la funzione meromorfa su X definita da χ(x) = N i=0 α if i (x) = h(φ D (x)) (essenzialmente χ è la restrizione a X di h).

13 Si ottiene così una applicazione lineare ρ 1 : F(N, 1) L(D). Analogamente, data una r forma s, si può considerare la funzione meromorfa su Φ D (X) definita da σ(z 0 : : z N ) = Si ha σ L(rD). i 0 +i 1 + +i N =r α i 0,...,i N z i 0 0 z i N N z r, 0 Si ottiene in tal modo una applicazione lineare ρ r : F(N, r) L(rD). Il nucleo ker(ρ r ) di ρ r è costituito dalle forme di grado r che si annullano su X e pertanto il suo proiettivizzato è lo spazio delle ipersuperfici di P N che contengono Φ D (X). Si ha dim(ker(ρ r )) = dim(f(n, r)) dim((im(ρ r )) ( ) N + r dimf(n, r) l(rd) = l(rd) r

14 Modelli proiettivi di superfici di Riemann compatte in P 3 Siano P ed H rispettivamente un punto e un iperpiano di P N, con P / H. Abbiamo visto che la proiezione di centro P su H è l applicazione pr P,H : P N \ {P} H che associa ad un punto Q il punto di intersezione della retta < P, Q > con H. Se P (0 : 1 : 0 : : 0) e H ha equazione x 1 = 0, si ha pr P,H (x 0 : x 1 : : x N ) = (x 0 : 0 : x 2 : : x N ), ovvero, in coordinate affini y i = x i /x 0, pr P,H (y 1, y 2,..., y N ) = (0, y 2,..., y N ) (y 2,..., y N ). Sia C P N un modello di superficie di Riemann compatta. Siano poi P ed H come sopra, con P / H. L applicazione pr : C H ottenuta retringendo a C la proiezione pr P,H è olomorfa. Ci chiediamo quando pr sia un embedding.

15 OSSERVAZIONE 1. - Siano A, B C. Si ha pr(a) = pr(b) se e solo se la retta < A, B > passa per P. Pertanto pr non è iniettiva se e solo se esiste una corda (secante) di C passante per P. OSSERVAZIONE 2. - Siano A C. Lo spazio tangente a C in A viene mandato nel vettore nullo se e solo se la retta tangente a C in A passa per P. Pertanto pr non è immersiva se e solo se esiste una retta tangente a C passante per P.

16 TEOREMA - Sia C P N un modello di superficie di Riemann compatta. Se N 4, allora esistono in P N un punto P e un iperpiano H (con P / H C) tali che la proiezione di C da P su H sia un embedding. cenno di dimostrazione - Si tratta di dimostrare che P P N che non appartiene a nessuna corda e a nessuna tangente di C. Si deve cioè provare che le rette secanti o tangenti non riempiono P N. Consideriamo l insieme I C C P N, definito da I = {(A, B, Q) A, B C, A B, Q < A, B >}. La chiusura I = I di I nella topologia usuale (complessa) di C C P N, viene detta varietà di incidenza ed è dotata di un applicazione π : I P N data dalla restrizione a I della proiezione sul terzo fattore del prodotto. I contiene anche terne del tipo (A, A, Q) che sono limite di successioni {(A, B n, Q)}, con B n A (ovvero con Q sulla retta tangente a C in A).

17 L immagine π(i) = Sec(C) viene detta varietà delle secanti di C, e contiene le corde e le tangenti di C. Si dimostra che Sec(C) è una sottovarietà algebrica di P N, di dimensione 3 (i parametri da cui dipende il generico punto di Sec(C) sono 3 : uno per A C, uno per B C ed uno per Q < A, B >). Ne segue che, se N 4, allora Sec(C) P N. COROLLARIO - Ogni superficie di Riemann compatta ammette un modello proiettivo in P 3. dimostrazione - Abbiamo visto che X ha un modello in P N. Se N 4, si può proiettare C in P N 1, e così via, fino a che non si ottiene un modello in P 3. OSSERVAZIONE - In generale non sarà invece possibile ottenere un modello in P 2 poichè, per la formula di Clebsch, non tutti i valori di g sono ammissibili per una curva piana.

18 Curve di grado minimo Consideriamo una superficie di Riemann compatta X di genere g immersa in P N (ossia una curva algebrica proiettiva liscia) e non iperpiana. Vogliamo trovare una limitazione dal basso per il suo grado. LEMMA - Sia X una superficie di Riemann compatta e D un divisore su X. Se D è positivo, allora l(d) 1 + deg(d). Infatti D può essere ottenuto dal diviore banale sommando punti. Per il divisore banale si ha l(0) = 1, e, ogni volta che si aggiunge un punto ad un divisore, lo spazio di Riemann Roch al più aumenta di uno la sua dimensione. TEOREMA - Sia X P N una curva algebrica proittiva liscia non iperpiana di grado d. Si ha d N. Infatti sia H un divisore iperpiano. Il sistema lineare completo H contiene il sottosistema tagliato dagli iperpiani di P N e quindi si ha l(h) N + 1. La tesi segue allora dal lemma.

19 Il teorema dice, ad esempio che le curve di grado due sono sempre piane (coniche), le curve di grado 3 giacciono sempre (al più) in un P 3, e così via. Per ogni dimensione N dello spazio di immersione si costruice facilmente una curva di grado minimo d = N : è la curva razionale normale di grado N. Per ottenerla si considera su P 1 il divisore unipuntuale N. Una base per L(N ) è data dalle funzioni 1, z, z 2,..., z N e tramite queste si ottiene un embedding in P N. In realtà si mostra che queste sono le uniche curve di grado minimo.

20 Il modello canonico Siano X ed Y due superfici di Riemann compatte e f : X Y un biolomorfismo. Abbiamo visto che ad una 1 forma meromorfa ω Y su Y corrisponde una 1 forma meromorfa su X, ovvero il pullback ω X = f (ω Y ). Il teorema di Riemann Hurwitz dice che K X = (ω X ) = (f (ω Y )) = f (ω Y ) + R f = K Y + R f. In questo caso però R f = 0 (f è non ramificato) per cui K X = f K Y. Se K Y = n q q, allora K X = n q f 1 (q). Si ha un isomorfismo L(K Y ) L(K X ) dato da h h f, per cui ad una base {h 0,..., h N } di L(K Y ) corrisponde una base {h 0 f,..., h N f } di L(K X ). OSSERVAZIONE - Se X ed Y sono due superfici di Riemann compatte e K X e K Y sono molto ampi, allora X è biolomorfa a Y se e solo se i modelli proiettivi Φ KX (X) e Φ KY (Y) sono proiettivamente identici. dimostrazione - L implicazione è ovvia. L implicazione segue da quanto dimostrato sopra.

21 Sia X una superficie di Riemann di genere g. Ricordo che deg(k X ) = 2g 2 e l(k) = g. Quindi, se g = 0 si ha K =. OSSERVAZIONE Se g 1 allora K è libero. Infatti sia p X. Se p fosse un punto base di K si avrebbe l(k p) = l(k) = g. Da Riemann-Roch sappiamo che l(p) l(k p) = deg(p) + 1 g, inoltre l(p) = 1 (poichè g 0), pertanto l(k p) = g 1.

22 LEMMA - Sia D Div(X) tale che deg(d) = 2g 2 e l(d) g, allora D è linearmente equivalente a K. dimostrazione - Si ha l(d) l(k D) = deg(d) + 1 g quindi l(k D) = l(d) deg(d) 1 + g = l(d) 2g g = l(d) g + 1 g g + 1 = 1. Inoltre deg(k D) = deg(k) deg(d) = 0. Quindi K D è un divisore principale, ovvero K D. Se K X è molto ampio, Φ KX è un embedding e Φ KX (X) viene detto modello canonico di X. Nel seguito vogliamo studiare i modelli canonici di alcune superifici di Riemann. Dal momento che Φ KX è a valori in P g 1, dovremo sempre supporre che sia g 2. TEOREMA - Sia g 2. Il divisore canonico è molto ampio se e solo se p, q X si ha l(p + q) = 1.

23 dimostrazione ( ) Sia l(p + q) = 1, p, q. Sappiamo che l(k) = g. Calcoliamo l(k p q). Si ha l(k p q) l(k (K p q)) = deg(k p q) + 1 g ovvero l(k p q) l(p + q) = deg(k) g. Pertanto l(k p q) = 1 + 2g g = g 2, e cioè l(k p q) = l(k) 2. ( ) Supponiamo che dati p e q si abbia l(p + q) 1. Ciò equivale a dire l(p + q) 2, infatti L(p + q) C. Quindi in tale ipotesi esiste una funzione meromorfa non costante f L(p + q) (f ha al più un polo semplice in p e q). Consideriamo allora il divisore D = (g 1)(p + q). Mostriamo che il divisore D soddisfa le ipotesi del Lemma precedente. Infatti deg(d) = 2(g 1) e inoltre le funzioni 1, f, f 2,..., f g 1 sono linearmente indipendenti e appartengono a L(D) (hanno al più poli di ordine 0, 1, 2,..., (g 1) in p e q.). Allora, per il Lemma, risulta D = (g 1)(p + q) K e inoltre, per definire l applicazione associata a K si può utilizzare la base {1, f, f 2,..., f g 1 }, ottenendo

24 Φ K : X P g 1, x (1 : f (x) : f 2 (x) : : f g 1 (x)). L applicazione Φ K non è un embedding, infatti è di grado 2 : la fibra su (1, 0,..., 0) è costituita dagli zeri di f e questi sono due, come i poli (a priori f avrebbe al più due poli semplici, ma, non essendo costante, ha effettivamente due poli semplici, dal momento che g 0). OSSERVAZIONE - Dalla dimostrazione del teorema segue che, se g 2 e l(p + q) 2 allora Φ K : X Φ K (X) P g 1 è un rivestimento di grado 2. Inoltre Φ K (X) è biolomorfa a P 1. Più precisamente Φ K si fattorizza in Φ K = γ φ ove e γ : X P 1, x (1 : f (x)) φ : P 1 P g 1, (1 : t) (1 : t : t 2 : : t g 1 ). Quindi Φ K (X) è la curva razionale normale di P g 1.

25 Una superficie di Riemann compatta X di genere g 2 dotata di un rivestimento di grado 2 f : X P 1 si dice iperellittica. OSSERVAZIONE - Se X è una superficie di Riemann compatta di genere 2, allora X è iperellittica. Infatti nel caso g = 2, Φ K : X P g 1 = P 1 non può essere un embedding. COROLLARIO - Se X è una superficie di Riemann compatta di genere g 2 non iperellittica, allora K X è molto ampio.

26 Curve canoniche di genere basso ESEMPIO 1 (curve canoniche di genere 3) - Sia X una superficie di Riemann compatta di genere 3 non iperellittica. Si ha deg(k X ) = 2g 2 = 4, l(k) = 3, quindi Φ K : X P 2 e Φ K (X) è una quartica piana. Viceversa, se C è una quartica piana non singolare, per la formula di Clebsch, C è una superficie di Riemann compatta di genere 3. Sia H il divisore su C che si ottiene intersecando C con una generica retta L. H ha ovviamente grado 4 = 2g 2. Inoltre si ha l(h) 3 = g, infatti, come già visto, se l equazione di L è az 0 + bz 1 + cz 2 = 0, tutte le funzioni razionali della forma az 0+bz 1 +cz 2 az 0 +bz 1 +cz 2 definiscono su C funzioni meromorfe dello spazio di Riemann Roch L(H). Per un lemma dimostrato in precedenza, allora H è linearmente equivalente a K C e C (è proiettivamente equivalente a Φ H (C) e pertanto) è un modello canonico. In particolare quindi esistono superfici di Riemann non iperellittiche di genere 3.

27 ESEMPIO 2 (curve canoniche di genere 4) - Sia X una superficie di Riemann compatta di genere 4 non iperellittica. Si ha deg(k X ) = 2g 2 = 6, l(k) = 4, quindi Φ K : X P 3 e Φ K (X) è una curva di grado sei in P 3. Mostriamo che Φ K (X) è l intersezione completa di una superficie quadrica e di una supeficie cubica. Anzitutto esiste almeno una superficie quadrica Q contenente Φ K (X) infatti, considerata l applicazione di restrizione delle 2 forme a X, ρ : F(2) L(2K), si ha dim(ker(ρ)) = dim(f(2)) dim((im(ρ)) ( ) l(2k) 10 (deg(2k) + 1 g) = 10 ( ) = 1. Analogamente le 3 forme che si annullano su Φ K (X) sono almeno 5 poiché ( ) l(3k) 20 (deg(3k) + 1 g) = 20 ( ) = 5.

28 Quindi vi sono almeno 4 superfici cubiche contenenti Φ K (X) e tra queste ve ne è almeno una non spezzata nella quadrica Q e in un piano (i piani infatti sono 3 ). Per motivi di grado Φ K (X) è allora la curva di interzezione completa di tale cubica e della quadrica Q. Si potrebbe mostrare che viceversa la curva intersezione completa di una superficie quadrica e una superficie cubica è una curva canonica di genere 4, e pertanto che esistono curve di genere 4 non iperellittiche (si ragiona in modo analogo a quello visto per le quartiche piane, utilizzando il fatto che, se una curva Y è intersezione completa in P N di ipersuperfci di gradi d 1,..., d N 2, allora un divisore canonico è tagliato su Y da ipersuperficie di grado d i N 1). ESEMPIO 3 (curve canoniche di genere 5) - Sia X una superficie di Riemann compatta di genere 5 non iperellittica. Si ha deg(k X ) = 2g 2 = 8, l(k) = 5, quindi Φ K : X P 4 e Φ K (X) è una curva di grado otto in P 4. Tale curva è (genericamente) intersezione completa di tre ipersuperfici quadriche.

29 Per ( provarlo basta osservare che 4+2 ) l(2k) 15 (deg(2k) + 1 g) = 15 ( ) = 3, 2 per cui esistono tre ipersuperfici quadriche indipendenti Q 1, Q 2 e Q 3 che contengono Φ K (X). Per motivi di grado (se la posizione delle Q i è generica) Φ K (X) è la loro intersezione completa. Gli esempi visti non devono indurre a pensare che le generiche curve canoniche sempre intersezione completa. Per genere alto infatti non è così. Se la curva canonica Φ K (X) P g 1 di genere g fosse intersezione completa g, dovrebbero esistere ipersuperfici Σ 1,..., Σ g 2 di gradi rispettivi d 1,..., d g 2 (con d i 2, i) tali che g 2 d i = deg(φ K (X)) = 2g 2 i=1 e ciò, per g abbastanza alto, è assurdo.

30 Il Teorema di Riemann-Roch in forma geometrica Sia X una superficie di Riemann compatta di genere g 3 non iperellittica e sia Y = Φ K (X) P g 1 il suo modello canonico. Consideriamo un divisore D effettivo su Y ed il divisore associato a un iperpiano H di P g 1. Diremo che l iperpiano H contiene D se, come divisori H D 0. Se D = n p p, un punto q tale che n q = 0 non impone alcuna condizione agli iperpiani perché contengano D, mentre se n q = 1, gli iperpiani che contengono D passano per q, se n q = 2 gli iperpiani che contengono D passano per q e sono ivi tangenti a Y, ecc. L intersezione di tutti gli iperpiani che contengono D si dice span di D. TEOREMA (di Riemann-Roch in forma geometrica)- Sia X una superficie di Riemann compatta di genere g 3 non iperellittica e sia Y = Φ K (X) il suo modello canonico. Sia D un divisore effettivo su Y e si indichi con S(D) il suo span. Allora si ha l(d) = deg(d) dims(d).

31 cenno di dimostrazione - I divisori iperpiani di Y corrispondono ai divisori canonici di X. Gli iperpiani che contengono D corrispondono agli elementi del sistema lineare K D. Pertanto la dimensione dello spazio lineare degli iperpiani che contengono D è l(k D) = g dims(d) 1. Allora, per il teorema di Riemann-Roch si ha l(d) = l(k D) + deg(d) + 1 g = g dims(d) 1 + deg(d) + 1 g = deg(d) dims(d) Supponiamo ora che il divisore D sia "generale" nel senso che il suo span sia della dimensione massima compatibile con deg(d) (due punti generano una retta, tre punti generano al più un piano, ecc.) e con lo spazio di immersione, ovvero valga dims(d) = min{deg(d) 1, g 1}. Come corollario del teorema di Riemann-Roch in forma geometrica di ha che, per un divisore D "generale" di grado d = deg(d) risulta: se d < g, allora l(d) = 1 e i(d) = g d se d g, allora l(d) = d + 1 g e i(d) = 0.

32 Il teorema di Riemann-Roch in forma geometrica permette di chiarire il significato del termine "genericamente" utilizzato nell esempio 3 delle curve canoniche Y = Φ K (X) di genere 5. Supponiamo che su Y esista un sistema lineare g 1 3 di grado 3 e dimensione 1 (in tal caso si dice che Y è trigonale). Per il teorema di Riemann-Roch in forma geometrica un divisore D = p 1 + p 2 + p 3 g 1 3 ha span di dimensione dims(d) = deg(d) + 1 dim( D ) = 1. Quindi i tre punti p i sono allineati. Di conseguenza ogni ipersuperficie quadrica che contiene Y contiene anche tutta la retta l D = S(D). Se Y è trigonale, l intersezione delle tre ipersuperfici quadriche che contengono Y non è Y, ma la superficie rigata generata dalle rette l D al variare di D in g 1 3.