[SeLP] Cenni di geometria algebrica degli l-gruppi

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1 [SeLP] Cenni di geometria algebrica degli l-gruppi Dipartimento di Matematica Università degli studi di Salerno Fisciano, SA 06/06/2014

2 Algebra Universale Componenti di base (A, τ) - Struttura algebrica T (α) - Polinomi (o termini) su τ con α variabili V - Varietà (classe equazionale di algebre) W (α) = T (α)/i V - Algebra libera

3 Geometria Algebrica Classica Concetti fondamentali Campo K algebricamente chiuso Spazio affine K n Anello dei polinomi su K con n indeterminate Ideali di K[x 1,..., x n ] Vengono poi studiati: Insiemi algebrici Z(U) K n con U K[x 1,..., x n ] Algebre coordinate K[x 1,..., x n ]/I (A) con I (A) ideale

4 Geometria Algebrica Universale (Plotkin) Nuovi concetti fondamentali Campo K Algebra H Spazio affine K n Hom(W (n), H) Polinomi su K Algebra libera W (n) (con costanti in H) Ideali di K[x 1,..., x n ] Congruenze su W (n) Prendiamo H in una varietà cosi da poter considerare gli omomorfismi e l algebra libera (teorema HSP di Birkhoff). Nota Consideriamo Hom(W (n), H) come punti di H n.

5 Geometria Algebrica Universale (Plotkin) Algebre coordinate Sistemi di equazioni Insiemi Algebrici Soluzioni di sistemi di equazioni

6 Geometria Algebrica Universale (Plotkin) Algebre coordinate (Punti Polinomi) Consideriamo A Hom(W (n), H) e definiamo: U = ϕ(a) = µ A Kerµ dove U è la congruenza generata da A. Mentre W (n)/u è la nostra algebra coordinata. Intuitivamente vedremo A H n e U = ϕ(a) = {p W (n) p(a) = 0 a A} come sistema massimale che ha per soluzione tutti i punti di A.

7 Geometria Algebrica Universale (Plotkin) Insiemi Algebrici (Polinomi Punti) Consideriamo U W (n) e definiamo: A = ψ(u) = {µ : W (n) H U Kerµ} e chiameremo A insieme algebrico H-chiuso. Intuitivamente avremo A = ψ(u) = {a H n p(a) = 0 p U} visto come insieme delle soluzioni del sistema U. Nota La coppia (ψ, ϕ) formano una corrispondenza di Galois.

8 Varietà algebrica degli l-gruppi Diremo che G è un l-gruppo se (G, +,, 0,, ) è un gruppo abeliano strutturato come un reticolo, cioè soddisfacente i seguenti assiomi: 1 a, b, c G a + (b + c) = (a + b) + c ; 2 a G a + 0 = a = 0 + a ; 3 a G a + ( a) = 0 = a + a ; 4 a, b G a + b = b + a ; 5 a, b G a b = b a ; 6 a, b G a b = b a ; 7 a, b, c G a (b c) = (a b) c ; 8 a, b, c G a (b c) = (a b) c ; 9 a, b G a (a b) = a ; 10 a, b G a (a b) = a ; 11 a, b, c G c + (a b) = (c + a) (c + b) ; 12 a, b, c G c + (a b) = (c + a) (c + b).

9 Geometria algebrica degli l-gruppi l-gruppo libero FAl(n) = {f = i j f ij : R n R f ij hom Z (R n, R)} dove hom Z (R n, R) sono le funzioni lineari omogenee a coefficienti interi z 1 x 1 + z 2 x z n x n con z i Z.

10 Geometria algebrica degli l-gruppi Congruenze Nella varietà degli l-gruppi le congruenze si identificano con gli l-ideali. Un l-ideale di un l-gruppo è un sottogruppo J di G tale che se x J e y x allora y J.

11 Geometria algebrica degli l-gruppi Congruenze Nella varietà degli l-gruppi le congruenze si identificano con gli l-ideali. Un l-ideale di un l-gruppo è un sottogruppo J di G tale che se x J e y x allora y J. l-omomorfismi f : G H è un omomorfismo di l-gruppi se e solo se per definizione: f è un omomorfismo di gruppi; f è un omomorfismo di reticoli.

12 Geometria algebrica degli l-gruppi Categoria K l Insiemi algebrici Categoria C l Algebre coordinate

13 Categoria degli Insiemi Algebrici Oggetti (X, A, H) X insieme finito di variabili ( X = n X ) A insieme algebrico in Hom(FAl(n X ),H) H l-gruppo

14 Categoria degli Insiemi Algebrici Morfismi ([s] δ, δ) : (X, A, H 1 ) (Y, B, H 2 ) 1 Siano δ : H 1 H 2 e s : FAl(n Y ) FAl(n X ) 2 consideriamo il diagramma commutativo FAl(n Y ) s FAl(n X ) ν ν H 2 δ H 1 3 (s, δ)(ν) = ν ammissibile (insiemi algebrici in insiemi algebrici) (s, δ) si dirà ammissibile rispetto A e B se ν B per ogni ν A 4 La coppia ([s] δ, δ) sarà il morfismo (X, A, H 1 ) (Y, B, H 2 ) e definiamo la composizione di due morfismi nel seguente modo ([s ] δ, δ )([s] δ, δ) = ([ss ] δ δ, δ δ) : (X, A, H 1 ) (Z, C, H 3 )

15 Categoria delle algebre coordinate Oggetti (FAl(n X )/U, H) X insieme finito di variabili U ideale H-chiuso H l-gruppo Morfismi σ : FAl(Y )/U 2 FAl(X )/U 1 σ(p(x)/u 2 ) = s(p(x))/u 1 con s ammissibile rispetto ad U 1 e U 2.

16 Dualità Proposizione 1 La mappa F : K l Gr C l Gr tale che: (i) F ((X, A, H)) = (FAl(n X )/ϕ(a), H); (ii) F (([s] δ, δ)) = (σ s, δ); è un funtore controvariante. Proposizione 2 La mappa G : C l Gr K l Gr tale che: (i) G((FAl(n)/U, H)) = (X n, ψ(u), H); (ii) G((σ, δ)) = ([s σ ], δ); è un funtore controvariante.

17 Dualità Lemma 1 Il funtore composto GF è il funtore identità della categoria degli Insiemi Algebrici.

18 Dualità Lemma 1 Il funtore composto GF è il funtore identità della categoria degli Insiemi Algebrici. Lemma 2 Il funtore composto FG è il funtore identità della categoria delle Algebre Coordinate.

19 Dualità Lemma 1 Il funtore composto GF è il funtore identità della categoria degli Insiemi Algebrici. Lemma 2 Il funtore composto FG è il funtore identità della categoria delle Algebre Coordinate. Teorema La categoria degli Insiemi Algebrici è dualmente isomorfa alla categoria delle Algebre Coordinate.

20 Applicazioni Attraverso il funtore di Mundici l u Gruppi MValgebre Logica di Lukasiewicz Si possono ottenere informazioni sulla logica definita sui modelli algebrici della logica di Lukasiewicz. Principali Applicazioni Logiche della Geometria Algebrica Decidibilità delle teorie Equivalenza elementare

21 [SeLP] Cenni di geometria algebrica degli l-gruppi Dipartimento di Matematica Università degli studi di Salerno Fisciano, SA 06/06/2014