OMOLOGIA SINGOLARE E COOMOLOGIA DI DE RHAM

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1 OMOLOGIA SINGOLARE E COOMOLOGIA DI DE RHAM Paolo Piccinni Appunti del corso di Topologia Algebrica, a. a raccolti da Francesca Castelli e Alessandro Milanesi Sapienza - Università di Roma

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3 Indice Capitolo 1. OMOLOGIA SINGOLARE INTRODUZIONE: CALCOLO COMBINATORIO DELL OMOLOGIA DEL TETRAEDRO NOTAZIONI E PRIME DEFINIZIONI FUNTORIALITÀ DELL OMOLOGIA SINGOLARE INVARIANZA OMOTOPICA 16 Capitolo 2. LA SUCCESSIONE DI MAYER-VIETORIS ALGEBRA OMOLOGICA SUDDIVISIONE BARICENTRICA E OMOLOGIA SINGOLARE PICCOLA LA SUCCESSIONE DI MAYER-VIETORIS OMOLOGIA DELLE SUPERFICI COMPATTE ALCUNE CONSIDERAZIONI 39 Capitolo 3. COOMOLOGIA DI DE RHAM FORME DIFFERENZIALI SU APERTI DI R n APPLICAZIONI DIFFERENZIABILI E VARIETÀ DIFFERENZIABILI PARTIZIONI DELL UNITÀ E SUCCESSIONE DI MAYER-VIETORIS LEMMA DI POINCARÉ E INVARIANZA OMOTOPICA 55 Capitolo 4. INTEGRAZIONE E TEOREMI DI STOKES TEOREMA DI STOKES PER CATENE VARIETÀ CON BORDO ED INTEGRAZIONE DI FORME A SUPPORTO COMPATTO 65 Capitolo 5. DUALITÀ DI DE RHAM E DI POINCARÉ LA TECNICA DI MAYER-VIETORIS LIMITI DIRETTI E INVERSI DUALITÀ DI DE RHAM DUALITÀ DI POINCARÈ E COOMOLOGIA A SUPPORTO COMPATTO CARATTERISTICA DI EULERO E SEGNATURA 85 Bibliografia 91 3

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5 CAPITOLO 1 OMOLOGIA SINGOLARE 1.1. INTRODUZIONE: CALCOLO COMBINATORIO DELL OMOLOGIA DEL TETRAEDRO. Iniziamo con un calcolo, relativo all omologia del tetraedro. Si tratta di omologia simpliciale, dedotta dalla struttura combinatoria del poliedro. Lo studente può sostituire, nelle considerazioni che seguono, il tetraedro oggetto dei calcoli con qualunque altro poliedro che sia costruito sulla sfera S 2. E particolarmente semplice il caso del cubo (sei facce f 1,..., f 6 ; dodici spigoli s 1,..., s 12, otto vertici v 1,..., v 8 ). Nel caso del tetraedro abbiamo solo quattro facce f 1, f 2, f 3, f 4, sei spigoli (o lati) s 1, s 2, s 3, s 4, s 5, s 6, e quattro vertici v 1, v 2, v 3, v 4. Un orientazione della sfera S 2 dà luogo a orientazioni coerenti della quattro facce. Si noti che ogni faccia induce un orientazione su ognuno dei suoi tre lati, e che due facce, coerentemente orientate e (in questo caso sempre) adiacenti, danno luogo sul loro lato comune a orientazioni opposte. Tutto ciò si esprime dicendo che il tetraedro è un poliedro orientabile. Inoltre un orientazione di un lato induce un segno + o su ognuno dei suoi vertici, e lati coerentemente orientati e adiacenti inducono sul vertice comune segni opposti. Chiamiamo 2-catena del tetraedro ogni combinazione lineare a coefficienti interi delle facce f 1, f 2, f 3, f 4 ; chiamiamo invece 1-catena ogni combinazione lineare a coefficienti interi degli spigoli s 1, s 2, s 3, s 4, s 5, s 6, e infine chiamiamo 0-catena ogni combinazione lineare a coefficienti interi dei vertici v 1, v 2, v 3, v 4. Tali catene formano dunque i seguenti gruppi abeliani: 4 C 2 = { n i f i n i Z} = 2 catene, i=1 6 C 1 = { m i s i m i Z} = i=1 4 C 0 = { p i v i p i Z} = i=1 1 catene, 0 catene. Chiamiamo bordo di una faccia orientata f i la somma degli spigoli che la delimitano, con le orientazioni indotte da quella di f i. Similmente il bordo di uno spigolo orientato è p 1 p 2, dove p 1 e p 2 sono i vertici (con segno, ovvero orientati) che sono gli estremi dello spigolo orientato. Infine il bordo di un vertice è sempre nullo. Indichiamo con il simbolo l operatore di bordo. 5

6 6 1. OMOLOGIA SINGOLARE Quindi, riferendosi a una figura del tetraedro, risultano le relazioni Infine, v i = 0 per i = 1, 2, 3, 4. f 1 = s 1 + s 2 + s 3, f 2 = s 4 + s 5 s 2, f 3 = s 6 s 3 s 5, f 4 = s 1 s 4 s 6, s 1 = v 2 v 1, s 2 = v 3 v 2, s 3 = v 1 v 3, s 4 = v 4 v 1, s 5 = v 2 v 4, s 6 = v 3 v 4. Per stabilire quali, tra le 2-catene, hanno bordo nullo, consideriamo un arbitrario elemento c 2 C 2, ovvero: c 2 = n 1 f 1 + n 2 f 2 + n 3 f 3 + n 4 f 4, e imponiamo la condizione c 2 = 0. Ciò implica: n 1 f 1 + n 2 f 2 + n 3 f 3 + n 4 f 4 = 0, e quindi (n 1 n 4 )s 1 + (n 1 n 2 )s 2 + (n 1 n 3 )s 3 + (n 2 n 4 )s 4 + (n 2 n 3 )s 5 + (n 3 n 4 )s 6 = 0. Ne segue n 1 = n 2 = n 3 = n 4 = α. Pertanto la condizione c 2 = 0 implica: c 2 = α(f 1 + f 2 + f 3 + f 4 ). Dunque una 2-catena ha bordo nullo soltanto se coincide con un multiplo intero di tutto il tetraedro orientato, inteso come somma delle sue quattro facce orientate. Una 2-catena a bordo nullo è detta 2-ciclo. Con calcoli simili possiamo anche ottenere le condizioni perché una 1-catena c 1 sia un 1-ciclo, ovvero risulti c 1 = 0. Infatti, se c 1 = 6 i=1 m is i, c 1 = 0, abbiamo subito che m 1 (v 1 v 4 )+m 2 (v 3 v 1 )+m 3 (v 4 v 3 )+m 4 (v 2 v 1 )+m 5 (v 3 v 2 )+m 6 (v 4 v 2 ) = 0. Ordinando l espressione in modo da evidenziare i coefficienti dei sei vertici v 1,..., v 6, ne segue: m 1 = m 2 + m 4 = m 3 + m 6, m 5 = m 4 m 6 = m 3 m 2. Il precedente è un sistema lineare omogeneo di quattro equazioni in sei incognite, e come subito si vede, il rango della matrice dei coefficienti è 3. Il bordo di un vertice invece è sempre nullo per cui ogni 0-catena è anche uno 0-ciclo. Osserviamo ora che, utilizzando gli omomorfismi di bordo, si costruisce in modo naturale la seguente successione di gruppi abeliani, detto complesso delle catene simpliciali del tetraedro: 0 C 2 C1 C0 0. Dal numero delle facce, lati e vertici del tetraedro, abbiamo subito gli isomorfismi: C 2 = Z 4, C 1 = Z 6, C 0 = Z 4, e osserviamo che dai calcoli precedenti abbiamo che ker( : C 2 C 1 ) = Z C 2 Z 4,

7 1.1. INTRODUZIONE: CALCOLO COMBINATORIO DELL OMOLOGIA DEL TETRAEDRO. 7 e E anche chiaro che ker( : C 1 C 0 ) = Z 3 C 1. ker( : C 0 0) = C 0 = Z 4. Calcoliamo ora i sottogruppi immagine tramite dei gruppi di catene. Riguardando le espressioni dei bordi delle singole facce, vediamo subito che una 1-catena 6 m i s i è bordo di una 2-catena c 2 = n 1 f 1 + n 2 f 2 + n 3 f 3 + n 4 f 4 se e solo se i=1 risultano verificate le relazioni: m 1 = n 1 n 4, m 2 = n 1 n 2, m 3 = n 1 n 3, m 4 = n 2 n 4, m 5 = n 2 n 3, m 6 = n 3 n 4. Il rango della matrice dei coefficienti (per gli n i ) è tre, che è quindi anche il rango dell immagine: Im( : C 2 C 1 ) = Z 3. Di fatto, tale sottogruppo, isomorfo a Z 3, coincide con il nucleo di : C 1 C 0 : infatti anche quest ultimo è isomorfo a Z 3, ed include il precedente! Quest ultima osservazione è conseguenza del fatto fondamentale che SEMPRE la composizione di due successivi omomorfismi di bordo è l operatore nullo. Questo si vede sul tetraedro sulle singole facce f 1,..., f 4 : la 0-catena che è bordo del bordo di ogni singlola faccia f i è sempre la 0-catena nulla. Infine, una 0-catena 4 p i v 1 è bordo di una 1-catena se, e soltanto se: i=1 p 1 = m 1 m 2 m 4, p 2 = m 4 m 5 m 6, p 3 = m 2 m 3 + m 5, p 4 = m 3 m 1 + m 6. Anche in questo caso la matrice dei coefficienti ha rango tre, e dunque Im( : C 1 C 0 ) = Z 3. Definiamo quindi i seguenti sottogruppi dei gruppi delle catene, e ricordiamo nuovamente che il bordo di un bordo è sempre nullo: B k := Im( : C k+1 C k ) Z k := ker( : C k C k 1 ), e i sottogruppi B k e Z k di C k si dicono rispettivamente gruppo dei k-bordi e gruppo dei k-cicli simpliciali del tetraedro. Nel caso del tetraedro abbiamo gli isomorfismi Z 2 = Z, B2 = 0, Z 1 = Z 3, B 1 = Z 3, Z 0 = Z 4, B 0 = Z 3. Definiamo infine i seguenti gruppi abeliani, detti gruppi di omologia simpliciale del tetraedro: H k = Z k B k = ker( : C k C k 1 ) Im( : C k+1 C k )

8 8 1. OMOLOGIA SINGOLARE Da quanto sopra risulta: H 2 = Z, H1 = 0, H0 = Z. Come accennato sopra, calcoli analoghi possono essere svolti nel caso del cubo o di altro poliedro sferico, e conducono alla stessa struttura astratta dei gruppi di omologia. E ancora più facile effettuare il calcolo dell omologia per il biedro (poliedro topologico costruito sulla superficie sferica S 2 e formata da sole due facce, due spigoli, e due vertici). Il caso più semplice è tuttavia quello del monoedro (poliedro sferico con solo una faccia, nessuno spigolo e un vertice: realizza S 2 come compattificazione con un punto di R 2 ). Per ognuna di tale scelte; cambia certamente la struttura dei gruppi delle k-catene, dei k-cicli e deii k-bordi. tuttavia; la struttura sopra ottenuta per i gruppi di omologia simpliciale del tetraedro rimane invariata per ogni poligono sferico, ovvero costruito sullo spazio topologico S 2. Ciò suggerisce che la costruzione dell omologia possa fornire invarianti topologici. L approccio all omologia che viene seguito dal prossimo paragrafo (omologia singolare), fornisce strutture algebriche che sono a priori invarianti topologici degli spazi cui sono associate NOTAZIONI E PRIME DEFINIZIONI In R q = R R... R (q volte), q > 0 consideriamo la topologia euclidea, e in esso il sottospazio costituito dal q-cubo standard: I q = I I... I (q volte), essendo I = [0, 1]. Per q = 0 poniamo I 0 = {0}; per q = 1, 2, 3, I q è rispettivamente un segmento, un quadrato, un cubo. Sia X uno spazio topologico qualsiasi. DEFINIZIONE 1. Ogni applicazione continua T : I q X si dice un q-cubo singolare su X. Le j-esime facce di T (j = 1,..., q) sono i (q 1)-cubi singolari A j T, B j T : I q 1 X definiti, utilizzando le coordinate di R q 1 e di R q, dalle formule (A j T )(x 1,..., x q 1 ) = T (x 1,..., x j 1, 0, x j,..., x q 1 ), (B j T )(x 1,..., x n 1 ) = T (x 1,..., x j 1, 1, x j,..., x n 1 ). Le facce del tipo A j T si dicono facce inferiori, mentre le B j T si dicono facce superiori. L immagine tramite un q-cubo di ogni vertice di I q si dice vertice del q-cubo singolare. Se T è un omeomorfismo sull immagine, allora T ha esattamente 2q facce: q inferiori (A 1,..., A q ) e q superiori (B 1,..., B q ). Il numero dei vertici di T è allora evidentemente 2 q.

9 1.2. NOTAZIONI E PRIME DEFINIZIONI 9 PROPOSIZIONE 2. Per ogni q-cubo singolare T e se i < j valgono le seguenti identità di faccia A i A j T = A j 1 A i T, B i B j T = B j 1 B i T, A i B j T = B j 1 A i T, B i A j T = A j 1 B i T. DIMOSTRAZIONE. E sufficiente applicare la precedente definizione analitica delle facce inferiori e superiori. che, se i < j, risulta: Per esempio, la prima identità segue dal fatto A i A j T (x 1,..., x q 2 ) = A i T (x 1,..., x i 1, 0, x i,.., x q 2 ) = = T (x 1,..., x i 1, 0, x i,..., x j 2, 0, x j 1,..., x q 2 ) = = A i T (x 1,..., x j 2, 0, x j 1,..., x q 2 )) = A j 1 A i T (x 1,..., x q 2 ). Denotiamo con Q q (X) il gruppo abeliano libero costituito dalle combinazioni lineari formali, finite e a coefficienti interi di q-cubi singolari, ossia Q q (X) := n α T α : n α Z, T α è un q-cubo singolare. finita DEFINIZIONE 3. Diremo che T : I q X è un q-cubo singolare degenere, o semplicemente degenere, se l applicazione T non dipende da una delle coordinate di R q. Denotiamo con D q (X) il gruppo abeliano libero costituito dalle combinazioni lineari formali, finite e a coefficienti interi di q-cubi singolari degeneri, ossia D q (X) := n α T α : n α Z, T α è un q-cubo singolare degenere. finita Dal momento che D q (X) Q q (X), è ben definito il gruppo quoziente C q (X) = Q q (X)/D q (X) che chiameremo gruppo delle q-catene singolari di X. DEFINIZIONE 4. Per ogni q-cubo singolare T : I q X, il bordo q T di T è l elemento di Q q 1 (X) definito come q q T = ( 1) j [A j T B j T ]. j=1 Associando ad ogni T Q q (X) il suo bordo q T Q q 1 (X) si definisce la seguente applicazione q : Q q (X) Q q 1 (X), estensione lineare del bordo: q ( nα T α ) = n α q (T α ).

10 10 1. OMOLOGIA SINGOLARE Siccome q (D q (X)) D q 1 (X), è ben definita l applicazione di bordo q : C q (X) C q 1 (X) sulle classi laterali di Q q (X) mod D q (X). DEFINIZIONE 5. Il sottogruppo Z q (X) := ker q C q (X) si dice gruppo degli q-cicli singolari, mentre il sottogruppo B q (X) = im q+1 C q (X) si dice gruppo degli q-bordi singolari. TEOREMA 6. 2 = 0, ossia q q+1 = 0. DIMOSTRAZIONE. Per linearità, è sufficiente dimostrare che q ( q+1 (T )) = 0 per ogni T cubo singolare. Abbiamo che q+1 q+1 q ( q+1 (T )) = q ( 1) j [A j T B j T ] = ( 1) j [ q (A j T ) q (B j T )] = j=1 [ q+1 q ] q = j=1( 1) j ( 1) i [A i A j T B i A j T ] ( 1) i [A i B j T B i B j T ] = i=1 i=1 q+1 q = ( 1) j ( 1) i [A i A j T B i A j T + B i B j T A i B j T ] = j=1 = q+1 j=1 i=1 i=1 j=1 q ( 1) j+i [A i A j T B i A j T + B i B j T A i B j T ] = = i j( 1) i+j [A i A j T B i A j T + B i B j T A i B j T ] + + i<j( 1) i+j [A i A j T B i A j T + B i B j T A i B j T ]. Dalle identità di faccia discende che q ( q+1 (T )) = i j( 1) i+j [A i A j T B i A j T + B i B j T A i B j T ] + + i<j( 1) i+j [A j 1 A i T B j 1 A i T + B j 1 B i T A j 1 B i T ] e dunque, ponendo k = j 1, si ottiene q ( q+1 (T )) = i j( 1) i+j [A i A j T B i A j T + B i B j T A i B j T ] + + i k( 1) i+k+1 [A k A i T B k A i T + B k B i T A k B i T ]. Per ottenere la tesi basta allora ribattezzare gli indici della prima sommatoria ponendo j = i e k = i. Da quest ultimo Teorema discende immediatamente il seguente COROLLARIO 7. Per ogni q N abbiamo che B q (X) = im q+1 ker q = Z q (X).

11 1.2. NOTAZIONI E PRIME DEFINIZIONI 11 DEFINIZIONE 8. Il gruppo quoziente H q (X) := Z q (X)/B q (X) si dice q-esimo gruppo di omologia singolare di X. Abbiamo quindi associato ad ogni spazio topologico X un gruppo abeliano H q (X) per ogni q 0. L applicazione di bordo permette di costruire il complesso delle catene singolari di X, ossia la successione di omomorfismi C q (X) q C q 1 (X) q 1 C q 2 (X)... 2 C1 (X) 1 C 0 (X) 0 0, tale che l immagine di ogni omomorfismo è contenuta nel nucleo del successivo. Cerchiamo ora di capire come calcolare H q (X). Cominciamo con il caso più semplice. TEOREMA 9. Se X = {x 0 } è un punto, allora H q (X) = { 0, q 1 Z, q = 0. DIMOSTRAZIONE. Se q 1 si ha Q q (X) = D q (X) e dunque C q (X) = 0. Pertanto il complesso delle catene singolari è C q (X) = 0 q C q 1 (X) = C1 (X) = 0 1 C 0 (X) 0 0. Ma allora non può che essere H q (X) = Z q (X)/B q (X) = 0. Se q = 0 abbiamo che I 0 = 0 e quindi l unico T : I 0 X genera il gruppo abeliano Q 0 (X) = {nt : n Z} = Z, inoltre D 0 (X) = 0. Pertanto C 0 (X) = Z e B 0 (X) = im 1 = 0, dunque H 0 (X) = Z. Per il calcolo dell q-esimo gruppo di omologia singolare è utile conoscere le componenti connesse per archi di X. Ricordiamo che uno spazio topologico X si dice connesso per archi se per ogni coppia di punti x, y X esiste un applicazione continua γ : I X tale che γ(0) = x e γ(1) = y, mentre una componente connessa per archi di uno spazio topologico X è un elemento massimale nella famiglia dei sottospazi connessi per archi di X ordinata per inclusione. Ne segue che ogni spazio topologico è unione delle sue componenti connesse per archi. Vale allora la seguente: PROPOSIZIONE 10. Supponiamo che X = τ Γ X τ, dove le X τ sono le componenti connesse per archi di X. Allora per ogni q 0. H q (X) = τ Γ H q (X τ ) DIMOSTRAZIONE. Se q 0 allora Q q (X) = τ Γ Q q (X τ ) dato che l immagine continua di uno spazio connesso per archi è ancora connessa per archi, quindi per lo stesso motivo deve essere D q (X) = τ Γ D q (X τ ). Pertanto C q (X) = τ Γ C q (X τ ). Si vede poi immediatamente che l applicazione q manda C q (X τ ) in

12 12 1. OMOLOGIA SINGOLARE C q 1 (X τ ) quindi Z q (X) = τ Γ Z q (X τ ) e B q (X) = τ Γ B q (X τ ) e allora H q (X) = τ Γ H q (X τ ). Da quest ultima Proposizione e dal Teorema precedentemente dimostrato discende il seguente COROLLARIO 11. L omologia singolare della 0-sfera S 0 := {x R : x = 1} = { 1, 1} è data da: { 1}. H q (S 0 ) = { 0, q 1, Z Z, q = 0. Osserviamo che i generatori di H 0 (S 0 ) sono T 1 : I 0 {1} e T 1 : I 0 In relazione ad ogni singola componente connessa per archi di uno spazio topologico, abbiamo la seguente: PROPOSIZIONE 12. Se X è uno spazio topologico connesso per archi allora H 0 (X) = Z. DIMOSTRAZIONE. Per qualsiasi spazio topologico X abbiamo che H 0 (X) = Z 0 (X)/B 0 (X), dove Z 0 (X) = C 0 (X) (poiché 0 : C 0 (X) 0); quindi H 0 (X) = C 0 (X)/B 0 (X). Siccome ogni c 0 C 0 (X) è combinazione lineare a coefficienti interi di 0-catene singolari T : I 0 X possiamo considerare allora l applicazione φ : C 0 (X) Z definita ponendo φ ( nα T α ) = n α. Si tratta, come si vede subito, di un omomorfismo di gruppi. Se dimostriamo che ker φ = B 0 (X) = im 1 la dimostrazione è conclusa grazie al Primo Teorema di Isomorfismo per i gruppi. Cominciamo col provare che B 0 (X) ker φ. Se c 0 B 0 (X) allora 1 (c 1 ) = c 0, con c 1 = n α T α C 1 (X) e dunque c 0 = 1 ( nα T α ) = n α 1 (T α ) = n α ( A 1 T α + B 1 T α ). Si vede allora chiaramente che la somma dei coefficienti di c 0 è nulla. Proviamo poi che ker φ B 0 (X). Se c 0 ker φ allora c 0 = n α T α con nα = 0. Dobbiamo dimostrare che c 0 è bordo di qualche c 1 C 1 (X). Se T 0 : I 0 {x 0 } X, risulta c 0 = n α T α T 0 nα = n α (T α T 0 ). Ogni T α è un applicazione della forma I 0 {x α } X e dunque possiamo considerare l arco c α : I X tra x 0 e x α (che è un elemento di C 1 (X)) per ogni α.

13 1.3. FUNTORIALITÀ DELL OMOLOGIA SINGOLARE 13 Ma allora T α T 0 = 1 (c α ), vale a dire c 0 = n α (T α T 0 ) = n α 1 (c α ) = 1 ( nα c α ) con n α c α C 1 (X). Conseguenza immediata della precedente Proposizione è il seguente: COROLLARIO 13. Per ogni spazio topologico X = τ Γ X τ, con X γ componente connessa per archi di X τ Γ, si ha H 0 (X) = τ Γ Z, ovvero H 0 (X) è somma diretta di gruppi ciclici infiniti (ciascuno isomorfo a Z), con un addendo in corrispondenza di ogni componente connessa per archi di X.. ESEMPIO 14. Con la topologia euclidea indotta, Q è totalmente sconnesso. Dunque, utilizzando l omologia del punto e il corollario precedente si ottiene immediatamente che H 0 (Q) = Z Z = R H q (Q) = 0, q FUNTORIALITÀ DELL OMOLOGIA SINGOLARE CENNI SU CATEGORIE E FUNTORI. DEFINIZIONE 15. Una categoria C consiste di: 1) una classe Ob(C), i cui elementi si dicono oggetti della categoria; 2) per ogni coppia di oggetti X, Y, un insieme indicato con Hom C (X, Y ) (o con C(X, Y )) detto insieme dei morfismi da X a Y. Se f Hom C (X, Y ) si usa anche la notazione f : X Y ; 3) per ogni X Ob(C), un morfismo speciale 1 X Hom C (X, X), che si dice morfismo identico; 4) per ogni terna X, Y, Z Ob(C), una legge di composizione : Hom C (X, Y ) Hom C (Y, Z) Hom C (X, Z), tale che valgano i seguenti assiomi: a) la legge di composizione è associativa; b) il morfismo 1 X agisce come elemento neutro della legge di composizione per ogni oggetto X di Ob(C). Vediamo qualche esempio di categoria. ESEMPI. (1) La categoria che ha come oggetti gli insiemi e come morfismi le applicazioni tra insiemi. (2) La categoria che ha come oggetti gli spazi vettoriali e come morfismi le applicazioni lineari. (3) La categoria che ha come oggetti i gruppi e come morfismi gli omomorfismi di gruppi.

14 14 1. OMOLOGIA SINGOLARE (4) La categoria che ha come oggetti gli spazi topologici e come morfismi le applicazioni continue. Diamo anche le definizioni di funtore covariante e di funtore controvariante. DEFINIZIONE 16. Un funtore covariante F : A B dalla categoria A a valori nella categoria B è una legge che associa ad ogni oggetto X A un oggetto F (X) B e ad ogni morfismo f : X Y, tra oggetti di A, un morfismo F (f) : F (X) F (Y ), tra i rispettivi oggetti di B, in modo tale che valgano le proprietà: F (f g) = F (f) F (g), F (1 X ) = 1 F (X). Un funtore controvariante F : A B è, similmente, una legge che associa ad ogni oggetto X A un oggetto F (X) B e ad ogni morfismo f : X Y, tra oggetti di A, un morfismo F (f) : F (Y ) F (X), in modo tale che valgano le proprietà: F (f g) = F (g) F (f), F (1 X ) = 1 F (X). Si può osservare che, assegnata una categoria C è sempre definita la categoria opposta C 0, avente gli stessi oggetti di C, Ob(C 0 ) = Ob(C), mentre Hom 0 C (X, Y ) = Hom C (Y, X) per ogni coppia di oggetti X, Y in Ob(C 0 ). Si vede facilmente che un funtore controvariante F : A B è invece covariante quando lo si considera da A a B 0 oppure da A 0 a B. DEFINIZIONE 17. Un morfismo f : X Y tra oggetti di una categoria C si dice un isomorfismo se esiste un morfismo g : Y X tale che f g = 1 Y e g f = 1 X. Chiameremo tale morfismo inverso di f e lo denoteremo con f 1. PROPOSIZIONE 18. Sia f : X Y è un isomorfismo tra oggetti di una categoria C. L inverso di f è unico. Se poi F : C D è un funtore covariante, allora anche F (f) : F (X) F (Y ) è un isomorfismo tra gli oggetti della categoria D. DIMOSTRAZIONE. Segue direttamente dalle definizioni. IL FUNTORE DI OMOLOGIA SINGOLARE. Vogliamo ora osservare come la costruzione dell omologia singolare dia luogo a funtori covarianti dalla categoria Top degli spazi topologici alla categoria Gr dei gruppi. Abbiamo già visto il funtore di omologia singolare applicato agli spazi topologici, oggetti della categoria Top. Dobbiamo ora occuparci di associare ad ogni funzione continua f : X Y tra spazi topologici un omomorfismo di gruppi f : H q (X) H q (Y ), per ogni q 0. Procediamo per gradi, seguendo i vari passi della costruzione dell omologia singolare. Se f : X Y è una qualsiasi funzione continua tra gli spazi topologici X, Y e T : I q Y un q-cubo singolare di X, la composizione f (T ) := f T va da I q a Y ed è dunque un q-cubo singolare di Y. Estendendo per linearità si può definire f : Q q (X) Q q (Y ) ponendo f ( n α T α ) = n α f (T α ). Dato che f (D q (X)) D q (Y ), si può passare ai quozienti.

15 1.3. FUNTORIALITÀ DELL OMOLOGIA SINGOLARE 15 E quindi ben definito, per ogni q, l omomorfismo di gruppi abeliani: f : C q (X) C q (Y ), e osserviamo che f (A j T ) = A j f (T ) e f (B j T ) = B j f (T ). Pertanto f ( n T ) = n f (T ) e quindi il seguente diagramma q+2 Cq+1 (X) q+2 Cq+1 (Y ) q+1 Cq (X) q Cq 1 (X) f f f q+1 Cq (Y ) q Cq 1 (Y ) q 1... q 1... è commutativo (ossia q f = f q ). Ne segue subito che f porta cicli in cicli e bordi in bordi: f (Z q (X)) Z q (Y ) e f (B q (X)) B q (Y ). Si può dunque passare ai quozienti H q (X), H q (Y ) e definire tra essi un applicazione, che verrà denotata con f. La definizione formale è: f = f q : H q (X) H q (Y ), [u] f u = [f u] dove u è un q-ciclo in Z q (X) e f u è l immagine di u tramite f (ossia un q-ciclo in Z q (Y )). La notazione con le parentesi quadre [ ] è relativa alle classi di equivalenza nei gruppi quoziente. TEOREMA 19. (DI FUNTORIALITÀ). a) Se id X : X X è l identità, allora (id X ) = id Hq(X); b) Se X f Y g Z sono applicazioni continue, allora (g f) = g f. DIMOSTRAZIONE. La dimostrazione di a) è ovvia, mentre b) segue dalla proprietà associativa della composizione (g f) (T ) = (g f)(t ) = g f T = g (f T ) = g f (T ). COROLLARIO 20. Se X un isomorfismo di gruppi per ogni q 0. f Y è un omeomorfismo allora H q (X) f H q (Y ) è DIMOSTRAZIONE. Segue dal Teorema di Funtorialità. Nel dettaglio, sia f un omeomorfismo da X in Y con inversa f 1 : Y X. Allora f 1 f = id X e f f 1 = id Y e, sfruttando il precedente teorema (f 1 ) f = id Hq(X) e f (f 1 ) = id Hq(Y ). Ne segue che f e (f 1 ) sono isomorfismi uno l inverso dell altro (per ogni q Z) e quindi anche (f 1 ) = (f ) 1. Abbiamo, in definitiva, definito un funtore covariante H q : T op Gr, per ogni q 0, che associa ad ogni spazio topologico X il gruppo abeliano H q (X) e ad ogni funzione continua f : X Y l omomorfismo di gruppi H q (f) = f definito poco sopra. H q si dice funtore di omologia singolare in dimensione q.

16 16 1. OMOLOGIA SINGOLARE Cominciamo con la seguente: 1.4. INVARIANZA OMOTOPICA DEFINIZIONE 21. Due applicazioni f, g : X Y tra spazi topologici si dicono omotope se esiste un applicazione continua, detta omotopia, F : X I Y tale che F (x, 0) = f(x) e F (x, 1) = g(x) per ogni x X. In tal caso scriveremo f g In sostanza un omotopia tra due applicazioni continue, come nella definizione, definisce una famiglia continua di applicazioni continue {F t } t I := {F t : X Y : F t (x) = F (x, t), t I}. La relazione di omotopia è di equivalenza nell insieme delle applicazioni continue tra i due spazi X e Y. Infatti un applicazione continua f : X Y è omotopa a se stessa mediante l applicazione F (x, t) = f(x) (la relazione è riflessiva). Abbiamo poi che se f è omotopa a g mediante l applicazione F, come nella definizione, allora l applicazione G(x, t) = F (x, 1 t) è un omotopia tra g ed f (la relazione è simmetrica). Infine se f è omotopa a g mediante F e g è omotopa ad h mediante G allora l applicazione { F (x, 2t) per t [ ] 0, 1 2 H(x, t) = G(x, 2t 1) per t [ 1 2, 1] è un omotopia tra f ed h (la relazione è transitiva). TEOREMA 22. (DI INVARIANZA OMOTOPICA). Se f, g : X Y sono applicazioni omotope allora f = g. DIMOSTRAZIONE. Usiamo l omotopia F : X I Y tra f e g per definire omotopie di catene, cioè degli omomorfismi ϕ q : C q (X) C q+1 (Y ), per ogni q 0, che verificano la seguenta proprietà q+1 ϕ q ϕ q 1 q = ( 1) q+1 [f g ], dove f, g sono state definite in funzione di f, g nella sezione precedente. Possiamo visualizzare la situazione con il seguente diagramma: q+2>... Cq+1 (X) q+1 > Cq (X) q > Cq 1 (X) q 1 >... ϕ q ϕ q 1 f g f g f g q+2> q+1> q> q 1>... Cq+1 (Y ) C q (Y ) C q 1 (Y )... < Supponiamo per un attimo di aver definito gli omomorfismi ϕ q con le proprietà asserite, e sia [u] H q (X) e u Z q (X) C q (X) un suo rappresentante. Allora q u = 0 e dunque q+1 ϕ q (u ) ϕ q 1 q (u ) = q+1 ϕ q (u ) = ( 1) q+1 [f u g u ] <

17 1.4. INVARIANZA OMOTOPICA 17 Pertanto f u g u è un bordo, per ogni [u ] H q (X), ed abbiamo quindi la conclusione del teorema: f = g. E dunque sufficiente costruire le omotopie di catene ϕ q, e a tale scopo partiamo dai cubi T : I q X. Definiamo: (ϕ q T )(x 1,..., x q, x q+1 ) = F (T (x 1,..., x q ), x q+1 ) (le x i variano in [0, 1]) e osserviamo che tale applicazione può estendersi per linearità ad omomorfismo ϕ q : C q (X) C q+1 (Y ). Per 1 j q risulta, in modo naturale, A j (ϕ q T ) = ϕ q 1 (A j T ) e similmente B j (ϕ q T ) = ϕ q 1 (B j T ) mentre A q+1 (ϕ q T )(x 1,..., x q ) = F (T (x 1,..., x q ), 0) = f(t (x 1,..., x q )) = f T (x 1,..., x q ) e B q+1 (ϕ q T )(x 1,..., x q ) = F (T (x 1,..., x q ), 1) = g(t (x 1,..., x q )) = g T (x 1,..., x q ). Pertanto: q+1 q q+1 (ϕ q T ) = ( 1) j [A j (ϕ q T ) B j (ϕ q T )] = ( 1) j [A j (ϕ q T ) B j (ϕ q T )] + j=1 j=1 q +( 1) q+1 [f T g T ] = ( 1) j [ϕ q (A j T ) ϕ q (B j T )] + ( 1) q+1 [f T g T ] = j=1 = ϕ q 1 ( q T ) + ( 1) q+1 [f T g T ], ed il Teorema è dunque dimostrato. DEFINIZIONE 23. Due spazi topologici X e Y si dicono omotopicamente equivalenti se esistono due applicazioni continue f : X Y e g : Y X tali che g f è omotopa all identità X X, cioè g f id X, e f g è omotopa all identità Y Y, cioè f g id X. In tal caso f e g si dicono equivalenze omotopiche e scriveremo X Y. Ovviamente due spazi topologici omeomorfi sono anche omotopicamente equivalenti. DEFINIZIONE 24. Uno spazio topologico X si dice contraibile se è omotopicamente equivalente ad un punto. COROLLARIO 25. Se X Y allora H q (X) = H q (Y ) per ogni q 0. DIMOSTRAZIONE. Se X Y, dal Teorema di Funtorialità e dal Teorema di Invarianza Omotopica segue che g f = (g f) = (id X ) = id Hq(X) f g = (f g) = (id Y ) = id Hq(Y ) e pertanto f e g sono isomorfismi di gruppi, uno inverso dell altro. ESEMPIO 26. R n è contraibile. Sia infatti x 0 R n, f( x ) = x 0 per ogni x R n e g : { x 0 } R n tale che g( x 0 ) = 0. Risulta allora (f g)( x 0 ) = x 0 =

18 18 1. OMOLOGIA SINGOLARE id { x0}, mentre g f : Rn R n è omotopa a id R n mediante F : R n I R n, F ( x, t) = t x con t [0, 1]. COROLLARIO 27. H q (R n ) = Z se q = 0, mentre H q (R n ) = {0} se q 0. ESEMPIO { 28. Sia S n 1 := { x R n : x = 1} la (n 1)-sfera. Allora X := 0 } R n 1 S n 1. Consideriamo infatti le seguenti applicazioni continue f : X S n 1, f( x ) = x x e g : Sn 1 X l inclusione di S n 1 R n. Risulta, banalmente, che f g = id S n 1 mentre g f id X mediante l omotopia F : X I X, F ( x, t) = t x + (1 t) x x. Quest ultimo esempio ci tornerà utile quando avremo calcolato l omologia singolare della sfera. Ricordiamo infine la seguente DEFINIZIONE 29. Sia Y un sottospazio topologico di uno spazio topologico X. Chiameremo retrazione di deformazione ogni applicazione continua r : X Y tale che, se i : Y X è l inclusione, allora r i = id Y e i r id X. Se una tale applicazione esiste diremo che Y è un retratto per deformazione di X. ESERCIZIO 30. Dimostrare che i gruppi topologici O(n), U(n) e SO(n) sono retratti per deformazione rispettivamente di GL n (R), GL n (C) e GL + n (R).

19 CAPITOLO 2 LA SUCCESSIONE DI MAYER-VIETORIS 2.1. ALGEBRA OMOLOGICA La costruzione del Capitolo precedente che ci ha portato a definire l omologia singolare suggerisce di formalizzarne gli aspetti puramenti algebrici. Essi si collocano nella cosiddetta Algebra Omologica, nella quale non è necessario prendere in considerazione spazi topologici, connessione per archi, ecc. Cominciamo con qualche definizione. DEFINIZIONE 31. Sia C := {(C q, q )} q Z una famiglia di coppie dove ogni C q è un gruppo abeliano e q un omomorfismo di gruppi tra C q e C q 1 ( q : C q C q 1 ), per ogni q Z. Chiameremo tale famiglia complesso di catene se q q+1 = 0 (o equivalentemente se im q+1 ker q ) per ogni q Z. Sia D un altro complesso di catene. Un morfismo di catene ϕ : C D tra complessi di catene è una famiglia ϕ := {ϕ q } q Z di omomorfismi di gruppi della forma ϕ q : C q D q tali che il seguente diagramma... q+2> Cq+1 q+1> Cq q> Cq 1 q 1>... ϕ q+1 ϕ q... q+2> Dq+1 q+1 > Dq ϕ q 1 q> q 1 Dq 1 >... sia commutativo. Il morfismo ϕ si dice isomorfismo se tutti i ϕ q sono isomorfismi di gruppi. Il gruppo quoziente H q (C ) = ker q /im q+1 si dice q-esimo gruppo di omologia del complesso di catene C. PROPOSIZIONE 32. (FUNTORIALITÀ). i) Ogni morfismo di catene ϕ : C D induce omomorfismi di gruppi ϕ : H q (C ) H q (D ). che ϕ D ψ E, risulta (ψ ϕ ) = ψ ϕ. ii) Dati i morfismi di catene C iii) Se 1 : C C è il morfismo identico, risulta (1 ) = id Hq(C ). DIMOSTRAZIONE. i) Sia u ker q e poniamo ϕ ([u]) = [ϕ q (u)]. Risulta subito q (ϕ q (u)) = ϕ q 1 ( q (u)) = ϕ q 1 (0) = 0, dalla commutatività del diagramma; inoltre se u = u + q+1 (v) allora ϕ ([u + q+1 (v)]) = ϕ ([u]) + ϕ ([ q+1 (v)]) = ϕ ([u]) + [ϕ q ( q+1 (v))] 19

20 20 2. LA SUCCESSIONE DI MAYER-VIETORIS = ϕ ([u]) + [ q+1 (ϕ q+1 (v))] = ϕ ([u]). Pertanto ogni ϕ è ben definita e va da H q (C ) in H q (D ). La ii) non è altro che l associatività della composizione di omomorfismi. La iii) è immediata. Se denotiamo con Chain la categoria che ha come oggetti i complessi di catene e, come morfismi, i morfismi di catene, dalla Proposizione precedente segue che possiamo definire un funtore H q dalla categoria Chain alla categoria Gr. Tale funtore manda ogni complesso di catene C nel gruppo H q (C ) e che associa ad ogni morfismo ϕ : C D l omomorfismo ϕ : H q (C ) H q (D ). Inoltre, sempre dalle proprietà di Funtorialità, segue che se ϕ è un isomorfismo di catene allora ϕ è un isomorfismo di gruppi. ESEMPI. (1) CATENE SINGOLARI E OMOLOGIA SINGOLARE. Se X è uno spazio topologico qualsiasi, in relazione a quanto detto nel capitolo precedente, possiamo definire un complesso di catene C (X) ponendo { {(C q (X), q )} q 0 C (X) = {(0,0)} q < 0 dove C q (X) è il gruppo delle q-catene singolari, q è l omomorfismo di bordo, 0 è l applicazione nulla e H q (C (X)) = H q (X) è il q-esimo gruppo di omologia singolare. (2) CATENE SINGOLARI E OMOLOGIA SINGOLARE DI UNO SPAZIO TOPOLOGICO X CON VERTICI IN UN PUNTO x 0 X. Si costruisce seguendo gli stessi passi con cui si arriva all omologia singolare, con la differenza che i q-cubi T : I q X considerati sono solo quelli che mandano i 2 q vertici di I q nel punto x 0 fissato in X (ad esempio se T : I X è un tale q-cubo allora T (1) = T (0) = x 0, ossia T è una curva chiusa). Tali applicazioni si dicono q-cubi con vertici in x 0 e denoteremo l insieme che formano con Ξ. Pertanto, analogamente al caso dell omologia singolare, si pone } Q q (X x 0 ) := { nα T α : n α Z, T α Ξ, } D q (X x 0 ) := { nα T α : n α Z, T α Ξ degeneri, C q (X x 0 ) = Q q (X x 0 )/D q (X x 0 ), q : C q (X x 0 ) C q 1 (X x 0 ). Possiamo allora definire il complesso di catene relativo a questa omologia ponendo { {(C q (X x 0 ), q )} q 0 C (X x 0 ) = {(0, 0)} q < 0

21 2.1. ALGEBRA OMOLOGICA 21 e questo si dirà complesso delle catene singolari di X con vertici nel suo punto x 0. La sua omologia, detta omologia singolare con vertici in x 0, si denota con il simbolo: H q (X x 0 ) := H q (C (X x 0 )). (3) CATENE SINGOLARI E OMOLOGIA SINGOLARE PICCOLA DI UNO SPAZIO TO- POLOGICO X RISPETTO AD UN RICOPRIMENTO APERTO U DI X. Anche qui si procede come con l Omologia Singolare prendendo però i q-cubi piccoli di U = {U β }, ossia quei q-cubi T : I q X tali che T (I q ) U β, per qualche U β U. Si pone allora: { } Q q (X; U) := nα T α : n α Z, T α è un q-cubo piccoli, } D q (X; U) := { nα T α : n α Z, T α è un q-cubo piccoli e degeneri, e similmente alle precedenti situazioni: C q (X; U) = Q q (X; U)/D q (X; U), q : C q (X; U) C q 1 (X; U). Il complesso delle catene singolari piccole di ordine U si definisce allora come: C (X; U) = { {(C q (X; U), q )} q 0 {(0, 0)} q < 0, e la sua omologia, detta omologia singolare piccola di ordine U, si denota con il simbolo: H q (X; U) := H q (C (X; U)). Vogliamo ora stabilire un confronto tra omologia singolare e omologia singolare con vertici in un punto di uno spazio topologico. E definito, per costruzione, un morfismo di inclusione τ : C (X x 0 ) C (X). Il seguente teorema, di cui omettiamo la dimostrazione (si veda p. es. [4]), consente di stabilire un confronto tra il gruppo fondamentale π 1 (X) di uno spazio connesso per archi e il suo primo gruppo di omologia singolare H 1 (X). TEOREMA 33. τ : H q (X x 0 ) H q (X) è un isomorfismo di gruppi. L accennata relazione con il gruppo fondamentale è data dal seguente: COROLLARIO 34. Sia X uno spazio topologico connesso per archi. L applicazione naturale che associa ad ogni cappio uscente da x 0 il cappio stesso pensato come 1-ciclo in X induce un omomorfismo suriettivo di gruppi Φ : π 1 (X, x 0 ) H 1 (X),

22 22 2. LA SUCCESSIONE DI MAYER-VIETORIS il cui nucleo è il sottogruppo dei commutatori in π 1 (X, x 0 ). Risulta quindi: H 1 (X) = π 1 (X, x 0 ) [π 1 (X, x 0 ), π 1 (X, x 0 )]. DIMOSTRAZIONE. Osserviamo in primo luogo che Φ è ben definita: se f f 1 mediante l omotopia F, allora pensando f, f 1 come 1-cicli risulta f = f 1 + F. Inoltre Φ è evidentemente suriettiva e risulta un omomorfismo di gruppi. Infatti se [f], [g] π 1 (X, x 0 ) definiamo il 2-cubo T : I 2 X come { f(t + 2s) per t + 2s 1 T (t, s) = g( t+2s 1 t+1 ) per t + 2s 1 { f(2s) per 0 s 1 2 (e ricordiamo che f g = g(2s 1) per 1 2 s 1 ). Allora T = f + g ɛ x 0 f g, essendo ɛ x0 il cappio costante nel punto x 0. Dunque: Φ([f] [g]) = Φ[f g] = Φ[f] + Φ[g]. Osserviamo poi che, essendo H 1 (X) = imφ = π1(x) ker Φ abeliano, il sottogruppo [π 1 (X), π 1 (X)] dei commutatori è contenuto in ker Φ. Si ha dunque un omomorfismo indotto: Ψ : π 1(X) π 1 (X) := [π 1 (X), π 1 (X)] H 1(X), ed è ora sufficiente mostrare che Ψ è un isomorfismo. Per fare ciò consideriamo il diagramma C 1 (X x 0 ) = Z 1 (X x 0 ) k H 1 (X x 0 ) l π 1(X) (abelianizzato) τ Ψ H1 (X) dove, osservato che C 1 (X x 0 ) = Z 1 (X x 0 ), k è la proiezione con nucleo B 1 (X x 0 ); l è invece definito sui T : I X (T (0) = T (1) = x 0 ), associando la proiezione su π 1 di [T ] π 1 (X, x 0 ). Si noti che, poiché π 1 è abeliano, l si estende a Q 1 (X x 0 ) portando D 1 (X x 0 ) nell elemento neutro; dunque l : C 1 (X x 0 ) π 1(X, x 0 ) è suriettiva. Poiché il diagramma commuta risulta D altra parte della successione ker l ker k = B 1 (X x 0 ). C 2 (X x 0 ) 2 l C 1 (X x 0 ) π 1 (X, x o ) risulta, con semplice omotopia, l 2 = 0. Dunque è anche: B 1 (X x 0 ) ker l,, e quindi B 1 (X x 0 ) = ker l. Ne segue che Ψ è un isomorfismo.

23 2.2. SUDDIVISIONE BARICENTRICA E OMOLOGIA SINGOLARE PICCOLA SUDDIVISIONE BARICENTRICA E OMOLOGIA SINGOLARE PICCOLA Passiamo ora al confronto tra omologia singolare e omologia singolare piccola di uno spazio topologico X. Vi è un morfismo di inclusione σ : C (X; U) C (X) tra i rispettivi complessi di catene. Dimostriamo il seguente: TEOREMA 35. σ : H q (X; U) H q (X) è un isomorfismo di gruppi. DIMOSTRAZIONE. Sia [v] H q (X, U). Ricordiamo che per definizione σ [v] = [σ(v)]. Si devono dunque mostrare i seguenti fatti: (a) σ : H q (X; U) H q (X) è suriettiva, cioè ogni classe di omologia si può rappresentare con cicli piccoli di ordine U. (b) σ : H q (X; U) H q (X) è iniettiva, cioè se σ [v] è lo zero di H q (X), ovvero v = u con u C q+1 (X), allora è anche v = z con z C q+1 (X; U). Articoleremo la dimostrazione in quattro passi. Ricordiamo preliminarmente il seguente: LEMMA 36 (Esistenza di un numero di Lebesgue). Sia (Y, d) uno spazio metrico compatto e siano X uno spazio topologico, f : Y X un applicazione continua e U un ricoprimento aperto di X. Esiste allora un numero reale positivo δ, detto numero di Lebesgue del ricoprimento U, tale che per ogni y Y e per ogni ε < δ l insieme f(b(y, ε)), dove B(y, ε) è la palla aperta di centro y e raggio ε, è interamente contenuto in un aperto del ricoprimento U. DIMOSTRAZIONE. L immagine f(y ) è un sottospazio compatto di X ed esistono dunque U 1,..., U n tali che f(y ) n i=1 U i. Per ogni i = 1,..., n denotiamo con C i. = f 1 (X U i ) = Y f 1 (U i ) e con d i : Y R la funzione che misura la distanza dal chiuso C i. Sappiamo che le funzioni d i sono continue e che d i (y) = 0 y C i. Inoltre n i=1 C i =. Poniamo g : Y R + tale che g(y) = max{d 1 (y),..., d n (y)} > 0. Allora g è una funzione continua definita su uno spazio compatto, ammette dunque minimo δ > 0. Tale minimo è il numero di Lebesgue cercato. Se infatti y Y, ε < δ allora B(y, ε) è disgiunta da C i, per qualche i = 1,..., s, quindi f(b(y, ε)) f(c i ) = f(x) U i =, ovvero f(b(y, ε)) U i. 1 o passo: Suddivisione baricentrica. Consideriamo l insieme E q = { e = (e 1,..., e q ); e i = 0, 1}, dei vertici del q-cubo standard I q ; esso è in corrispondenza biunivoca con l insieme dei cubetti che costituiscono la suddivisione baricentrica del cubo standard I q. Se T : I q X è un q-cubo singolare, allora per ogni e E q si ha la seguente restrizione ingrandita al q-cubetto rappresentato da e : F e T : I q X, (F e T )( x) = T ( 1 ( x + e)), 2

24 24 2. LA SUCCESSIONE DI MAYER-VIETORIS e la suddivisione baricentrica di T : Sd q T = e E q F e T. Essa si estende per linearità Sd q : Q q (X) Q q (X) e, essendo Sd q : (D q (X)) Q q (X), passa al quoziente: sd q : C q (X) C q (X). E commutativo il diagramma di omomorfismi: C q (X) C q 1 (X) sd q sd q 1 Cq (X) Cq 1 (X), come si deve ragionando sulle singole facce dei cubi. Vale il seguente: LEMMA 37. Per ogni catena u C q (X), esiste un intero r = r(u) tale che dove sd (r) q sd (r) q (u) C q (X; U), è l operatore di suddivisione ripetuto r volte. DIMOSTRAZIONE. Sia [u] = n α T α ; mostriamo che esistono numeri naturali r α con la proprietà asserita, e scegliamo r = min (r α ). Se U = {U β } β B, consideriamo il ricoprimento aperto {Tα 1 (U β )} β B di I q e sia δ α un suo numero di Lebesgue; allora, se r α è tale che q 2 rα < δ α è certamente sd rα q T α C q (X; U) [ q è la massima distanza tra due punti del q-cubo standard ]. 2 o passo: Costruzione di un omotopia di catene tra la suddivisione baricentrica e l identità. Vogliamo definire omomorfismi tali che risulti: ϕ q : C q (X) C q+1 (X) sd q (u) u = q+1 ϕ q + ϕ q 1 q. Procediamo così. Le seguenti funzioni η 0, η 1 : I 2 X η 0 (x 1, x 2 ) = x x x, η 1 (x 1, x 2 ) = 2 se x 1 + x x 2 1 se x 1 + x 2 1 hanno la proprietà che im η 0 = [0, 1 2 ], im η 1 = [ 1 2, 1]. Per ogni e E q e per ogni q-cubo singolare T : I q X, q > 0, definiamo: G e T : I q+1 X

25 2.2. SUDDIVISIONE BARICENTRICA E OMOLOGIA SINGOLARE PICCOLA 25 G e T (x 1,..., x q+1 ) = T (η e1 (x 1, x q+1 ),..., η eq (x q, x q+1 )), e quindi: Φ q : Q q (X) Q q+1 (X), q > 0 Φ q (T ) = ( 1) q+1 e E q G e T, completando con l assumere Φ q : Q 0 (X) Q 1 (X) l applicazione nulla. Osservato che Φ q porta cubi degeneri in cubi degeneri, si hanno morfismi indotti: ϕ q : C q (X) C q+1 (X), q 0. Guardando alle singole facce, si riconosce che per ogni T : I q X risulta: q+1 Φ q (T ) = Sd q T T Φ q 1 q (T ) + cubi degeneri. Ne segue che sulle catene: q+1 ϕ q + ϕ q 1 q = sd q T id. 3 o passo: Omotopia di catene tra l iterazione della suddivisione baricentrica e l identità. Si pone (omettendo gli indici sotto sd e ): ψ q = ϕ q + sd ϕ q + sd (2) ϕ q sd (r 1) ϕ q. Allora, ricordando che sd = sd : ψ q + ψ q 1 = ϕ q + sd ϕ q + sd (2) ϕ q sd (r 1) ϕ q + +ϕ q 1 + sd ϕ q 1 + sd (2) ϕ q sd (r 1) ϕ q 1 = = sd q id + sd (2) sd + sd (3) sd (2) sd (r) sd (r 1) = sd (r) id. 4 o passo: Conclusione. Dunque: dove sd (r) q q+1 ψ q + ψ q 1 q = sd (r) q id, : C q (X) C q (X; U). Osserviamo anche che: u C q (X; U) = ϕ q (u) C q (X; U) = ψ q (u) C q (X; U). Dimostriamo infine le due proprietà (a) e (b) sopra enunciate: (a) σ : H q (X; U) H q (X) è suriettiva. DIMOSTRAZIONE. Sia [u] H q (X); allora sd (r) q u C q (X; U) e (sd (r) q u) = 0. Poiché: sd (r) q u u = q+1 ψ q u + ψ q 1 q u (il secondo addendo a destra essendo nullo), risulta che [u] = [sd (r) q u] H q (X). Dunque: σ [sd (r) q u] = [u], e [sd (r) q u] H q (X; U).

26 26 2. LA SUCCESSIONE DI MAYER-VIETORIS (b) σ : H q (X; U) H q (X) è iniettiva. DIMOSTRAZIONE. Sia [v] H q (X; U) con σ [v] = 0, cioè v = u con u C q+1 (X). Sia r tale che sd (r) q u C q+1 (X; U). Poiché: applicando risulta: Pertanto: sd (r) q+1 u u = q+2ψ q+1 u + ψ q q+1 u = q+2 ψ q+1 u + ψ q v, (sd (r) q+1 u) v = (ψ qv). v = (sd (r) q+1 u ψ qv), la (q + 1)-catena z = sd (r) q+1 u ψ qv essendo piccola di ordine U. Dunque [v] = 0 nell omologia piccola, e la dimostrazione è completa. DEFINIZIONE 38. Una successione di omomorfismi tra gruppi abeliani... fq+2 f q+1 f q f q 1 f q 1 G q+1 Gq Gq 1 Gq 1..., con q Z, si dirà esatta in G q se imf q+1 = ker f q, mentre si dirà esatta se imf q+1 = ker f q per ogni q Z. Solitamente di ha G q = 0 tranne al più per un numero finito di q Z. ESEMPI. (1) La successione 0 G f H... è esatta in G se e solo se f è un omomorfismo iniettivo. (2) La successione... G f H 0 è esatta in H se e solo se f è un omomorfismo suriettivo. (3) La successione 0 G f H 0 è esatta se e solo se f è un isomorfismo. (4) Ne segue che se la successione 0 G f H g K 0 è esatta allora, f è iniettivo, g è suriettivo e risulta K = H/ ker g = H/imf = H/G. Se assumiamo che f sia iniettiva, g suriettiva e imf = ker g allora vale anche il viceversa. Una successione esatta come quella appena vista

27 2.2. SUDDIVISIONE BARICENTRICA E OMOLOGIA SINGOLARE PICCOLA 27 si dice successione esatta corta. Un esempio semplicissimo di successione esatta corta è la seguente 0 Z f Z π Z 2 0, dove f(n) = 2n e π è la proiezione alle classi resto modulo 2. catene: Noi saremo in particolare interessati a successioni esatte corte di complessi di 0 C ϕ D ψ E 0, con ϕ e ψ morfismi. Si tratta dunque di diagrammi commutativi, che possono anche essere infiniti nella dimensione verticale, del tipo: ϕ q+1 ψ q+1 0 C q+1 Dq+1 Eq+1 0 ϕ q ψ q 0 C q Dq Eq 0 ϕ q 1 ψ q 1 0 C q 1 Dq 1 Eq 1 0 dove ogni successione è esatta corta in orizzontale. Il prossimo Teorema, detto Teorema Fondamentale dell Algebra Omologica, chiarirà con le sue applicazioni l importanza delle successioni esatte corte di complessi di catene. TEOREMA 39. (FONDAMENTALE DELL ALGEBRA OMOLOGICA). Consideriamo la seguente successione esatta corta di complessi di catene 0 C ϕ D E possibile definire, per ogni q Z, omomorfismi ψ E 0. : H q (E ) H q 1 (C ), detti omomorfismi di connessione, in modo tale che la successione lunga formata dai gruppi di omologia dei tre complessi sia esatta.... H q+1 (E ) H q (C ) ϕ H q (D ) ψ H q (E ) H q 1 (C ) ϕ ϕ Hq 1 (D ) ψ H q 1 (E ) H q 2 (C )... DIMOSTRAZIONE. Dalle ipotesi abbiamo il seguente diagramma commutativo di omomorfismi di gruppi

28 28 2. LA SUCCESSIONE DI MAYER-VIETORIS 0 > C q+1 ϕ q+1> Dq+1 ψ q+1> Eq+1 > 0 q+1 ϕ q > Dq q+1 ψ q > Eq q+1 > 0 (2.2.1) 0 > C q q q q > 0 0 > C q 1 ϕ q 1 > Dq 1 ψ q 1 > Eq 1 le cui righe costituiscono successioni esatte, ossia le ϕ sono iniettive, le ψ sono suriettive e risulta imϕ = ker ψ (cioè ψ ϕ = 0) mentre le colonne sono legate dall applicazione di bordo tali che im q+1 ker q. Strutturiamo la dimostrazione in diversi passi. 1) DEFINIZIONE DI. Sia z q E q un ciclo ( z q = 0). Esiste (e non è detto che sia unico) un d q D q tale che ψ (d q ) = z q (per la suriettività di ψ). Sia dunque x q 1 C q 1 tale che ϕ (x q ) = d q. Un siffatto x q 1 deve esistere per forza, dato che ψ ( d q ) = ψ (d q ) = z q = 0 e quindi d q ker ψ = imϕ. Osserviamo che x q 1 è un ciclo. Infatti ϕ ( x q 1 ) = ϕ (x q 1 ) = 2 d q = 0 e ϕ è iniettiva. Ha quindi senso porre [z q ] = [x q 1 ]. Dobbiamo allora verificare che tale definizione è ben posta e che effettivamente va da H q (E ) in H q 1 (C ). Se d q è un altra scelta tale che ψ ( d q) = zq, risulterà ψ ( d q d q) = zq z q = 0, vale a dire d q d q ker ψ = imϕ e dunque esiste un c q C q tale che ϕ (c q ) = d q d q. D altra parte, per quanto detto in precedenza, esistono x q 1, x q 1 C q 1 tali che ϕ (x q 1 ) = d q, ϕ ( x q 1) = d q e quindi, dalla commutatività del diagramma, se ϕ (c q ) = d q d q si ha anche ϕ ( c q ) = d q d q. Essendo ϕ iniettiva, deve essere c q = x q 1 x q 1 e dunque la costruzione non dipende dal rappresentante x q 1 scelto in [x q 1 ]. Infine se z q = z q+1 (z q è un bordo) sappiamo che esiste un d q+1 D q+1 tale che ψ (d q+1 ) = z q+1 e quindi ψ ( d q+1 ) = ψ (d q+1 ) = z q+1 = z q. Ponendo d q = d q+1 si ottiene che d q = 0 e quindi non può che essere x q 1 = 0 (essendo ϕ iniettiva). 2) ESATTEZZA DELLA SUCCESSIONE ESATTA LUNGA DI OMOLOGIA. Dobbiamo dimostrare le seguenti inclusioni : i) imϕ ker ψ ; ii) imϕ ker ψ ; iii) imψ ker ; iv) imψ ker ; v) im ker ϕ : vi) im ker ϕ. Cominciamo da quelle più semplici. i) Siccome ψ ϕ = 0, dalla funtorialità segue immdiatamente che ψ ϕ = 0, vale a dire imϕ ker ψ. iii) Se [z q ] imψ abbiamo che ψ [d q ] = [z q ], ossia ψ (d q ) = z q con d q = 0. Ma allora deve essere, per quanto già detto, x q 1 = 0. Pertanto imψ ker.

29 2.3. LA SUCCESSIONE DI MAYER-VIETORIS 29 v) Sia [x q 1 ] = [z q ] im H q 1 (C ). Per costruzione, abbiamo che ϕ (x q 1 ) = d q con ψ (d q ) = z q. Ma allora ϕ [x q 1 ] = 0 H q 1 (D ) ovvero [x q 1 ] ker ϕ e dunque im ker ϕ. Appena un po più elaborate sono le rimanenti verifiche. ii) Sia [y q ] H q (D ) tale che ψ [y q ] = 0 H q (E q ). Allora 0 = ψ [y q ] = [ψ (y q )] implica che ψ (y q ) = z q+1, per qualche z q+1 E q+1, ed inoltre ψ (d q+1 ) = z q+1, per qualche d q+1 D q+1. Poniamo allora y q := d q+1. Risulta ψ ( y q y q) = ψ (yq ) ψ ( y q) = zq+1 ψ (d q+1 ) = z q+1 z q+1 = 0 e quindi y q y q ker ψ = imϕ. Ne segue che esiste x C q tale che ϕ (x) = y q y q, inoltre si tratta di un ciclo essendo l immagine tramite ϕ, iniettiva, del ciclo y q y q. Pertanto ϕ [x] = [ϕ (x)] = [ y q y q] = [yq d q+1 ] = [y q ] vale a dire imϕ ker ψ. iv) Sia [z q ] ker, vale a dire [x q 1 ] = [z q 1 ] = 0 da cui x q 1 = c q, con c q C q. Sia poi d q D q tale che ψ (d q ) = z q. Calcolando il bordo di d q ϕ (c q ) si ottiene (d q ϕ (c q )) = d q ϕ (c q ) = d q ϕ ( c q ) = d q ϕ (x q 1 ) = 0, dato che ϕ (x q 1 ) = d q. Pertanto d q ϕ (c q ) è un ciclo, cioè [d q ϕ (c q )] H q (D ), e dunque ψ [d q ϕ (c q )] = [ψ (d q ) ψ (ϕ (c q ))] = [ψ (d q )] = [z q ] ovvero [z q ] imψ (si ricordi che ψ ϕ = 0). Ne segue che imψ ker. vi) Se [x q ] ker ϕ allora ϕ [x q ] = [ϕ (x q )] = 0 ossia ϕ (x q ) = d q+1, per qualche d q+1 D q. Ne segue che ψ (d q+1 ) = z q+1 è un ciclo (il diagramma è commutativo). Ma per definizione di dovrà aversi [x q ] = [z q+1 ] ossia [x q ] im. Abbiamo allora provato che im ker ϕ LA SUCCESSIONE DI MAYER-VIETORIS Sia X uno spazio topologico tale che X = U V, con U, V aperti di X. Abbiamo dunque il ricoprimento aperto U := {U, V } e su X l omologia singolare piccola di ordine U. TEOREMA 40. Le inclusioni i C (U) k C (U V ) C (X; U) j C (V ) l

30 30 2. LA SUCCESSIONE DI MAYER-VIETORIS dei complessi di catene singolari indicati inducono una successione esatta corta di complessi di catene 0 C (U V ) ϕ C (U) C (V ) ψ C (X; U) 0, dove ϕ = (i, j ) e ψ = k l. DIMOSTRAZIONE. Bisogna dimostrare che ϕ è iniettiva, ψ è suriettiva è imϕ = ker ψ. L iniettività è ovvia per definizione. Sia allora q Z e consideriamo la successione 0 C q (U V ) ϕq C q (U) C q (V ) ψq C q (X; U) 0, dove ϕ q = (i q, j q ) e ψ q = k q l q. Per verificare la suriettività di ψ q osserviamo che ogni c C q (X; U) può essere scritto, per definizione, come c = c U + c V dove c U C(U) e c V C(V ) (in modo non unico). Pertanto c = k q (c U ) l q ( c V ). Dimostriamo ora che imϕ q ker ψ q. Se ψ q (c U, c V ) = k q (c U ) l q (c V ) = 0 allora k q (c U ) = l q (c V ) ossia c U c V come elementi di C q (U V ); quindi ϕ q (c U ) = (c U, c U ) = (c U, c V ). Passiamo all inclusione inversa: imϕ q ker ψ q. Sia x imϕ q, ossia x = (i q (y), j q (y)) con y C q (U V ). Dunque ψ q (x) = (k q i q )(y) (l q j q )(y) = 0. Il prossimo risultato è di fondamentale importanza sia per il calcolo dell omologia singolare, sia per dimostrarne notevoli proprietà. La useremo quindi più volte nel seguito. TEOREMA 41. (MAYER-VIETORIS). Sia X uno spazio topologico tale che X = U V, U = {U, V } ricoprimento aperto di X. Si ha allora la seguente successione esatta... H q+1 (U V ) ϕ H q+1 (U) H q+1 (V ) χ H q+1 (X) Hq (U V ) ϕ H q (U) H q (V ) χ H q (X) Hq 1 (U V ) ϕ H q 1 (U) H q 1 (V ) χ H q 1 (X)..., detta Successione di Mayer-Vietoris. DIMOSTRAZIONE. Dal Teorema precedente segue che la successione corta 0 C (U V ) ϕ C (U) C (V ) ψ C (X; U) 0 è esatta e dunque, dal Teorema Fondamentale dell Algebra Omologica abbiamo una successione esatta... H q+1 (U V ) ϕ H q+1 (U) H q+1 (V ) ψ H q+1 (X; U) Hq (U V ) ϕ H q (U) H q (V ) ψ H q (X) Hq 1 (U V ) ϕ H q 1 (U) H q 1 (V ) ψ H q 1 (X)...

31 2.3. LA SUCCESSIONE DI MAYER-VIETORIS 31 TABELLA 1. Omologia delle Sfere H 0 H 1 H 2 H 3... H n... S 0 Z Z S 1 Z Z S 2 Z 0 Z S 3 Z 0 0 Z S n Z Z Ricordando che esiste un isomorfismo σ : H q (X; U) H q (X), ponendo χ = σ ψ e = σ 1 si ottiene la successione voluta. Vediamo ora qualche importante applicazione del Teorema di Mayer-Vietoris nel calcolo dell omologia singolare di alcuni spazi. COROLLARIO 42. (OMOLOGIA DELLE SFERE). l omologia della n-sfera La seguente tabella descrive S n := { x R n+1 : x = 1 } : Dunque: e, per ogni q 1, H 0 (S n ) = { H q (S n ) = { Z Z, n = 0 Z, n 1 Z, q = n 0, q n. DIMOSTRAZIONE. Ci riferiremo alla TABELLA 1. La prima riga e la prima colonna sono già state dimostrate. Infatti S 0 = { 1, 1} mentre S n è connessa per per archi, ogni n 1. Consideriamo gli aperti { U = x S n : x n+1 > 1 } (emisfero boreale abbondante) 2 { V = x S n : x n+1 < 1 } (emisfero australe abbondante). 2 Si vede facilmente che U, V sono connessi per archi mentre { U V = x S n : 1 2 < x n+1 < 1 } 2 ha come retratto di deformazione la sfera S n 1 (si analizzi, a titolo di esempio, il caso di S 1 ). Pertanto per q 2, il Teorema di Mayer-Vietoris fornisce H q (U) H q (V ) χ H q (S n ) H q 1 (U V ) ϕ H q 1 (U) H q 1 (V ),

32 32 2. LA SUCCESSIONE DI MAYER-VIETORIS dove H q (U) H q (V ) = 0 = H q 1 (U) H q 1 (V ) e H q 1 (U V ) = H q 1 (S n 1 ). Per quanto detto abbiamo che è un isomorfismo e ciò suggerisce di procedere per induzione su q. Quello che manca è allora la premessa induttiva che si ottiene per q = 1. Distinguiamo due casi per n, cioè n = 1 e n > 1. Per n = 1 abbiamo: H 1 (U) H 1 (V ) χ H 1 (S 1 ) H 0 (U V ) ϕ H 0 (U) H 0 (V ) χ H 0 (S 1 ), ossia 0 H 1 (S 1 ) Z Z ϕ Z Z χ Z 0. Siccome la successione è esatta, segue che è iniettiva, im = ker ϕ e imϕ = ker χ, inoltre χ non è nulla, dato che imχ deve coincidere con il nucleo dell applicazione nulla. Quindi imϕ = Z e dunque im = Z. Supponiamo ora n > 1. Abbiamo allora: H 1 (U) H 1 (V ) χ H 1 (S n ) H 0 (U V ) ϕ H 0 (U) H 0 (V ) χ H 0 (S n ) ossia 0 H 1 (S n ) Z ϕ Z Z χ Z 0. Come prima abbiamo che è iniettiva quindi H 1 (S n ) = im = ker ϕ e χ è non nulla. Allora imϕ = ker χ = Z e dunque anche ϕ è iniettiva. Ne segue che H 1 (S n ) = 0. La tesi è ora immediata. Dall omologia delle Sfere si ottiene subito il seguente Teorema di invarianza topologica della dimensione. TEOREMA 43. (DELLA DIMENSIONE). R n non è omeomorfo a R m se n m. DIMOSTRAZIONE. Supponiamo { esista un omeomorfismo f tra R n ed R m con 0 } { n m. Allora X = R n è omeomorfo a Y = R m f( } 0 ). Ma X è omotopicamente equivalente ad S n mentre Y è omotopicamente equivalente ad S m 1. Dalla TABELLA 1 discende immediatamente che ciò porta ad un assurdo. Una conseguenza del Teorema precedente è che due varietà topologiche di dimensioni diverse non sono omeomorfe. Ricordiamo tuttavia che R m ed R n hanno la stessa cardinalità. Continuiamo con il calcolo dell omologia di altri spazi. Ricordiamo che un bouquet di r circonferenze (r N) è uno spazio topologico unione di r spazi omeomorfi a S 1 e che si intersecano tutti in un unico punto (FIGURA 2.2.1). Sia allora X r un bouquet di r circonferenze. Possiamo chiamare petali i sottospazi di X r omeomorfi ad S 1 (così X r ha r petali). Lo spazio X r può essere decomposto nell unione di due aperti U e V, dove U è ottenuto da X r rimuovendo un arco da un certo petalo r 1 (compresi gli estremi) mentre V è ottenuto da X r rimuovendo un arco da ogni altro petalo diverso da r 1 (FIGURA 2.2.2).

33 2.3. LA SUCCESSIONE DI MAYER-VIETORIS 33 FIGURA Bouquet di 5 Circonferenze FIGURA Nell ordine gli aperti U, V, U V del Bouquet di 5 Circonferenze Si vede facilmente che U V è contraibile, mentre U e V hanno come retratti per deformazione un bouquet di r 1 circonferenze X r 1 ed S 1 rispettivamente. Ciò suggerisce, per il calcolo dell omologia di X r, di procedere per induzione su r. COROLLARIO 44. Sia X r un bouquet di r circonferenze. Allora Z q = 0 H q (X r ) = Z r = Z... Z q = 1. 0 q 0, 1 DIMOSTRAZIONE. Come già osservato, conviene procedere per induzione su r. Per r = 1 abbiamo che X 1 = S 1 e quindi l asserto è vero. Supponiamo allora Z q = 0 H q (X r 1 ) = Z r 1 = Z... Z q = 1. 0 q 0, 1 Dal Teorema di Mayer-Vietoris discende che la seguente successione... H q+1 (U V ) ϕ H q+1 (U) H q+1 (V ) χ H q+1 (X) Hq (U V ) ϕ H q (U) H q (V ) χ H q (X) Hq 1 (U V ) ϕ H q 1 (U) H q 1 (V ) χ H q 1 (X)... è esatta, e noi sappiamo che H q (U V ) = H q (pt) e H q (U) H q (V ) = H q (X r 1 ) H q (S 1 ). Ora se q 2 abbiamo che H q 1 (U V ) = 0 e H q (U) H q (V ) = 0 e quindi: 0 H q (X r ) 0,

34 34 2. LA SUCCESSIONE DI MAYER-VIETORIS ossia H q (X r ) = 0. Vediamo il caso in cui q = 1. Risulta: 0 H 1 (pt) ϕ H 1 (X r 1 ) H 1 (S 1 ) χ H 1 (X r ) H0 (X r 1 ) ϕ H 0 (X r 1 ) H 0 (S 1 ) χ H 0 (X r ) 0 cioè, a meno di isomorfismi e ricordando che X r è connesso per archi, 0 Z r χ H 1 (X r ) Z ϕ Z 2 χ Z 0. Per l esattezza della successione si ha che χ : Z 2 H 0 (X r ) = Z è suriettiva quindi ϕ è iniettiva. Ma anche χ : Z r H 1 (X r ) è iniettiva quindi ker = Z r. A questo punto basta osservare che può solo essere l omomorfismo nullo. La dimostrazione è conclusa OMOLOGIA DELLE SUPERFICI COMPATTE Richiamiamo alcune definizioni, esempi e risultati utili. Una superficie (topologica) è una varietà topologica di dimensione 2, ossia uno spazio topologico di Hausdorff a base numerabile e tale che ogni suo punto possiede un intorno aperto omeomorfo al disco aperto { (x, y) : x 2 + y 2 < 1 }. Siamo interessati alle superfici compatte e connesse. ESEMPI. (1) La Sfera S 2 := { (x, y, z) R 3 : x 2 + y 2 + z 2 = 1 } è una superficie compatta e connessa. (2) Il Toro T 2 := S 1 S 1 è una superficie compatta e connessa. Ricordiamo che il Toro può ottenersi come spazio quoziente di un opportuno sottospazio di R 2. Più precisamente consideriamo il quadrato Q := { (x, y) R 2 : x, y [0, 1] } e sia ρ la relazione su Q definita ponendo { y = y 1, x = 0 e x 1 = 1 (x, y)ρ(x 1, y 1 ) x = x 1, y = 0 e y 1 = 1. Lo spazio quoziente Q/ρ dotato della topologia quoziente è allora omeomorfo al Toro T 2 con la topologia di sottospazio in R 3 (FIGURA 2.3.1). (3) Il piano proiettivo P 2 R è una { superficie compatta. Ricordiamo che può 0 } ottenersi a partire da R 3 identificando i punti sulla stessa retta vettoriale. Siccome ogni retta vettoriale di R 3 interseca S 2 {z 0} rispettivamente in due punti o in un punto a seconda che tale retta sia contenuta nel piano xy o meno, P 2 R può ottenersi anche a partire da S2 {z 0} quozientando mediante la relazione di equivalenza che identifica i due punti di intersezione con ogni retta contenuta nel piano xy. Pertanto P 2 R può essere pensato come in FIGURA

35 2.4. OMOLOGIA DELLE SUPERFICI COMPATTE 35 FIGURA Toro T 2 FIGURA Piano Proiettivo P 2 R OSSERVAZIONE 45. La Sfera ed il Toro sono esempi di superfici orientabili nel senso che in entrambe è possibile distinguere due faccie, una interna e l altra esterna. Il Piano Proiettivo invece non è orientabile SOMMA CONNESSA DI SUPERFICI. Un modo per ottenere una nuova superficie a partire da due superfici S 1 ed S 2 si ha attraverso la loro somma connessa, S 1 #S 2. Tale procedimento consiste essenzialmente nel selezionare due dischi (cioè sottoinsiemi omeomorfi a E 2 := { (x, y) R 2 : x 2 + y 2 1 } ) da entrambe le superfici S 1, S 2, uno per ognuna, si rimuove l interno ad entrambi e si identifica il bordo. Più precisamente siano E 1, E 2 due sottoinsiemi in S 1, S 2, rispettivamente, omeomorfi entrambi ad E 2 e quindi omeomorfi tra loro. Sia f un tale omeomorfismo. Risulta allora che E 1 possiede un sottoinsieme D 1 omeomorfo a E 2 e lo stesso per E 2 con sottoinsieme D 2 (contenuti strettamente). Allora S 1 #S 2 si definisce come lo spazio quoziente di ) ) (S 1 D 1 (S 2 D 2 (unione disgiunta) modulo la relazione che identifica x D 1 con f(x) D 2, cioè ) ) (S 1 D 1 (S 2 D 2 S 1 #S 2 :=. L insieme che si ottiene, dotato della topologia quoziente, si dimostra essere ancora una superficie. Ovviamente connessione e (l eventuale) compattezza vengono preservate dalla continuità della proiezione al quoziente. Dimostriamo prima di tutto che si tratta di uno spazio di Hausdorff. Sia X il sottoinsieme di S 1 #S 2 per il quale non è la relazione banale. E chiaro che due punti qualsiasi contenuti in