Risoluzioni libere di ideali determinantali

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1 Risoluzioni libere di ideali determinantali Boston, MA Welcome Home Workshop Università degli Studi di Torino 21 Dicembre 2011 Risoluzioni libere di ideali determinantali 1 / 14

2 A Crx 1,..., x n s M A-modulo graduato finitamente generato Definizione Una risoluzione libera minimale di M è una sequenza di A-moduli liberi F i A n i e mappe A-lineari d i : F i Ñ F i 1 d i`1 d i d 1... F i`1 F i F i 1... F 1 F 0 tale che F 0 { im d 1 M ker d i im d i`1 le mappe d i sono matrici di polinomi omogenei di grado ě 1 Le risoluzioni libere minimali di A-moduli esistono, hanno lunghezza al più n e sono uniche a meno d isomorfismo. Risoluzioni libere di ideali determinantali 2 / 14

3 Esempio A Crx, y, zs, M A{I, I px, y, zq z y x y z 0 x 0 z 0 x y `x y z 0 A A 3 A 3 A la matrice d 1 contiene un insieme minimale di generatori di I la matrice d 2 contiene le relazioni fra i generatori: yx ` p xqy 0 zx ` p xqz 0 zy ` p yqz 0 la matrice d 3 contiene le relazioni fra le relazioni, etc. Risoluzioni libere di ideali determinantali 3 / 14

4 La risoluzione libera minimale fornisce informazioni algebro/geometriche sul modulo in questione: Esempio generatori minimali relazioni minimali fra i generatori serie di Hilbert codimensione A Crx, y, zs, M A{I, I px, y, zq `x y z 0 A A 3 A 3 A A{I è l anello delle coordinate dell origine dello spazio affine A 3 C. Risoluzioni libere di ideali determinantali 4 / 14

5 Introduciamo una matrice di coordinate per lo spazio affine A mn Convenzione: m ď n. x 11 x x 1n x 21 x x 2n X... x m1 x m2... x mn C : Definizione La varietà determinantale Y r è il luogo degli zeri dei minori di ordine r ` 1 di X. Equivalentemente, Y r è l insieme delle matrici m ˆ n di rango al più r. Esempio Y m A mn C Y 0 t0u Risoluzioni libere di ideali determinantali 5 / 14

6 Esempio ˆx11 x X 12 x 13 x 21 x 22 x 23 Y 1 V p x 11 x 12 x 21 x 22, x 11 x 13 x 21 x 23, x 12 x 13 x 22 x 23 q Vpx 11 x 22 x 12 x 21, x 11 x 23 x 13 x 21, x 12 x 23 x 13 x 22 q Ď A 6 C x13 x 23 x 12 x 22 x 11 x 21 `ˇˇ x 11 x 12 x 21 x 22 ˇˇ ˇ x11 x 13 x 21 x 23 ˇˇ ˇ x12 x 13 ˇˇ x 22 x 23 0 A 2 A 3 A dove A Crx ij s 1ďiď2. 1ďjď3 0 ˇ x x 21 x 22 x 23 ˇˇˇ x x 22 x 23 x x 21 x 23 ` x 13 x 11 x 12 x 21 x 22 Risoluzioni libere di ideali determinantali 6 / 14

7 Una partizione è una sequenza λ λ 1 ě λ 2 ě... ě λ i ě... di numeri naturali tale che λ ÿ i λ i ă 8. L intero λ è detto peso della partizione. Le partizioni sono rappresentate graficamente mediante diagrammi di Young. Esempio λ p42210q, λ 9 λ contiene un quadrato massimale 2 ˆ 2. Risoluzioni libere di ideali determinantali 7 / 14

8 Vogliamo la risoluzione di Y r Ď A mn C. Sia q n r. In una griglia q ˆ m, inscriviamo tutte le partizioni ammissibili ovvero quelle aventi un quadrato massimale s ˆ s (allineato in alto a sinistra) che poggia su un rettangolo s ˆ r. Esempio (m 3, n 6, r 2, q 4) ammissibili s 1 non ammissibili s 1 s 1 s 2 Risoluzioni libere di ideali determinantali 8 / 14

9 Esempio (m 3, n 6, r 2, q 4) s 0: s 1: µ p000q ν p000000q µ p111q ν p003000q µ p211q ν p003100q µ p311q ν p003110q µ p411q ν p003111q Inscriviamo la griglia q ˆ m in una griglia n ˆ m (allineata in alto a destra) ed associamo ad ogni partizione ammissibile due sequenze, µ e ν di lunghezza m ed n. Risoluzioni libere di ideali determinantali 9 / 14

10 La sequenza ν non è una partizione ma induce una partizione ν operando scambi tra coppie crescenti di interi adiacenti. Uno scambio manda la coppia a, b in b 1, a ` 1. Esempio ν p003000q ν p003111q p021000q p021111q ν p111000q ν p111111q Risoluzioni libere di ideali determinantali 10 / 14

11 Alle partizioni µ e ν associamo due interi s µ pmq e s ν pnq. Esempio (m 3, n 6, r 2, q 4) µ p411q, s p411q p3q? contenuto ` ganci quozienti 1{2 4 {3 5 { s p411q p3q Risoluzioni libere di ideali determinantali 11 / 14

12 Esempio (m 3, n 6, r 2, q 4) µ p000q p111q p211q p311q p411q µ s ν p000000q p111000q p111100q p111110q p111111q s µ pmq s ν pnq s µ pmqs ν pnq µ rs A 10 A 36 A 45 A 20 A Nella risoluzione di Y r Ď A mn C, F µ rs A sµpmqs νpnq. Risoluzioni libere di ideali determinantali 12 / 14

13 Il gruppo GL m pcq ˆ GL n pcq agisce sullo spazio di matrici A mn C via cambi di base: pg, Hq X GXH 1. Quest azione ha un numero finito di orbite O 0, O 1,..., O m dove O t è l insieme delle matrici di rango t. La varietà determinantale Y r è O 0 Y O 1 Y... Y O r ovvero Y r O r nella topologia di Zariski. Il gruppo GL m pcq ˆ GL n pcq agisce su Y r e l azione si estende a tutti i termini della risoluzione. In particolare, le matrici della risoluzione sono compatibili con l azione e ciò permette di identificarle completamente. Risoluzioni libere di ideali determinantali 13 / 14

14 Rappresentazioni con un numero finito di orbite gruppo GL m pcq ˆ GL n pcq gruppi di Lie riduttivi rappresentazione opportuni sottospazi di algebre di Lie varietà Y r chiusura delle orbite tecniche A mn C algebra commutativa, geometria algebrica, teoria delle rappresentazioni, combinatoria + algebra computazionale A breve su arxiv Free resolutions of orbit closures for representations with finitely many orbits con le risoluzioni per i gruppi eccezionali E 6 e F 4. Per un anteprima: Risoluzioni libere di ideali determinantali 14 / 14