Varietà di Grassmann in Geometria Algebrica
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1 Varietà di Grassmann in Geometria Algebrica Scuola di Dottorato, Gargnano Aprile 2007 Giorgio Ottaviani Università di Firenze Grassmanniane come varietà proiettive p. 1/47
2 Presentazione Studiamo punti di vista diversi sulle Grassmanniane 1) Tensori e Algebra commutativa Grassmanniane come varietà proiettive p. 2/47
3 Presentazione Studiamo punti di vista diversi sulle Grassmanniane 1) Tensori e Algebra commutativa 2) Topologia, Geometria enumerativa Grassmanniane come varietà proiettive p. 2/47
4 Presentazione Studiamo punti di vista diversi sulle Grassmanniane 1) Tensori e Algebra commutativa 2) Topologia, Geometria enumerativa 3) Geometria Proiettiva Grassmanniane come varietà proiettive p. 2/47
5 Presentazione Studiamo punti di vista diversi sulle Grassmanniane 1) Tensori e Algebra commutativa 2) Topologia, Geometria enumerativa 3) Geometria Proiettiva 4) Azioni di gruppi, Teoria delle rappresentazioni Grassmanniane come varietà proiettive p. 2/47
6 Presentazione Studiamo punti di vista diversi sulle Grassmanniane 1) Tensori e Algebra commutativa 2) Topologia, Geometria enumerativa 3) Geometria Proiettiva 4) Azioni di gruppi, Teoria delle rappresentazioni 5) Fibrati vettoriali Grassmanniane come varietà proiettive p. 2/47
7 Bibliografia Bibliografia generale J. Harris, Algebraic Geometry, A first course, Springer Ph. Griffiths, J. Harris, Principles of Algebraic Geometry, Wiley cap. 1 5, W. Fulton, Young tableaux, LMS G. Ottaviani, Rational Homogeneous varieties, Cortona course 1995, available on the web Grassmanniane come varietà proiettive p. 3/47
8 Prima lezione Grassmanniane come varietà proiettive e come schemi di Hilbert. Le relazioni di Plücker. Il fibrato universale. Anello di coomologia e di Chow. (struttura additiva) Il fibrato tangente. Grassmanniane come varietà proiettive p. 4/47
9 L algebra esterna, I Sia V uno spazio vettoriale complesso di dimensione n + 1 Grassmanniane come varietà proiettive p. 5/47
10 L algebra esterna, I Sia V uno spazio vettoriale complesso di dimensione n + 1 P(V) è lo spazio proiettivo delle rette di V. Grassmanniane come varietà proiettive p. 5/47
11 L algebra esterna, I Sia V uno spazio vettoriale complesso di dimensione n + 1 P(V) è lo spazio proiettivo delle rette di V. V è l algebra esterna su V, definita come il quoziente dell algebra tensoriale T(V ) per l ideale generato da x y + y x per ogni x, y V Grassmanniane come varietà proiettive p. 5/47
12 L algebra esterna, I Sia V uno spazio vettoriale complesso di dimensione n + 1 P(V) è lo spazio proiettivo delle rette di V. V è l algebra esterna su V, definita come il quoziente dell algebra tensoriale T(V ) per l ideale generato da x y + y x per ogni x, y V (V ) ha una graduazione (V ) = n+1 k=0 k V Grassmanniane come varietà proiettive p. 5/47
13 L algebra esterna, II Equivalentemente k V è l immagine dell applicazione lineare A: k V k V Grassmanniane come varietà proiettive p. 6/47
14 L algebra esterna, II Equivalentemente k V è l immagine dell applicazione lineare A: k V k V definita da A(v 1... v k ) = 1 k! σ ǫ(σ)v σ(1)... v σ(k) Grassmanniane come varietà proiettive p. 6/47
15 L algebra esterna, III Si pone v 1... v k := A(v 1... v k ) Grassmanniane come varietà proiettive p. 7/47
16 L algebra esterna, III Si pone v 1... v k := A(v 1... v k ) Quindi in particolare v 1 v 2 = v 2 v 1 (anticommutatività) Grassmanniane come varietà proiettive p. 7/47
17 Esempio: C 4 C 4 ha i seguenti generatori Grassmanniane come varietà proiettive p. 8/47
18 Esempio: C 4 C 4 ha i seguenti generatori 0 C 4 =< 1 > Grassmanniane come varietà proiettive p. 8/47
19 Esempio: C 4 C 4 ha i seguenti generatori 0 C 4 =< 1 > 1 C 4 =< e 1, e 2, e 3, e 4 > Grassmanniane come varietà proiettive p. 8/47
20 Esempio: C 4 C 4 ha i seguenti generatori 0 C 4 =< 1 > 1 C 4 =< e 1, e 2, e 3, e 4 > 2 C 4 =< e 1 e 2,e 1 e 3,e 1 e 4,e 2 e 3,e 2 e 4,e 3 e 4 > Grassmanniane come varietà proiettive p. 8/47
21 Esempio: C 4 C 4 ha i seguenti generatori 0 C 4 =< 1 > 1 C 4 =< e 1, e 2, e 3, e 4 > 2 C 4 =< e 1 e 2,e 1 e 3,e 1 e 4,e 2 e 3,e 2 e 4,e 3 e 4 > 3 C 4 =< e 1 e 2 e 3,e 1 e 2 e 4,e 1 e 3 e 4,e 2 e 3 e 4 > Grassmanniane come varietà proiettive p. 8/47
22 Esempio: C 4 C 4 ha i seguenti generatori 0 C 4 =< 1 > 1 C 4 =< e 1, e 2, e 3, e 4 > 2 C 4 =< e 1 e 2,e 1 e 3,e 1 e 4,e 2 e 3,e 2 e 4,e 3 e 4 > 3 C 4 =< e 1 e 2 e 3,e 1 e 2 e 4,e 1 e 3 e 4,e 2 e 3 e 4 > 4 C 4 =< e 1 e 2 e 3 e 4 > Grassmanniane come varietà proiettive p. 8/47
23 Dimensioni dim k (V ) = ( ) n+1 k Grassmanniane come varietà proiettive p. 9/47
24 Dimensioni dim k (V ) = ( ) n+1 k dim (V ) = n+1 k=0 ( n+1 ) k = 2 n+1 Grassmanniane come varietà proiettive p. 9/47
25 Applicazioni multilineari alternanti Lo spazio vettoriale k V è isomorfo allo spazio delle applicazioni multilineari alternanti V... V }{{} k volte f C Grassmanniane come varietà proiettive p. 10/47
26 I tensori decomponibili, I Un tensore φ k+1 V si dice decomponibile se esistono v 0,...,v k tali che φ = v 0... v k Grassmanniane come varietà proiettive p. 11/47
27 I tensori decomponibili, I Un tensore φ k+1 V si dice decomponibile se esistono v 0,...,v k tali che φ = v 0... v k v 0... v k = 0 se e solo se v 0,...,v k sono dipendenti. Grassmanniane come varietà proiettive p. 11/47
28 I tensori decomponibili, II Lo stesso tensore decomponibile ha tante rappresentazioni. Vale < v 0,...,v k >=< w 0,...,w k > e hanno dimensione proiettiva k se e solo se < v 0... v k >=< w 0... w k > e sono non nulli Grassmanniane come varietà proiettive p. 12/47
29 I tensori decomponibili, II Lo stesso tensore decomponibile ha tante rappresentazioni. Vale < v 0,...,v k >=< w 0,...,w k > e hanno dimensione proiettiva k se e solo se < v 0... v k >=< w 0... w k > e sono non nulli Precisamente v 0... v k = Aw 0... w k dove A è il determinante di passaggio. Grassmanniane come varietà proiettive p. 12/47
30 I tensori decomponibili, III I tensori decomponibili (non nulli) in k+1 V corrispondono quindi ai sottospazi di dimensione k + 1 di V, ovvero ai sottospazi proiettivi di dimensione k di P(V ). Grassmanniane come varietà proiettive p. 13/47
31 La varietà di Grassmann L insieme dei tensori decomponibili in k+1 V è quindi un cono. La varietà proiettiva associata in P( k+1 V ) si dice varietà di Grassmann Gr(k,P(V )) = Gr(k, n). Grassmanniane come varietà proiettive p. 14/47
32 La varietà di Grassmann L insieme dei tensori decomponibili in k+1 V è quindi un cono. La varietà proiettiva associata in P( k+1 V ) si dice varietà di Grassmann Gr(k,P(V )) = Gr(k, n). Vediamola come varietà omogenea. Il gruppo SL(V ) agisce in modo naturale su P( k+1 V ). Ricordiamo che SL(V ) è (n + 2)-transitivo su P(V ). In particolare dati < v 0,..., v k > e < w 0,..., w k > esiste g SL(V ) tale che < v 0,..., v k >=< g w 0,..., g w k > Grassmanniane come varietà proiettive p. 14/47
33 Gr(k, n) è algebrica Abbiamo quindi un azione (algebrica) SL(V ) P( k+1 V ) P( k+1 V ) Grassmanniane come varietà proiettive p. 15/47
34 Gr(k, n) è algebrica Abbiamo quindi un azione (algebrica) SL(V ) P( k+1 V ) P( k+1 V ) La varietà di Grassmann Gr(k, n) è l orbita di un qualunque tensore decomponibile. Pertanto Gr(k, n) è una varietà algebrica omogenea. Grassmanniane come varietà proiettive p. 15/47
35 La dimensione Il sottogruppo di isotropia di < e 0,... e k > è formato da Grassmanniane come varietà proiettive p. 16/47
36 La dimensione Il sottogruppo di isotropia di < e 0,... e k > è formato da Quindi dim Gr(k, n) = (k + 1)(n k) Grassmanniane come varietà proiettive p. 16/47
37 Dualità I sottospazi di dimensione k + 1 in V corrispondono ai sottospazi di dimensione n k in V. Grassmanniane come varietà proiettive p. 17/47
38 Dualità I sottospazi di dimensione k + 1 in V corrispondono ai sottospazi di dimensione n k in V. Quindi Gr(k, n) = Gr(n k 1, n) Grassmanniane come varietà proiettive p. 17/47
39 Dualità I sottospazi di dimensione k + 1 in V corrispondono ai sottospazi di dimensione n k in V. Quindi Gr(k, n) = Gr(n k 1, n) Gr(0, n) = Gr(n 1, n) = P n Grassmanniane come varietà proiettive p. 17/47
40 Coordinate di Plücker I minori della matrice (k + 1) (n + 1) che definisce m Gr(k,n) danno le sue coordinate pluckeriane p i0,...,i k. Grassmanniane come varietà proiettive p. 18/47
41 Coordinate di Plücker I minori della matrice (k + 1) (n + 1) che definisce m Gr(k,n) danno le sue coordinate pluckeriane p i0,...,i k. Se il primo minore a sinistra è non nullo abbiamo il rappresentante x 1,1... x 1,n k x 2,1... x 2,n k x k+1,1... x k+1,n k Grassmanniane come varietà proiettive p. 18/47
42 Coordinate di Plücker I minori della matrice (k + 1) (n + 1) che definisce m Gr(k,n) danno le sue coordinate pluckeriane p i0,...,i k. Se il primo minore a sinistra è non nullo abbiamo il rappresentante x 1,1... x 1,n k x 2,1... x 2,n k x k+1,1... x k+1,n k Grassmanniane come varietà proiettive p. 18/47 x i,j sono coord. locali su questo aperto di Gr(k,n)
43 L atlante Gli aperti dove un minore p I è non nullo ricoprono la Grassmanniana e definiscono un atlante. Grassmanniane come varietà proiettive p. 19/47
44 L atlante Gli aperti dove un minore p I è non nullo ricoprono la Grassmanniana e definiscono un atlante. Questo atlante permette di definire la Grassmanniana in geometria differenziale. Grassmanniane come varietà proiettive p. 19/47
45 L atlante Gli aperti dove un minore p I è non nullo ricoprono la Grassmanniana e definiscono un atlante. Questo atlante permette di definire la Grassmanniana in geometria differenziale. Segue che Gr(k, n) è una varietà razionale. Grassmanniane come varietà proiettive p. 19/47
46 Esercizio: equazioni di Gr(k, n), I Per ogni ω k+1 V definiamo A ω : V k+2 V v ω v Grassmanniane come varietà proiettive p. 20/47
47 Esercizio: equazioni di Gr(k, n), I Per ogni ω k+1 V definiamo A ω : V k+2 V v ω v Abbiamo che v i KerA v0... v k per i = 0,..., k Grassmanniane come varietà proiettive p. 20/47
48 Esercizio: equazioni di Gr(k, n), I Per ogni ω k+1 V definiamo A ω : V k+2 V v ω v Abbiamo che v i KerA v0... v k per i = 0,..., k Siano v 0,..., v k indipendenti. Vale in più < v 0,..., v k >= KerA v0... v k Grassmanniane come varietà proiettive p. 20/47
49 Esercizio: equazioni di Gr(k, n), II Perciò se ω CGr(k, n) allora ranka ω = n + 1 k Grassmanniane come varietà proiettive p. 21/47
50 Esercizio: equazioni di Gr(k, n), II Perciò se ω CGr(k, n) allora ranka ω = n + 1 k Per provare il viceversa dobbiamo scambiare il ruolo tra v e ω Grassmanniane come varietà proiettive p. 21/47
51 Esercizio: equazioni di Gr(k, n), II Perciò se ω CGr(k, n) allora ranka ω = n + 1 k Per provare il viceversa dobbiamo scambiare il ruolo tra v e ω Scambiando il ruolo otteniamo il complesso di Koszul. Grassmanniane come varietà proiettive p. 21/47
52 Il complesso di Koszul (locale) v V definisce un applicazione K v,k+1 : k+1 V k+2 V ω ω v Grassmanniane come varietà proiettive p. 22/47
53 Il complesso di Koszul (locale) v V definisce un applicazione K v,k+1 : k+1 V k+2 V ω ω v le applicazioni K v,k definiscono un complesso 0 C V K v,1 2 V K v,2... n+1 V 0 detto complesso di Koszul Grassmanniane come varietà proiettive p. 22/47
54 Il complesso di Koszul (locale) v V definisce un applicazione K v,k+1 : k+1 V k+2 V ω ω v le applicazioni K v,k definiscono un complesso 0 C V K v,1 2 V K v,2... n+1 V 0 detto complesso di Koszul Il complesso di Koszul è esatto. Grassmanniane come varietà proiettive p. 22/47
55 Il complesso di Koszul (locale) v V definisce un applicazione K v,k+1 : k+1 V k+2 V ω ω v le applicazioni K v,k definiscono un complesso 0 C V K v,1 2 V K v,2... n+1 V 0 detto complesso di Koszul Il complesso di Koszul è esatto. Per la dimostrazione, completa v a una base di V. Grassmanniane come varietà proiettive p. 22/47
56 Esercizio: equazioni di Gr(k, n), III Torniamo a A ω : V k+2 V v ω v Grassmanniane come varietà proiettive p. 23/47
57 Esercizio: equazioni di Gr(k, n), III Torniamo a A ω : V k+2 V v ω v L esattezza del complesso di Koszul ci assicura che v KerA ω se e solo se esiste ω k V tale che ω = v ω. Grassmanniane come varietà proiettive p. 23/47
58 Esercizio: equazioni di Gr(k, n), III Torniamo a A ω : V k+2 V v ω v L esattezza del complesso di Koszul ci assicura che v KerA ω se e solo se esiste ω k V tale che ω = v ω. Iterando, v 1, v 2 KerA ω (indipendenti) se e solo se ω = v 1 ω = v 2 ω, da cui, completando v 1, v 2 a una base: Grassmanniane come varietà proiettive p. 23/47
59 Esercizio: equazioni di Gr(k, n), III Torniamo a A ω : V k+2 V v ω v L esattezza del complesso di Koszul ci assicura che v KerA ω se e solo se esiste ω k V tale che ω = v ω. Iterando, v 1, v 2 KerA ω (indipendenti) se e solo se ω = v 1 ω = v 2 ω, da cui, completando v 1, v 2 a una base: ω = v 1 v 2 ω Grassmanniane come varietà proiettive p. 23/47
60 Esercizio: equazioni di Gr(k, n), IV Concludendo < v 0,... v k > KerA ω se e solo se ω = v 0... v k da cui segue che Grassmanniane come varietà proiettive p. 24/47
61 Esercizio: equazioni di Gr(k, n), IV Concludendo < v 0,... v k > KerA ω se e solo se ω = v 0... v k da cui segue che ω CGr(k, n)v \ {0} se e solo se ranka ω = n + 1 k Grassmanniane come varietà proiettive p. 24/47
62 Esercizio: equazioni di Gr(k, n), IV Concludendo < v 0,... v k > KerA ω se e solo se ω = v 0... v k da cui segue che ω CGr(k, n)v \ {0} se e solo se ranka ω = n + 1 k e quindi ω CGr(k, n) se e solo se ranka ω n + 1 k Grassmanniane come varietà proiettive p. 24/47
63 Esercizio: equazioni di Gr(k, n), IV Concludendo < v 0,... v k > KerA ω se e solo se ω = v 0... v k da cui segue che ω CGr(k, n)v \ {0} se e solo se ranka ω = n + 1 k e quindi ω CGr(k, n) se e solo se ranka ω n + 1 k I minori (n + 2 k) (n + 2 k) danno le equazioni di Gr(k, n) Grassmanniane come varietà proiettive p. 24/47
64 Esempi: Gr(1, 3) Sia ω = p ij e i e j. Qui V = C 4 e la matrice di A ω è 0 p 23 p 13 p 12 p 23 0 p 03 p 02 p 13 p 03 0 p 01 p 12 p 02 p 01 0 Grassmanniane come varietà proiettive p. 25/47
65 Esempi: Gr(1, 3) Sia ω = p ij e i e j. Qui V = C 4 e la matrice di A ω è 0 p 23 p 13 p 12 p 23 0 p 03 p 02 p 13 p 03 0 p 01 p 12 p 02 p 01 0 La Grassmanniana è definita insiemisticamente dal determinante. Qui Gr(1, 3) è la quadrica p 01 p 23 p 02 p 13 + p 03 p 12 = 0 Grassmanniane come varietà proiettive p. 25/47
66 Grassmanniane di rette 0 ω = p ij e i e j 2 V è decomponibile se e solo se la matrice antisimmetrica [p ij ] ha rango 2. Le sue equazioni sono gli pfaffiani (principali) 4 4 (vedi esercizi), quindi sono quadriche, dette quadriche di Plücker. Grassmanniane come varietà proiettive p. 26/47
67 Gr(1, 4) Il secondo esempio fondamentale è Gr(1, 4), definita da 5 quadriche. Gr(1, 4) ha codimensione tre, le relazioni tra le cinque quadriche sono lineari. Grassmanniane come varietà proiettive p. 27/47
68 Gr(1, 4) Il secondo esempio fondamentale è Gr(1, 4), definita da 5 quadriche. Gr(1, 4) ha codimensione tre, le relazioni tra le cinque quadriche sono lineari. 0 O( 3) O( 1) 5 O 5 I G (2) 0 o in notazione computazionale Grassmanniane come varietà proiettive p. 27/47
69 Gr(1, 4) Il secondo esempio fondamentale è Gr(1, 4), definita da 5 quadriche. Gr(1, 4) ha codimensione tre, le relazioni tra le cinque quadriche sono lineari. 0 O( 3) O( 1) 5 O 5 I G (2) 0 o in notazione computazionale La dimostrazione segue da proprieta dello pfaffiano (vedi esercizi). Grassmanniane come varietà proiettive p. 27/47
70 La risoluzione minimale La risoluzione minimale di Gr(1, n) è stata calcolata da Lascoux, Jozefiak, Pragacz, Weyman. Gioca che è una varietà determinantale. Grassmanniane come varietà proiettive p. 28/47
71 La risoluzione minimale La risoluzione minimale di Gr(1, n) è stata calcolata da Lascoux, Jozefiak, Pragacz, Weyman. Gioca che è una varietà determinantale. J. Weyman, Cohomology of Vector Bundles and Syzygies, Cambridge Grassmanniane come varietà proiettive p. 28/47
72 La risoluzione minimale La risoluzione minimale di Gr(1, n) è stata calcolata da Lascoux, Jozefiak, Pragacz, Weyman. Gioca che è una varietà determinantale. J. Weyman, Cohomology of Vector Bundles and Syzygies, Cambridge La risoluzione minimale di Gr(k, n) non è ancora nota. Si congettura che le relazioni tra le quadriche di Plücker siano lineari. È noto che le relazioni delle relazioni non sono più lineari. Grassmanniane come varietà proiettive p. 28/47
73 Risoluzioni autoduali, I È facile verificare che le risoluzioni minimali per le Grassmanniane sono tutte autoduali. Ad esempio per Gr(1, 5) I numeri che appaiono sono dimensioni di rappresentazioni Grassmanniane come varietà proiettive p. 29/47
74 Risoluzioni autoduali, II Riportiamo metà della risoluzione per Gr(2, 5) Grassmanniane come varietà proiettive p. 30/47
75 Le quadriche di Plücker, I Se w 1 V abbiamo la contrazione i w1 : j V j 1 V Grassmanniane come varietà proiettive p. 31/47
76 Le quadriche di Plücker, I Se w 1 V abbiamo la contrazione i w1 : j V j 1 V Se Ω = w 1... w k abbiamo i Ω = i w1... i wk : j V j k V che si estende a ogni Ω k V per linearità. Grassmanniane come varietà proiettive p. 31/47
77 Le quadriche di Plücker, I Se w 1 V abbiamo la contrazione i w1 : j V j 1 V Se Ω = w 1... w k abbiamo i Ω = i w1... i wk : j V j k V che si estende a ogni Ω k V per linearità. Abbiamo che R k+1 V è decomponibile se e solo se (i Ω R) R = 0 Ω k V (quadriche di Plücker) Grassmanniane come varietà proiettive p. 31/47
78 Le quadriche di Plücker, I Se w 1 V abbiamo la contrazione i w1 : j V j 1 V Se Ω = w 1... w k abbiamo i Ω = i w1... i wk : j V j k V che si estende a ogni Ω k V per linearità. Abbiamo che R k+1 V è decomponibile se e solo se (i Ω R) R = 0 Ω k V (quadriche di Plücker) Dimostrazione: [Griffiths-Harris] Grassmanniane come varietà proiettive p. 31/47
79 Le quadriche di Plücker, II Teorema L ideale di Gr(k, n) è generato dalle quadriche di Plücker Grassmanniane come varietà proiettive p. 32/47
80 Le quadriche di Plücker, II Teorema L ideale di Gr(k, n) è generato dalle quadriche di Plücker Dimostrazione: teoria delle rappresentazioni di SL, vedi lezione 4 e 5. Grassmanniane come varietà proiettive p. 32/47
81 I cicli di Schubert, I Consideriamo l aperto M 0 delle matrici (k + 1) (n + 1) di rango massimo. Grassmanniane come varietà proiettive p. 33/47
82 I cicli di Schubert, I Consideriamo l aperto M 0 delle matrici (k + 1) (n + 1) di rango massimo. Su M 0 agisce GL(k + 1) per moltiplicazione sinistra (eliminazione di Gauss). Grassmanniane come varietà proiettive p. 33/47
83 I cicli di Schubert, I Consideriamo l aperto M 0 delle matrici (k + 1) (n + 1) di rango massimo. Su M 0 agisce GL(k + 1) per moltiplicazione sinistra (eliminazione di Gauss). Le orbite di questa azione sono infinite ma hanno un rappresentante descritto da una forma a scalini, e quindi da successioni di interi λ con λ 1 λ 2... λ k+1. Grassmanniane come varietà proiettive p. 33/47
84 I cicli di Schubert, I Consideriamo l aperto M 0 delle matrici (k + 1) (n + 1) di rango massimo. Su M 0 agisce GL(k + 1) per moltiplicazione sinistra (eliminazione di Gauss). Le orbite di questa azione sono infinite ma hanno un rappresentante descritto da una forma a scalini, e quindi da successioni di interi λ con λ 1 λ 2... λ k+1. Conviene rappresentare λ con un diagramma di Young. Grassmanniane come varietà proiettive p. 33/47
85 I cicli di Schubert, II Definizione La chiusura in Gr(k, n) di ciascuna forma a scalini si dice un ciclo di Schubert X λ. Grassmanniane come varietà proiettive p. 34/47
86 I cicli di Schubert, II Definizione La chiusura in Gr(k, n) di ciascuna forma a scalini si dice un ciclo di Schubert X λ. I cicli di Schubert hanno una interpretazione enumerativa. Precisamente: Grassmanniane come varietà proiettive p. 34/47
87 I cicli di Schubert, II Definizione La chiusura in Gr(k, n) di ciascuna forma a scalini si dice un ciclo di Schubert X λ. I cicli di Schubert hanno una interpretazione enumerativa. Precisamente: Sia V i =< e 0,..., e i >. Identifichiamo m M 0 con il sottospazio corrispondente di C n+1. Vale che m X λ se e solo se dim m V n k+i λi i per 1 i k + 1. Grassmanniane come varietà proiettive p. 34/47
88 I cicli di Schubert, II Definizione La chiusura in Gr(k, n) di ciascuna forma a scalini si dice un ciclo di Schubert X λ. I cicli di Schubert hanno una interpretazione enumerativa. Precisamente: Sia V i =< e 0,..., e i >. Identifichiamo m M 0 con il sottospazio corrispondente di C n+1. Vale che m X λ se e solo se dim m V n k+i λi i per 1 i k + 1. λ i = 0 condizione vuota Grassmanniane come varietà proiettive p. 34/47
89 I cicli di Schubert, III codimx λ = λ = λ i Grassmanniane come varietà proiettive p. 35/47
90 I cicli di Schubert, III codimx λ = λ = λ i I cicli di Schubert definiscono delle classi in H (Gr(k, n)) = A (Gr(k, n)). Grassmanniane come varietà proiettive p. 35/47
91 I cicli di Schubert, III codimx λ = λ = λ i I cicli di Schubert definiscono delle classi in H (Gr(k, n)) = A (Gr(k, n)). Teorema I cicli di Schubert formano una base additiva (come spazio vettoriale) di H (Gr(k, n)) oppure di A (Gr(k, n)). Grassmanniane come varietà proiettive p. 35/47
92 I cicli di Schubert generano, I L approccio topologico ai cicli di Schubert è basato sui seguenti fatti: Grassmanniane come varietà proiettive p. 36/47
93 I cicli di Schubert generano, I L approccio topologico ai cicli di Schubert è basato sui seguenti fatti: Ogni sottovarietà irriducibile Z X di codimensione d determina una classe di coomologia [Z] H 2d (X,Z) Grassmanniane come varietà proiettive p. 36/47
94 I cicli di Schubert generano, I L approccio topologico ai cicli di Schubert è basato sui seguenti fatti: Ogni sottovarietà irriducibile Z X di codimensione d determina una classe di coomologia [Z] H 2d (X,Z) Se abbiamo una filtrazione X = X 0 X 1... X s = tale che X i \ X i+1 è unione disgiunta di celle affini C n i,j allora [Cn i,j ] formano una base additiva di H 2d (X,Z) Grassmanniane come varietà proiettive p. 36/47
95 I cicli di Schubert generano, II Le celle X 0 λ sono definite da {m dim(m V k ) = i per n+i λ i k n+i λ i+1 } Grassmanniane come varietà proiettive p. 37/47
96 H (Gr(1, 3)) X 0 = G, X 1 = {l l l 0 } Grassmanniane come varietà proiettive p. 38/47
97 H (Gr(1, 3)) X 0 = G, X 1 = {l l l 0 } X 2 = {l p 0 l}, X 11 = {l l π} Grassmanniane come varietà proiettive p. 38/47
98 H (Gr(1, 3)) X 0 = G, X 1 = {l l l 0 } X 2 = {l p 0 l}, X 11 = {l l π} X 21 = {l p 0 l π}, X 22 = [l 0 ] Grassmanniane come varietà proiettive p. 38/47
99 La famiglia universale Consideriamo la varietà di incidenza W Gr(k, n) P n W = {(m, x) m x} Grassmanniane come varietà proiettive p. 39/47
100 La famiglia universale Consideriamo la varietà di incidenza W Gr(k, n) P n W = {(m, x) m x} La proiezione W Gr(k, n) definisce P(U) (quindi è piatta) ed è la famiglia universale. Grassmanniane come varietà proiettive p. 39/47
101 Gr come schema di Hilbert, I Il polinomio di Hilbert di m P k P n vale H m (t) = χ(o m (t)) = ( ) k+t k. Se Y P n è tale che H Y (t) = ( ) k+t k allora Y P k. Grassmanniane come varietà proiettive p. 40/47
102 Gr come schema di Hilbert, I Il polinomio di Hilbert di m P k P n vale H m (t) = χ(o m (t)) = ( ) k+t k. Se Y P n è tale che H Y (t) = ( ) k+t k allora Y P k. Sia F Z P n uno schema tale che la proiezione F Z π è piatta e H π 1 (z)(t) = ( ) k+t k z Z. Grassmanniane come varietà proiettive p. 40/47
103 Gr come schema di Hilbert, I Il polinomio di Hilbert di m P k P n vale H m (t) = χ(o m (t)) = ( ) k+t k. Se Y P n è tale che H Y (t) = ( ) k+t k allora Y P k. Sia F Z P n uno schema tale che la proiezione F Z π è piatta e H π 1 (z)(t) = ( ) k+t k z Z. Allora esiste unica f: Z Gr(k, n) tale che F = Z Gr(k,n) W Grassmanniane come varietà proiettive p. 40/47
104 Gr come schema di Hilbert, II Il diagramma è un prodotto fibrato. F W π f Z Gr(k, n) Grassmanniane come varietà proiettive p. 41/47
105 Gr come schema di Hilbert, II Il diagramma è un prodotto fibrato. F W π f Z Gr(k, n) Grass(k + 1, ) è un funtore dai fibrati su S negli schemi su S. Grassmanniane come varietà proiettive p. 41/47
106 Il fibrato tangente, I 0 U V O Q 0 dove U è il fibrato universale e Q è il fibrato quoziente. Grassmanniane come varietà proiettive p. 42/47
107 Il fibrato tangente, I 0 U V O Q 0 dove U è il fibrato universale e Q è il fibrato quoziente. Il risultato fondamentale è TG = Hom(U, Q) Grassmanniane come varietà proiettive p. 42/47
108 Il fibrato tangente, I 0 U V O Q 0 dove U è il fibrato universale e Q è il fibrato quoziente. Il risultato fondamentale è TG = Hom(U, Q) Si considera l azione di GL(V ) su Gr(k, n) Fissiamo m Gr(k, n), abbiamo la derivata nell identità End(V ) T m Gr(k, n) Grassmanniane come varietà proiettive p. 42/47
109 Il fibrato tangente, II T m Gr(k, n) End(V )/{g g m m} Grassmanniane come varietà proiettive p. 43/47
110 Il fibrato tangente, II T m Gr(k, n) End(V )/{g g m m} End(V )/{g g m m} Hom(m, V/m) Grassmanniane come varietà proiettive p. 43/47
111 Il fibrato tangente, III Un modo alternativo è pensare a Gr(k, n) come schema di Hilbert. Allora T m Gr(k, n) H 0 ( N m,p(v ) ) Grassmanniane come varietà proiettive p. 44/47
112 Il fibrato canonico Corollario K Gr(k,n) = O( n 1) Grassmanniane come varietà proiettive p. 45/47
113 Il fibrato canonico Corollario K Gr(k,n) = O( n 1) Analogamente si ricava ξ i = c i (U ) c 2 (G) = c 1 (G) = (n + 1)ξ 1 (( ) ) n k ξ1 2 + (n 2k 1)ξ 2 2 Grassmanniane come varietà proiettive p. 45/47
114 Campi vettoriali H 0 (U ) = V, H 0 (Q) = V inducono End(V ) = V V H 0 (TG). Grassmanniane come varietà proiettive p. 46/47
115 Campi vettoriali H 0 (U ) = V, H 0 (Q) = V inducono End(V ) = V V H 0 (TG). Esplicitamente A End(V ) induce il campo vettoriale v A che su m vale m V V A V/m Grassmanniane come varietà proiettive p. 46/47
116 Campi vettoriali H 0 (U ) = V, H 0 (Q) = V inducono End(V ) = V V H 0 (TG). Esplicitamente A End(V ) induce il campo vettoriale v A che su m vale m V V A V/m v A (m) = 0 se e solo se m è A-invariante. Grassmanniane come varietà proiettive p. 46/47
117 Campi vettoriali H 0 (U ) = V, H 0 (Q) = V inducono End(V ) = V V H 0 (TG). Esplicitamente A End(V ) induce il campo vettoriale v A che su m vale m V V A V/m v A (m) = 0 se e solo se m è A-invariante. Quindi A generica si annulla in ( n+1 k+1) punti. Grassmanniane come varietà proiettive p. 46/47
118 Gauss-Bonnet χ(x,z) = c m (TX) Grassmanniane come varietà proiettive p. 47/47
119 Gauss-Bonnet Applicazione: χ(x,z) = c m (TX) χ(x,z) = ( ) n + 1 k + 1 Grassmanniane come varietà proiettive p. 47/47
120 Gauss-Bonnet Applicazione: χ(x,z) = c m (TX) χ(x,z) = ( ) n + 1 k + 1 Grassmanniane come varietà proiettive p. 47/47
121 Gauss-Bonnet Applicazione: χ(x,z) = c m (TX) χ(x,z) = ( ) n + 1 k + 1 Grassmanniane come varietà proiettive p. 47/47
Il corso si prefigge una introduzione alle teorie e alle tecniche di base della Geometria Algebrica moderna.
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