La retta proiettiva appunti del corso di Geometria 1, prof. Cristina Turrini

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1 come insieme quoziente come ampliamento della retta affine appunti del corso di Geometria 1, prof. anno acc. 2008/2009

2 come insieme quoziente come ampliamento della retta affine index 1 come insieme quoziente 2 come ampliamento della retta affine 3 4

3 come insieme quoziente come ampliamento della retta affine La relazione di equivalenza Consideriamo il piano R 2, con coordinate (x 0, x 1 ), e poniamo X = R 2 \ {0, 0}. Introduciamo in X la seguente relazione di equivalenza: Dati (x 0, x 1 ), (y 0, y 1 ) X (x 0, x 1 ) (y 0, y 1 ) (sono equivalenti), se λ (R \ {0}) tale che sia (y 0, y 1 ) = λ(x 0, x 1 ), ovvero y 0 = λx 0 e y 1 = λx 1. Quindi, ad esempio, (1, 3) (1/5, 3/5). Esercizio: verificare che è una relazione di equivalenza

4 come insieme quoziente come ampliamento della retta affine L insieme quoziente Se x 0 0, (x 0, x 1 ) (y 0, y 1 ) vuol dire x 1 /x 0 = y 1 /y 0. Se x 0 = 0, (0, x 1 ) (0, y 1 ) x 1, y 1 0. Dunque la relazione identifica tra loro tutti i punti (diversi dall origine) che appartengono ad una stessa retta per l origine. Sia (x 0, x 1 ) X; si denota con [(x 0, x 1 )], o anche con (x 0 : x 1 ), la classe di equivalenza di (x 0, x 1 ), pertanto [(x 0, x 1 )] = (x 0 : x 1 ) = {(y 0, y 1 ) (y 0, y 1 ) (x 0, x 1 )}. L insieme quoziente, ovvero l insieme delle classi di equivalenza, X/ = {(x 0 : x 1 )} rappresenta il fascio di rette per l origine (ciascuna privata dell origine).

5 come insieme quoziente come ampliamento della retta affine X/ viene detto retta proiettiva e indicato con P 1. Sia l una retta per l origine e sia (x 0 : x 1 ) = l \(0, 0). Se (a 0, a 1 ) l \(0, 0), (a 0, a 1 ) viene detta una coppia di coordinate omogenee di l. Le coordinate omogenee non sono mai contemporaneamente nulle e sono definite a meno di un fattore di proporzionalità λ (R \ {0}). (a 0 : a 1 ) viene detto punto di P 1. P 1 fascio di rette per (0, 0)

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7 come insieme quoziente come ampliamento della retta affine Coordinate nel fascio di rette Fissiamo la retta r di equazione x 0 = 1. l (0, 0) (diversa dall asse x 1 ), l taglia la retta r nel punto di coordinate (1, a 1 /a 0 ). L asse x 1 ha coordinate omogenee (0, 1). Si è così definita una corrispondenza biunivoca fascio \ { asse x 1 } r l (1, a 1 /a 0 ) ovvero P 1 \ {(0, 1)} A 1 (a 0 : a 1 ) a 1 /a 0 (1 : a) a (a 0, a 1 ) coordinate omogenee, a coordinata affine

8 come insieme quoziente come ampliamento della retta affine P 1 come quoziente e come ampliamento Quando la retta l del fascio "tende" all asse x 1, il punto (a 0 : a 1 ) "tende" a (0 : 1) e il rapporto a 1 /a 0 = P 1 "=" A 1 { }. (R 2 \ {(0, 0)})/ P 1 = A 1 { } La corrispondenza biunivoca P 1 \ {(0, 1)} A 1 (a 0 : a 1 ) a 1 /a 0 si estende a una corrispondenza biunivoca P 1 A 1 { } a 1 /a 0 se a 0 0 (a 0 : a 1 ) se a 0 = 0 che si inverte così a (1 : a), se a, e (0 : 1).

9 come insieme quoziente come ampliamento della retta affine Modello topologico di P 1 Un modello intuitivo di P 1 è la circonferenza. γ circonferenza Per proiezione da N si instaura una corrispondenza biunivoca γ \ {N} r = A 1 P < NP > r che si può estendere a una corrispondenza biunivoca γ P 1 ponendo N Punti che si "avvicinano" a N, si proiettano su punti che "vanno all infinito"

10 come insieme quoziente come ampliamento della retta affine index 1 come insieme quoziente 2 come ampliamento della retta affine 3 4

11 come insieme quoziente come ampliamento della retta affine Affinità Considerato P 1 = A 1 { }, un affinità α : A 1 A 1 di equazione α(x) = ax + b, a 0, può essere interpretata come trasformazione α : P 1 P 1 ponendo α( ) = e α(x) = α(x), altrove. Ponendo x = x 1 /x 0, α(x) = x = x 1 /x 0, α si può anche esprimere in coordinate omogenee così: x 1 = a x x 0 1 x 0 + b = ax 1+bx 0 x 0, cioè { ρx 0 = x 0 ρx 1 = ax con ρ bx 0 In altri termini si ha α(x 0 : x 1 ) = (x 0 : ax 1 + bx 0 ) e tale scrittura è valida non solo per i punti di A 1, ma anche per il punto = (0 : 1), infatti α(0 : 1) = (0 : a) = (0 : 1), cioè α( ) =.

12 come insieme quoziente come ampliamento della retta affine Le affinità così estese sono casi particolari di trasformazioni dette proiettività(o omografie). Una proiettività di P 1 in sè è una trasformazione ω : P 1 P 1 che, in coordinate omogeneee, si esprime nella forma { ρx 0 = a 00 x 0 + a 01 x 1 ρx 1 = a 10x 0 + a 11 x 1 ove ω((x 0 : x 1 )) = (x 0 : x 1 ), a 00, a 01 a 10 a 11 R e con la condizione a 00 a 11 a 01 a La condizione a 00 a 11 a 01 a 10 0 si scrive anche a 00 a 01 a 10 a 0 e 11 garantisce l invertibità della corrispondenza (si veda dopo). In coordinate affini x = x 1 /x 0 e x = x 1 /x 0, ω si esprime nella forma x = a 10+a 11 x a 00 +a 01 x, con a 00 a 01 a 10 a 11 0.

13 come insieme quoziente come ampliamento della retta affine La definizione è ben posta Si noti che la definizione data di proiettività è ben posta, ovvero passa ai quozienti : P 1 = R 2 \ {0.0} P 1 = R 2 \ {0.0}. In altri termini si ha ω(λx 0 : λx 1 ) = ω(x 0 : x 1 ) Infatti ω(x 0 : x 1 ) = (a 00 x 0 + a 01 x 1 : a 10 x 0 + a 11 x 1 ) e ω(λx 0 : λx 1 ) = (a 00 λx 0 + a 01 λx 1 : a 10 λx 0 + a 11 λx 1 ) = (λ(a 00 x 0 + a 01 x 1 ) : λ(a 10 x 0 + a 11 x 1 )) = (a 00 x 0 + a 01 x 1 : a 10 x 0 + a 11 x 1 ) = ω(x 0 : x 1 ) Non avrebbe alcun senso invece, ad esempio, considerare una corrispondenza η : P 1 P 1 definita da η(x 0 : x 1 ) = (x 0 : x 1 + 1), dal momento che si avrebbe η(1 : 1) = (1 : 2) e η(2 : 2) = (2 : 3), con (1 : 1) = (2 : 2), ma (1 : 2) (2 : 3).

14 come insieme quoziente come ampliamento della retta affine inversa { Per semplicità di scrittura poniamo ρx 0 = hx 0 + kx 1 ρx 1 = lx con h k 0 + mx 1 l m 0, ovvero x = l+mx h+kx, o, kxx mx + hx l = 0. Se fosse h l m k = 0, si avrebbe la proporzione h : l = k : m, e quindi ad esempio h = λl, k = λm e x = l+mx λl+λmx = l+mx λ(l+mx) = 1/λ = costante. L applicazione pertanto non sarebbe biunivoca. La condizione h l m k 0, permette di invertire ω e l inversa ω 1 di ω è definita da ω 1 : x (la verifica è lasciata per esercizio). l hx m + kx

15 come insieme quoziente come ampliamento della retta affine Caratterizzazione delle affinità Si consideri la proiettività ω : P 1 P 1, che, in coordinate affini, si esprime nella forma x = l+mx h+kx, con h l m k 0. L immagine, tramite ω del punto all infinito P 1 è ω( ) = m/k, infatti in coordinate omogenee si ha ω(x 0 : x 1 ) = (hx 0 + kx 1 : lx 0 + mx 1 ), e quindi ω(0 : 1) = (k : m). Viceversa, il punto di P 1 che viene trasformato in è h/k, cioè ω( h/k) =, infatti ω(k : h) = (hk kh : lk mh) = (0 : 1). Una proiettività è una affinità se e solo se trasforma in (la verifica è lasciata per esercizio).

16 come insieme quoziente come ampliamento della retta affine L inversione Un esempio di proiettività che non è un affinità { è l inversione, ovvero ρx la trasformazione definita da x = 1/x, ossia 0 = x 1 ρx 1 = x. 0 Ogni proiettività può essere ottenuta componendo un numero finito di affinità e inversioni. Ad esempio, se k 0, componendo, nell ordine, l affinità x = h + kx, con l inversione x = 1/x e con l affinità x = m k + lk mh k x, si ottiene la proiettività x = l+mx h+kx.

17 come insieme quoziente come ampliamento della retta affine Birapporto Dati quattro punti A, B, C e D di P 1, distinti a due a due, se sono tutti punti al finito (cioè se A, B, C, D A 1 ), si dice birapporto di A, B, C, D (in quest ordine) il rapporto tra i rapporti semplici (ABC) e (ABD) ovvero il numero reale (ABCD) = (ABC) (ABD) = AC BC AD BD (c 1 a 0 a 1 c 0 ) (d 1 b 0 b 1 d 0 ) (d 1 a 0 a 1 d 0 ) (c 1 b 0 b 1 c 0 ) = AC BD AD BC = (c a)(d b) (d a)(c b) =, ove a, b, c, d e (a 0, a 1 ), (b 0, b 1 ), (c 0, c 1 ), (d 0, d 1 ) denotano rispettivamente le coordinate affini e le coordinate omogenee dei punti A, B, C, D. La definizione così data si estende anche al caso in cui uno dei punti è.

18 come insieme quoziente come ampliamento della retta affine e birapporto Le proiettività conservano il birapporto delle quaterne di punti allineati, ovvero per una proiettività si ha (ω(a)ω(b)ω(c)ω(d)) = (ABCD). Per provarlo basta fare la verifica per le affinità (per cui è ovvio, dal momento che le affinità conservano i rapporti semplici) e per l inversione (esercizio). Esempio Se i quattro punti A, B, C e D sono "equidistanziati", allora (ABCD) = 4/3. (ABCD) = AC/BC AD/BD = 2/1 3/2 = 4/3

19 come insieme quoziente come ampliamento della retta affine e birapporto In realtà l asserzione secondo cui le proiettività conservano il birapporto delle quaterne di punti allineati può anche essere invertita, ovvero le proprietà di conservare il birapporto caratterizza le proiettività. In altri termini si ha: una trasformazione della retta proiettiva in sè è una proiettività se e solo se conserva i birapporti. Inoltre, dati sulla retta tre punti distinti A, B e C ed altri tre punti distinti A, B e C esiste un unica proiettività che muta rispettivamente A, B e C in A, B e C e l equazione di tale proiettività può essere ottenuta così: (ABCX) = (A B C X ).

20 come insieme quoziente come ampliamento della retta affine index 1 come insieme quoziente 2 come ampliamento della retta affine 3 4

21 come insieme quoziente come ampliamento della retta affine Sono equidistanti? Possiamo stabilire se nella realtà i birilli qui fotografati sono disposti a intervalli regolari lungo una retta? Per rispondere dobbiamo fare una digressione.

22 come insieme quoziente come ampliamento della retta affine Prospettività La definizione di proiettività di una retta in sè si estende in modo ovvio a proittività tra rette distinte. Esempi significativi di proiettività tra rette (complanari) sono le prospettività. Dati nel piano due rette r ed r ed un punto V fuori da esse, si può definire un applicazione da P 1 = r { } a P 1 = r { }, per proiezione da V, come in figura. Il punto di intersezione di r con la parallela a r mandata da V viene trasformato nel punto improprio di r. Il punto improprio di r viene trasformato nel punto di intersezione di r con la parallela a r per V.

23 come insieme quoziente come ampliamento della retta affine Un esempio di prospettività Le prospettività sono proiettività. Verifichiamo questa asserzione su un esempio. Supponiamo che le rette r ed r siano rispettivamente l asse delle ordinate e l asse delle ascisse, e che il centro di proiezione sia il punto V ( 1, 1). La prospettività di centro V associa al punto P (0, t) il punto P (t, 0), tale che sia t = t 1 t La prospettività è pertanto la proiettività di equazione x = x 1 x. Si potrebbe dimostrare che una qualsiasi proiettività può essere ottenuta come composizione di prospettività.

24 come insieme quoziente come ampliamento della retta affine Quattro punti allineati La corrispondenza che sussiste tra i quattro punti allineati A, B, C, D e le loro immagini A, B, C, D sul quadro è la prospettività di centro V. Abbiamo già visto che, se i quattro punti sono equidistanziati, il birapporto (ABCD) è 4/3. Quindi anche il birapporto (A B C D ) deve essere 4/3 (il birapporto è un invariante proiettivo). Il nostro occhio è abituato a riconoscere immagini di oggetti disposti in modo regolare, cioè a "calcolare birapporti".