SUPERFICI DI RIEMANN (quinta parte) anno acc. 2008/2009

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1 (quinta parte) anno acc. 2008/2009

2 Il teorema di Riemnann Roch Sia X una superficie di Riemann compatta e D un divisore su X. Si chiama caratteristica di Eulero del divisore D l intero χ(d)l(d) i(d). I divisori D tali che i(d) = 0 vengono detti non speciali, per essi la caratteristica di Eulero coincide con la dimensione dello spazio di Riemann Roch relativo. TEOREMA di Riemann Roch - Sia X una superficie di Riemann di genere analitico g 1 e D un divisore du X di grado d = deg(d). Si ha χ(d) = d + 1 g 1. dimostrazione - La dimostrazione è per induzione sul numero di punti che compaiono nel divisore. Nel caso del divisore D = 0, si ha χ(0) = l(0) i(0) = 1 g 1 = deg(0) + 1 g 1. Dalla dimostrazione dei teoremi di finitezza segue che si ha: χ( D + p) = χ( D) + 1, χ( D p) = χ( D) 1

3 Supponendo vero il teorema nel caso del divisore D, si ricava quindi χ( D + p) = χ( D) + 1 = deg( D) + 1 g = deg( D + p) + 1 g 1 e che χ( D p) = χ( D) 1 = deg( D) + 1 g 1 1 = deg( D p) + 1 g 1. COROLLARIO 1 - Sia X una superficie di Riemann di genere analitico g 1 e D un divisore du X di grado d = deg(d). Si ha l(d) d + 1 g 1. COROLLARIO 2 - Sia X una superficie di Riemann di genere analitico g 1. P X, f M(X) non costante tale che f sia olomorfa in X \ {p} ed abbia al più un polo di ordine g in p.

4 dimostrazione - Per il divisore D = (g 1 + 1)p si ha deg(d) = g 1 + 1, quindi l(d) g g 1 = 2. questo significa che L(D) contiene propriamente C, ovvero che esiste una funzione meromorfa non costante in L(D). Il Corollario 2 implica il cosiddetto teorema di esistenza: M(X) C COROLLARIO 3 - Sia X una superficie di Riemann di genere analitico g 1 = 0. Allora X è biolomorfa a P 1. dimostrazione - per il corollario 2 esiste su X una funzione meromnorfa non costante con un solo polo semplice. Abbaimo già visto che ciò è possibile sono se X è biolomorfa a P 1.

5 Forme differenziali olomorfe e meromorfe Sia X una superficie di Riemann compatta e U X un aperto. Si ricorda che una 1 forma differenziale olomorfa su U, ω Ω 1 (U) è una collezione ω = {ω α }, con {U α } domini che ricoprono U, di carte locali ϕ α : U α V α, ω α = f α dz α 1 forma olomorfa in V α ϕ α (U) con la condizione che in U α U β U si abbia ω α = ω β ovvero (ricordando che è z β = T βα (z α ),) cioè quindi f α dz α = f β dz β = f β (T βα )T βα dz α, f α (z α ) = f β (T βα (z α ))T βα (z α). In modo analogo si definiscono le 1 forme differenziali meromorfe ω M 1 (U), a partire da funzioni f α meromorfe in V α ϕ α (U). OSSERVAZIONE - Ω 1 e M 1 sono fasci su X.

6 Data una 1 forma differenziale meromorfa ω = {ω α }, con ω α = f α dz α, si definisce ordine di ω nel punto p X, l ordine in ϕ α (p) di f α. Ovvero, presa una carta locale che mandi p in z = 0, se ω = fdz, si pone ν p (ω) = ν 0 (f ). Si parlerà allora di zero (o di polo) di ω nel caso in cui f abbia uno zero (o un polo) in 0. Si noti che la definizione data sopra è ben posta (ovvero indipendente dalla carta in cui la si calcola) in quanto in due carte diverse si ha f α = f β T βα, e T βα è olomorfa e non nulla. ESEMPIO 1 - Sia X = P 1 e (U 0, ϕ 0 ), (U 1, ϕ 1 l atlante in cui ϕ 0 : (z 0 : z 1 ) z = z 0 /z 1, ϕ 1 : (z 0 : z 1 ) ξ = 1/z = z 1 /z 0. Consideriamo la collezione ω = {ω 0, ω 1 } data da ω 0 = 1dz, su U 0 e ω 1 = 1 ξ 2 su U 1.

7 Verifichiamo che ω è una 1 forma meromorfa su P 1. Si ha z = 1/ξ, ovvero T(ξ) = 1/ξ, da cui T (ξ) = 1/(ξ) 2, e perciò dz = 1 ξ 2 dξ. Si noti che ω ha un solo polo di ordine 2 in e non ha zeri. ESEMPIO 2 - Sia X = C/Λ un toro complesso di atlante {(U α, ϕα)}. Consideriamo la collezione ω = {ω α } data da ω α = 1dz α. Verifichiamo che ω è una 1 forma meromorfa su C/Λ Le funzioni di transizione sul toro sono traslazioni, si ha cioè T(z α ) = z α + k, e quindi T (z α ) = 1. Pertanto dz α = dz β. Si noti che ω non ha zeri e non ha poli.

8 Il divisore canonico OSSERVAZIONE - Siano ω, η M 1 (X). ω = {ω α }, η = {η α }, con ω α = f α dz α e η α = g α dz α, f α = f β T βα, g α = g β T βα. Posto allora h α = fα g α, si ha h α = h β in U α U β (o meglio h α ϕ α = h β ϕ β ), quindi {h α } definisce una funzione meromorfa h M(X) (o meglio h = {h α ϕ α }). Si scrive ω = ηh. Il quoziente di due forme meromorfe è una funzione meromorfa. In altri termini M 1 (X) è uno spazio vettoriale di dimensione uno sul campo M(X). Data ω M 1 (X) si può costruire il divisore della forma meromorfa ω ponendo

9 (ω) = p X ν p (ω)p Div(X). Nell esempio 1 visto sopra risulta (ω) = 2[ ], mentre nell esempio 2 si ha (ω) = 0. Se ω, η M 1 (X) sono due 1 forme con ω = ηh, (h funzione meromorfa), allora (ω) = (ηh) = (η) + (h). Dal momento che (h) è principale (ω) e η sono linearmente equivalenti. Il divisore di una 1 forma meromorfa su X viene detto divisore canonico di X, e si scrive K X = K = (ω), ω M 1 (X).

10 Il divisore canonico è univocamente definito, a meno di equivalenza lineare. La classe di equivalenza dei divisori canonici viene detta classe canonica di X. ESEMPI - Nel caso di P 1 è K = 2[ ]; nel caso di C/Λ è K = 0. Dato un divisore D, in analogia a quanto fatto per il fascio O(D), si può anche costruire il fascio Ω(D) a partire dal prefascio Ω(D)(U) = {ω M 1 (U) (ω) + D U 0} {0}. OSSERVAZIONE - Si ha Ω(0) = Ω 1, ovvero le forme di Ω(0) sono le 1 forme olomorfe. OSSERVAZIONE - Si ha un isomorfismo di fasci O(K + D) Ω(D),

11 che può essere definito, una volta fissata una 1 forma meromorfa ω M 1 (X), da f f ω. Infatti f O(K + D)(U) (f ) + K + D 0 (f ω) + D 0 f ω Ω(D)(U). TEOREMA di dualità di Serre - D Div(X) si ha e di conseguenza H 0 (X, Ω( D)) = [H 1 (X, O(D)] H 0 (X, Ω(K D)) = [H 1 (X, O(D)]. In particolare risulta l(k D) = i(d). (( ) denota la dualità di spazi vettoriali)

12 Dal teorema di dualità di Serre segue che il genere anlitico di X è g 1 = i(0) = l(k). Ad esempio, nel caso di P 1, si ha g 1 = l( 2[ ]) = 0, in quanto deg( 2[ ]) < 0. Nel caso di C/Λ risulta invece g 1 = l(0) = 1. Sempre dal teorema di dualità di Serre segue che il teorema di Riemann Roch può essere riscritto come segue l(d) l(k D) = deg(d) + 1 g.